1.बेलन का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cylinder Class 9),गणित में बेलन का आयतन (Volume of Cylinder in Maths):

Volume of Cylinder Class 9

बेलन का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cylinder Class 9) में बेलन को उसी प्रकार समझ सकते हैं जैसे घनाभ को।जैसें समान मापों के आयतों को एक के ऊपर एक रखकर घनाभ बनाया जाता है,उसी प्रकार समान मापों के वृत्तों को एक के ऊपर एक रखकर एक बेलन बनाया जाता है।बेलन का आयतन=आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई होता है।अर्थात् यह आयतन वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई=\pi r^{2} h
है।
बेलन का आयतन =\pi r^{2} h
जहाँ r आधार की त्रिज्या और h बेलन की ऊँचाई है।
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2.बेलन का आयतन कक्षा 9 के साधित उदाहरण (Volume of Cylinder Class 9 Solved Examples):

जब तक अन्यथा न कहा जाए \pi=\frac{22}{7} लीजिए।
Example:1.एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 cm और उसकी ऊँचाई 25 cm है।इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है?(1000 घनसेमी=1 लीटर)
Solution:बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि

\Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r=132 \\ \Rightarrow r=\frac{132 \times 7}{2 \times 22} \\ \Rightarrow r=\frac{924}{44} \\ \Rightarrow r=21 cm

h=25 cm
बेलनाकार बर्तन का आयतन=\pi r^{2} h \\ =\frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 25 \\ =\frac{242550}{7} \\ =34650 \mathrm{~cm}^{3} \\ =34.65 \text { लीटर }
Example:2.लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आन्तरिक व्यास 24cm है और बाहरी व्यास 28cm है।इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए यदि 1 घनसेमी लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
Solution:बेलनाकार पाइप की आन्तरिक त्रिज्या r_{2}=\frac{24}{2}=12 cm
बेलनाकार पाइप की बाहरी त्रिज्या r_{1}=\frac{28}{2}=14 cm
बेलनाकार पाइप की ऊँचाई h=35 cm
बेलनाकार पाइप का आयतन=\pi h\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\right) \\ =\frac{22}{7} \times 35\left(14^{2}-12^{2}\right) \\=\frac{22}{7} \times 35 \times(196-144) \\ =22 \times 5 \times 52=5720 \mathrm{~cm}^{3}
बेलनाकार पाइप का द्रव्यमान=5720 × 0.6g
=3432 gm
=3.432kg
Example:3.एक साॅफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है:
(i)लम्बाई 5 cm और चौड़ाई 4cm वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 cm है और
(ii)व्यास 7cm वाले वृत्तीय आधार और 10cm ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा।किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है?
Solution:(i)घनाभाकार टिन के डिब्बे की धारिता= लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
=5 × 4 × 15=300 घनसेमी
(ii)बेलनाकार डिब्बे का आयतन=\pi r^{2} h \\=\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 10=385 घनसेमी
बेलनाकार साॅफ्ट ड्रिंक के डिब्बे की धारिता अधिक है =385-300=85 घनसेमी
Example:4.यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 घनसेमी है और उसकी ऊँचाई 5 सेमी है तो ज्ञात कीजिए:
(i)आधार की त्रिज्या
(ii)बेलन का आयतन (\pi=3.14 लीजिए)।
Solution:(i)बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r h=94.2 \\ \Rightarrow 2 \times 3.14 \times r \times 5=94.2 \\ \Rightarrow r=\frac{94.2}{2 \times 3.14 \times 5} \\ \Rightarrow r=\frac{94.2}{31.4} \\ \Rightarrow r=3
(ii)बेलन का आयतन=\pi r^{2} h \\ =3.14 \times 3 \times 3 \times 5 \\ =141.3 \mathrm{~cm}^{3}

Volume of Cylinder Class 9

Example:5.10m गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आन्तरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय 2200 रुपए है।यदि पेंट कराने की दर 20 रुपए प्रति वर्गमीटर है तो ज्ञात कीजिए:
(i)बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii)आधार की त्रिज्या
(iii)बर्तन की धारिता
Solution:बेलनाकार बर्तन की गहराई h=10m
बर्तन की आन्तरिक पृष्ठ को पेंट कराने की दर=20 रुपए प्रति वर्गमीटर
(i)बेलनाकार बर्तन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r h
पेंट कराने का व्यय=2 \pi r h \times 20=2200 \\ 20 \times 2 \times \frac{22}{7} \times 2 \times 10=2200 \\ \Rightarrow r=\frac{2200 \times 7}{20 \times 2 \times 22 \times 10} \\ =\frac{15400}{8800} \\ =1.75 m
आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi rh \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 10=\frac{770}{7} \\ =110 \mathrm{~m}^{2}
(ii)आधार की त्रिज्या r=1.75m
(iii)बर्तन की धारिता=\pi r^{2} h \\ =\frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 \times 10 \\ =\frac{673.75}{7} \\ =96.25 \mathrm{~m}^{3}
Example:6.ऊँचाई 1m वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है।इसको बनाने के लिए कितने वर्गमीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?
Solution:बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई h=1m
बेलनाकार बर्तन की धारिता=\pi r^{2} h=15.4 लीटर
\Rightarrow \frac{22}{7} \times r^{2} \times 1 =\frac{15.4}{1000} m^{3} \\ \Rightarrow r^{2}=\frac{15.4 \times 7}{22 \times 1000} \\=\frac{107.8}{22000} \\=0.0049 \\ \Rightarrow r=\sqrt{0.0049} \\ r=0.07 m
बेलनाकार बर्तन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r(h+r) \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 0.07 \times (1+0.07) \\ =2 \times 22 \times 0.01 \times 1.07 \\ =0.4708 \mathrm{~m}^{3}
Example:7.सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यन्तर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डालकर बनाई गई है।पेंसिल का व्यास 7mm है और ग्रेफाइट का व्यास 1mm है।यदि पेंसिल की लम्बाई 14cm है तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलनाकार ग्रेफाइट की त्रिज्या r=\frac{1}{2} mm
पेंसिल की लम्बाई h=14cm=140mm
बेलनाकार ग्रेफाइट का आयतन=\pi r^{2} h \\ =\frac{22}{7} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 140 \\ =110 \mathrm{~mm}^{3} \\ =\frac{110}{10 \times 10 \times 10} \\ =0.11 \mathrm{~cm}^{3}
लकड़ी का आयतन=\pi\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\right) h \\ =22\left[\left(\frac{7}{2}\right)^{2} -\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right] \times 140 \\ =\frac{22}{7} \times\left[\frac{49}{4}-\frac{1}{4}\right] \times 140 \\ =\frac{22}{7} \times \frac{48}{4} \times 140 \\ =\frac{147840}{28} \\ =5280 \mathrm{~mm}^{3} \\ =\frac{5280}{10 \times 10 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}} \\ =5.28 \mathrm{~cm}^{3}
Example:8.एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7cm व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है।यदि यह कटोरा सूप से 4cm ऊँचाई तक भरा जाता है तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?
Solution:बेलनाकार सूप की त्रिज्या r=\frac{7}{2} cm
बेलनाकार सूप की ऊँचाई=4cm
बेलनाकार कटोरे में सूप का आयतन=\pi r^{2} h \\ =\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 4 \\ =\frac{4312}{28} \\ =154 \mathrm{~cm}^{3}
250 रोगियों के लिए प्रतिदिन तैयार किया जाने वाला सूप=154 × 250
=38500 घनसेमी =\frac{38500}{1000}
=38.5लीटर
Example:9.एक आयताकार कागज की शीट की लम्बाई 44 सेमी और चौड़ाई 18 सेमी है।इसे लम्बाई की ओर से मोड़कर एक बेलन इस प्रकार बनाया जाता है कि सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे को स्पर्श करे।इस प्रकार बने बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन के आधार की परिधि =2 \pi r=44 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r=44 \\ \Rightarrow r=\frac{44 \times 7}{2 \times 22}=7 \mathrm{cm}
h=18सेमी
बेलन का आयतन=\pi r^{2} h=\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 18=2772 {cm}^{3}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बेलन का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cylinder Class 9),गणित में बेलन का आयतन (Volume of Cylinder in Maths) को समझ सकते हैं।

3.बेलन का आयतन कक्षा 9 पर आधारित सवाल (Questions Based on Volume of Cylinder Class 9):

Volume of Cylinder Class 9

(1.)एक खोखला बेलन दोनों सिरों से खुला हुआ है।उसकी ऊँचाई 20 सेमी है तथा अन्त:व्यास एवं बाह्य व्यास क्रमशः 26 सेमी और 30 सेमी है।इस खोखले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
(2.)20 मीटर गहरा तथा 7 मीटर व्यास का एक कुआँ खोदा गया है।इससे निकली मिट्टी से 20मी×14मी माप का एक चबूतरा बनाया गया है।चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)3520घनसेमी (2.)2.5 मीटर
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बेलन का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cylinder Class 9),गणित में बेलन का आयतन (Volume of Cylinder in Maths) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बेलन का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cylinder Class 9),गणित में बेलन का आयतन (Volume of Cylinder in Maths) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बेलन का आयतन कक्षा 9 (Volume of Cylinder Class 9) में बेलन को उसी प्रकार समझ
सकते हैं जैसे घनाभ को।जैसें समान मापों के आयतों को एक के ऊपर एक रखकर
घनाभ बनाया जाता है