Vogel Approximation Method

Mathematics Satyam January 23, 2025 Linear Programming No Comments

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1 1.वोगल सन्निकटन विधि (Vogel Approximation Method),उत्तर-पश्चिम कोने वाला नियम से परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problem by North-west Corner Rule):

1.1 2.वोगल सन्निकटन विधि पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Vogel Approximation Method):

1.2 3.वोगल सन्निकटन विधि पर आधारित सवाल (Questions Based on Vogel Approximation Method):

1.2.1 4.वोगल सन्निकटन विधि (Frequently Asked Questions Related to Vogel Approximation Method),उत्तर-पश्चिम कोने वाला नियम से परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problem by North-west Corner Rule) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.2 प्रश्न:1.परिवहन समस्या को परिभाषित कीजिए। (Define Transportation Problem):

1.2.3 प्रश्न:2.परिवहन लागत के लिए आरम्भिक सुसंगत हल को परिभाषित कीजिए। (Define Initial Feasible Solution for a Transportation Problem):

1.2.4 प्रश्न:3.परिवहन लागत के लिए आधारी सुसंगत हल को परिभाषित कीजिए। (Define B. F. S. for a Transportation Problem):

1.2.4.1 Vogel Approximation Method

2 वोगल सन्निकटन विधि (Vogel Approximation Method)

2.1 Vogel Approximation Method

1.वोगल सन्निकटन विधि (Vogel Approximation Method),उत्तर-पश्चिम कोने वाला नियम से परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problem by North-west Corner Rule):

Vogel Approximation Method

वोगल सन्निकटन विधि (Vogel Approximation Method) तथा उत्तर-पश्चिम कोने वाला नियम से परिवहन समस्या के सवालों को हल करके इष्टतम हल ज्ञात करना सीखेंगे और परिवहन लागत ज्ञात करेंगे।
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2.वोगल सन्निकटन विधि पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Vogel Approximation Method):

Example:1(a).निम्न परिवहन समस्या का उत्तर-पश्चिम कोने वाला नियम की सहायता से आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए।
(Find only B. F. S. by North-West corner rule of the following transportation problem.)

$\begin{array}{c|ccc|c} \multicolumn{1}{c}{\text{O/D}} & \longleftarrow & \text{To} & \multicolumn{1}{c}{\longrightarrow} & \text{supply} \\ \multicolumn{1}{c}{} & D_{1} & D_{2} & \multicolumn{1}{c}{D_{3} } & \\ \cline{2-4} O_{1} & 2 & 7 & 4 & 5 \\ O_{2} & 3 & 3 & 1 & 8 \\ O_{3} & 5 & 4 & 7 & 7 \\ O_{4} & 1 & 6 & 2 & 14 \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{\text{Demand}}& 7 & 9 & \multicolumn{1}{c}{18} & 34 \end{array}$
Solution:इस विधि में उपलब्ध इकाइयाँ को कोष्ठकों में आंवटन इस प्रकार करते हैं कि दिए हुए पंक्ति योग तथा स्तम्भ योग पूर्व के अनुसार सदैव समान रहे।
चरण (Step):I.(1.)कोष्ठक (1,1) से आंवटन प्रारम्भ करते हैं।कोष्ठक उत्तर-पश्चिम में स्थित है।(1,1) कोष्ठक में $\min \left(a_1, b_1\right)$ अर्थात् min(5,7)=5 इकाई का आंवटन करते हैं और इसे कोष्ठक (1,1) में 5(2) लिखते हैं।
(2.)इसके बाद supply शेष नहीं है अतः कोष्ठक (1,2),(1,3) पर आंवटन शून्य है।
चरण (Step):II. $a_{2}$ पर उपलब्ध supply $a_{2}$ =8 हैं इनको द्वितीय पंक्ति में निम्न प्रकार आवंटित करते हैं:
(1.)कोष्ठक (2,1) में शेष= $b_1-\min \left(a_1, b_1\right)$ =7-5=2 supply में से आंवटन करनी है।अब min(2,8)=2 आवंटित करते हैं और कोष्ठक (2,1) में 2(3) लिखते हैं।
(2.)कोष्ठक (2,2) में शेष 8-2=6 supply में से आवंटन करते हैं।पुनः चरण (Step):I के (1.) के अनुसार कोष्ठक (2,2) में (शेष की supply) अर्थात् min(6,9)=6 supply का आंवटन करते हैं।इसे 6(3) लिखते हैं।
(2.)इसके बाद supply शेष नहीं है अतः कोष्ठक (2,3) पर आंवटन शून्य है।
चरण (Step):III. $O_{3}$ पर supply 14 है जिनका चरण (Step):II के अनुसार तृतीय पंक्ति में आंवटन करते हैं जो निम्न हैं:
(1.)कोष्ठक (3,1) में आंवटन शून्य है क्योंकि $D_{1}$ की माँग पूरी हो चुकी है।
(2.)अब $D_{2}$ की माँग 9-6=3 supply को चरण:I के (1.) के अनुसार आंवटन करते हैं इसलिए कोष्ठक (3,2) में min(3,7)=3 supply का आंवटन करते हैं।इसे 3(4) लिखते हैं।
(3.)कोष्ठक (3,3) के लिए अब supply 7-3=4 हैं।इसे चरण:I के (1.) के अनुसार आंवटन करते हैं इसलिए कोष्ठक (3,3) में min(4,18)=4 supply का आंवटन करते हैं।इसे 4(7) लिखते हैं।
चरण (Step):IV. $O_{4}$ पर supply 14 है जिनका चरण (Step):II. के अनुसार चतुर्थ पंक्ति में आंवटन करते हैं जो निम्न हैं:
(1.)कोष्ठक (4,1) में आंवटन शून्य है क्योंकि की माँग पूरी हो चुकी है।
(2.)कोष्ठक (4,2) में आंवटन शून्य है क्योंकि $D_{2}$ की माँग पूरी हो चुकी है।
(3.)कोष्ठक (4,3) की supply 14 है क्योंकि शेष supply तथा माँग $(=b_{3})$ दोनों 14 हैं। इसलिए कोष्ठक (4,3) में 14 इकाइयाँ आंवटन करते हैं।इसे 14(2) लिखते हैं।
इसके पश्चात पंक्ति योग $\left(=\Sigma a_i\right)$ तथा स्तम्भ आंवटन योग $\left(=\sum b_j\right)$ की जाँच कर लेते हैं।इस प्रकार सारणी प्राप्त होती है।

$\begin{array}{|c|ccc|c|} \hline O/D & \longleftarrow & \text{To} & \longrightarrow & \\ & D_{1} & D_{2} & D_{3} & \text{supply} \\ \hline O_1 & 5(2) & & & 5\left(=a_1\right) \\ O_2 & 2(3) & 6(3) & & 8\left(=a_2\right) \\ O_3 & & 3(4) & 4(7) & 7\left(=a_3\right) \\ O_4 & & & 14(2) & 14\left(=a_4\right) \\ \hline \text{Demand} & 7\left(=b_1\right) & 9\left(=b_2\right) & 18\left(=b_3\right) & 34 \\ \hline \end{array}$
उत्तर-पश्चिम कोने वाले नियम से प्राप्त आधारी सुसंगत हल से लागत आंवटन इकाइयों के दिए हुए मूल्य से गुणा कर योग करने पर अभीष्ट परिवहन लागत (व्यय):

$x_{11}=5, x_{21}=2, x_{22}=6, x_{32}=3, x_{33}=4, x_{43}=14 \\ =5 \times 2+2 \times 3+6 \times 3+3 \times 4+4 \times 7+14 \times 2 \\ =10+6+18+12+28+28=102$
Example:1(b).निम्न परिवहन समस्या को हल कीजिए द्वारा:
(Solve the following T.P. by)
(i)उत्तर-पश्चिम कोने वाला नियम (North-West corner rule)
(ii)वोगल सन्निकटन विधि (Vogel Approximation Rule)

$\begin{array}{|c|cccc|c|} \hline & D_{1} & D_{2} & D_{3} & \\ \hline O_1 & 1 & 2 & 1 & 4 & 30 \\ O_2 & 3 & 3 & 2 & 1 & 50 \\ O_3 & 4 & 2 & 5 & 9 & 20 \\ \hline & 20 & 40 & 30 & 10 & 100 \\ \hline \end{array}$
Solution:चरण (Step):I.(1.)कोष्ठक (1,1) से आंवटन प्रारम्भ करते हैं।कोष्ठक (1,1) उत्तर-पश्चिम में स्थित है।(1,1) कोष्ठक में $\min \left(a_1, b_1\right)$ अर्थात् (30,20)=20 इकाई का आंवटन करते हैं और इसे कोष्ठक (1,1) में 20(1) लिखते हैं।
(2.)इसके बाद कोष्ठक (1,2) पर आंवटन ( $a_{1}$ की शेष इकाइयाँ , $b_{2}$ ) अर्थात् min(10,40)=10 इकाइयों का आंवटन करते हैं।अब कोई इकाइयाँ शेष नहीं है अतः कोष्ठक (1,3) व (1,4) पर आंवटन शून्य है।
चरण (Step):II. $O_{2}$ पर उपलब्ध इकाइयाँ 50 हैं इनको द्वितीय पंक्ति में निम्न प्रकार आवंटित करते हैं।
(1.)कोष्ठक (2,1) में शेष $b_1-\min \left(a_1, b_1\right)$ =20-20=0 अर्थात् 0 आंवटन करना है।
(2.)कोष्ठक (2,2) में $b_1-\min \left(a_1, b_1\right)$ =40-10=30 इकाइयों में से आंवटन करना है।अब min(30,50)=30 आवंटित करते हैं और कोष्ठक (2,2) में 30(3) लिखते हैं।
(2.)कोष्ठक (2,3) में शेष 50-30=20 इकाइयों में से आंवटन करते हैं।पुनः चरण (Step):I. के (1.) के अनुसार कोष्ठक (2,3) में (शेष की इकाइयाँ) अर्थात् min (20,30)=20 इकाइयाँ आंवटन करते हैं।इसे 20(2) लिखते हैं।
(3.)कोष्ठक (2,4) में आंवटन शेष शून्य होगा।
चरण (Step):III. $O_{3}$ पर उपलब्ध इकाइयाँ 20 है जिनको चरण (Step):II के अनुसार तृतीय पंक्ति में आंवटन करते हैं जो निम्न हैं:
(1.)कोष्ठक (3,1) में आंवटन शून्य है क्योंकि $D_{1}$ की इकाइयाँ पूरी हो चुकी है।
(2.)कोष्ठक (3,2) में आंवटन शून्य क्योंकि $D_{2}$ की इकाइयाँ पूरी हो चुकी है।
(3.)अब $D_{3}$ की शेष इकाइयाँ 30-20=10 इकाइयों की चरण:I के (1.) के अनुसार आंवटन करते हैं इसलिए कोष्ठक (3,3) में min(10,20)=10 इकाइयों का आंवटन करते हैं।इसे 10(5) लिखते हैं।
(4.)कोष्ठक (3,4) के लिए अब उपलब्ध 20-10=10 इकाई हैं क्योंकि शेष $O_{3}$ की इकाई तथा $D_{4}$ की इकाई $\left(=b_4\right)$ दोनों 10 हैं।इसलिए कोष्ठक (3,4) में 10 इकाइयाँ आंवटन करते हैं।इसे 10 (9) लिखते हैं।
इसके पश्चात पंक्ति आंवटन योग $\left(=\Sigma a_i\right)$ तथा स्तम्भ आंवटन $\left(=\Sigma b_j\right)$ की जाँच कर लेते हैं।इस प्रकार सारणी प्राप्त होती है:

$\begin{array}{|l|llll|l|} \hline & D_{1} & D_{2} & D_{3} & D_{4} & \\ \hline O_1 & 20(1) & 10(2) & & &30 \left(=a_1\right) \\ O_2 & & 30(3) & 20(2) & & 50\left(=a_2\right) \\ O_3 & & & 10(5) & 10(9) & 20\left(=a_3\right) \\ \hline & 20\left(=b_1\right) & 40\left(=b_2\right) & 30\left(=b_3\right) & 10\left(=b_3\right) & 100 \\ \hline\end{array}$
उत्तर-पश्चिम कोने वाले नियम से प्राप्त आधारी सुसंगत हल से लागत आंवटन इकाइयों के दिए हुए मूल्य से गुणा कर योग करने पर अभीष्ट परिवहन लागत (व्यय):
$x_{11}=20, x_{12}=10, x_{22}=30, x_{23}=20, x_{33}=10, x_{34} =10 \\=20 \times 1+10 \times 2+30 \times 3+20 \times 2+10 \times 5+10 \times 5 \\=20+20+90+40+50+90=310$
वोगल सन्निकटन विधि या इकाई लागत शास्ति विधि (Vogel approximation or Unit cost penalty method):
पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आंवटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penality) कहते हैं।

$\begin{array}{|c|cccc|c|c|} \hline & D_{1} & D_{2} & D_{3} & D_{4} & &\text {penalty} \\ \hline O_1 & (1) & (2) & (1) & (4) & 30 & (1) \\ O_2 & (3) & (3) & (2) & (1) & 50 & (1) \\ O_3 & (4) & (2) & (5) & (9) & 20 & (2) \\ \hline & 20 & 40 & 30 & 10 & 100 & \\ \text {penalty} & (2) & (1) & (1) & (3) & & \\ \hline \end{array}$
पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाला तृतीय स्तम्भ है जिसकी शास्ति 3 है अतः प्रथम न्यूनतम वाले कोष्ठक (2,4) को चुनते हैं इसमें min(50,10)=10 इकाइयाँ आवंटन कर देते हैं इसमें चतुर्थ स्तम्भ की सीमा पूरी हो गई इसलिए इस स्तम्भ को हटा देते हैं।

$\begin{array}{|c|cccc|c|} \hline & D_{1} & D_{2} & D_{3} & D_{4} & \\ \hline O_1 & (1) & (2) & (1) & (4) & 30(1) \\ O_2 & (3) & (3) & (2) & 10(1) & 50(1) \\ O_3 & (4) & (2) & (5) & (9) & 20(2) \\ \hline & 20(2) & 40(1) & 30(1) & 0(3) & \\ \hline \end{array}$
चतुर्थ स्तम्भ को हटाने पर:

$\begin{array}{|c|ccc|c|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{} & D_{1} & D_{2} & \multicolumn{1}{c}{D_{3}} & \\ \hline O_1 & (1) & (2) & (1) & 20(1) \\ O_2 & (3) & (3) & (2) & 40(1) \\ O_3 & (4) & (2) & (5) & 20(2) \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{} & 20(2) & 40(1) & \multicolumn{1}{c}{30(1)} & \end{array}$
पद (Step):III.अब चतुर्थ स्तम्भ को निरस्त कर पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाले स्तम्भ-1 तथा पंक्ति-3 में से एक को चुनते हैं।प्रथम स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (1,1) में अधिकतम आंवटन करते हैं और सीमा पूरी नहीं होने पर पंक्ति-3 में (3,2) पर अधिकतम आवंटन करते हैं।यहाँ कोष्ठक (1,1) में min(20,20)=20 आवंटित करते हैं।शेष 30-20=10 इकाई कोष्ठक (1,3) में min(10,30)=10 आवंटित करते हैं।अधिकतम शास्ति वाली तीसरी पंक्ति में कोष्ठक (3,2) में न्यूनतम लागत 2 पर min(20,40)=20 इकाइयाँ आवंटन करते हैं।इसके पश्चात केवल दूसरी पंक्ति पर ही आवंटन किया जा सकता है।दूसरी पंक्ति में न्यूनतम लागत 2 को min(40,20)=20 तथा शेष 40-20=20 का आवंटन कोष्ठक (2,2) पर (20,20)=20 का आवंटन कर देते हैं।

$\begin{array}{|c|ccc|c} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{} & D_{1} & D_{2} & \multicolumn{1}{c}{D_{3}} & \\ \hline O_1 & 20(1) & (2) & 10(1) & 30(1) \\ O_2 & (3) & 20(3) & 20(2) & 40(1)\\ O_3 & (4) & 20(2) & (5) & 20(2) \\ \hline & 20(2) & 40(1) & & \multicolumn{1}{c}{30(1)} & \end{array}$
अतः अभीष्ट सुसंगत हल की नियतन सारणी निम्न हैः

$\begin{array}{|c|cccc|c|} \cline{2-5} \multicolumn{1}{c}{} & D_{1} & D_{2} & D_{3} & D_{4} & \multicolumn{1}{c}{} \\ \hline O_1 & 20(1) & & 10(1) & & 30 \\ O_2 & & 20(3) & 20(2) & 10(1) & 50 \\ O_3 & & 20(2) & & &20 \\ \hline & 20 & 40 & 30 & \multicolumn{1}{c}{10} & 100 \\ \hline\end{array}$
इस हल से लागत:
$x_{11}=20, x_{13}=10, x_{22}=20 , x_{23}=20, x_{24}=10, x_{32}=20 \\ =20×1+ 10×1+20×3+ 20×2 +10×1+20×2$
निम्नतम लागत=20+10+60+40+10+40=180

Vogel Approximation Method

निम्न परिवहन समस्या हल कीजिए:
(Solve the following transportation problem):
$\begin{array}{|c|ccc|c|} \hline \text{स्थिति} & \text{परिवहन } & \text{लागत} & & \text{पूर्ति (Supply)} \\ \text{(Location)} & \text{(Transpoatation } & \text{cost)} & &\\ \text{Plant} & 1 & 2 & 3 & \\ \hline P_{1} & 4 & 8 & 8 & 56 \\ P_{2} & 16 & 24 & 16 & 82 \\ P_{3} & 8 & 16 & 24 & 77 \\ \hline \text{माँग (Demand)} & 72 & 102 & 41 & 215 \\ \hline \end{array}$
Solution:वोगल सन्निकटन विधि या इकाई लागत विधि:
पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penality) कहते हैं।

$\begin{array}{|c|ccc|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & & \text{Penalty}\\ \hline P_{1} & (4) & (8) & (8) & 56 & (4) \\ P_{2} & (16) & (24) & (16) & 82 & (8) \\ P_{3} & (8) & (16) & (24) & 77 & (8) \\ \hline 72 & 102 & 41 & 215 \\ \text{Penalty} & (4) & (8) & (8) & \\ \hline \end{array}$
पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाली द्वितीय व तृतीय पंक्ति तथा द्वितीय व तृतीय स्तम्भ है जिसकी शास्ति 8 है।अतः द्वितीय पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,1) को चुनते हैं इसमें min(82,72)=72 इकाइयाँ आवंटन कर देते हैं शेष 82-72=10 इकाइयाँ कोष्ठक (2,3) पर min(10,41)=10 इकाइयाँ आवंटन कर देते हैं।इस प्रकार द्वितीय पंक्ति की सीमा पूरी हो जाती है इसलिए इस पंक्ति को हटा देते हैं।

$\begin{array}{|ccc|c} 1 & 2 & 3 \\ \cline{1-3} (4) & (8) & (8) & 56(4) \\ 72(16) & (24) & 10(16) & 0 \\ (8) & (16) & (24) & 77(8) \\ \cline{1-3} \multicolumn{1}{c}{} & 102(8) & \multicolumn{1}{c}{31(8)} \end{array}$
द्वितीय पंक्ति व प्रथम स्तम्भ को हटाने पर:

$\begin{array}{c|cc|c} \cline{2-3} & 25(8) & 31(8) & 56(4) \\ & 77(16) & (24) & 77(8) \\ \cline{2-3} \multicolumn{1}{c}{} & 102(8) & \multicolumn{1}{c}{31(8)} \end{array}$
पद (Step):III.अब द्वितीय पंक्ति व प्रथम स्तम्भ को निरस्त करने के बाद पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाले स्तम्भ-3 तथा पंक्ति-3 में से एक को चुनते हैं।तृतीय पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,2) में अधिकतम आवंटन min(77,102)=77 इकाइयाँ करते हैं और सीमा पूरी होने पर अधिकतम शास्ति वाले तृतीय स्तम्भ में न्यूनतम लागत 8 पर आवंटन min(56,31)=31 करते हैं।अब कोष्ठक (1,2) पर आवंटन min(25,25) करते हैं।
उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:

$\begin{array}{|c|ccc|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & \text { supply } \\ \hline P_{1} & & 25(8) & 31(8) & 56 \\ P_{2} & 72(16) & & 10(16) & 82 \\ P_{3} & &77(16) & & 77 \\\hline \text{Demand} & 72 & 102 & 41 & \\ \hline \end{array}$
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ बनाते हैं एवं मैट्रिक्स ज्ञात करते हैं:

$u_i$ तथा $v_j$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccc|c} & & & & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-4} & & *(8) & *(8) & -8 \\ &*(16) & & *(16) & 0 \\ & & *(16) & & 0\\ \cline{2-4} v_{j} \to & 16 & 16 & 16 \end{array}$
$u_i$ तथा $v_j$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली पंक्ति या स्तम्भ को चुनते हैं।यहाँ प्रथम,द्वितीय पंक्ति तथा द्वितीय स्तम्भ ऐसा है।अतः $u_{2}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $c_{ij}=u_i+v_j$ का उपयोग करके $u_i$ तथा $v_j$ का मान ज्ञात करते हैं।

$C_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 16=0+v_3 \Rightarrow v_3=16 \\ C_{13}=u_1+v_3 \Rightarrow 8=u_1+16 \Rightarrow u_1=-8 \\ C_{12}=u_1+v_2 \Rightarrow 8=-8+v_2 \Rightarrow v_2=16 \\ C_{21}=u_2+v_1 \Rightarrow 16=0+v_1 \Rightarrow v_1=16 \\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 16=u_3+16 \Rightarrow u_3=0$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccc} 8 & * & * \\ * & 16 & * \\ 16 & * & 16 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$

$\left[c_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 4 & * & * \\ * & 24 & * \\ 8 & * & 24 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

$\left[d_{i j}\right] =\left[c_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\ =\left[\begin{array}{lll} 4 & * & * \\ * & 24 & * \\ 8 & * & 24 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 8 & * * \\ * & 16 * \\ 16 & * 16\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[d_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -4 & * & * \\ * & 8 & * \\ -8 & * & 8 \end{array}\right]$
मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ में $d_{11}=-4$ व $d_{31}=-8$ के अतिरिक्त सभी रिक्त कोष्ठिकाओं से सम्बन्धित मूल्यांकन धनात्मक है इसलिए यह इष्टतम हल नहीं है।अतः कोष्ठक (3,1) को आवंटन कर इस हल को सुधारते हैं।चूँकि $d_{31}=-8$ न्यूनतम $\left[d_{ij}\right]$ है इसलिए इस कोष्ठक की अधिकतम आवंटन किसी भरे हुए कोष्ठक से करते हैं।शेष आवंटन में परिवर्तन करते हैं जैसा कि नीचे सारणी में दर्शाया गया है।यहाँ अधिकतम आवंटन माना $\theta$ है।बन्द लूप के कोने पर $-\theta$ वाले नियतन में से न्यूनतम को शून्य के बराबर रखकर $\theta$ का मान ज्ञात करते हैं।

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 25(8) & 31(8) \\ & +\theta \to & -\theta \downarrow \\ \hline & & +\theta \\ 72(16) & \uparrow & 10(16) \\ -\theta & \leftarrow & \\ \hline +\theta \rightarrow & -\theta & \\ & 77(16) & \\ \hline \end{array} \\ \min \left( 72-\theta,77-\theta,31-\theta \right)=0 \\ \Rightarrow 31-\theta =0 \\ \Rightarrow \theta=31$
इस प्रकार कोष्ठिका (1,3) में आवंटन शून्य हो जाता है अर्थात् यह खाली कोष्ठिका हो जाती है।नया आधारी हल निम्न सारणी में दर्शाया गया है:

$\begin{array}{|lll|} \hline & 56(8) & \\ 41(16) & & 41(16) \\ 31(8) & 46(16) & \\ \hline \end{array}$
इस हल के इष्टतम का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
$u_i$ तथा $v_j$ के लिए सारणी

$\begin{array}{c|ccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i}\\ \cline{2-4} & & *(8) & & -16 \\& *(16) & & *(16) & 0\\ & *(8) & *(16) & &- 8 \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{V_{j}} & 16 & \multicolumn{1}{c}{24} & 16 \\ \end{array} \\ C_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 16=0+v_3 \Rightarrow v_3=16 \\ C_{21}=u_2+v_1 \Rightarrow 16=0+v_1 \Rightarrow v_1=16 \\ C_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 8=u_3+16 \Rightarrow u_3=-8 \\\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 16=-8+v_2 \Rightarrow v_2=24 \\ C_{12}=u_1+v_2 \Rightarrow 8=u_1+24 \Rightarrow u_1=-16$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & * & 0 \\ * & 24 & * \\ * & * & 8 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

$\left[c_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 4 & * & 8 \\ * & 24 & * \\ * & * & 24 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

$\left[d_{i j}\right]=\left[c_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] =\left[\begin{array}{ccc} 4 & * & 8 \\ * & 24 & * \\ * & * & 24\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc} 0 & * & 0 \\ * & 24 & * \\ * & * & 8 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc} 4 & * & 8 \\ * & 0 & * \\ * & * & 16 \end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ के सभी अवयव धनात्मक है अतः उपर्युक्त आधारी इष्टतमत्व हल है तथा अद्वितीय है।अतः इस से प्राप्त कुल लागत:
$x_{12}=56, x_{21}=41, x_{23}=41, x_{31}=31, x_{32}=46$
कुल लागत=56×8+41×16+41×16+31×8+46×16
=448+656+656+248+736
=2744
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वोगल सन्निकटन विधि (Vogel Approximation Method),उत्तर-पश्चिम कोने वाला नियम से परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problem by North-west Corner Rule) को समझ सकते हैं।

3.वोगल सन्निकटन विधि पर आधारित सवाल (Questions Based on Vogel Approximation Method):

Vogel Approximation Method

निम्न परिवहन समस्याओं का प्रारम्भिक आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए:
(Obtain initial basic feasible solutions for the following transportation problems):
(1.) $\begin{array}{c|cccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & D_1 & D_2 & D_3 & \multicolumn{1}{c}{D_4} & \text{supply} \\ \cline{2-5} F_1 & 19 & 14 & 23 & 11 & 11 \\ F_2 & 15 & 16 & 12 & 21 & 13 \\ F_3 & 30 & 25 & 16 & 39 & 19 \\ \cline{2-5} \multicolumn{1}{c}{\text{Demand}} & 6 & 10 & 12 & \multicolumn{1}{c}{\text{15}} & 43 \end{array}$
(2.) $\begin{array}{c|ccccc|c} \multicolumn{7}{c}{\text{To}} \\ \multicolumn{1}{c}{} & D_1 & D_2 & D_3 & D_4 & \multicolumn{1}{c}{D_5} & \\ \cline{2-6} F_1 & 3 & 4 & 6 & 8 & 9 & 20 \\ F_2 & 2 & 10 & 1 & 5 & 8 & 30 \\ F_3 & 7 & 11 & 20 & 40 & 3 & 15 \\ F_4 & 2 & 1 & 9 & 14 & 16 & 13 \\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{c}{} & 40 & 6 & 8 & 18 & \multicolumn{1}{c}{6} & 78 \\ \multicolumn{7}{c}{\text{Demand}}\end{array}$
उत्तर (Answers):(1.) $x_{11}=6, x_{12}=5, x_{22}=5, x_{23}=8, x_{34}=4, x_{33}=15$
(2.) $x_{11}=20, x_{21}=20, x_{22}=6, x_{23}=4, x_{33}=4, x_{34}=11, x_{44}=11, x_{45}=6$
(2.)परिवहन लागत=Rs.664
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वोगल सन्निकटन विधि (Vogel Approximation Method),उत्तर-पश्चिम कोने वाला नियम से परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problem by North-west Corner Rule) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वोगल सन्निकटन विधि (Frequently Asked Questions Related to Vogel Approximation Method),उत्तर-पश्चिम कोने वाला नियम से परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problem by North-west Corner Rule) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.परिवहन समस्या को परिभाषित कीजिए। (Define Transportation Problem):

उत्तर:व्यापार में कई बार ऐसा लगता है कि किसी एक प्रकार की वस्तु विभिन्न स्थानों पर उपलब्ध है और इस वस्तु को माँग वाले विभिन्न स्थानों पर भेजना होता है।जहाँ वस्तु उपलब्ध है उस स्थान को स्रोत (source) या उद्गम स्थान (origin) या उत्पादन केन्द्र (production Centre) कहते हैं तथा माँग वाले स्थानों को गन्तव्य स्थान (Destination) या उपभोक्ता (consumer) या गोदाम (warehouse) कहते हैं।ऐसी समस्याओं को हल करते समय प्रबन्धक व्यवसायी का मूल उद्देश्य यह होता है कि न्यूनतम लागत योजना (मार्ग) द्वारा किस प्रकार उपलब्ध मात्रा में सभी स्थानों की माँगों को पूरा किया जा सकता है।इस प्रकार की समस्याएं परिवहन (transportation) या वितरण (distribution) की समस्याएँ कहलाती हैं।

प्रश्न:2.परिवहन लागत के लिए आरम्भिक सुसंगत हल को परिभाषित कीजिए। (Define Initial Feasible Solution for a Transportation Problem):

उत्तर:परिवहन समस्या का सुसंगत हल व्यक्तिगत निर्दिष्ट किए गए ऋणेतर मानों का समुच्चय है जो पंक्ति के अवयवों (उपलब्धता) तथा स्तम्भ के अवयवों (माँगों) के योग प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करते हैं।

प्रश्न:3.परिवहन लागत के लिए आधारी सुसंगत हल को परिभाषित कीजिए। (Define B. F. S. for a Transportation Problem):

उत्तर:एक m×n परिवहन समस्या का सुसंगत हल आधारी सुसंगत हल कहलाता है यदि $x_{ij}$ के धनात्मक नियतन की संख्या=m+n-1 अर्थात् पंक्ति तथा स्तम्भ के जोड़ से एक कम हो।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वोगल सन्निकटन विधि (Vogel Approximation Method),उत्तर-पश्चिम कोने वाला नियम से परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problem by North-west Corner Rule) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Vogel Approximation Method

वोगल सन्निकटन विधि
(Vogel Approximation Method)