1.कक्षा 9 में गोले का आयतन (Volume of Sphere in Class 9),गोले और अर्द्धगोले का आयतन (Volume of Sphere and Hemisphere):

Volume of Sphere in Class 9

कक्षा 9 में गोले का आयतन (Volume of Sphere in Class 9) में गोले द्वारा आकाश में घेरा गया स्थान उसका आयतन कहलाता है।एक गोले का आयतन गोले की त्रिज्या के घन का \frac{4}{3} \pi गुना होता है।अर्थात्
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3}
जहाँ r गोले की त्रिज्या है।
तथा अर्द्धगोले का आयतन= \frac{2}{3} \pi r^{3}
जहाँ r अर्द्धगोले की त्रिज्या है।
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2.कक्षा 9 में गोले का आयतन के साधित उदाहरण (Volume of Sphere in Class 9 Solved Examples):

जब तक अन्यथा न कहा जाए \pi=\frac{22}{7} लीजिए।

Example:1.उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है:
(i)7cm
Solution:r=7cm
गोले का आयतन= \frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \\ =\frac{4312}{3} \\ =1437 \frac{1}{3} \mathrm{~cm}^{3}
(ii)0.63m
Solution:r=0.63m
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.63 \times 0.63 \times 0.63 \\ =1.047816 \mathrm{~m}^{3} \\ \approx 1.05 \mathrm{~m}^{3}
Example:2.उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका व्यास निम्न है:
(i)r=\frac{28}{2}=14 cm
Solution:r=14cm
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 \\ =\frac{34496}{3} \\ =11498 \frac{2}{3} \mathrm{~cm}^{3}
(ii)r=\frac{0.21}{2}
Solution:r=\frac{0.21}{2}
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{0.21}{2} \times \frac{0.21}{2} \times \frac{0.21}{2} \\=\frac{0.814968}{168} \\=0.004851 \mathrm{~m}^{3}
Example:3.धातु की एक गेंद का व्यास 42cm है।यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति घनसेमी है तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
Solution:r=\frac{4.2}{2}=2.1 cm
गेंद का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2 \cdot 1 \\ =\frac{814.968}{21} \\ =38.808
गेंद का द्रव्यमान=आयतन × घनत्व
=38.808×8.9
=345.3912gm
≈345.39 g(लगभग)
Example:4.चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है।चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौनसी भिन्न है?
Solution:माना पृथ्वी का व्यास=d_{1} तथा त्रिज्या=r_{1} \\ d_{1}=2 r_{1}
चन्द्रमा का व्यास d_{2}=\frac{1}{4} d_{1} \\=\frac{1}{4} \times 2 r_{1}
चन्द्रमा की त्रिज्या r_{2}=\frac{d_{2}}{2} \\ =\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times 2 r_{1} \\ r_{2} =\frac{1}{4} r_{1}
चन्द्रमा का आयतन=\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3} \\ =\frac{4}{3} \pi \times \frac{1}{4} r_{1} \times \frac{1}{4} r_{1} \times \frac{1}{4} r_{1} \\ =\frac{1}{48} \pi r_{1}^{3}
पृथ्वी का आयतन=\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}\\  \frac{\text{चन्द्रमा का आयतन }}{\text{पृथ्वी का आयतन}}=\frac{\frac{1}{48} \pi r_{1}^{3}}{4 \pi r_{1}^{3}} \\ =\frac{1}{64}
Example:5.व्यास 10.5cm वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
Solution: r=\frac{10.5}{2} cm
अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन=\frac{2}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{10.5}{2} \times \frac{10.5}{2} \times \frac{10.5}{2} \\ =\frac{50935.5}{168} \\ =303.1875 \mathrm{~m}^{3} \\=\frac{303.1875}{1000} लीटर
=0.303 लीटर (लगभग)
Example:6.एक अर्धगोलाकार टंकी 1cm मोटी एक चादर (sheet) से बनी है।यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1m है तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिये।
Solution:आन्तरिक त्रिज्या r_{2}=1 m
बाह्य त्रिज्या r_{1}=1 m+0.01 m=1.01m
अर्धगोलाकार टंकी में लगे लोहे का आयतन=\frac{2 \pi}{3}\left(r_{1}^{3}-r_{2}^{3}\right) \\ =\frac{2}{3} \times \frac{22}{7}\left[(1.01)^{3}-(1)^{3}\right] \\ =\frac{44}{21} \times[1.030301-1] \\ =\frac{44}{21} \times 0.030301 \\= \frac{1.333244}{21} \\ =0.0634878 \\ \approx 0.06349 \mathrm{~m}^{3}(लगभग)
Example:7.उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 वर्गसेमी है।
Solution:गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=154

4 \pi r^{2}=154 \\ \Rightarrow 4 \times \frac{22}{7} \times r^{2}=154 \\ \Rightarrow r^{2}=\frac{154 \times 7}{22 \times 4} \\ \Rightarrow r=\sqrt{\frac{49}{4}} \\ \Rightarrow r=\frac{7}{2} \\ \Rightarrow r=3.5
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 3.5 \\ =\frac{539}{3}=179 \frac{2}{3} \mathrm{~cm}^{3}

Volume of Sphere in Class 9

Example:8.किसी भवन का गुबंद एक अर्धगोले के आकार का है।अन्दर से इसमें सफेदी कराने में 498.96 रुपये व्यय हुए।यदि सफेदी कराने की दर 2 रुपये प्रति वर्गमीटर है तो ज्ञात कीजिए:
(i) गुबंद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
Solution:सफेदी कराने का व्यय=498.96
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल × सफेदी कराने की दर=सफेदी कराने का व्यय

\Rightarrow 2 \pi r^{2} \times 2=498.96 \\ \Rightarrow 2 \pi r^{2} \times 2=488.96 \\ \Rightarrow r^{2}= \frac{498.96}{2}=249.48
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल= 249.48

2 \pi r^{2}=249.48 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r^{2}=249.48 \\ \Rightarrow r^{2}=\frac{249.48 \times 7}{2 \times 22} \\ =\frac{1746.36}{44} \\ =39.69 \\ \Rightarrow r=\sqrt{39.69} \\ \Rightarrow r=6.3 \mathrm{~m}
(ii) गुबंद के अन्दर की हवा का आयतन
Solution:r=6.3m
अर्धगोले का आयतन=\frac{2}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 \times 6.3 \\ =\frac{11002.068}{2} \\ =523.908 \mathrm{~m}^{3} \\ \approx 523.9 \mathrm{~m}^{3} (लगभग)
Example:9.लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है,एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है।ज्ञात कीजिए:
(i)नए गोले की त्रिज्या r’
Solution:सत्ताइस ठोस गोलों का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \times 27
नए गोले का आयतन= \frac{4}{3} \pi r^{\prime^{3}}\\ \Rightarrow \frac{4}{3} \pi r^{\prime^{3}}-\frac{4}{3} \pi r^{3} \times 27 \\ \Rightarrow r^{\prime^{3}}=27 r^{3} \\ \Rightarrow r^{\prime^{3}}=(3 r)^{3} \\ \Rightarrow r^{\prime}=3 r
(ii) S और S’ का अनुपात
Solution:दिए हुए 27 गोलों में प्रत्येक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2}
नए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=S^{\prime} =4 \pi r^{\prime^{2}} \\ =4 \pi \times(3 r)^{2} \\ =36 \pi r^{2}\\ S: S^{\prime} =4 \pi r^{2}: 36 \pi r^{2}\\=1: 9
Example:10.दवाई का एक केप्सूल (Capsule) 3.5mm व्यास का एक गोला (गोली) है।इस केप्सूल को भरने के लिए कितनी दवाई (घनमिलीमीटर में) आवश्यकता होगी?
Solution:r=\frac{3.5}{2} mm
गोले (गोली) का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^{3} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times \frac{3.5}{2} \times \frac{3.5}{2} \\ =\frac{3773}{168} \\ =22.4583 \\ \approx 22.46 \mathrm{~mm}^{3}
Example:11.किसी घर के कंपाउड की सामने की दीवार को 21cm व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है जैसाकि आकृति में दिखाया गया है।इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है।प्रत्येक आधार 1.5cm त्रिज्या और ऊँचाई 7cm का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है।यदि चाँदी के रंग के पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति घनसेमी है तथा काले रंग के पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति वर्गसेमी है तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
Solution:गोले की त्रिज्या r=\frac{21}{2}=10.5

Volume of Sphere in Class 9

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2}\\ =4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5\\=\frac{9702}{7}\\ =1386 \mathrm{~cm}^{2}
8 गोलों का पृष्ठीय क्षेत्रफल=1386 × 8
=11088 घनसेमी
लकड़ी के गोले का वह पृष्ठीय क्षेत्रफल जिस पर चाँदी का पेंट करवाना है=11088 -\pi (1.5)^{2} \\ =11088- \frac{22}{7} \times 1.5 \times 1.5 \\ 11088-56.57=11031.43
पेंट कराने का व्यय=11031.43 \times \frac{25}{100}
=2757.86 रुपये
बेलनाकार आधार की त्रिज्या  r=1.5cm
बेलनाकार आधार की ऊँचाई h=7cm
बेलनाकार आधार का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=
8 बेलनाकार आधारों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=66 × 8=528
बेलनाकार आधार पर काले रंग का पेंट कराने का व्यय=528 \times \frac{5}{100} रुपये
=26.4 रुपये
पेंट कराने का कुल व्यय=2757.86+26.4
=2784.26 रुपये
Example:12.एक गोले के व्यास में 25% की कमी की जाती है।उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है?
Solution:माना गोले का व्यास=d_{1}
त्रिज्या=\frac{d_{1}}{2}
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^{2} \\ =4 \pi \times (\frac{d_{1}}{2})^{2} \\ =\pi d_{1}^{2}
गोले का नया व्यास=d_{1} \times \frac{75}{100}=\frac{3 d_{1}}{4}
गोले की नई त्रिज्या=\frac{3 d_{1}}{8}
गोले का नया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi\left(\frac{3 d_{1}}{8}\right)^{2} \\ =\frac{9}{16} \pi d_{1}^{2}
दिए हुए गोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी=\pi d_{1}^{2}-\frac{9}{16} \pi d_{1}^{2} \\ =\frac{7 \pi}{16} d_{1}^{2}
दिए हुए गोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी=\frac{\frac{7 \pi d_{1}^{2}}{16}}{\pi d_{1}^{2}} \times 100 \\ =\frac{700}{16} \% \\ =43.75 \%
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 9 में गोले का आयतन (Volume of Sphere in Class 9),गोले और अर्द्धगोले का आयतन (Volume of Sphere and Hemisphere) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 9 में गोले का आयतन पर आधारित सवाल (Questions Based on Volume of Sphere in Class 9):

Volume of Sphere in Class 9

(1.)यदि दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 1:3 है तो इनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करो।
(2.)दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 4:9 है।इनकी त्रिज्याओं का अनुपात लिखिए।
(3.)एक शंकु,एक अर्धगोला और एक बेलन एक ही आधार और ऊँचाई पर बने हैं।उनके आयतनों का अनुपात लिखिए।
उत्तर (Answers):(1.)1:9 (2.)2:3 (3.)1:2:3
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 9 में गोले का आयतन (Volume of Sphere in Class 9),गोले और अर्द्धगोले का आयतन (Volume of Sphere and Hemisphere) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 9 में गोले का आयतन (Volume of Sphere in Class 9),गोले और अर्द्धगोले का आयतन (Volume of Sphere and Hemisphere) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 9 में गोले का आयतन (Volume of Sphere in Class 9) में गोले द्वारा आकाश में घेरा
गया स्थान उसका आयतन कहलाता है।एक गोले का आयतन गोले की त्रिज्या के घन का