Volume of Combination of Solids 10th
1.ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Volume of Combination of Solids 10th),शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10):
ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Volume of Combination of Solids 10th) के इस आर्टिकल में ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल,ठोसों के संयोजन का आयतन,एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपान्तरण तथा शंकु के छिन्नक पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.ठोसों का संयोजन कक्षा 10 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Volume of Combination of Solids 10th):
Example:1.व्यास 3mm वाले ताँबे के एक तार को 12cm लम्बे और 10cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है कि वह बेलन के वक्र पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है।तार की लम्बाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए,यह मानते हुए कि ताँबे का घनत्व 8.88g प्रति घनसेमी है।
Solution:तार की त्रिज्या (r)=\frac{3}{2} \mathrm{~mm}=\frac{3}{20} \mathrm{~cm}
बेलन की त्रिज्या (R)=10 \mathrm{~cm}=5 \mathrm{~cm}
बेलन की ऊँचाई (h)=12cm
बेलन का परिमाप=एक लपेटे में तार की लम्बाई
=2 \pi R \\ =2 \times 3.14 \times 5 \\ =31.4 \mathrm{~cm}
लपेटों की संख्या=\frac{\text { बेलन की ऊँचाई }}{\text { तार का व्यास }} \\ =\frac{12 \text { सेमी }}{\frac{3}{10} \text { सेमी }} \\ =\frac{12 \times 10}{3} \text {सेमी } \\ =40 \text { सेमी }
तार की लम्बाई (H)=लपेटों की संख्या × एक लपेटे में तार की लम्बाई
=40×31.4
H=1256cm
तार का आयतन=\pi r^2 H \\ =3.14 \times \frac{3}{20} \times \frac{3}{20} \times 1256 \\ =88.7364 \mathrm{~cm}^3
तार का द्रव्यमान=आयतन×घनत्व
=88.7364×8.88
=787.979
\approx 788 \mathrm{~gram}
Example:2. समकोण त्रिभुज,जिसकी भुजाएँ 3cm और 4cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त),को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है।इस प्रकार प्राप्त द्वि-शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।( \pi का मान जो भी उपयुक्त लगे,प्रयोग कीजिए।)
Solution:समकोण \triangle ABC मे \angle B=90^{\circ} \\ \text {कर्ण}^2=\text {लम्ब}^2 \text { आधार }^2 \\ A C^2=A B^2+B C^2 \\ =4^2+3^2 \\ =16+9 \\ =25 \\ A C=\sqrt{25}=5 \mathrm{~cm}
माना OC=x, तब OA=5-x
समकोण \triangle A O B में
BO^2=A B^2-A O^2 \\ r^2=4^2-(5-x)^2 \\ =16-25+10 x-x^2 \\ \Rightarrow r^2 =-9+10 x-x^2 \cdots(1)
समकोण \triangle BOC[/katex] में
O B^2 =B C^2-O C^2 \\=3^2-x^2 \\ \Rightarrow r^2 =9-x^2 \cdots(2)
(1) व (2) से:
-9+10 x-x^2=9-x^2 \\ \Rightarrow 10 x=18 \Rightarrow x=1.8
OC=1.8,OA=5-1.8=3.2cm
H=1.8,h=3.2cm
x का मान (2) में रखने पर:
r^2=9-(1.8)^2 \\ =9-3.24 \\ =5.76 \\ r=\sqrt{5.76} \Rightarrow r=2.4 सेमी
द्वि-शंकु का आयतन=शंकु ABB’ का आयतन+शंकु CBB’ का आयतन
=\frac{1}{3} \pi r^2 h+\frac{1}{3} \pi r^2 H \\ =\frac{1}{3} \pi r^2(h+H) \\ =\frac{1}{3} \times 3.14 \times 2.4 \times 2-4 \times(3.2+1.8) \\ =\frac{1}{3} \times 3.14 \times 2.4 \times 2.4 \times 5 \\ =30.144 \mathrm{~cm}^3 \\ \approx 30.14 \mathrm{~cm}^3
द्वि-शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल=शंकु ABB’ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल+शंकु CBB’ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
=\pi r l_1+\pi r l_2 \\ =3.14 \times 2.4 \times 4+3.14 \times 2.4 \times 3 \\ =30.144+22.608 \\ =52.752 \\ \approx 52.75 \mathrm{cm}^2
अतः द्वि-शंकु का आयतन=30.14 घनसेमी,द्विशंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल=52.75 वर्गसेमी
Example:3.एक टंकी,जिसके आंतरिक मापन 150cm×120cm×110cm हैं,में 129600 घनसेमी पानी है।इस पानी में कुछ छिद्र वाली ईंटें तब तक डाली जाती हैं,जब तक कि टंकी पूरी ऊपर तक भर न जाए।प्रत्येक ईंट अपने आयतन का \frac{1}{17} पानी सोख लेती है।यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5cm×7.5cm×6.5cm है,तो टंकी में कुल कितनी ईंटे डाली जा सकती हैं ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे?
Solution:टंकी का आयतन=लम्बाई ×चौड़ाई×ऊँचाई
=150×120×110
=1980000 घनसेमी
टंकी में पानी का आयतन=129600 घनसेमी
खाली टंकी का आयतन=1980000-129600
=1850400 घनसेमी
एक ईंट का आयतन=22.5×7.5×6.5
=1096.875
x ईंटों का आयतन=1096.875x
ईंटों द्वारा शोषित पानी का आयतन=\frac{1096.875 x}{17}
टंकी का वास्तविक खाली आयतन =1850400+\frac{1096.875 x}{17} \\ \Rightarrow 1850400+ \frac{1096.875 x}{17}=1096.875 x \\ \Rightarrow 1096.875 x-\frac{1096.875 x}{17}=1850400 \\ \Rightarrow \frac{16 \times 1096.875 x}{17}=1850400 \\ \Rightarrow x=\frac{1850400 \times 17}{16 \times 1096.875} \\ =\frac{31456800}{17550} \\ =1792.4 \\ \Rightarrow x \approx 1792 ईंटें
Example:4.किसी महीने के 15 दिनों में,एक नदी की घाटी में 10cm वर्षा हुई।यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 7280 वर्गकिमी है,तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी,जबकि प्रत्येक नदी 1072km लम्बी, 75m चौड़ी और 3m गहरी है।
Solution:घाटी का क्षेत्रफल=7280 वर्गकिमी
=7280×1000×1000 वर्गमीटर
घाटी में पानी का आयतन=7280000000 \times \frac{10}{100}
=728000000 घनमीटर
=0.728 घनकिमी
प्रत्येक नदी का क्षेत्रफल=लम्बाई×चौड़ाई×ऊँचाई
=1072000×75×3
तीन नदियों में पानी का सामान्य बहाव
=3×1072000×75×3
=723600000 घनमीटर
=0.723 घनकिमी
घाटी में पानी का आयतन 0.728 घनकिमी और तीन नदियों में सामान्य पानी का बहाव 0.723 घनकिमी लगभग समतुल्य है।
Example:5.टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी लम्बे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है।यदि इसकी कुल ऊँचाई 22cm है,बेलनाकार भाग का व्यास 8cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 सेमी है तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)।
Solution:कुप्पी के ऊपरी सिरे की त्रिज्या=\left(r_1\right)=\frac{18}{2}=9 सेमी
कुप्पी के आधार की त्रिज्या=\left(r_2\right)=\frac{8}{2}=4 सेमी
शंकु के छिन्नक की ऊँचाई (H)=22-10=12 सेमी
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई =\sqrt{H^2+(r_{1}-r_{2})^2} \\ =\sqrt{12^2+(9-4)^2} \\ =\sqrt{144+25} \\ =\sqrt{169} \\ \Rightarrow l=13
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
=\pi l\left(r_1+r_2\right) \\ =\frac{22}{7} \times 13 \times(9+4) \\=\frac{22}{7} \times 13 \times 13=\frac{3718}{7} \text { वर्गसेमी }
बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi rh \\= 2 \times \frac{22}{7} \times 4 \times 10 \\ =\frac{1760 }{7} \text { वर्गसेमी }
टीन के चादर का क्षेत्रफल=शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल+बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
=\frac{3718}{7}+\frac{1760}{7}=\frac{5478}{7} \\ =782 \frac{4}{7} \mathrm{~cm}^2
Example:6.शंकु के एक छिन्नक के लिए पूर्व स्पष्ट किए गए संकेतों का प्रयोग करते हुए,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए जो अनुच्छेद 13.5 में दिए गए हैं।
Solution:माना एक शंकु VAB का शीर्ष V, आधार की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई है।इस शंकु के शीर्ष V से नीचे स्थित बिन्दु O’ से आधार के समान्तर एक शंकु VCD काटा गया है जिसकी त्रिज्या तथा तिर्यक ऊँचाई है।
बिन्दु D से आधार पर लम्ब DE खींचा।
\triangle VO^{\prime}D तथा \triangle DOB में
\angle V O^{\prime} D=\angle DEB=90^{\circ} \\ \angle VDO^{\prime}=\angle D B E (संगत कोण)
कोण-कोण समरूपता उपप्रमेय से
\triangle V O^{\prime} D \sim \triangle D O B \\ \frac{V D}{B D}=\frac{O D}{E B}
(समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती है)
\frac{l_1}{l}=\frac{O D}{O B-O E}(E B=O B-O E) \\ \Rightarrow \frac{l_1}{l}=\frac{r_1}{r_2 r_1} \\ \Rightarrow l_1=\left(\frac{r_1}{r_2-r_1}\right) l \cdots(1)
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई l=\sqrt{h^2+r^2} \\ \Rightarrow l=\sqrt{h^2+\left(r_1-r_2\right)^2}
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =शंकु VAB का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल-शंकु VCD का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
=\pi r_2 l_2-\pi r_1 l_1 \\=\pi r_2 \left(l_1+B D\right)-\pi r_1 l \\ \left[r_2=l_1+B D\right] \\ =\pi r_2 l_1+\pi r_2 B D-\pi r_1 l \\ =\pi l_1\left(r_2-r_1\right)+\pi r_2 l \\ \left[\because B D=l \right] \\ = \pi \times \left(\frac{r_1}{r_2-r_1}\right) l+\pi r_2 l [(1) से]
= \pi r_1 l+\pi r_2 l \\= \pi l\left(r_1+r_2\right)
शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल+दोनों सिरों का क्षेत्रफल
=\pi\left(r_1+r_2\right) l+\pi r_1^2+\pi r_2^2 \\ =\pi\left(r_1+r_2\right) l+\pi \left(r_1^2 +r_2^2\right)
Example:7.शंकु के एक छिन्नक के लिए,पूर्व स्पष्ट किए गए संकेतों का प्रयोग करते हुए,आयतन का वह सूत्र सिद्ध कीजिए जो अनुच्छेद 13.5 में दिया गया है।
Solution:माना शंकु VAB का शीर्ष V, आधार की त्रिज्या है।इस शंकु के शीर्ष V से नीचे स्थित बिन्दु O’ से आधार के समान्तर एक शंकु VCD काटा गया है जिसकी त्रिज्या है।
शंकु VAB का आयतन=\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2
शंकु VCD का आयतन=\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1
छिन्नक का आयतन (V)=शंकु VAB का आयतन-शंकु VCD का आयतन
=\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2-\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 \\ =\frac{1}{3} \pi\left(r_2^2 h_2-r_2^2 h_1\right) \\ \left[\because h_2=VO=VO^{\prime}+O^{\prime}O=h_{1}+h\right] \\ =\frac{1}{3} \pi\left[r_2\left(h_1+ h\right)-r_2^2 h_1\right] \\ =\frac{1}{3} \pi\left[r_2^2 h_1+r_2^2 h_{2}^2-h_1\right] \ldots(1) \\ \triangle VOD \sim \triangle DEB में
\frac{V O^{\prime}}{O O^{\prime}}=\frac{O^{\prime} D}{O B-O^{\prime} D} \\ \Rightarrow \frac{h^{\prime}}{h}=\frac{r_1}{r_2-r_1} \\ h_1=\left(\frac{r_1}{r_2-r_1}\right)^2
समीकरण (1) में मान रखने पर:
V=\frac{1}{3} \pi\left(r_2^2-r_1^2\right) \times\left(\frac{r_1}{r_2-r_1}\right) h+\frac{1}{3} \pi r_2^2 h \\ =\frac{1}{3} \pi\left(r_2+r_1\right) r_1 h+\frac{1}{3} \pi r_2^2 h \\ V =\frac{1}{3} \pi\left(r_1^2+r_1^2 r_2+r_2^2\right) h
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Volume of Combination of Solids 10th),शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10) को समझ सकते हैं।
3.ठोसों का संयोजन कक्षा 10 की समस्याएँ (Volume of Combination of Solids 10th Problems):
(1.)एक तम्बू को एक शंकु रखकर शंक्वाकार छिन्नक के रूप में बनाया जाता है।छिन्नक के ऊपरी और निचले सिरों के व्यास क्रमशः 20 मीटर और 6 मीटर तथा ऊँचाई 24 मीटर है।यदि तम्बू की ऊँचाई 28 मीटर हो,तो कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(2.)एक टिन के बक्से की लम्बाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 20 सेमी,12 सेमी और 14 सेमी है।ऐसे 20 बक्से बनाने हैं।इसमें लगने वाली टिन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।यदि टिन का मूल्य 15 रुपए वर्गमीटर हो,तो बक्सों में लगी टिन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)वर्गमीटर
(2.)1376 वर्गसेमी, 41.28 रुपए
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Volume of Combination of Solids 10th),शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Volume of Combination of Solids 10th),शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.किसी ठोस की धारिता से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Capacity of a Solid?):
उत्तर:ठोस के आयतन को ठोस की धारिता कहते हैं।
प्रश्न:2.खोखला बेलन किसे कहते हैं? (What is a Hollow Cylinder?):
उत्तर:खोखला बेलन वह आकृति है जो कि दो बेलनों से मिलकर बनती हो।जिनकी ऊँचाई समान और त्रिज्या असमान हो।खोखले बेलन के दोनों सिरे खुले होते हैं।
प्रश्न:3.ठोसों के संयोजन की मुख्य बातें लिखिए। (Write Down HIGHLIGHTS of Combination of Solids):
उत्तर:(1.)आधारभूत ठोसों घनाभ,बेलन,शंकु और गोले तथा अर्धगोले में से किन्हीं दो ठोसों के संयोजन (को मिलाने से) से बने ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल निर्धारित करना।
(2.)ठोसों घनाभ,बेलन,शंकु,गोले और अर्धगोले में से किन्हीं दो ठोसों के संयोजन से बने ठोसों के आयतन ज्ञात करना।
(3.)जब किसी शंकु को उसके आधार के समान्तर किसी तल द्वारा काटकर एक छोटा शंकु हटा देते हैं तो जो ठोस बचता है,वह शंकु का एक छिन्नक कहलाता है।
(4.)शंकु के छिन्नक से सम्बद्ध सूत्र निम्नलिखित हैं:
(i)शंकु के छिन्नक का आयतन=\frac{1}{3} \pi h \left(r_1^2+r_2^2+r_{1} r_{2}\right)
(ii)शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =\pi l\left(r_1+r_2\right) जहाँ l=\sqrt{h^2+\left(r_1-r_2\right)^2}
(iii) शंकु के छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल =\pi l\left(r_1+r_2\right) +\pi\left(r_1^2+ r_2^2\right)
h=छिन्नक की (उर्ध्वाधर)ऊँचाई,l=छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई,
r_1 और r_2 छिन्नक के दोनों वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Volume of Combination of Solids 10th),शंकु का छिन्नक कक्षा 10 (Frustum of Cone Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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ठोसों का संयोजन कक्षा 10 (Volume of Combination of Solids 10th) के इस आर्टिकल
में ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल,ठोसों के संयोजन का आयतन,एक ठोस का एक आकार
से दूसरे आकार में रूपान्तरण तथा शंकु के छिन्नक पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
