1.घन और घनाभ का आयतन (Volume of Cube and Cuboid):

Volume of Cube and Cuboid

घन और घनाभ का आयतन (Volume of Cube and Cuboid):प्रत्येक ठोस वस्तुएँ स्थान घेरती हैं।इस घेरे गए स्थान के माप को उस वस्तु का आयतन कहते हैं।यदि वस्तु खोखली है तो उसे हवा या द्रव से भरा जा सकता है।यह द्रव उस वस्तु (बर्तन) के आकार का हो जाता है।इस स्थिति में बर्तन के अन्दर जितना द्रव भरा जाता है,वह उसकी धारिता (Capacity) कहलाती है।
किसी वस्तु की धारिता उस वस्तु के अन्दर भरे जा सकने वाले द्रव का आयतन होता है।इसका मात्रक घन मात्रक होता है।घन एवं घनाभ का आयतन निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है:
घनाभ का आयतन=(लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई) घन इकाई
घन का आयतन=\text{ भुजा }^{3} घन इकाई
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2.घन और घनाभ का आयतन के उदाहरण (Volume of Cube and Cuboid Examples):

Example:1.माचिस की डिब्बी की माप 3सेमी × 2सेमी × 1 सेमी है।ऐसी 12 डिब्बीयों के पैकेट का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:माचिस की डिब्बी की लम्बाई=3सेमी
माचिस की डिब्बी की चौड़ाई=2सेमी
माचिस की डिब्बी की ऊँचाई=1सेमी
12 डिब्बीयों के पैकेट का आयतन=12 × लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
=12 × 3 × 2 × 1
=72 घन सेमी
Example:2.घन के एक पृष्ठ का परिमाप 24 सेमी है तो उस घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:घन के एक पृष्ठ का परिमाप=4 × भुजा=24 सेमी
भुजा=\frac{24}{4} सेमी
भुजा=6 सेमी
घन का आयतन=भुजा^{3}
=6^{3}
=216 घन सेमी
Example:3.धातु के तीन घनों की कोर क्रमशः 3सेमी,5सेमी तथा 4 सेमी है।उन्हें पिघलाकर एक नया घन बनाया गया है।इस नये घन का आयतन तथा इस घन की कोर की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution:पहले घन का आयतन=भुजा^{3}
=3^{3}
=27 घन सेमी
दूसरे घन का आयतन=5^{3}=125 घनसेमी
तीसरे घन का आयतन=4^{3}=64 घनसेमी
नए घन का आयतन=27+125+64=216
भुजा^{3}=6^{3}
भुजा=6
नए घन का आयतन=216 घनसेमी,भुजा=6सेमी
Example:4.पानी की एक टंकी की लम्बाई 2.5 मीटर,चौड़ाई 2मीटर है।उसमें 1500 लीटर पानी आता है।टंकी की गहराई ज्ञात कीजिए।
Solution:पानी की टंकी की लम्बाई=2.5 मीटर
पानी की टंकी की चौड़ाई=2मीटर
पानी की टंकी का आयतन=लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
2.5 मीटर × 2मीटर × ऊँचाई=1500लीटर
ऊँचाई=\frac{\text{1500 घन मीटर }}{2.5 \times 2 \times 1000}
ऊँचाई=0.3 मीटर
=30 सेमी
Example:5.एक दीवार की लम्बाई 4मीटर, चौड़ाई 15सेमी तथा ऊँचाई 3 मीटर है।दीवार बनाने में 20सेमी × 10सेमी × 8सेमी माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी।यदि ईंटों का मूल्य 120 रु. प्रति हजार हो तो ईंटों का कुल मूल्य ज्ञात कीजिए।
Solution:दीवार का आयतन=लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
=4मीटर × 15सेमी × 3मीटर
=400 सेमी × 15सेमी × 300सेमी
ईंट का आयतन=20सेमी × 10सेमी × 8सेमी
ईंटों की संख्या=\frac{ \text{ दीवार का आयतन }}{\text{ ईंट का आयतन }} \\=\frac{\text{ 400 सेमी × 15सेमी × 300सेमी }}{\text{ 20सेमी × 10सेमी × 8सेमी}}
=1125 ईंटे
ईंटों का मूल्य=\frac{ 1125 \times120}{ 1000}=135 रुपए

Volume of Cube and Cuboid

Example:6.एक गाँव में 20मीटर × 15मीटर × 6मीटर माप की एक पानी की टंकी बनी रहती है।यदि प्रतिदिन उसमें से 1000लीटर पानी खर्च किया जाए तो टंकी का पानी कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा?
Solution:पानी की टंकी का आयतन=लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
=20मीटर × 15मीटर × 6 मीटर
=1800 घनमीटर
=18,00,000 लीटर
टंकी का पानी पर्याप्त रहेगा=\frac{1800000}{1000}=1800 दिन
Example:7.एक दीवार की लम्बाई 8 मीटर तथा ऊँचाई 4मीटर है।दीवार 35सेमी मोटी है।इसमें से एक दरवाजा 2मीटर × 1मीटर का और दो खिड़कियाँ 1.20मीटर × 1मीटर की है।दीवार बनाने का खर्च 1500 रुपये प्रति घनमीटरकी दर से ज्ञात कीजिए।
Solution:दीवार का आयतन=लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
=8मीटर × 35सेमी × 4मीटर
=8मीटर × 0.35मीटर × 4मीटर
=11.2घनमीटर
दो खिड़कियों का आयतन=2 × लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
=2 × 1.20मीटर × 35सेमी × 1मीटर
=2 × 1.20मीटर × 0.35मीटर × 1मीटर
=0.84घनमीटर
एक दरवाजे का आयतन=2मीटर × 35सेमी × 1मीटर
=2मीटर × 0.35मीटर × 1मीटर
=0.7 घनमीटर
दो खिड़कियों तथा एक दरवाजे का आयतन=0.84 घनमीटर+0.7घनमीटर
=1.54घनमीटर
केवल दीवार का आयतन=खिड़कियों तथा दरवाजे सहित दीवार का आयतन-दो खिड़कियों तथा एक दरवाजे का आयतन
=11.2-1.54=9.66घनमीटर
दीवार बनाने का खर्च=9.66 × 1500
=14490 रुपए
Example:8.5मीटर लम्बी,2मीटर ऊँचाई तथा 50सेमी मोटाई एक दीवार बनाने के लिए 25सेमी ×15सेमी × 6सेमी माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी यदि दीवार में 10% स्थान सीमेन्ट का है।
Solution:दीवार का आयतन=लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
=5मीटर × 50सेमी × 2मीटर
=500सेमी × 50सेमी × 200सेमी
सीमेन्ट रहित दीवार का आयतन=500सेमी × 50सेमी × 200सेमी ×\frac{90}{100}
एक ईंट का आयतन=25सेमी × 15सेमी × 6सेमी
ईंटों की संख्या=\frac{\text{ सीमेन्ट रहित दीवार का आयतन }}{\text{ एक ईंट का आयतन}} \\ =\frac{\text{500सेमी × 50सेमी × 200सेमी }}{\text{ 25सेमी × 15सेमी × 6सेमी }} \times \frac{90}{100}
=2000 ईंटे
Example:9.तालाब से मिट्टी खोदकर मिट्टी को मैदान में समान रूप से फैला दिया जाता है।यदि तालाब में खोदा गया गड्ढा 200मीटर लम्बा,50मीटर चौड़ा और 0.75मीटर गहरा है तो मैदान का धरातल कितना ऊँचा उठ जाएगा?यदि मैदान 150मीटर लम्बा और 100मीटर चौड़ा हो।
Solution:तालाब से निकाली गई मिट्टी का आयतन=लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
=200मीटर × 50मीटर × 0.75मीटर
मैदान की लम्बाई=150 मीटर
मैदान की चौड़ाई=100मीटर
मैदान का क्षेत्रफल=लम्बाई × चौड़ाई
=150मीटर × 100मीटर
धरातल की ऊँचाई=\frac{ \text{ मिट्टी का आयतन }}{\text{ मैदान का क्षेत्रफल }} \\=\frac{200 \times 50 \times 0.75}{150 \times 100 }\\=0.50 मीटर
Example:10.लकड़ी का एक ढक्कनदार सन्दूक बाहर से 1.25मीटर लम्बा 0.80मीटर चौड़ा और 0.55मीटर ऊँचा है।लकड़ी की तोल 250किलोग्राम हो तो सन्दूक की तोल ज्ञात कीजिए।
Solution:लकड़ी के ढक्कनदार सन्दूक की बाहर से लम्बाई=1.25मीटर
लकड़ी के ढक्कनदार सन्दूक की बाहर से चौड़ाई=0.80मीटर
लकड़ी के ढक्कनदार सन्दूक की बाहर से ऊँचाई=0.55मीटर
लकड़ी सहित सन्दूक का आयतन=लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
=1.25मीटर × 0.80मीटर × 0.55मीटर
=0.55घनमीटर
सन्दूक की अन्दर से लम्बाई=1.25मीटर-2×2.5सेमी=1.25मीटर-5सेमी
=1.25मीटर-0.05मीटर=0.75मीटर
सन्दूक की अन्दर से चौड़ाई=0.80मीटर-0.05मीटर=0.75मीटर
सन्दूक की अन्दर से ऊँचाई=0.55मीटर-0.05मीटर
=0.50मीटर
सन्दूक का आयतन=लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
=1.20मीटर × 0.75मीटर × 0.50 मीटर
=0.45घनमीटर
लकड़ी का आयतन=लकड़ी सहित सन्दूक का आयतन-लकड़ी रहित सन्दूक का आयतन
=0.55-0.45
=0.10 घनमीटर
सन्दूक का तोल=0.10 × 250=25 किलोग्राम
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा घन और घनाभ का आयतन (Volume of Cube and Cuboid) को समझ सकते हैं।

3.घन और घनाभ का आयतन की समस्याएं (Volume of Cube and Cuboid Problems):

(1.)एक लकड़ी का बक्सा 1सेमी मोटी लकड़ी का बना हुआ है।उसकी बाहरी लम्बाई,चौड़ाई एवं ऊँचाई क्रमशः75सेमी,60सेमी एवं 40सेमी है तो बक्से में लगी लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।
(2.)20मीटर लम्बी,5मीटर ऊँची और 50सेमी मोटी दीवार बनाने में 25सेमी × 16सेमी × 10सेमी माप की कितनी ईंटें लगेंगी जबकि दीवार में एक दरवाजा 2मीटर × 1.5मीटर और दो खिड़की 1.5मीटर × 1मीटर की है?280 रुपए प्रति हजार की दर से ईंटों का मूल्य भी ज्ञात कीजिए।
(3.)एक बक्से की लम्बाई 30सेमी, चौड़ाई 20सेमी एवं ऊँचाई 6सेमी है इसमें 10सेमी × 5सेमी × 2सेमी माप की कितनी कैसेट रखी जा सकती हैं।
उत्तर (Answers):(1.)19108 घनसेमी
(2.)117500 ईंटे,3290 रुपए
(3.)36 कैसेट
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर घन और घनाभ का आयतन (Volume of Cube and Cuboid) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.हाइलाइट्स (HIGHLIGHTS):

Volume of Cube and Cuboid

(1.)समतल आकृतियों और ठोस आकृतियों में मौलिक अंतर यह है कि समतल आकृतियां पूरी की पूरी समतल में स्थित होती है जबकि ठोस आकृतियां एक समतल में स्थित नहीं होती है।
(2.)ठोस आकृतियां आकाश (Space) में स्थित होती हैं।ठोस (घन आकृतियां) त्रिविम (Three Dimensional) होती हैं।
(3.)घनाभ की तीनों कोरे अलग-अलग दिशाओं में परस्पर लंबवत हैं।इसलिए घनाभ को त्रिविम आकृति माना जाता है।
(4.)यदि घनाभ की ऊंचाई (मोटाई अथवा गहराई) शून्य है अर्थात् h=0 तो यह एक आयत का रूप लेगा।
(5.)घनाभ की लंबाई,चौड़ाई और ऊंचाई समान है अर्थात् l=b=h \neq 0  तो इसे घन कहा जाता है।
(6.)घन के सभी फलक वर्गाकार होते हैं और उसका क्षेत्रफल भी समान होता है।
(7.)ठोस द्वारा घेरे गए स्थान के माप को उसका आयतन कहा जाता है।
(8.)क्षेत्रफल को वर्ग इकाई तथा आयतन को घन इकाई में मापा जाता है।
(9.)लंबाई,चौड़ाई, ऊंचाई को घनाभ की भुजाएं अथवा विमाएं कहा जाता है।
(10.)एक घन या घनाभ में 6 फलक,12 कोरे,8 कोने तथा 4 विकर्ण होते हैं।

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5.घन और घनाभ का आयतन (Volume of Cube and Cuboid) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

 

घन और घनाभ का आयतन (Volume of Cube and Cuboid):प्रत्येक ठोस वस्तुएँ स्थान
घेरती हैं।इस घेरे गए स्थान के माप को उस वस्तु का आयतन कहते हैं।यदि वस्तु खोखली है तो