Volume of Combination of Solids 10th
1.ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Volume of Combination of Solids 10th),शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10):
ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Volume of Combination of Solids 10th) के इस आर्टिकल में ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल,ठोसों के संयोजन का आयतन,एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण तथा शंकु के छिन्नक पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.ठोसों का संयोजन कक्षा 10 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Volume of Combination of Solids 10th):
Example:1.व्यास 3mm वाले ताँबे के एक तार को 12cm लम्बे और 10cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है कि वह बेलन के वक्र पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है।तार की लम्बाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए,यह मानते हुए कि ताँबे का घनत्व 8.88g प्रति घनसेमी है।
Solution:तार की त्रिज्या (r)=23 mm=203 cm
बेलन की त्रिज्या (R)=10 cm=5 cm
बेलन की ऊँचाई (h)=12cm
बेलन का परिमाप=एक लपेटे में तार की लम्बाई
=2πR=2×3.14×5=31.4 cm
लपेटों की संख्या= तार का व्यास बेलन की ऊँचाई =103 सेमी 12 सेमी =312×10सेमी =40 सेमी
तार की लम्बाई (H)=लपेटों की संख्या × एक लपेटे में तार की लम्बाई
=40×31.4
H=1256cm
तार का आयतन=πr2H=3.14×203×203×1256=88.7364 cm3
तार का द्रव्यमान=आयतन×घनत्व
=88.7364×8.88
=787.979
≈788 gram
Example:2. समकोण त्रिभुज,जिसकी भुजाएँ 3cm और 4cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त),को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है।इस प्रकार प्राप्त द्वि-शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।( π का मान जो भी उपयुक्त लगे,प्रयोग कीजिए।)
Solution:समकोण △ABC मे ∠B=90∘कर्ण2=लम्ब2 आधार 2AC2=AB2+BC2=42+32=16+9=25AC=25=5 cm
माना OC=x, तब OA=5-x
समकोण △AOB में
BO2=AB2−AO2r2=42−(5−x)2=16−25+10x−x2⇒r2=−9+10x−x2⋯(1)
समकोण \triangle BOC[/katex] में
OB2=BC2−OC2=32−x2⇒r2=9−x2⋯(2)
(1) व (2) से:
−9+10x−x2=9−x2⇒10x=18⇒x=1.8
OC=1.8,OA=5-1.8=3.2cm
H=1.8,h=3.2cm
x का मान (2) में रखने पर:
r2=9−(1.8)2=9−3.24=5.76r=5.76⇒r=2.4 सेमी
द्वि-शंकु का आयतन=शंकु ABB’ का आयतन+शंकु CBB’ का आयतन
=31πr2h+31πr2H=31πr2(h+H)=31×3.14×2.4×2−4×(3.2+1.8)=31×3.14×2.4×2.4×5=30.144 cm3≈30.14 cm3
द्वि-शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल=शंकु ABB’ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल+शंकु CBB’ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
=πrl1+πrl2=3.14×2.4×4+3.14×2.4×3=30.144+22.608=52.752≈52.75cm2
अतः द्वि-शंकु का आयतन=30.14 घनसेमी,द्विशंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल=52.75 वर्गसेमी
Example:3.एक टंकी,जिसके आंतरिक मापन 150cm×120cm×110cm हैं,में 129600 घनसेमी पानी है।इस पानी में कुछ छिद्र वाली ईंटें तब तक डाली जाती हैं,जब तक कि टंकी पूरी ऊपर तक भर न जाए।प्रत्येक ईंट अपने आयतन का 171 पानी सोख लेती है।यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5cm×7.5cm×6.5cm है,तो टंकी में कुल कितनी ईंटे डाली जा सकती हैं ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे?
Solution:टंकी का आयतन=लम्बाई ×चौड़ाई×ऊँचाई
=150×120×110
=1980000 घनसेमी
टंकी में पानी का आयतन=129600 घनसेमी
खाली टंकी का आयतन=1980000-129600
=1850400 घनसेमी
एक ईंट का आयतन=22.5×7.5×6.5
=1096.875
x ईंटों का आयतन=1096.875x
ईंटों द्वारा शोषित पानी का आयतन=171096.875x
टंकी का वास्तविक खाली आयतन =1850400+171096.875x⇒1850400+171096.875x=1096.875x⇒1096.875x−171096.875x=1850400⇒1716×1096.875x=1850400⇒x=16×1096.8751850400×17=1755031456800=1792.4⇒x≈1792 ईंटें
Example:4.किसी महीने के 15 दिनों में,एक नदी की घाटी में 10cm वर्षा हुई।यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 7280 वर्गकिमी है,तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी,जबकि प्रत्येक नदी 1072km लम्बी, 75m चौड़ी और 3m गहरी है।
Solution:घाटी का क्षेत्रफल=7280 वर्गकिमी
=7280×1000×1000 वर्गमीटर
घाटी में पानी का आयतन=7280000000×10010
=728000000 घनमीटर
=0.728 घनकिमी
प्रत्येक नदी का क्षेत्रफल=लम्बाई×चौड़ाई×ऊँचाई
=1072000×75×3
तीन नदियों में पानी का सामान्य बहाव
=3×1072000×75×3
=723600000 घनमीटर
=0.723 घनकिमी
घाटी में पानी का आयतन 0.728 घनकिमी और तीन नदियों में सामान्य पानी का बहाव 0.723 घनकिमी लगभग समतुल्य है।
Example:5.टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी लम्बे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है।यदि इसकी कुल ऊँचाई 22cm है,बेलनाकार भाग का व्यास 8cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 सेमी है तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)।
Solution:कुप्पी के ऊपरी सिरे की त्रिज्या=(r1)=218=9 सेमी
कुप्पी के आधार की त्रिज्या=(r2)=28=4 सेमी
शंकु के छिन्नक की ऊँचाई (H)=22-10=12 सेमी
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई =H2+(r1−r2)2=122+(9−4)2=144+25=169⇒l=13
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
=πl(r1+r2)=722×13×(9+4)=722×13×13=73718 वर्गसेमी
बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2πrh=2×722×4×10=71760 वर्गसेमी
टीन के चादर का क्षेत्रफल=शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल+बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
=73718+71760=75478=78274 cm2
Example:6.शंकु के एक छिन्नक के लिए पूर्व स्पष्ट किए गए संकेतों का प्रयोग करते हुए,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए जो अनुच्छेद 13.5 में दिए गए हैं।
Solution:माना एक शंकु VAB का शीर्ष V, आधार की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई है।इस शंकु के शीर्ष V से नीचे स्थित बिन्दु O’ से आधार के समान्तर एक शंकु VCD काटा गया है जिसकी त्रिज्या तथा तिर्यक ऊँचाई है।
बिन्दु D से आधार पर लम्ब DE खींचा।
△VO′D तथा △DOB में
∠VO′D=∠DEB=90∘∠VDO′=∠DBE (संगत कोण)
कोण-कोण समरूपता उपप्रमेय से
△VO′D∼△DOBBDVD=EBOD
(समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती है)
ll1=OB−OEOD(EB=OB−OE)⇒ll1=r2r1r1⇒l1=(r2−r1r1)l⋯(1)
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई l=h2+r2⇒l=h2+(r1−r2)2
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =शंकु VAB का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल-शंकु VCD का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
=πr2l2−πr1l1=πr2(l1+BD)−πr1l[r2=l1+BD]=πr2l1+πr2BD−πr1l=πl1(r2−r1)+πr2l[∵BD=l]=π×(r2−r1r1)l+πr2l [(1) से]
= πr1l+πr2l=πl(r1+r2)
शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल+दोनों सिरों का क्षेत्रफल
=π(r1+r2)l+πr12+πr22=π(r1+r2)l+π(r12+r22)
Example:7.शंकु के एक छिन्नक के लिए,पूर्व स्पष्ट किए गए संकेतों का प्रयोग करते हुए,आयतन का वह सूत्र सिद्ध कीजिए जो अनुच्छेद 13.5 में दिया गया है।
Solution:माना शंकु VAB का शीर्ष V, आधार की त्रिज्या है।इस शंकु के शीर्ष V से नीचे स्थित बिन्दु O’ से आधार के समान्तर एक शंकु VCD काटा गया है जिसकी त्रिज्या है।
शंकु VAB का आयतन=31πr22h2
शंकु VCD का आयतन=31πr12h1
छिन्नक का आयतन (V)=शंकु VAB का आयतन-शंकु VCD का आयतन
=31πr22h2−31πr12h1=31π(r22h2−r22h1)[∵h2=VO=VO′+O′O=h1+h]=31π[r2(h1+h)−r22h1]=31π[r22h1+r22h22−h1]…(1)△VOD∼△DEB में
OO′VO′=OB−O′DO′D⇒hh′=r2−r1r1h1=(r2−r1r1)2
समीकरण (1) में मान रखने पर:
V=31π(r22−r12)×(r2−r1r1)h+31πr22h=31π(r2+r1)r1h+31πr22hV=31π(r12+r12r2+r22)h
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Volume of Combination of Solids 10th),शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10) को समझ सकते हैं।
3.ठोसों का संयोजन कक्षा 10 की समस्याएँ (Volume of Combination of Solids 10th Problems):
(1.)एक तम्बू को एक शंकु रखकर शंक्वाकार छिन्नक के रूप में बनाया जाता है।छिन्नक के ऊपरी और निचले सिरों के व्यास क्रमशः 20 मीटर और 6 मीटर तथा ऊँचाई 24 मीटर है।यदि तम्बू की ऊँचाई 28 मीटर हो,तो कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(2.)एक टिन के बक्से की लम्बाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 20 सेमी,12 सेमी और 14 सेमी है।ऐसे 20 बक्से बनाने हैं।इसमें लगने वाली टिन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।यदि टिन का मूल्य 15 रुपए वर्गमीटर हो,तो बक्सों में लगी टिन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)वर्गमीटर
(2.)1376 वर्गसेमी, 41.28 रुपए
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Volume of Combination of Solids 10th),शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Volume of Combination of Solids 10th),शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.किसी ठोस की धारिता से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Capacity of a Solid?):
उत्तर:ठोस के आयतन को ठोस की धारिता कहते हैं।
प्रश्न:2.खोखला बेलन किसे कहते हैं? (What is a Hollow Cylinder?):
उत्तर:खोखला बेलन वह आकृति है जो कि दो बेलनों से मिलकर बनती हो।जिनकी ऊँचाई समान और त्रिज्या असमान हो।खोखले बेलन के दोनों सिरे खुले होते हैं।
प्रश्न:3.ठोसों के संयोजन की मुख्य बातें लिखिए। (Write Down HIGHLIGHTS of Combination of Solids):
उत्तर:(1.)आधारभूत ठोसों घनाभ,बेलन,शंकु और गोले तथा अर्धगोले में से किन्हीं दो ठोसों के संयोजन (को मिलाने से) से बने ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल निर्धारित करना।
(2.)ठोसों घनाभ,बेलन,शंकु,गोले और अर्धगोले में से किन्हीं दो ठोसों के संयोजन से बने ठोसों के आयतन ज्ञात करना।
(3.)जब किसी शंकु को उसके आधार के समान्तर किसी तल द्वारा काटकर एक छोटा शंकु हटा देते हैं तो जो ठोस बचता है,वह शंकु का एक छिन्नक कहलाता है।
(4.)शंकु के छिन्नक से सम्बद्ध सूत्र निम्नलिखित हैं:
(i)शंकु के छिन्नक का आयतन=31πh(r12+r22+r1r2)
(ii)शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =πl(r1+r2) जहाँ l=h2+(r1−r2)2
(iii) शंकु के छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल =πl(r1+r2)+π(r12+r22)
h=छिन्नक की (उर्ध्वाधर)ऊँचाई,l=छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई,
r1 और r2 छिन्नक के दोनों वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Volume of Combination of Solids 10th),शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Volume of Combination of Solids 10th) के इस आर्टिकल
में ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल,ठोसों के संयोजन का आयतन,एक ठोस का एक आकार
से दूसरे आकार में रूपान्तरण तथा शंकु के छिन्नक पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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Satyam
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