uniform convergence by mn test

श्रेणी के एकसमान अभिसरण के लिए एमएन परीक्षण (Uniform Convergence By mn test):

Uniform Convergence By mn test

• श्रेणी के एकसमान अभिसरण के लिए एमएन परीक्षण (Uniform Convergence By mn test):
  Uniform Convergence of Sequences:Let the sequence <f_{n}(x)> converge for every point x in I i.e.,the function f_{n} tends to limit as n\longrightarrow{\infin} for every x in I.This limit will be a function of x,say f.It follows from the definition of a limit that for every \epsilon there exits a positive integer m such that
  |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon \text{ whenever }n\geq{m}
  This integer m will depend upon x as well as \epsilon and so we can write it as m\left(x,\epsilon \right).Now if we keep \epsilon fixed and very x, then for a given point x in I there corresponds a value of m\left(x,\epsilon \right).Thus we shall find a set of values of m\left(x,\epsilon \right). This set may or may not have an upper bound.If this set has an upper bound say M, then for every point x in I,we get
  |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon \text{ whenever }n\geq{m}
  In this case the sequence <f_{n}> is said to converge uniformly to f on I.
  
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श्रेणी के एकसमान अभिसरण के लिए एमएन परीक्षण (Uniform Convergence By mn test):

Uniform Convergence By mn test

• M_{n}-test:Let <f_{n}> be a sequence of functions defined on an interval I.
  Let \lim_{n\longrightarrow{\infin}}f_{n}(x)\text{ for all }x\in{I}
  Set M_{n}=\text{ sup }\left\{|f_{n}-f(x)|:x\in{I}\right\}
  Then <f_{n}> converges uniformly to f if and only if M_{n}\longrightarrow{0}\text{ as } n\rightarrow{\infin} 

Uniform Convergence By mn test

• उपर्युक्त आर्टिकल में श्रेणी के एकसमान अभिसरण के लिए एमएन परीक्षण (Uniform Convergence By mn test) के बारे में बताया गया है।