1.अमूर्त बीजगणित में उपसमष्टि (Vector Subspace in Abstract Algebra),गणित में उपसमष्टि (Vector Subspace in Maths):

Vector Subspace in Abstract Algebra

अमूर्त बीजगणित में उपसमष्टि (Vector Subspace in Abstract Algebra) के इस आर्टिकल में कुछ अन्य उदाहरणों द्वारा सदिश उपसमष्टि के गुणधर्मों और सदिश उपसमष्टि को समझेंगे।
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2.अमूर्त बीजगणित में उपसमष्टि पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Vector Subspace in Abstract Algebra):

Example:1.यदि वास्तविक संख्याओं के फील्ड पर वास्तविक संख्याओं की 2×2 कोटि के सभी मैट्रिक्स M_2(R) सदिश समष्टि है तो निम्न में यह निश्चित करो कि समुच्चय,सदिश समष्टि M_2(R) का उपसमष्टि है या नहीं:
(If M_2(R) is a vector space of all matrices of order 2×2 over the real numbers then in each of following cases,determine whether the set forms a subspace of M_2(R)):
Example:1(i). \left\{\left(\begin{array}{ll} v_1 & v_2 \\ v_3 & v_4 \end{array}\right) \mid v_1+v_4=0 ; \quad v_1, v_2, v_3, v_4 \in R\right\}
Solution: \left\{\left(\begin{array}{ll} v_1 & v_2 \\ v_3 & v_4 \end{array}\right) \mid v_1+v_4=0 ; \quad v_1, v_2, v_3, v_4 \in R\right\}
माना w_1 =\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & -2\end{array}\right) \Rightarrow v_1+v_4=0 \in W \\ w_2 =\left(\begin{array}{cc} 5 & 6 \\7 & -5 \end{array}\right) \Rightarrow v_1+v_4=0 \in W \\ w_1+w_2 =\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & -2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & -5 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc} 2+5 & 3+6 \\ 4+7 & -2-5 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{ll} 7 & 9 \\ 11 & -7 \end{array}\right) \Rightarrow v_1+v_4=0 \\ w_1+w_2 \in W
साथ ही यदि \alpha \in R तब

\alpha w_1 =\alpha\left(\begin{array}{ll} v_1 & v_2 \\ v_3 & v_4 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{ll} \alpha v_1 & \alpha v_2 \\ \alpha v_3 & \alpha v_4 \end{array}\right) \in W
अतः W, सदिश समष्टि M_2(F) के सदिश योग तथा अदिश गुणन के सापेक्ष संवृत है।
फलतः M_2(R) का W एक उपसमष्टि है।
Example:1(ii). \left\{\left(\begin{array}{ll} v_1 & v_2 \\ v_3 & v_4 \end{array}\right) \mid \begin{vmatrix}v_{1} & v_{2} \\ v_{3} & v_{4} \end{vmatrix}=0 ; \quad v_1, v_2, v_3, v_4 \in R\right\}
Solution: \left\{\left(\begin{array}{ll} v_1 & v_2 \\ v_3 & v_4 \end{array}\right) \mid \begin{vmatrix} v_{1} & v_{2} \\ v_{3} & v_{4} \end{vmatrix}=0 ; \quad v_1, v_2, v_3, v_4 \in R\right\}
माना w_1=\left(\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{array}\right) ;\left|\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{array}\right|=0\\ w_2=\left(\begin{array}{ll} 4 & 2 \\ 10 & 5 \end{array}\right);\left|\begin{array}{ll} 4 & 2 \\ 10 & 5 \end{array}\right|=0 \\ w_1+w_2=\left(\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{ll} 4 & 2 \\ 10 & 5 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc} 3+4 & 2+2 \\ 6+10 & 4+5 \end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ll} 7 & 4 \\ 16 & 9 \end{array}\right)\\ \left|\begin{array}{ll} 7 & 4 \\ 16 & 9 \end{array}\right|=63-64=-1 \neq 0\\ w_1+w_2 \notin w
अतः W, सदिश समष्टि के सदिश योग के सापेक्ष संवृत नहीं है।
फलतः का W एक सदिश उपसमष्टि नहीं है।
Example:1(iii). \left\{\begin{array}{l}v=\left(\begin{array}{ll}v_1 & v_2 \\ v_3 & v_4\end{array}\right) \end{array} V^{T}=v ; v_1, v_2, v_3, v_4 \in R\right\}
Solution: \left\{\begin{array}{l}v=\left(\begin{array}{ll}v_1 & v_2 \\ v_3 & v_4\end{array}\right) \end{array} V^{T}=v ; v_1, v_2, v_3, v_4 \in R\right\}
माना V_1=\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{array}\right) \Rightarrow V_1^T=V_1 \in W\\ V_2=\left(\begin{array}{ll} 10 & 4 \\ 4 & 10 \end{array}\right) \Rightarrow V_2^{T}=V_2 \in V\\ V_1+V_2=\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 10 & 4 \\ 4 & 10 \end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc} 2+10 & 3+4 \\ 3+4 & 2+10 \end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc} 12 & 7 \\ 7 & 12 \end{array}\right) \Rightarrow \left(V_1+V_2\right)^T=V_1+V_2\\ V_1+V_2 \in V
अब \alpha \in R तब

\alpha V_1=\alpha\left(\begin{array}{ll} v_1 & v_2 \\v_3 & v_4\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ll} \alpha v_1 & \alpha v_2 \\ \alpha v_3 & \alpha v_4 \end{array}\right) \in V
अतः V सदिश समष्टि M_{2}(F) के सदिश योग तथा अदिश गुणन के सापेक्ष संवृत है।
फलतः M_{2}(R) का V एक उपसमष्टि है।
Example:2.यदि V(F) क्षेत्र F पर n×n कोटि के किसी मैट्रिक्स का सदिश समष्टि है तो सिद्ध कीजिए कि F पर n×n कोटि के सभी सममित मैट्रिक्स का समुच्चय W, V(F) की उपसमष्टि होगा।
(If V(F) is a vector space of all n×n matrices over the field F then prove that the set W of all n×n symmetric matrices over F will be a subspace of V(F).)
Solution:शून्य मैट्रिक्स जिसका प्रत्येक अवयव शून्य है।अतः यह सममित है।
माना A=\left[a_{i j}\right] तथा B=\left[b_{i j}\right] \in W
तब a_{i j}=a_{j i} तथा b_{i j}=b_{j i} \\ a, b \in F \\ a A+b B=a[a_{ij}]+b[b_{ij}] \\ =\left[a a_{i j}+b b_{ij}\right] \\ =\left[c_{i j}\right]=c
जहाँ c_{i j}=a a_{i j}+b b_{ij} \\ c_{i j} =a a_{i j}+b b_{i j}=a a_{j i}+b b_{ji}=c_{j i}
इस प्रकार aA+bB सममित है तथा

aA+bB \in W
अतः W, V(F) की उपसमष्टि है।
Example:3.निम्न में से कौनसे समुच्चय फील्ड R  पर तीन घातीय बहुपदों के सदिश समष्टि P_{3}(x) के उपसमष्टि हैं:
(Which of the following sets are subspace of the vector space P_{3}(x) of all polynomials of degree 3 over R):
Example:3(i). \left\{\alpha_0+\alpha_1 x \mid \alpha_0 \alpha_1 \in R\right\}
Solution: \left\{\alpha_0+\alpha_1 x \mid \alpha_0 \alpha_1 \in R\right\} \\ w=\left\{\alpha_0+\alpha_{1} x \mid \alpha_0, \alpha_1 \in R\right\}
माना कि W के दो अवयव w_1 तथा w_2 हैं जहाँ

w_1=\alpha_0+\alpha_1 x, w_2=\beta_0+\beta_1 x
अब यदि \alpha_{0}, \alpha_1, \beta_0, \beta_1 \in R
तब w_1+w_2=\left(\alpha_0+\alpha_1 x\right)+\left(\beta_0+\beta_{1} x\right) \\ \Rightarrow w_1+w_2= \left(\alpha_0+\beta_0\right)+\left(\alpha_1+\beta_1\right) x
साथ ही a w_1+b w_2=a\left(\alpha_0+\alpha_1 x\right)+b\left(\beta_0+\beta_0 x\right) \\ =\left(a \alpha_0+b \beta_0\right)+\left(a \alpha_1+b \beta_{1}\right)x \in w
अब \alpha_{0},\alpha_{1}, \beta_0, \beta_{1} \subset R तथा w_1, w_2 \in w \\ \Rightarrow a \alpha_{0}+b \beta_{0}, a \alpha_{1}+b \beta_{1} \in W
अतः W, सदिश समष्टि P_{3}(x) की उपसमष्टि है।
Example:3(ii). \left\{\alpha_0+\alpha_p x+\alpha_2 x^2+\alpha_3 x^3 \mid \alpha_0+\alpha_1+ \alpha_2 + \alpha_3=0\right\}
Solution: \left\{\alpha_0+\alpha_p x+\alpha_2 x^2+\alpha_3 x^3 \mid \alpha_0+\alpha_1+ \alpha_2+ \alpha_3=0\right\} \\ w=\left\{\alpha_0+\alpha_1 x+\alpha_2 x^2+\alpha_3 x^3 \mid \alpha_0+\alpha_1 +\alpha_2+\alpha_3=a_3\right\}
माना कि W के कोई दो अवयव w_1, w_2 हैं

w_1=\alpha_0+\alpha_1 x+\alpha_2 x^2+\alpha_3 x^3, w_2=\beta_0+\beta_1 x+\beta_2 x^2+ \beta_3^3 x^3 \\ \alpha_0, \alpha_{1}, \alpha_2, \alpha_3, \beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_3 \in R \\ w_1+w_2= \alpha_0 +\alpha_1 x+\alpha_2 x^2+\alpha_3 x^3+\beta_0+\beta_1 x+\beta_2 x^2+\beta_3 x^2 \\ \Rightarrow w_1+w_2=\left(\alpha_0+\beta_0\right)+\left(\alpha_1+\beta_1\right) x+\left(\alpha_2 + \beta_2\right) x^2+\left(\alpha_3+\beta_3\right) x^3 \in w \\ =a\left(\alpha_0 +\alpha_1+\alpha_2+ \alpha_3\right) +b\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2+\beta_3\right) \\ =a \cdot 0+b \cdot 0 \\=0
अतः W, सदिश समष्टि P_{3}(x) की उपसमष्टि है।
Example:3(iii). \left\{\alpha_1 x+\alpha_2 x^2+\alpha_3 x^3 \mid \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in R\right\}
Solution: \left\{\alpha_1 x+\alpha_2 x^2+\alpha_3 x^3 \mid \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in R\right\} \\ w=\left\{\alpha_1 x+\alpha_2 x^2+\alpha_3 x^{3} \mid \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in R\right\}
माना कि W के दो अवयव w_1 तथा w_2 है जहाँ

w_1=\alpha_1 x+\alpha_2 x^2+\alpha_3 x^3, w_2=\beta_1 x+\beta_2 x^2+\beta_3 x^3
अब यदि \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2, \beta_3 \in R
तब w_1+w_2=\left(\alpha_1 x+\alpha_2 x^2+\alpha_3 x^3\right)+\left(\beta_1 x+\beta_2 x^2+ \beta_3 x^3\right) \\ =\left(\alpha_1+\beta_1\right) x+\left(\alpha_2+\beta_2\right) x^2+\left(\alpha_3+ \beta_3\right) x^3 \\ \Rightarrow w_1+w_2=\left(\alpha_1+\beta_1\right) x+\left(\alpha_2+\beta_2\right) x^2+\left(\alpha_3+\beta_3\right) x^3 \in w
साथ ही a w_1+a w_2\\ =a\left(\alpha_1 x+\alpha_2 x^2+\alpha_3 x^3\right)+b\left(\beta_1 x+\beta_2 x^2+B_3 x^3\right)\\ =\left(a \alpha_1+b \beta_1\right) x+\left(a \alpha_2+b \beta_2\right) x^2+\left(a \alpha_3+b \beta_3\right) x^3 \in w
अब \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2, \beta_3 \in R तथा w_1, w_2 \in W\\ \Rightarrow a \alpha_1+b \beta_1, a \alpha_2+b \beta_2, a \alpha_3+b \beta_3 \in w
अतः W, सदिश समष्टि P_{3}(x) की उपसमष्टि है।

Vector Subspace in Abstract Algebra

Example:4.यदि P(x) किसी अनिर्धारित x में क्षेत्र F पर सम्पूर्ण बहुपदों का सदिश समष्टि है तो सिद्ध कीजिए कि F पर अधिकतम n घात वाले सम्पूर्ण बहुपदों का समुच्चय W, P(x) का एक उपसमष्टि है।
(If P(x) be the vector space of all polynomials of degree n in one indeterminate x over a field f,then prove that the set W of all polynomials of degree less or equal to n over the field F is a subspace of P(x).)
Solution:P(x) सदिश समष्टि है।
माना W=\left\{P(x) ; P(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^{n} \right\} a_i \in F
अर्थात् W उन सभी सम्पूर्ण बहुपदों का समुच्चय है जिसकी अधिकतम घात n है या n के बराबर है।

W \subset P
माना  P_1(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i, P_2(x)=\sum_{i=0}^n b_i x^{i} \in w\\ a P_1(x)+b P_2(x)  जहाँ a, b \in F \\ =a \sum_{i=0}^n a_i x^i+b \sum_{i=0}^n b_i x^i \\ =\sum_{i=0}^n\left(a a_{i}\right) x^i+ \sum_{i=0}^{n}(b b_{i}) x^i \\ =\sum_{i=0}^n\left(aa_{i}+b b i\right) x^i \in w
अतः दाँया पक्ष पुनः उन सभी बहुपदों का समुच्चय है जिनकी घात n से कम या बराबर है।
फलतः W,P(x) की उपसमष्टि है।
Example:5.सिद्ध करो कि सदिश समष्टि V_3(R) [या R^3 ] के उपसमुच्चय w_1=\{(x, 0,0) \mid x \in R\}  तथा w_2=\{(0, y, 0) \mid y \in R\} की उपसमष्टियाँ है किन्तु उपसमष्टि नहीं है।
(Prove that the subsets w_1=\{(x, 0,0) \mid x \in R\}  and w_2=\{(0, y, 0) \mid y \in R\} of vector space V_3(R) are the subspaces of but w_{1} \cup w_{2} is not a subspace.)
Solution:माना \alpha=(x, 0,0) \in w तथा B=\left(x_2, 0,0\right) \in w
तब x_{1}, x_2 \in R
यदि a,b \in F तब

a \alpha+b \beta=a\left(x_1, 0,0\right)+b\left(x_2, 0,0\right) \\ a \alpha +b \beta=\left(a x_1+b x_2, 0,0\right) \in w
अतः a x_1+b x_2 \in R
इस त्रिक के अन्तिम दो निर्देशांक शून्य हैं।
अतः W,सदिश समष्टि V_3(R) की उपसमष्टि है।
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि,सदिश समष्टि की उपसमष्टि है।
माना \alpha=\left(x_1, 0,0\right), \beta=\left(0, x_2, 0\right) \in w_{1} \cup w_{2}\\ a \alpha+b \beta=a\left(x_1, 0,0\right)+b\left(0, x_2, 0\right) \\ \Rightarrow a \alpha+b \beta=\left(a x_1, b x_2, 0\right) \\ a \alpha+b \beta \notin w_1 तथा a \alpha+b \beta \notin w_2
अतः a \alpha+b \beta \notin w_1 \cup w_2
अतः w_1 \cup w_2, सदिश समष्टि V_{3}(R) की उपसमष्टि नहीं है।
Example:6.यदि समस्त वास्तविक मान वाले संतत फलनों की सदिश समष्टि V(R) की दो उपसमष्टियाँ V_E और V_0 इस प्रकार है कि

V_E=\{f \in V: f(-x)=f(x) \forall x \in R\} \\ V_0=\{f \in V: f(-x)=-f(x) \forall x \in R\}
अर्थात् V_E समस्त वास्तविक मान वाले सम संतत फलनों का समुच्चय है तथा V_0 समस्त वास्तविक मान वाले विषम संतत फलनों का समुच्चय है तो सिद्ध कीजिए

V=V_E \oplus V_0
(If the subspaces V_E and V_0 of a vector space V of all real valued functions on the set R of all real numbers are

V_E=\{f \in V: f(-x)=f(x) \forall x \in R\} \\ V_0=\{f \in V: f(-x)=-f(x) \forall x \in R\}
i.e. V_E and V_0 are the sets of all even and odd real valued functions respectively, then show that V=V_E \oplus V_0)
Solution:माना f(x)=V \\ f(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]+\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)] \\ \alpha(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]
तथा \beta(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)] \\ f(x)=\alpha(x)+\beta(x) \\ \alpha(-x)=\frac{1}{2}[f(-x)+f(x)] =\alpha(x) \\ \alpha(x) \in V_E \\ \beta(-x)=\frac{1}{2}[f(-x)+f(x)] \\ =\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)] \\ =\beta(x) \\ \beta(x) \in V_0 \\ f(x) =\alpha(x)+\beta (x) जहाँ \alpha(x) \in V_E तथा \beta \in V_{0}
अतः V के प्रत्येक अवयव को V_E तथा V_{0} के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

V=V_E \oplus V_0
Example:7.सिद्ध कीजिए कि अपनी दो उपसमष्टियों U=\{(a, b, 0); a, b \in R\} तथा W=\left\{(0,0,c) ; \in R \right\} का अनुलोम योगफल है।
(Prove that is the direct sum of its two subspaces U=\{(a, b, 0); a, b \in R\} and W=\left\{(0,0,c) ; \in R \right\}.)
Solution:माना (x, y, z) \in R^{3} तब
(x,y,z)=(a,b,o)+(0,0,c)
=(a,b,c)
\Rightarrow  x=a,y=b,z=c
अतः R^{3} दो उपसमष्टियों का अनुलोम योगफल है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अमूर्त बीजगणित में उपसमष्टि (Vector Subspace in Abstract Algebra),गणित में उपसमष्टि (Vector Subspace in Maths) को समझ सकते हैं।

3.अमूर्त बीजगणित में उपसमष्टि पर आधारित सवाल (Questions Based on Vector Subspace in Abstract Algebra):

Vector Subspace in Abstract Algebra

(1.)माना कि युगपत समीकरण ax+by+cz=0 तथा dx+ey+fz=0 के समस्त हलों (x, y, z) का समुच्चय S है,जहाँ a,b,c,d,e,f \in R तो सिद्ध करो कि S,V=R^{3} की उपसमष्टि, R पर है।
(Let S be the set of all solutions (x, y, z) satisfying the simultaneous equations ax+by+cz=0 and dx+ey+fz=0 where a,b,c,d,e,f \in R then S is a subspace of V=R^{3} over R.)
(2.)यदि वास्तविक संख्याओं के फील्ड पर वास्तविक संख्याओं की 2×2 कोटि के सभी मैट्रिक्स M_{2}(R) सदिश समष्टि है तो सिद्ध करो कि R पर प्रारूप \left(\begin{array}{cc} u & v \\ -v & u \end{array}\right) के सम्पूर्ण मैट्रिक्स के समुच्चय w=\left\{\left(\begin{array}{cc} u & v \\ -v & u \end{array}\right) \mid u, v \in R\right\},M_{2}(R) का एक उपसमष्टि होगा।
(If is a vector space of all matrices of order 2×2 over the set of real numbers R then prove that the set w=\left\{\left(\begin{array}{cc} u & v \\ -v & u \end{array}\right) \mid u, v \in R\right\},M_{2}(R) of all the matrices of the form \left(\begin{array}{cc} u & v \\ -v & u \end{array}\right) over R will be subspace of M_{2}(R).)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अमूर्त बीजगणित में उपसमष्टि (Vector Subspace in Abstract Algebra),गणित में उपसमष्टि (Vector Subspace in Maths) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अमूर्त बीजगणित में उपसमष्टि (Vector Subspace in Abstract Algebra),गणित में उपसमष्टि (Vector Subspace in Maths) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अमूर्त बीजगणित में उपसमष्टि (Vector Subspace in Abstract Algebra) के इस आर्टिकल
में कुछ अन्य उदाहरणों द्वारा सदिश उपसमष्टि के गुणधर्मों और सदिश उपसमष्टि को समझेंगे।