Uniform convergence of series of function and power series

फलनों की श्रेणी का एकसमान अभिसरण तथा घात श्रेणी का परिचय (Introduction to Uniform convergence of series of function and power series):

Uniform convergence of series of function and power series

• फलनों की श्रेणी का एकसमान अभिसरण तथा घात श्रेणी (Uniform convergence of series of function and power series):माना कि कोई अनन्त श्रेणी है तथा इस श्रेणी का प्रत्येक पद परिबद्ध संवृत्त प्रांत D में परिभाषित है तथा z का एक मानी फलन है।
• माना कि s_{n}(z)=f_{1}+f_{2}(z)+.....+f_{n}(z)
  अनन्त श्रेणी \Sigma{f_{n}(z)} प्रांत D में एकसमान अभिसारी कहलाती है यद अनुक्रम \left\{s_{n}(z)\right\}प्रांत D में एकसमान अभिसारी हो।
  
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फलनों की श्रेणी का एकसमान अभिसरण तथा घात श्रेणी (Uniform convergence of series of function and power series):

Uniform convergence of series of function and power series

• एक परिबद्ध संवृत्त संवृत्त प्रांत D में परिभाषित फलनों की अनन्त श्रेणी \Sigma{f_{n}(z)} के एकसमान अभिसरण होने के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त प्रतिबन्ध है कि दिए हुए कितने ही न्यून धनात्मक संख्या \epsilon के लिए एक धनात्मक पूर्णांक m (जो कि z से स्वतन्त्र है एवं केवल \epsilon पर आश्रित है) विद्यमान है ताकि प्रत्येक बिन्दु z\in{D}
  |f_{n+1}(z)+f_{n+2}(z)+.....+f_{n+p}|<\epsilon{\forall}n\geq{m}
  (The necessary and sufficient condition for the uniform convergence of an infinity series \Sigma{f_{n}(z)} of functions defined in a bonded closed domain D is that, for a given positive number \epsilon, however small, there exists a positive integer m, independent of z and depending on \epsilon alone, such that for every z\in{D}, we have
  |f_{n+1}(z)+f_{n+2}(z)+.....+f_{n+p}|<\epsilon{\forall}n\geq{m}

Uniform convergence of series of function and power series

• उपर्युक्त आर्टिकल में फलनों की श्रेणी का एकसमान अभिसरण तथा घात श्रेणी (Uniform convergence of series of function and power series) के बारे में बताया गया है।