1.बहुपद के शून्यक (Zeros of Polynomial),बहुपद के शून्यक की परिभाषा (Zeros of Polynomial Definition):

Zeros of Polynomial

इस आर्टिकल में बहुपद के शून्यक (Zeros of Polynomial) के बारे में अध्ययन करेंगे।एक रैखिक बहुपद को शून्य के बराबर रखकर शून्यक ज्ञात किया जा सकता है।द्विघात बहुपद में मध्य पद को विभक्त करके उसके गुणनखण्ड किए जाते हैं और फिर शून्य के बराबर गुणनखण्डों को रखकर शून्यक ज्ञात किए जाते हैं।शून्यकों तथा बहुपद के गुणांकों के बीच एक विशेष सम्बन्ध होता है।
द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c में शून्यकों तथा बहुपद के चर के गुणांकों के बीच सम्बन्ध:
शून्यकों का योग (\alpha+\beta)=-\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^{2} \text{का गुणांक}}=-\frac{b}{a}

शून्यकों का गुणनफल (\alpha \beta)=\frac{\text{ अचर पद }}{x^{2} \text{ का गुणांक }}= \frac{c}{a}
त्रिघात बहुपद a x^{3}+b x^{2}+c+d के शून्यक \alpha, \beta, \gamma हों तो शून्यकों तथा बहुपद के चर के गुणांकों के बीच सम्बन्ध:
शून्यकों का योग (\alpha+\beta+\gamma)=-\frac{b}{a} \\ \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{c}{a}
शून्यकों का गुणनफल (\alpha \beta \gamma)=-\frac{d}{a}
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2.बहुपद के शून्यक के साधित उदाहरण (Zeros of Polynomial Solved Examples):

निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए:
Example:1.x^{2}-2 x-8
Solution:x^{2}-2 x-8 \\ x^{2}-4 x+2 x-8 \\ \Rightarrow x(x-4)+2(x-4) \\ \Rightarrow(x+2)(x-4) \\ (x+2)(x-4)=0 \\ x+2=0, x=-2 \\ x-4=0, x=4 \\ x=-2,4 \\ \alpha=-2, \quad \beta=4
शून्यकों का योग=-\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^{2} \text{का गुणांक}}=\frac{-(-2)}{1}=\alpha+\beta=-2+4 \\ =2=2
शून्यकों का गुणनफल=\frac{\text{ अचर पद }}{x^{2} \text{ का गुणांक }} \\ =\frac{-8}{1}=\alpha+\beta \\ =-8=(-2)(4) \\ =-8=-8
Example:2.4 s^{2}-4 s+1
Solution: 4s^{2}-2 s-2 s+1 \\ \Rightarrow 2 s(2 s-1)-1(2 s-1) \\ \Rightarrow(2 s-1)(2 s-1) \\ \Rightarrow(2 s-1)^{2} \\ \Rightarrow(2 s-1)^{2}=0 \\ \Rightarrow 2 s-1=0,2 s-1=0 \\ \Rightarrow s=\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \\ \alpha=\frac{1}{2}, \beta=\frac{1}{2}
शून्यकों का योग=-\frac{s \text{ का गुणांक}}{s^{2} \text{का गुणांक}} \\=\frac{-(-4)}{4}=\alpha+\beta=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\ =1=1
शून्यकों का गुणनफल=\frac{\text{ अचर पद }}{s^{2} \text{ का गुणांक }} \\ =\frac{1}{4}=(\alpha)(B) \\ =\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \\ =\frac{1}{4}
Example:3.4 u^{2}+8 u
Solution:4 u^{2}+8 u \\ \Rightarrow 4 u(u+2)\\ 4 u(u+2)=0\\ u=0,u+2=0 \Rightarrow u=-2\\ u=0,-2\\ \alpha=0, \beta=-2
शून्यकों का योग=-\frac{u \text{ का गुणांक}}{u^{2} \text{का गुणांक}} \\ =-\frac{8}{4}=\alpha+\beta \\ =-2=0-2 \\ =-2=-2
शून्यकों का गुणनफल=\frac{\text{ अचर पद }}{u^{2} \text{ का गुणांक }} \\ =\frac{0}{4}=(\alpha)(\beta) \\ =0=0(-2) \\ =0=0
Example:4.6 x^{2}-3-7 x
Solution:6 x^{2}-3-7 x \\ \Rightarrow 6 x^{2}-7 x-3 \\ \Rightarrow 6 x^{2}-9 x+2 x-3 \\ \Rightarrow 3 x(2 x-3)+1(2 x-3) \\ \Rightarrow(2 x-3)(3 x+1) \\ (2 x-3)(3 x+1)=0 \\ \Rightarrow 2 x-3=0,3 x+1=0 \\ \Rightarrow 2 x=3, \quad 3 x=-1 \\ \Rightarrow x=\frac{3}{2} \quad x=-\frac{1}{3} \\ \Rightarrow x=\frac{3}{2},-\frac{1}{3} \\ \alpha=\frac{3}{2}, \beta=-\frac{1}{3}
शून्यकों का योग=-\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^{2} \text{का गुणांक}} \\ =\frac{-(-7)}{6}=\alpha+\beta \\=\frac{7}{6}=\frac{3}{2}-\frac{1}{3} \\=\frac{7}{6}=\frac{9-2}{6} \\=\frac{7}{6}=\frac{7}{6}
शून्यकों का गुणनफल=\frac{\text{ अचर पद }}{x^{2} \text{ का गुणांक }} \\ =-\frac{3}{6}=(\alpha)(\beta) \\ =-\frac{1}{2}=\left(\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right) \\=-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}
Example:5.t^{2}-15
Solution:t^{2}-15 \\ \Rightarrow t^{2}-(\sqrt{15})^{2} \\ \Rightarrow(t+\sqrt{15})(t-\sqrt{15}) \\ \Rightarrow (t+\sqrt{15})(t-\sqrt{15})=0 \\ t+\sqrt{15}=0, t-\sqrt{15}=0 \\ \Rightarrow t=\sqrt{15}, t=\sqrt{15} \\ \Rightarrow t=-\sqrt{15}, \sqrt{15} \\ \alpha=-\sqrt{15,} \beta=\sqrt{15}
शून्यकों का योग=-\frac{t \text{ का गुणांक}}{t^{2} \text{का गुणांक}} \\=-\frac{0}{1}=\alpha+\beta \\=0=-\sqrt{15}+\sqrt{15} \\=0=0
शून्यकों का गुणनफल=\frac{\text{ अचर पद }}{t^{2} \text{ का गुणांक }} \\ =-\frac{-15}{1}=(\alpha)(\beta) \\=-15=(-\sqrt{15})(\sqrt{15}) \\=-15=-15
Example:6.3 x^{2}-x-4
Solution: 3 x^{2}-x-4 \\ \Rightarrow 3 x^{2}-4 x+3 x-4 \\ \Rightarrow x(3 x-4)+1(3 x-4) \\ \Rightarrow(x+1)(3 x-4)^{2} \\ \Rightarrow(x+1)(3 x-4)=0 \\ \Rightarrow x+1=0,3 x-4=0 \\ \Rightarrow x=-1,3 x=4 \\ x=-1, \frac{4}{3} \\ \alpha=-1, \quad \beta=\frac{4}{3}
शून्यकों का योग=-\frac{t \text{ का गुणांक}}{t^{2} \text{का गुणांक}} \\=\frac{-(-1)}{3}=\alpha+\beta \\=\frac{1}{3}=\frac{-1}{1}+\frac{4}{3} \\=\frac{1}{3}=\frac{-3+4}{3} \\=\frac{1}{3}=\frac{1}{3}
शून्यकों का गुणनफल=\frac{\text{ अचर पद }}{t^{2} \text{ का गुणांक }} \\ =-\frac{4}{3}=(\alpha)(\beta) \\=-\frac{4}{3}=(-1)\left(\frac{4}{3}\right) \\=-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिये जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं:
Example:7. \frac{1}{4},-1
Solution: \frac{1}{4},-1
माना द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c शून्यक \alpha तथा \beta है:
शून्यकों का योग=-\frac{b}{a} \\ \alpha+\beta=-\frac{b}{a}=\frac{1}{4}
शून्यकों का गुणनफल=\frac{c}{a} \\ \alpha \beta =\frac{c}{a}=-1 \\ =\frac{c}{a}=-\frac{4}{4}

a=4, b =-1, c=-4
अतः द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c \\ 4 x^{2}-x-4

Zeros of Polynomial

Example:8.\sqrt{2},\frac{1}{3}
Solution:\sqrt{2},\frac{1}{3}
माना द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c  है:
शून्यकों का योग=-\frac{b}{a} \\ -\frac{b}{a}=\sqrt{2} \\ \Rightarrow-\frac{b}{a}=\frac{3 \sqrt{2}}{3} \cdots(1)
शून्यकों का गुणनफल=\frac{c}{a}=\frac{1}{3} \cdots(2)
(1) व (2) से:

a=3, b=-3 \sqrt{2}, c=1
अतः द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c \\ 3 x^{2}-3 \sqrt{2} x+1
Example:9.0,\sqrt{5}
Solution:0,\sqrt{5}
माना द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c  है:
शून्यकों का योग=-\frac{b}{a} \\ -\frac{b}{a} =0 \\ \Rightarrow-\frac{b}{a} =\frac{0}{1} \cdots(1)
शून्यकों का गुणनफल=\frac{c}{a} \\ \Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{1} \cdots(2)
(1) व (2) से:

a=1,b=0,c=\sqrt{5}
अतः द्विघात बहुपद

x^{2}+\sqrt{5}
Example:10.1,1
Solution:1,1
माना द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c है:
शून्यकों का योग=-\frac{b}{a} \\-\frac{b}{a}=1 \\ \Rightarrow-\frac{b}{a}=\frac{1}{1} \cdots(1)
शून्यकों का गुणनफल=\frac{c}{a} \\ \frac{c}{a}=\frac{1}{1} \cdots(2)
(1) व (2) से:

a=1,b=-1,c=1
अतः द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c \\  x^{2}- x+1

Example:11.-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}
Solution:-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}
माना द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c है:
शून्यकों का योग=-\frac{b}{a} \\ \Rightarrow-\frac{b}{a}=\frac{1}{4} \cdots(1)
शून्यकों का गुणनफल=\frac{c}{a} \\ \frac{c}{a}=\frac{1}{4} \cdots(2)
(1) व (2) से:

a=4,b=1,c=1
अतः द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c \\  4x^{2}+ x+1

Example:12.4,1
Solution:4,1
माना द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c है:
शून्यकों का योग =-\frac{b}{a} \\ -\frac{b}{a}=\frac{4}{1} \cdots(1)
शून्यकों का गुणनफल=\frac{c}{a} \\ \frac{c}{a}=\frac{1}{1} \cdots(2)
(1) व (2) से:

a=1,b=-4,c=1
अतः द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c \\ x^{2}-4 x+1
Example:13.जाँच कीजिए कि त्रिघात बहुपद p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3 के शून्यक 3,-1 और -\frac{1}{3} हैं।इसके पश्चात् शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिये।
Solution:बहुपद p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3 की मानक बहुपद a x^{3}+b x^{2}+cx+d से तुलना करने पर:
a=3, b=-5, c=-11, d=-3\\ P(3)=3 \times (3)^{3}-5(3)^{2}-11(3)-3\\ =81-45-33-3=0\\ P(-1)=3 \times(-1)^{3} -5 \times (-1)^{2}-11 \times 1-3\\ =-3-5+11-3=0\\ P(-\frac{1}{3})=3 \times(-\frac{1}{3})^{3}-3(-\frac{1}{3})^{2}-11(-\frac{1}{3})-3\\ =-\frac{1}{9}-\frac{5}{9}+\frac{11}{3}-3\\ =-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=0
अतः 3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3 के शून्यक 3,-1 और हैं।
\alpha=3, \beta=-1 और \gamma=-\frac{1}{3} हैं तो

\alpha+\beta+\gamma=3+(-1)+(-\frac{1}{3}) \\ =2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}=\frac{-(-5)}{3}=-\frac{b}{a} \\ \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=3(-1)+(-1)(-\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3})(3) \\ =-3+\frac{1}{3}-1=-\frac{11}{3}=\frac{c}{a} \\ \alpha \beta \gamma=3 \times (-1) \times(-\frac{1}{3})=1=-\frac{(-3)}{3}=\frac{-d}{a}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बहुपद के शून्यक (Zeros of Polynomial),बहुपद के शून्यक की परिभाषा (Zeros of Polynomial Definition) को समझ सकते हैं।

3.बहुपद के शून्यक के सवाल (Zeros of Polynomial Questions):

Zeros of Polynomial

(1.)एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः -3 और 2 हैं।
(2.)द्विघात बहुपद x^{2}+7 x+10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।

(3)बहुपद P(x)= 2x^{3}-5x^{2}-14 x+8के शून्यक ज्ञात कीजिए
उत्तर (Answers):(1) x^{2}+3 x+2
(2.)-2,-5
(3.)4,-2,\frac{1}{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करके बहुपद के शून्यक (Zeros of Polynomial),बहुपद के शून्यक की परिभाषा (Zeros of Polynomial Definition) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):

(1.)घातों 1,2 और 3 के बहुपद क्रमशः रैखिक बहुपद, द्विघात बहुपद एवं त्रिघात बहुपद कहलाते हैं।
(2.)एक द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c ,जहाँ a,b,c वास्तविक संख्याएँ हैं और a \neq 0 है, के रूप का होता है।
(3.)एक बहुपद p(x) के शून्यक उन बिन्दुओं के x-निर्देशांक होते हैं जहाँ y=p(x) का ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
(4.)एक द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक हो सकते हैं और एक त्रिघात बहुपद के अधिक से अधिक तीन शून्यक हो सकते हैं।
(5.)यदि द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c के शून्यक \alpha और \beta हों तो

\alpha+\beta=-\frac{b}{a} \\  \alpha \beta=\frac{c}{a}
(6.)यदि \alpha,\beta,\gamma त्रिघात बहुपद a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 के शून्यक हों तो: 

\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}\\ \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{c}{a}
और \alpha \beta \gamma=-\frac{d}{a}

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5.बहुपद के शून्यक (Zeros of Polynomial) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

इस आर्टिकल में बहुपद के शून्यक (Zeros of Polynomial) के बारे में अध्ययन करेंगे।एक रैखिक बहुपद
को शून्य के बराबर रखकर शून्यक ज्ञात किया जा सकता है।द्विघात बहुपद में मध्य पद को विभक्त