What is linear differential equation?

1.रैखिक अवकल समीकरण क्या है? (What is linear differential equation?)-

linear differential equation

• रैखिक अवकल समीकरण (linear differential equation) वह अवकल समीकरण कहलाती है जिस अवकल समीकरण में आश्रित चर तथा उसके अवकलज प्रथम घात में हो।इस प्रकार की अवकल समीकरण प्रथम क्रम की रैखिक अवकल समीकरण (linear differential equation) कहलाती है।
• इसका व्यापक रूप है-

\frac{d y}{d x}+p y=Q....(1)

• जहां P तथा Q स्वतन्त्र चर x के फलन या अचर हैं।यदि y स्वतन्त्र तथा x को आश्रित चर लें तो इसका रूप

\frac{d x}{d y}+p_{1} y=Q_{1} \quad \ldots \cdots(2)
होता है, जहां p_{1} ,Q_{1}  के फलन या अचर हैं।
रैखिक अवकल समीकरण (1) का हल समीकरण (1) के दोनों पक्षों को e^{\int p d x} से गुणा करने पर-

 e^{\int p d x}\left[\frac{d y}{d x}+p y\right]=e^{\int p d x} Q \\ \Rightarrow  \frac{d}{d x}\left[y e^{\int p d x}\right]=e^{\int p d x} Q
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-
y \cdot e^{\int p d x}=\int Q e^{\int p d x} d y+c जहां C समाकलन अचर है।

\Rightarrow y=e^{-\int p d x} \cdot\left\{Q e^{\int p d x} d x+c\right\}
जो कि समीकरण (1) e^{\int p d x} का अभीष्ट हल है।

• टिप्पणी:-
  (1.) e^{\int p d x} समीकरण (1) का समाकलन गुणक (Integrating Factor) कहलाता है। जिसे संक्षेप में (I.F.) कहते हैं।
  (2.)अवकल समीकरण को हल करने से पूर्व अवकलज का गुणांक सदैव इकाई होना चाहिए।
  (3.)अवकल समीकरण \frac{d x}{d y}+p_{1} y=Q_{1} में समाकलन गुणक लेना होता है तथा इसका हल 

x=e^{-\int p_{1} d y}\left\{\int Q e^{\int p_{1} d y} d y+c\right\}

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2.उदाहरण सहित रैखिक अवकल समीकरण क्या है? (What is linear differential equation with example?),रैखिक अवकल समीकरण के हल (Solution of Linear Differential Equation)-

निम्नलिखित रैखिक अवकल समीकरणों (linear differential equation) को हल कीजिए:
Example-1.\frac{d y}{d x}+2 y=4 x
Solution–\frac{d y}{d x}+2 y=4 x

P=2,Q=4x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\ =e^{\int 2 d x} \\ =e^{2 x}
अतः अवकल समीकरण का हल-

y \cdot(I.F) =\int Q(x) \cdot(I.F) d x+C \\ \Rightarrow y e^{2 x} =\int e^{2 x} \cdot 4 x d x+c \\ \Rightarrow y e^{2 x}=4 x \int e^{2 x} d x-4 \int \left[\frac{d}{dx} (x) \int e^{2 x} d x\right] d x \\ \Rightarrow y e^{2 x}=4 x.\frac{e^{2 x}}{2}-4 \cdot \int \frac{e^{2 x}}{2} d x \\ \Rightarrow y e^{2 x}=2 x.e^{2 x}-2.\frac{e^{2 x}}{2} +c \\ \Rightarrow y e^{2 x}=2 x e^{2 x}-e^{2 x}+c \\ \Rightarrow y=2 x-1+c{e}^{-2 x}
Example-2.\cos ^{2} x\left(\frac{d y}{d x}\right)+y=\tan x
Solution–\cos ^{2} x\left(\frac{d y}{d x}\right)+y=\tan x \\ \frac{d y}{d x}+\frac{y}{\cos ^{2} x}=\frac{\tan x}{\cos ^{2} x} \\ \frac{d y}{d x}+y \sec ^{2} x=\sec ^{2} x \tan x \\ P=\sec ^{2} x, Q=\sec ^{2} x \tan x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\= e^{\int \sec ^{2} x d x} \\= e^{\tan x} d x
अतः अवकल समीकरण का हल-

y \cdot(I.F)=\int Q(x) \cdot(I.F) d x+c \\ y e^{\tan x}=\int e^{\tan x}. \sec ^{2} x \tan x d x+c \\ Put \tan x=t \Rightarrow \sec ^{2} x d x=d t \\ \Rightarrow y e^{\tan x}=t \int e^{t} d t+c \\ \Rightarrow y e^{\tan x}=t \int e^{t} d t-\int\left[\frac{d}{dt}(t) \int e^{t} d t\right] d t+c \\ \Rightarrow y e^{\tan x}=t e^{t}-\int e^{t} d t+c \\ \Rightarrow y e^{\tan x}=t e^{t}-e^{t}+c \\ \Rightarrow y e^{\tan x}=e^{\tan x} \cdot \tan x-e^{\tan x}+c \\ \Rightarrow y=\tan x-1+c \bar{e}^{\tan x}
Example-3.\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 y x=4 x^{2}
Solution–\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 y x=4 x^{2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2 y x}{1+x^{2}}=\frac{4 x^{2}}{1+x^{2}} \\ P=\frac{2 x}{1+x^{2}}, Q=\frac{4 x^{2}}{1+x^{2}}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\ =e^{\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x} \\ put 1+x^{2}=t \Rightarrow 2 x d x=d t \\ \Rightarrow I.F=e^{\int \frac {1}{t} d t} \\ \Rightarrow I.F=e^{\log t} \\ \Rightarrow I.F \cdot=t \\ \Rightarrow I.F=1+x^{2}
अतः अवकल समीकरण का हल-

y \cdot(I.F)=\int Q(x) \cdot(I.F) d x+c \\ \Rightarrow y \left(1+x^{2}\right)=\int \frac{4 x^{2}}{1+x^{2}}(1+x^{2})dx \\ \Rightarrow y\left(1+x^{2}\right)=\int 4 x^{2} d x+c \\ \Rightarrow y\left(1+x^{2}\right)=\frac{4 x^{3}}{3}+c \\ \Rightarrow y=\frac{4 x^{3}}{3\left(1+x^{2}\right)}+\frac{c}{1+x^{2}} 
Example-4.\left(2 x-10 y^{3}\right) \frac{d y}{d x}+y=0
Solution–\left(2 x-10 y^{3}\right) \frac{d y}{d x}+y=0 \\ \Rightarrow y \frac{d x}{d y}+2 x-10 y^{3}=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{d y}+\frac{2 x}{y}-10 y^{2}=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{d y}+\frac{2 x}{y}=10 y^{2} \\ p=\frac{2}{y}, Q=10 y^{2}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p \cdot d y} \\ =e^{\int \frac{2}{y} d y} \\ =e^{2 \log y} \\ I \cdot F =y^{2}
अतः समीकरण का हल-

(I.F)=\int Q(y) \cdot(I.F) dy+C \\ \Rightarrow x \cdot y^{2}=\int 10^{2} \cdot y^{2} d y+c \\ \Rightarrow x y^{2}=10 \int y^{5} d y+c \\ \Rightarrow x y^{2}=10 \frac{y^{5}}{5}+c \\ \Rightarrow x y^{2}=2 y^{5}+c \\ \Rightarrow x=2 y^{3}+c y^{-2}
Example-5.\frac{d y}{d x}+y \cot x=\sin x
Solution–\frac{d y}{d x}+y \cot x=\sin x \\ P=\cot x, Q=\sin x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\ =e^{\int \cot x d x} \\ =e^{\log (\sin x)} \\ I \cdot F =\sin x
अतः अवकल समीकरण का हल-

y \cdot(I\cdot F)=\int Q(x) \cdot(I.F) d x+C \\ \Rightarrow y \sin x=\int(\sin x)(\sin x) d x+c \\ \Rightarrow y \sin x=\int \sin ^{2} x d x+c \\ \Rightarrow y \sin x=\int \frac{1-\cos 2 x}{2} d x+c \\ \Rightarrow y \sin x=\frac{1}{2} \int d x-\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x+c \\ \Rightarrow y \sin x=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sin 2 x}{2}+c \\ \Rightarrow y \sin x=\frac{1}{2} x- \frac{1}{4} \sin 2 x+c

linear differential equation

Example-6.\left(1-x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=x \sqrt{1-x^{2}}
Solution–\left(1-x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=x \sqrt{1-x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2 x y}{1-x^{2}}=\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{1-x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\left(\frac{2 x}{1-x^{2}}\right) y=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ P=\frac{2 x}{1-x^{2}}, Q=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\ =e^{\frac{2 x}{1-x^{2}} d x} \\ Put 1-x^{2}=t \Rightarrow(-2 x) d x=d t \\ \Rightarrow I.F=e^{-\int \frac{1}{t}}d t \\ \Rightarrow I \cdot F=e^{-\log t} \\ \Rightarrow I F \cdot=e^{\log (t)^{-1}} \\ \Rightarrow I.F=\frac{1}{t} \\ \Rightarrow I.F=\frac{1}{1-x^{2}}
अतः अवकल समीकरण का हल-

y \cdot(I \cdot F)=\int Q(x)-(I.F) dx+c \\ y\left(1-x^{2}\right)=\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \frac{1}{\left(1-x^{2}\right)} d x+c \\ \frac{y}{1-x^{2}}=\int \frac{x}{\left(1-x^{2}\right)^{3 / 2}} d x+c \\ put1-x^{2}=t \Rightarrow-2 x d x=d t \\ \Rightarrow x d x=\frac{d t}{2} \\ \Rightarrow \frac{y}{1-x^{2}}=\int \frac{1}{t^{3 / 2}}\left(-\frac{d t}{2}\right)+c \\ \Rightarrow \frac{y}{1-x^{2}}=-\frac{1}{2} \int t^{-3 / 2} d t+c \\ \Rightarrow \frac{y}{1-x^{2}}=-\frac{1}{2} \frac{t^{-3 / 2+1}}{-3 / 2+1}+c \\ \Rightarrow \frac{y}{1-x^{2}}=-\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{1}\right) t^{-1 / 2}+c \\ \Rightarrow \frac{y}{1-x^{2}}=\frac{1}{\sqrt{t}}+c \\ \Rightarrow \frac{y}{1-x^{2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+c \\ \Rightarrow y=\sqrt{1-x^{2}}+c\left(1-x^{2}\right)
Example-7.\sin ^{-1}\left[\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y\right]=x
Solution–\sin ^{-1}\left[\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y\right]=x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=\sin x \\ P=\frac{2}{x}, Q=\sin x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p d x} \\ =e^{\int \frac{2}{x} d x} \\ =e^{2 \log x} \\ =e^{\log x^{2}} \\ I.F =x^{2}
अतः अवकल समीकरण का हल-

y \cdot(I.F)=\int Q(x) \cdot(I\cdot F) d x+c \\ \Rightarrow y x^{2} =\int \sin x \cdot x^{2} d x+c \\ \Rightarrow y x^{2} =x^{2} \int \sin x d x-\int\left[\frac{d}{d x}\left(x^{2}\right) \int \sin x d x\right] d x+c \\ =-x^{2} \cos x+\int 2 x \cos x d x+c \\ =-x^{2} \cos x+2 x \int \cos x d x-2 \int\left[\frac{d}{d x}\left(x \right) \int \cos x d x\right] d x \\ \Rightarrow y x^{2}=-x^{2} \cos x+2 x \sin x-2 \int \sin x d x+c \\ \Rightarrow y x^{2}=-x^{2} \cos x+2 x \sin x+2 \cos x+c \\ \Rightarrow x^{2} y=c+\left(2-x^{2}\right) \cos x+2 x \sin x
Example-8.d x+x d y=e^{-y} \sec ^{2} y d y
Solution–d x+x d y=e^{-y} \sec ^{2} y d y \\ \Rightarrow d x+x d y-e^{-y} \sec ^{2} y d y=0 \\ \Rightarrow dx +\left(x-e^{-y} \sec ^{2} y\right) d y=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{d y}+x-e^{y} \sec ^{2} y=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{d y}+x=e^{-y} \sec ^{2} y \\ p =1,Q=e^{-y} \sec ^{2} y
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p \cdot d y} \\ =e^{\int {1} \cdot d y} \\ =e^{y}
अतः अवकल समीकरण का हल-

x \cdot(I.F)=\int Q(y) \cdot(I \cdot F) d y+c \\ \Rightarrow x \cdot e^{y}=\int e^{-y} \sec ^{2} y \cdot e^{y} d y+c \\ \Rightarrow x e^{y}=\int \sec ^{2} y d y +c \\ \Rightarrow x e^{y}=\tan y+c
Example-9.\left(1+y^{2}\right)+\left(x-e^{\tan ^{-1} y}\right) \frac{d y}{d x}=0
Solution–\left(1+y^{2}\right)+\left(x-e^{\tan ^{-1} y}\right) \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow\left(1+y^{2}\right) \frac{d x}{d y}+x-e^{\tan ^{-1} y}=0 \\ \Rightarrow  \frac{d x}{d y}+\frac{x}{1+y^{2}}-\frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}}=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{dy}+\frac{x}{1+y^{2}}=\frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} \\ P=\frac{1}{1+y^{2}}, Q=\frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{p d y} \\ =e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} d y} \\ =e^{\tan ^{-1} y}
अतः अवकल समीकरण का हल-

x(I.F) =\int Q(y) \cdot(I \cdot F) d y+C \\ \Rightarrow x e^{\tan ^{-1} y} =\int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} e^{\tan ^{-1} y} d y+c  \\ \Rightarrow x e^{\tan ^{-1} y} =\int \frac{(e^{\tan ^{-1})^{2} y}}{1+y^{2}} d y+c \\ put \tan ^{-1} y=t \Rightarrow\left(\frac{1}{1+y^{2}}\right) d y=d t \\ \Rightarrow x e^{\tan ^{-1} y}=\int (e^{t})^{2} d t+c \\ \Rightarrow x e^{\tan ^{-1} y}=\int e^{2t} d t+c \\ \Rightarrow x e^{\tan ^{-1} y}=\frac{e^{2t}}{2} dt+c \\ \Rightarrow x e^{\tan ^{-1} y}=\frac{e^{2{\tan ^{-1} y}}}{2} dt+c \\ \Rightarrow x=\frac{1}{2} e^{\tan ^{-1} y} +c e^{-\tan ^{-1} y}
Example-10.x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{2} \log x
Solution–x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{2} \log x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2 y}{x}=x \log x \\ p=\frac{2}{x},Q=x \log x
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int p \cdot d x}=e^{\int \frac{2}{x} d x} \\ =e^{\log x}=x^{2}
अतः अवकल समीकरण का हल-

y(I \cdot F)=\int Q(x) \cdot(I.F) d x+C \\ y x^{2}=\int x \log x \cdot x^{2}dx+c \\ \Rightarrow x^{2} y=\log x \int x^{3} d x-\int\left[\frac{d}{dx}(\log x) \int x^{3} d x\right] d x \\ \Rightarrow x^{2} y=\frac{1}{4} x^{4} \log x-\int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{4}}{4} d x+c \\ \Rightarrow x^{2} y=\frac{1}{4} x^{4} \log x-\frac{1}{4} \cdot \int x^{3} d x+c \\ \Rightarrow x^{2} y=\frac{1}{4} x^{4} \log x- \frac{1}{16} x^{4}+c \\ \Rightarrow 16 x^{2} y=4 x^{4} \log x-x^{4}+{c}_1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक अवकल समीकरण (linear differential equation) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक अवकल समीकरण की समस्याएं (linear differential equation Problems)-

निम्नलिखित रैखिक अवकल समीकरणों (linear differential equation) को हल कीजिए:

(1) \left(1-x^{2}\right) \frac{dy}{dx} -x y=1 \\ (2) \sec x\left(\frac{d y}{dx}\right)=y+\sin x \\ (3) x \log x \left(\frac{d y}{d x}\right)+y=2 \log x \\ (4)\left(1+y^{2}\right) d x=\left(\tan ^{-1} y-x\right) d y

Ans:-(1) y \sqrt{1-x^{2}}=\sin ^{-1} x+c \\ (2) y=c e^{\sin x}-(1+\sin x) \\ (3.) y=(\log x)+\frac{c}{\log x} \\ (4)x=(\tan^{-1}y-1)+c e^{-\tan^{-1}y}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक अवकल समीकरण (linear differential equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.रैखिक और गैर-रेखीय अवकल समीकरण क्या है? (What is linear and nonlinear differential equation?),रैखिक बनाम गैर-रेखीय अवकल समीकरण (Linear vs Nonlinear differential equation),गैर-रेखीय अवकल समीकरण (Non linear differential equation)-

linear differential equation

• रेखीय का अर्थ केवल यह है कि समीकरण में चर केवल एक की घात के साथ प्रकट होता है,तो x रैखिक है लेकिन x^{2} गैर-रैखिक है।साथ ही cos(x) जैसा कोई भी फ़ंक्शन गैर-रैखिक है।
• गणित और भौतिकी में, रैखिक का आम तौर पर “सरल” और गैर-रैखिक का अर्थ “जटिल” होता है।रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए सिद्धांत बहुत अच्छी तरह से विकसित किया गया है क्योंकि रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए पर्याप्त सरल हैं।
• गैर-रेखीय समीकरण आमतौर पर बिल्कुल हल नहीं किए जा सकते हैं और बहुत अधिक शोध के विषय हैं।एक रेखीय समीकरण को कैसे पहचानना है, इसका संक्षिप्त विवरण इस प्रकार है।
• याद रखें कि एक रेखा के लिए समीकरण है
  y = m x + b
• जहाँ m, b स्थिरांक हैं (m ढलान है, और b, y-अक्ष पर अन्त:खण्ड (intercept)है।एक अवकल समीकरण में, जब चर और उनके डेरिवेटिव केवल स्थिरांक से गुणा किए जाते हैं, तो समीकरण रैखिक होता है।चर और उनके डेरिवेटिव हमेशा एक साधारण पहली घात के रूप में दिखाई देने चाहिए।यहाँ कुछ उदाहरण हैं।
  x”+x = 0 रैखिक है
  x”+2x’+x = 0 रैखिक है
  x ‘+ 1 / x = 0 गैर-रैखिक है क्योंकि 1 / x कोई पहली घात नहीं है
  x’+ x^{2} =0 गैर-रैखिक है क्योंकि x^{2} पहली घात नहीं है
  x”+sin (x) = 0 गैर-रैखिक है क्योंकि sin(x) कोई पहली घात नहीं है
  x x ‘= 1 गैर-रेखीय है क्योंकि x’ एक स्थिरांक से गुणा नहीं होता है
• इसी तरह के नियम कई चर समस्याओं पर लागू होते हैं।
  x’+y’=0 रैखिक है
  x y’= 1 गैर-रैखिक है क्योंकि y’ एक स्थिर से गुणा नहीं है
• ध्यान दें, हालांकि, एक अपवाद समय चर t (चर जिसे हम अलग कर रहे हैं) के लिए बनाया गया है।हम समीकरण में t दिखाई देने वाले किसी भी गैर-रैखिक फ़ंक्शन को नहीं कर सकते हैं, लेकिन अभी भी एक समीकरण है जो x में रैखिक है।
  x”+2x’+x = sin (t) x में रैखिक है
  x’+ t^{2} x = 0 x में रैखिक है
  sin (t) x’+ cos (t) x = exp(t) x में रैखिक है।

5.आप रैखिक अवकल समीकरणों को कैसे हल करते हैं? (How do you solve linear differential equations?)-

• प्रतिस्थापित करो y = uv, और
  \frac{dy}{dx} = u  \frac{dv}{dx}+ v \frac{du}{dx}
  into
  dy/dx + P(x)y = Q(x)
  V से जुड़े भागों के फैक्टर करें।
• V पद को शून्य के बराबर रखें (यह u और x में एक अवकल समीकरण देता है जिसे अगले चरण में हल किया जा सकता है)
• u को ज्ञात करने के लिए चर के पृथक्करण का उपयोग करके हल करें।
  हमारे पास चरण 2 में प्राप्त समीकरण में वापस ले जाएं।
  v को ज्ञात करने के लिए हल करें।

6.पहले क्रम का रैखिक अवकल समीकरण क्या है? (What is linear differential equation of the first order?)-

linear differential equation

• प्रकार का एक अवकल समीकरण
  y’x + a(x) y = f(x),
• जहाँ a(x) और f(x) ,x के संतत फलन हैं, को पहले क्रम का एक रेखीय असमघात अवकल समीकरण कहा जाता है।हम पहले क्रम के रैखिक अवकल समीकरणों को हल करने के दो तरीकों पर विचार करते हैं:
• एक समाकलन गुणक का उपयोग करना (Integrating Factor)
  एक स्थिरांक की विचलन की विधि (Method of variation of a constant)

7.अचर गुणांक के साथ रैखिक अवकल समीकरण (Linear differential equation with constant coefficients)-

• अवलज का उच्चतम क्रम जो एक अवकलनीय समीकरण में दिखाई देता है वह समीकरण का क्रम है। शब्द b (x), जो अज्ञात फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव पर निर्भर नहीं करता है, कभी-कभी समीकरण का अचर पद (बीजीय समीकरणों के साथ सादृश्य द्वारा) कहा जाता है, तब भी जब यह पद एक गैर-स्थिर फ़ंक्शन है।
• यदि अचर पद शून्य फ़ंक्शन है, तो अवकल समीकरण को सजातीय कहा जाता है,क्योंकि यह अज्ञात फ़ंक्शन और इसके डेरिवेटिव में एक सजातीय बहुपद है।रेखीय अवकल समीकरण में, प्रतिस्थापित करके प्राप्त समीकरण, शून्य फ़ंक्शन द्वारा अचर पद संबंधित सजातीय समीकरण है।
• एक अवकल समीकरण में अचर गुणांक होते हैं यदि केवल अचर फ़ंक्शन संबंधित सजातीय समीकरण में गुणांक के रूप में दिखाई देते हैं।
  डिफरेंशियल इक्वेशन का हल एक ऐसा फंक्शन है जो इक्वेशन को संतुष्ट करता है।

8.रैखिक अवकल समीकरण और समाकलन गुणक (Linear differential equation and integrating factor)-

linear differential equation

• हम अवकल समीकरण के दोनों पक्षों को समाकलन गुणक (I.F.) से गुणा करते हैं जिसे I = e^{\int p d x} के रूप में परिभाषित किया गया है।

  \frac{dy}{dx} +py=Q \Leftrightarrow I\frac{dy}{dx} +Ipy=IQ \\ \Leftrightarrow \int(I\frac{dy}{dx} +Ipy)dx=\int IQxdx \\ \Leftrightarrow Iy=\int IQxdx  [since \frac{d}{dx}(Iy)=I\frac{dI}{dx}+Ipy गुणन नियम से]

• जैसा कि I.F. और Q दोनों ऐसे फलन हैं, जिनमें अधिकतर समस्याएं आपसे जुड़ी होने की संभावना है,आमतौर पर x, I.F. व Q(x) में पाया जा सकता है।
• उपर्युक्त उदाहरणों, प्रश्नों के उत्तर तथा सवालों को हल करने पर रैखिक अवकल समीकरण (linear differential equation) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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