1.गतिविज्ञान में कार्य और ऊर्जा (Work and Energy in Dynamics),कार्य,ऊर्जा,शक्ति और आवेग (Work Power Energy and Impulse):

Work and Energy in Dynamics

गतिविज्ञान में कार्य और ऊर्जा (Work and Energy in Dynamics) के इस आर्टिकल में कार्य,शक्ति,ऊर्जा तथा आवेग पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.गतिविज्ञान में कार्य और ऊर्जा के साधित उदाहरण (Work and Energy in Dynamics Solved Examples):

Example:1.8 क्विंटल भार तथा 24 मीटर/सेकण्ड चाल से चलनेवाली एक मोटरगाड़ी ब्रेक लगने के पश्चात 36 मीटर चलने पर रुक जाती है।ब्रेक द्वारा लगाए गए प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात करो।
(A moter car of weight 8 quintals and moving at the speed of 24 m/sec is stopped at a distance of 36 mts when brakes are applied.Find the work done by the resistance force due to brakes.)
Solution:माना कि प्रतिरोधी बल एक समान है तथा इससे उत्पन्न मन्दन r है तब u=प्रारम्भिक वेग=24 मीटर/सेकण्ड, v=अन्तिम वेग=0 m/sec तथा s=मोटरगाड़ी द्वारा चली गई दूरी=36 मीटर

v^2=u^2+2fs \\ \Rightarrow 0=24^2-2 r \times 36 \\ \Rightarrow r=\frac{576}{2 \times 36}=8 \mathrm{~m} / \mathrm{sec}^2
मोटरगाड़ी का भार=8 क्विंटल=800 kg
प्रतिरोधी बल mf=800×8=6400 न्यूटन
अतः प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य=6400×36 जूल

=\frac{6400 \times 36}{g} \\ =\frac{6400 \times 36}{9.8}
=23510 किलोग्राम-मीटर (लगभग)
Example:2.किसी कण पर पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल कण की पृथ्वी के केन्द्र से दूरी के व्युत्क्रम वर्गानुपाती है।एक कण जिसका पृथ्वी की सतह पर w भार है,सतह पर 5a ऊँचाई से गिरता है।सिद्ध कीजिए की पृथ्वी के आकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य \frac{5}{6 a} w है,जहाँ a पृथ्वी की त्रिज्या है।
(The earth’s attraction on a particle varies inversely as the square of its distance from the earth’s center.A particle whose weight on the surface of the earth is w,falls to the surface of the earth from a height 5a,above it.Show that the work done by the earth’s attraction is \frac{5}{6 a} w ,where a is the radius of the earth.)
Solution:पृथ्वी के केन्द्र से कण की दूरी=a+5a=6a
पृथ्वी के आकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य =-\int_{6 a}^a \frac{w}{x^2} d x \\ =\left[\frac{w}{x}\right]_{6 a}^a \\ =w\left[\frac{1}{a}-\frac{1}{6 a}\right] \\ =w\left[\frac{6-1}{6 a}\right] \\=\frac{5 w}{6 a}
Example:3.300 टन कुल भार वाली रेलगाड़ी 100 में 1 झुकाव वाले किसी तल पर चलाई जाती है।जबकि उसकी चाल 12 मील/घंटा हो जाती है तो उस पर 1000 अश्वशक्ति लगती है।सिद्ध करो कि उस समय गाड़ी की त्वरण 1.168 फुट/वर्गसेमी है।
(A train of mass 300 tons is drawn up an incline of 1 in 100.When its speed becomes 12 miles/hr,the H.P. working on it is 1000.Show that the acceleration of the train at that time is 1.68 ft/square sec.)
Solution:v=12 मील/घण्टा=\frac{12 \times 760 \times 3}{60 \times 60} \\ =17.6 \mathrm{ft} / \mathrm{sec} \\ P V =550 \times \mathrm{H} \\ \Rightarrow P =\frac{500 \times 1000}{17.6} \\ \Rightarrow P=31250 पाउण्ड भार
रेलगाड़ी की गति की समीकरण
pg-m g \cdot \sin \theta=m f \\ 31250 \times 32-300 \times 2240 \times \frac{1}{100} \times 32 =300 \times 2240 f \\ \Rightarrow 1000000-215040=672000 f \\ \Rightarrow f=\frac{784960}{672000} \\ \Rightarrow f \approx 1.168 फुट/वर्ग सेकण्ड
Example:4.एक इंजन अपनी पूरी शक्ति लगाकर एक रेलगाड़ी को n में 1 झुकाव वाले नत समतल के ऊपर समान चाल v से खींच रहा है।गति में घर्षण प्रतिरोध गाड़ी के वजन का \frac{1}{m} भाग है।सिद्ध करो कि उसी प्रतिरोध के विरूद्ध क्षैतिज तल पर इंजिन द्वारा रेलगाड़ी में जनित अधिकतम वेग होगा v\left(1+\frac{m}{n}\right)
(An engine exerting its full horse-power draws a train up a slope of 1 in n with constant speed v,the frictional resistance to motion being \frac{1}{m} of the weight of the train.Prove that the greatest speed with which the engine would draw the train along a level track against the same resistance is v\left(1+\frac{m}{n}\right))
Solution:माना रेलगाड़ी का भार W है।
R=घर्षण प्रतिरोध=\frac{w}{m}
G=तल के नीचे की ओर भार का घटक =\frac{w}{n}
F=तल पर कार्यरत कुल बल =\frac{w}{m}+\frac{w}{n} \\ =W\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right) \\ H=\frac{F V}{550} =\frac{W V}{550}\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)
तल पर H=\frac{R V}{550}=\frac{W V}{500 m} \\ \therefore \frac{W V}{550}\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right) =\frac{W v}{500 m} \\ \Rightarrow V =\left(1+\frac{m}{n}\right) v

Work and Energy in Dynamics

Example:5.एक प्रत्यास्थ धागे के अन्दर तनाव T_1 है जबकि लम्बाई a_1 है तथा तनाव T_2 जबकि उसकी लम्बाई a_2 है।सिद्ध कीजिए कि धागे की स्वाभाविक लम्बाई \frac{\left(a_2 T_1-a_1 T_2\right)}{T_1-T_2} है तथा लम्बाई से लम्बाई तक विस्तार करने में किया गया कार्य निम्न होगा:
(A uniform elastic string has length a_1 when the tension is T_1 and  a length a_2 when the tension is T_2.Show that its natural length is \frac{\left(a_2 T_1-a_1 T_2\right)}{T_1-T_2} and the amount of work done is stretching it from the natural length to a length a_1+a_2 is \frac{\left(a_1 T_1-a_2 T_2\right)^2}{2\left(a_1-a_2\right)\left(T_1-T_2\right)})
Solution:माना प्रत्यास्थ गुणांक \lambda है तब हुक्स नियम से

T =\lambda \frac{x}{l} \\ \Rightarrow \lambda =\frac{l}{x} T
यदि डोरी की स्वाभाविक लम्बाई l हो तो:

\lambda=\frac{l T_1}{a_1-l}=\frac{l T_2}{a_2-l} \\ \Rightarrow \frac{l T_1}{a_1-l}=\frac{l T_2}{a_2-l} \\ \Rightarrow T_1\left(a_2-l\right)=T_2\left(a_1-l\right) \\ \Rightarrow T_1 a_2-T_1 l=T_2 a_1-T_2 l \\ \Rightarrow T_1 a_2-T_2 a_1=T_1 l-T_2 l \\ \Rightarrow l\left(T_1-T_2\right)=T_1 a_2-T_2 a_1 \\ \Rightarrow l=\frac{T_1 a_2-T_2 a_1}{T_1-T_2} \\ a_1+a_2 लम्बाई में डोरी में विस्तार

a_1+a_2-l \\ = a_1+a_2-\frac{T_1 a_2-T_2 a_1}{T_1-T_2} \\ = \frac{a_1 T_1-a_1 T_2+a_2 T_1-a_2 T_2-T_1 a_2+T_2 a_1}{T_1-T_2} \\ = \frac{a_1 T_1-a_2 T_2}{T_1-T_2}
अतः किया गया कार्य

=\int_0^{\frac{a_1 T_1-a_2 T_2}{T_1-T_2}} \frac{\lambda x}{l} d x \\ =\frac{\lambda}{2 l} \left[x^2 \right]_0^{\frac{a_1 T_1-a_2 T_2}{T_1-T_2}} \\ =\frac{1}{2 l} \times \frac{l T_1}{a_1-l} \left[\left(\frac{a_1 T_1-a_2 T_2}{T_1-T_2}\right)^2-0^2\right] \\ =\frac{T_1}{2\left[a_1-\frac{\left(a_{2}T_{1}-a_2 T_2\right)}{T_1-T_2} \right]} \times\left(\frac{a_1 T_1-a_2 T_2}{T_1-T_2}\right)^2 \\ =\frac{T_1\left(T_1-T_2\right)}{2\left(a_1 T_1-a_1 T_2-a_2 T_1+a_1 T_2\right)} \times\left(\frac{a_1 T_1-a_2 T_2}{T_1-T_2}\right)^2 \\ =\frac{T_1}{2 T_1 \left(a_1-a_2\right)^2} \times \frac{\left(a_1 T_1-a_2 T_2\right)^2}{T_1-T_2} \\ =\frac{\left(a_1 T_1-a_2 T_2\right)^2}{2\left(a_1-a_2\right)\left(T_1-T_2\right)}
Example:6.एक प्रत्यास्थ डोरी की स्वाभाविक लम्बाई तथा प्रत्यास्था मापांक है।सिद्ध करो कि उनके तनाव T_1 से T_2 तक किया गया कार्य \frac{l}{2 \lambda}\left(T_2^2-T_1^2\right) है।
(The natural length of an elastic string is l and its modulus of elasticity be.Prove that the work done in scratching it from tension T_1 to tension T_2 is \frac{l}{2 \lambda}\left(T_2^2-T_1^2\right).)
Solution:माना T_1 तनाव होने पर प्रत्यास्थ डोरी में विस्तार x_1 तथा T_2 तनाव होने पर विस्तार x_2 है तब

T_1=\lambda \frac{x_1}{l} \Rightarrow x_1=\frac{l T_1}{\lambda} \\ T_2=\lambda \frac{x_2}{l} \Rightarrow x_2=\frac{l T_2}{\lambda}
अतः T_1 से T_2 तनाव में किया गया कार्य 

= \int_{\frac{l T_2}{\lambda}}^{\frac{l T_1}{\lambda}} \frac{\lambda x}{l} d x \\ = \frac{\lambda}{2 l} \left[x^2\right]_{\frac{l T_1}{\lambda}}^{\frac{l T_2}{\lambda}} \\ = \frac{\lambda}{2 l}\left[\frac{l^2 T_2^2}{\lambda^2}-\frac{l^2 T_1^2}{\lambda^2}\right] \\ =\frac{\lambda}{2 l} \times \frac{l^2}{\lambda^2} \left(T_2^2-T_1^2\right) \\ = \frac{l}{2 \lambda}\left(T_2^2-T_1^2\right)
Example:7.एक साइकिल चालक तथा साइकिल दोनों का द्रव्यमान M पौंड है।यदि चालक बिना पैडल दिए m में 1 झुकाव के नत समतल के नीचे की दिशा में v फुट/सेकण्ड के समान वेग से चल रहा है, तो सिद्ध करो कि उसी वेग से n में 1 झुकाव के तल पर उसी वेग से ऊपर की ओर जाने के लिए उसे m\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right) \frac{v}{530} अश्वशक्ति पर कार्य करना चाहिए।
(A cyclist and his machine together are of mass M lbs.If he rides without pedalling down an incline of 1 in m with a uniform speed of v ft/sec.Show that to go up an incline of 1 in n at the same rate, he must work at m\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right) \frac{v}{530})
Solution:चालक तथा साइकिल दोनों का द्रव्यमान=M lbs
बिना पैडल दिए प्रतिरोध=\frac{M}{m}
पैडल देने पर प्रतिरोध=\frac{M}{n}
F=तल के नीचे कुल बल=M\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right) \\ H =\frac{F V}{550} \\ \Rightarrow H =M\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right) \frac{v}{550}
Example:8.M पाउंड संहति के किसी पिण्ड पर पाउंड भार का एक अचर बल ऊपर की ओर उर्ध्वाधर दिशा में निश्चित समय तक कार्य करता है तथा फिर वह कार्य करना बंद कर देता है।यदि पिण्ड रवाना होने के पश्चात कुल t सेकण्ड में अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने के लिए ऊपर की ओर चलता रहता है तो सिद्ध करो कि P पाउंड भार का बल (P-M) \frac{g t}{550} की अधिकतम अश्वशक्ति उत्पन्न करेगा।
(A constant force P lbs is applied vertically upwards to a body of mass M lbs for a certain time.It then ceases to act and the body continues to move upwards to reach its greatest height in a total time t seconds from the commencement of the motion.Prove that the greatest H.P. developed by the force of P lbs wt is (P-M) \frac{g t}{550})
Solution:अधिकतम ऊँचाई पर v=0
v=u+g t \Rightarrow 0=u-g t \\ \Rightarrow u=g t
M संहति के बल पर कार्यरत ऊपर की ओर बल=P
परिणामी बल=P-M
(P-M) u=550 \times H \\ H=\frac{(P-M) \times g t}{550}
Example:9.H अश्वशक्ति का एक इंजन M टन द्रव्यमान की एक रेलगाड़ी को m में 1 झुकाव के समतल के ऊपर खींचता है।गुरुत्वाकर्षण के अतिरिक्त गति में प्रतिरोध n पौंड भार प्रति टन है।सिद्ध करो कि अधिकतम प्राप्य चाल \frac{550 \mathrm{Hm}}{M(2240+\mathrm{mn})} फुट/सेकण्ड है।
(An engine of horse power H draws a train of mass M tons up an incline of 1 in m, the resistance to motion,apart from gravity,being n lbs wt per ton.Show that the maximum speed attainable is \frac{550 \mathrm{Hm}}{M(2240+\mathrm{mn})} ft/sec)
Solution:रेल की गति में प्रतिरोध=Mn
साथ ही तल के नीचे की दिशा में भार का वियोजन=M \times 2240 \times \frac{1}{m}=\frac{2240 M}{m}
गति में कुल प्रतिरोध=2240 \frac{M}{\mathrm{m}}+Mn \\ =\frac{M}{m}(2240+m n)
रेल की चाल अधिकतम होगी तब इसका मंदन शून्य होगा।इस स्थिति में इंजन के द्वारा लगाया गया बल तथा गति के प्रतिरोध बल दोनों बराबर होंगे

P V=550 \times H \\ \Rightarrow v=\frac{550 \times H}{P} \\ \Rightarrow V=\frac{550 \times+1}{\frac{M}{m}(2240+m n)} \\ \Rightarrow v=\frac{550 Hm}{M(2240+mn)}
Example:10.M पौंड संहति का एक पिण्ड v फुट/सेकण्ड की चाल से रवाना होता है।यह पिण्ड H अश्वशक्ति से कार्य करने वाले किसी बल के अधीन चलता है।सिद्ध करो कि t समय पर v चाल को ज्ञात करने के लिए समीकरण होगा
(A body of mass M lbs starts with speed of v ft/sec.The body moves under the action of a force which does work at rate of H horse-power. Prove that the equation which determine the speed at a time t is)

M v \cdot \frac{d v}{d t}=550gH
Solution: P \times V=550 \times H \\ P=\frac{550 \times H}{V}
गति का समीकरण

M f=P g \Rightarrow P=\frac{M}{g} f \\ \frac{550 \times H}{v}=\frac{M}{g} \frac{d v}{d t} \left[\therefore f=\frac{d v}{d t}\right] \\ \Rightarrow M v \frac{d v}{d t}=550gH
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गतिविज्ञान में कार्य और ऊर्जा (Work and Energy in Dynamics),कार्य,ऊर्जा,शक्ति और आवेग (Work Power Energy and Impulse) को समझ सकते हैं।

3.गतिविज्ञान में कार्य और ऊर्जा पर आधारित सवाल (Questions Based on Work and Energy in Dynamics):

Work and Energy in Dynamics

(1.)150 टन संहति की एक रेलगाड़ी 400 अश्वशक्ति के इंजन द्वारा खींची जाती है जिसका इंजन सहित भार 150 टन है,120 में 1 झुकाव वाले पर वेग 30 मील/घण्टा से चढ़ रही है।औसत घर्षण प्रति पाउण्ड प्रति टन में ज्ञात करो।
(An engine working at the rate of 400 H.P. is pulling a train which the engine weighs 150 tons up an incline of 1 in 120 at a steady speed of 30 mph.Find the average frictional resistance expressed in lbs wt per ton.)
(2.)एक कार 750 किग्रा की एक पहाड़ी पर 30 में 1 झुकाव पर दौड़ रही है जिसकी गति 36 किमी/घण्टा है,प्रतिरोध 40 किग्रा के समान है।1 सेकण्ड में किया गया कार्य ज्ञात करो।
(A car of mass 750 kg is running up a hill of 1 in 30 at a steady of 36 km/hr, the friction is equal to the weight of 40 kg.Find the work done in 1 second.)
उत्तर (Answers):(1.) 14 \frac{2}{3} lbs wt perton

(2.) 650 किग्रा-मीटर
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गतिविज्ञान में कार्य और ऊर्जा (Work and Energy in Dynamics),कार्य,ऊर्जा,शक्ति और आवेग (Work Power Energy and Impulse) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गतिविज्ञान में कार्य और ऊर्जा (Frequently Asked Questions Related to Work and Energy in Dynamics),कार्य,ऊर्जा,शक्ति और आवेग (Work Power Energy and Impulse) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गतिविज्ञान में कार्य और ऊर्जा (Work and Energy in Dynamics) के इस आर्टिकल में
कार्य,शक्ति,ऊर्जा तथा आवेग पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।