1.सदिश राशि कक्षा 12 (Vectors Class 12),सदिश (Vectors):

Vectors Class 12

सदिश राशि कक्षा 12 (Vectors Class 12) के इस आर्टिकल में सदिशों के प्रकार,अदिश तथा सदिश राशियों पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.सदिश राशि कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Vectors Class 12):

Example:1.उत्तर से 30° पूर्व में 40 km के विस्थापन का आलेखीय निरूपण कीजिए।
Solution:सदिश \overrightarrow{OP}=20 \hat{i}+20 \sqrt{3} \hat{j} अभीष्ट सदिश को चित्र में निरूपित करता है।

Vectors Class 12

Example:2.निम्नलिखित मापों को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
Example:2(i).10 kg
Solution:अदिश
Example:2(ii).2 मीटर उत्तर-पश्चिम
Solution:सदिश
Example:2(iii).40°
Solution:अदिश
Example:2(iv).40 वाट
Solution:अदिश
Example:2(v).10^{-19} कूलम्ब
Solution:अदिश
Example:2(vi).20
Solution:सदिश
Example:3.निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशियों के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
Example:3(i).समय कालांश
Solution:अदिश राशि
Example:3(ii).दूरी
Solution:अदिश राशि
Example:3(iii).बल
Solution:सदिश राशि
Example:3(iv).वेग
Solution:सदिश राशि
Example:3(v).कार्य
Solution:अदिश राशि
Example:4.आकृति (एक वर्ग) में निम्नलिखित सदिशों को पहचानिए।

Vectors Class 12

Example:4(i).सह-आदिम सदिश
Solution:सह-आदिम सदिश
\overrightarrow{a} तथा \overrightarrow{d} दोनों का एक ही प्रारम्भिक बिन्दु है।
Example:4(ii).समान
Solution:सदिश  \overrightarrow{b} और \overrightarrow{d} समान सदिश हैं क्योंकि दोनों की दिशा और परिणाम समान है।
Example:4(iii).संरेख परन्तु असमान
Solution:सदिश  \overrightarrow{a} और \overrightarrow{c} संरेख है परन्तु असमान है।
Example:5.निम्नलिखित का उत्तर सत्य और असत्य के रूप में दीजिए।
Example:5(i). \overrightarrow{a} तथा –\overrightarrow{a} संरेख है।
Solution:सत्य
Example:5(ii).दो संरेख सदिशों का परिणाम सदैव समान होता है।
Solution:असत्य
Example:5(iii).समान परिणाम वाले दो सदिश संरेख होते हैं।
Solution:असत्य
Example:5(iv).समान परिणाम वाले दो संरेख सदिश समान होते हैं।
Solution:असत्य
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सदिश राशि कक्षा 12 (Vectors Class 12),सदिश (Vectors) को समझ सकते हैं।

3.सदिशों के प्रकार (Types of Vectors):

Vectors Class 12

(1.)शून्य सदिश (zero (null) vector):
एक सदिश जिसके प्रारम्भिक एवं अन्तिम बिन्दु सम्पाती होते हैं,शून्य सदिश कहलाता है और इसे \overrightarrow{0} के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।शून्य सदिश को कोई दिशा प्रदान नहीं की जा सकती क्योंकि इसका परिणाम शून्य होता है अथवा विकल्पतः इसको कोई भी दिशा धारण किए हुए माना जा सकता है।सदिश \overrightarrow{AA} , \overrightarrow{BB} शून्य सदिश को निरूपित करते हैं।
(2.)मात्रक सदिश (Unit Vector):
एक सदिश जिसका परिणाम एक (अथवा 1 इकाई) है मात्रक सदिश कहलाता है।किसी दिए हुए सदिश \overrightarrow{a} की दिशा में मात्रक सदिश को  \hat{a} से निर्दिष्ट किया जाता है।
(3.)सह-आदिम सदिश (Co-initial vectors):
दो अथवा अधिक सदिश जिनका एक ही प्रारम्भिक बिन्दु है,सह-आदिम सदिश कहलाते हैं।
(4.)संरेख सदिश (Collinear Vectors):
दो अथवा अधिक सदिश यदि एक ही रेखा के समान्तर है तो वे संरेख सदिश कहलाते हैं।
(5.)समान सदिश (Equal Vectors):
दो सदिश \overrightarrow{a} तथा \overrightarrow{b} समान सदिश कहलाते हैं यदि उनके परिणाम एवं दिशा समान हैं।इनको \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b} के रूप में लिखा जाता है।
(6.)ऋणात्मक सदिश (Negative of Vector):
एक सदिश जिसका परिणाम दिए हुए सदिश (मान लीजिए) के समान है परन्तु जिसकी दिशा दिए हुए सदिश की दिशा के विपरीत है,दिए हुए सदिश का ऋणात्मक कहलाता है।
उदारणतः, \overrightarrow{BA} सदिश \overrightarrow{AB} का ऋणात्मक है और इसे \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} के रूप में लिखा जाता है।

4.सदिश राशि कक्षा 12 की समस्याएँ (Vectors Class 12 Problems):

Vectors Class 12

(1.)निम्नलिखित राशियों में बताइए कि कौन सदिश हैं तथा कौन अदिश हैं?
(i)50 सेकण्ड, (ii)500 \text{मीटर}^{2} (iii)10 किमी/घण्टा, (iv)30 ग्राम/\text{सेमी}^{3} (v)36मीटर/सेकण्ड उत्तर दिशा में (vi)5 N
(2.)पूरब से 60° उत्तर में 30 km के विस्थापन का आलेखीय निरूपण कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)सदिश राशि:(v)36मीटर/सेकण्ड उत्तर दिशा में
अदिश राशिः(i)50 सेकण्ड, (ii)500 \text{मीटर}^{2} (iii)10 किमी/घण्टा, (iv)30 ग्राम/ \text{सेमी}^{3},(vi)5 N
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सदिश राशि कक्षा 12 (Vectors Class 12),सदिश (Vectors) को समझ सकते हैं।

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5.सदिश राशि कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Vectors Class 12),सदिश (Vectors) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.सदिश राशियों को परिभाषित कीजिए। (Define the Vector Quantities):

उत्तर:ऐसी राशियाँ जिसमें परिणाम एवं दिशा दोनों होते हैं,सदिश राशियाँ कहलाती हैं।जैसे:विस्थापन,वेग,त्वरण,बल,भार,संवेग,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता आदि।

प्रश्न:2.अदिश राशियों को परिभाषित कीजिए। (Define the Scalar Quantities):

उत्तर:ऐसी राशियाँ जिसमें केवल परिमाण होता है अदिश राशियाँ कहलाती हैं।जैसेःलम्बाई,द्रव्यमान,समय,दूरी,गति,क्षेत्रफल,आयतन,तापमान,कार्य,घन,वोल्टता,घनत्व,प्रतिरोधक आदि।

प्रश्न:3.दिक कोसाइन किसे कहते हैं? (What is Direction Cosines?):

उत्तर:एक बिन्दु P(x,y,z) का स्थिति सदिश \overrightarrow{OP} (अथवा \overrightarrow{r} ) लीजिए।सदिश \overrightarrow{r} द्वारा x,y एवं z-अक्ष की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाए गए क्रमशः कोण \alpha , \beta एवं \gamma दिशा कोण कहलाते हैं।इन कोणों के कोसाइन मान अर्थात् \cos \alpha , \cos \beta एवं \cos \gamma सदिश \overrightarrow{r} के दिक-कोसाइन कहलाते हैं और सामान्यतः इनको क्रमशः l,m एवं n से निर्दिष्ट किया जाता है।
त्रिभुज OAP एक समकोण त्रिभुज है और इस त्रिभुज से हम \cos \alpha=\frac{x}{r} (r को |\overrightarrow{r}| के लिए प्रयोग किया गया है) प्राप्त करते हैं।इसी प्रकार समकोण त्रिभुजों OBP एवं OCP से हम \cos \beta=\frac{y}{r} एवं \cos \gamma=\frac{z}{r} लिख सकते हैं।इस प्रकार बिन्दु P के निर्देशांकों को (lr,mr,nr) के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सदिश राशि कक्षा 12 (Vectors Class 12),सदिश (Vectors) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

सदिश राशि कक्षा 12 (Vectors Class 12) के इस आर्टिकल में सदिशों के प्रकार,
अदिश तथा सदिश राशियों पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।