1.बहुपद के शून्यक कक्षा 9 (Zeroes of Polynomial Class 9),हिन्दी में बहुपद के शून्यक (Zeros of Polynomial in hindi):

Zeroes of Polynomial Class 9

बहुपद के शून्यक कक्षा 9 (Zeroes of Polynomial Class 9) में अचर बहुपद,रैखिक बहुपद और द्विघात बहुपद के बारे में अध्ययन करेंगे।बहुपद का मान तथा शून्यक ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.बहुपद के शून्यक कक्षा 9 के साधित उदाहरण (Zeroes of Polynomial Class 9 Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित पर बहुपद 5 x-4 x^{2}+3 के मान ज्ञात कीजिए:
Solution:1(i).x=0

(x)=5 x-4 x^{2}+3\\ P(0)=5(0)-4(0)^{2}+3\\ \Rightarrow P(0)=3
Solution:1(ii).x=-1

p(x)=5 x-4 x^{2}+3 \\ P(1)=5(-1)-4(-1)^{2}+3\\ =-5-4+3\\ =-9+3\\ \Rightarrow P(-1)=-6
Solution:1(iii). x=2

p(x)=5 x-4 x^{2}+3\\ p(2)=5 \times 2-4 \times 2^{2}+3\\ =10-16+3\\ =13-16\\ \Rightarrow p(2)=-3
Example:2.निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0),p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए:
2(i): p(y)=y^{2}-y+1
Solution: p(y)=y^{2}-y+1 \\ p(0)=0^{2}-0+1 \\ \Rightarrow p(0)=1 \\ p(1)=1^{2}-1+1 \\ =1-1+1 \\ =2-1 \\ p(1)=1 \\ p(2) =2^{2}-2+1 \\ =4-2+1 \\ =5-2 \\ \Rightarrow p(2) =3
p(0)=1,p(1)=1,p(2)=3
2(ii) p(t)=2+t+2 t^{2}-t^{3}
Solution: p(t)=2+t+2 t^{2}-t^{3} \\ p(0) =2+0+2 \times(0)^{2}-0^{3} \\ \Rightarrow p(0) =2 \\ p(1) =2+1+2(1)^{2}-1^{3} \\ =2+1+2-1 \\ \Rightarrow p(1) =4\\ P(2)=2+2+2 \times 2^{2}-2^{3} \\ =2+2+8-8 \\ \Rightarrow p(2) =4
p(0)=2,p(1)=4,p(2)=4
2(iii): p(x)=x^{3}
Solution: p(x)=x^{3} \\ p(0)=0^{3}=0 \\ p(1)=1^{3}=1 \\ p(2)=2^{3}=8
p(0)=0,p(1)=1,p(2)=8
2(iv):p(x)=(x-1)(x+1)
Solution: p(x)=x^{2}-1 \\ p(0)=0^{2}-1=-1 \\ p(1)=1^{2}-1=0 \\ p(2)=2^{2}-1=4-1=3
p(0)=-1,p(1)=0,p(2)=3

Zeroes of Polynomial Class 9

Example:3.सत्यापन कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं:
3(i) p(x)=3 x+1; x=-\frac{1}{3}
Solution: p(x)=3 x+1 ; x=-\frac{1}{3} \\ p(-\frac{1}{3})=3(-\frac{1}{3})+1 \\ =-1+1 \\ p(-\frac{1}{3})=0 \\ x=-\frac{1}{3} शून्यक है।
3(ii): p(x)=5 x-\pi ; x=\frac{4}{5}
Solution: p(x)=5 x-\pi \\ P\left(\frac{4}{5}\right)=5\left(\frac{4}{5}\right)-\pi \\ x=\frac{4}{5} शून्यक नहीं है।

p\left(\frac{4}{5}\right)=4-\pi \\ P\left(\frac{4}{5}\right) \neq 0
3(iii): p(x)=x^{2}-1 ; x=1,-1
Solution: p(x)=x^{2}-1 ; x=1,-1 \\ p(1)=1^{2}-1=1-1=0 \\ p(-1)=(-1)^{2}-1=1-1=0
x=1,-1 शून्यक हैं।
3(iv): p(x)=(x+1)(x-2) ; x=-1,2
Solution: p(x)=(x+1)(x-2) ; x=-1,2\\ P(-1)=(-1+1)(-1-2)\\ =0(-3)\\ \Rightarrow p(-1)=0\\ p(-2)=(2+1)(2-2)\\ =3(0)\\ \Rightarrow p(2)=0 \\ p(-1)=0, p(2)=0
x=-1,2 शून्यक हैं।
3(v): p(x)=x^{2}; x=0
Solution: p(x)=x^{2} ; x=0\\ p(0)=0^{2}=0
x=0 शून्यक है।
3(vi): p(x)=l x+m ; x=-\frac{m}{l}
Solution: p(x)=l x+m ; x=-\frac{m}{l}\\ P\left(-\frac{m}{l}\right)=l \times\left(-\frac{m}{l}\right)+m\\ \Rightarrow p\left(-\frac{m}{l}\right)=-m+m=0 \\ x=-\frac{m}{l} शून्यक है।
3(vii): p(x)=3 x^{2}-1 ; x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}
Solution: p(x)=3 x^{2}-1 ; x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\\ p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =3\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}-1\\ =3 \times \frac{1}{3}-1\\ =1-1\\ \Rightarrow P\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =0 \\ p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=3\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}-1\\ =3 \times \frac{14}{3}-1\\ =4-1\\ \Rightarrow p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=3, p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \neq 0 \\ x=-\frac{1}{\sqrt{3}} शून्यक है।
x=\frac{2}{\sqrt{3}} शून्यक नहीं है।

3(viii) p(x)^{x}=2 x+1, x=\frac{1}{2}

Solution: p(x)=2 x+1 ; x=\frac{1}{2}\\ p\left(\frac{1}{2}\right)=2 \times \frac{1}{2}+1\\ =1+1\\ \Rightarrow p\left(\frac{1}{2}\right)=2, p\left(\frac{1}{2}\right) \neq 0

x=\frac{1}{2} शून्यक नहीं है।
Example:4.निम्निलिखित स्थितियों में प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए:
4(i):p(x)=x+5
Solution:p(x)=x+5
शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण x+5=0 को हल करना
x=-5
अतः x=-5 बहुपद का शून्यक है।
4(ii):p(x)=x-5
Solution:p(x) =x-5
शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण x-5=0 को हल करना
x-5=0
x=5
अतः x=5 बहुपद का शून्यक है।
4(iii):p(x)=2x+5
Solution:p(x)=2x+5 
शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण 2x+5=0 को हल करना

\Rightarrow 2 x+5=0 \\ \Rightarrow 2 x=-5 \\ \Rightarrow x=-\frac{5}{2}
अतः x=-\frac{5}{2} बहुपद का शून्यक है।
4(iv):p(x)=3x-2
Solution:p(x)=3x-2
शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण 3x-2=0 को हल करना

\Rightarrow 3 x-2=6 \\ \Rightarrow 3 x=2 \\ \Rightarrow x=\frac{2}{3}
अतः x=\frac{2}{3} बहुपद का शून्यक है।
4(v):p(x)=3x
Solution:p(x)=3x
शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण 3x=0 को हल करना
x=0
अतः x=0 बहुपद का शून्यक है।
4(vi):p(x)=ax; a \neq 0
Solution:p(x)=ax; a \neq 0
शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण ax=0 को हल करना
\Rightarrow  ax=0
\Rightarrow  x=0
अतः x=0 बहुपद का शून्यक है।
4(vi):p(x)=cx+d; c \neq 0

Solution:- p(x)=cx+d; c \neq 0
शून्यक ज्ञात करने का अर्थ है बहुपद समीकरण cx+d=0 को हल करना

cx+d=0 \Rightarrow x=-\frac{d}{c}
अतः बहुपद का शून्यक है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बहुपद के शून्यक कक्षा 9 (Zeroes of Polynomial Class 9),हिन्दी में बहुपद के शून्यक (Zeros of Polynomial in hindi) को समझ सकते हैं।

3.बहुपद के शून्यक कक्षा 9 पर आधारित सवाल (Questions Based on Zeroes of Polynomial Class 9):

Zeroes of Polynomial Class 9

(1.)जाँच कीजिये कि बहुपद के शून्यक हैं:
(i)p(x)=x+3;x=-3
(ii)p(x)=2x^{2}-4;x=2,-2
(2.)निम्न बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए:
(i)p(x)=3x+5=0
(ii)9x+3=0
उत्तर:1(i)शून्यक है। 1(ii) दोनों ही बहुपद के शून्यक हैं।

2(i)x=-\frac{5}{3} (ii)x=-\frac{1}{3}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बहुपद के शून्यक कक्षा 9 (Zeroes of Polynomial Class 9),हिन्दी में बहुपद के शून्यक (Zeros of Polynomial in hindi) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बहुपद के शून्यक कक्षा 9 (Zeroes of Polynomial Class 9),हिन्दी में बहुपद के शून्यक (Zeros of Polynomial in hindi) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बहुपद के शून्यक कक्षा 9 (Zeroes of Polynomial Class 9) में अचर बहुपद,रैखिक बहुपद
और द्विघात बहुपद के बारे में अध्ययन करेंगे।बहुपद का मान तथा शून्यक ज्ञात करना सीखेंगे।