1.एक समान अभिसरण तथा घात श्रेणी (Uniform Convergence and Power Series),सम्मिश्र विश्लेषण में एकसमान अभिसरण (Uniform Convergence in Complex Analysis):

Uniform Convergence and Power Series

एक समान अभिसरण तथा घात श्रेणी (Uniform Convergence and Power Series) के इस आर्टिकल में फलनों की श्रेणी और घात श्रेणी पर आधारित सवालों के एकसमान अभिसरण की जाँच करेंगे।
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2.एक समान अभिसरण तथा घात श्रेणी के उदाहरण (Uniform Convergence and Power Series Examples):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि श्रेणी \overset{\infty}{\underset{1}{\sum}} \frac{z^n}{1+z^{2 n}},|z|<1 में एकसमान रूप से अभिसारी है।
(Show that the series \overset{\infty}{\underset{1}{\sum}} \frac{z^n}{1+z^{2 n}}  is uniformly convergent in |z|<1 .)
Solution: \left|\frac{z^n}{1+z^{2n}}\right| \leq \frac{\left|z^n\right|}{1+|z|^{2 n}} \\ \leq \frac{r^n}{1+r^{2 n}} जहाँ |z|=r<1
अब u_n=\frac{r^n}{1+r^{2 n}}, u_{n+1}=\frac{r^{n+1}}{1+r^{2 n+2}} \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_n+1}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{r^n}{1+r^{2 n}}}{\frac{r^{n+1}}{1+r^{2 n+2}}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{r^n}{1+r^{2n}} \times \frac{1+r^{2 n+2}}{r^{n+1}} \\ \Rightarrow \frac{u_n}{u_{n+1}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{1+r^{2 n+2}}{1+r^{2 n}}\right) \cdot \frac{1}{r} \\ \Rightarrow \frac{u_n}{u_n+1}=\frac{1}{r}>1 (जब 0 <r<1) 
D’ Alembert ratio test से श्रेणी अभिसारी है।
अतः वायर्स्ट्रास M-परीक्षण से दी हुई श्रेणी एकसमान अभिसारी होगी जबकि |Z|<1
Example:2.सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित श्रृंखला z के सभी मानों,वास्तविक या सम्मिश्र,के लिए निरपेक्ष और एकसमान रूप से अभिसारी है:
(Show that the following series is absolutely and uniformly convergent for all values of z, real or complex):

1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots+\frac{(-1)^n z^{2 n}}{2 n!}+\cdots \cdots
Solution: u_n=(-1)^n \frac{z^{2 n}}{2 n!}, u_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1} z^{2n+2}}{(2 n+2)!} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left| \frac{(-1)^{n+1} z^{2 n+2}}{(2 n+2) !}\right|}{| \frac{\left(-1\right)^n z^{2 n}}{2 n!}|} \\=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{z^{2 n+2}}{(2 n+2)!} \frac{(2 n)!}{z^{2 n}}\right| \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{z^2}{(2 n+2)(2 n+1)}\right|=0<1
अतः D’Alembert test से दी हुई श्रेणी z के सभी मानों के लिए निरपेक्ष अभिसारी है।
z के सभी मानों के लिए किसी भी परिबद्ध क्षेत्र में श्रेणी अभिसारी है यदि |z|<R \\ \left|\frac{(-1)^n z^{2 n}}{2 n!}\right| \leq \frac{R^{2 n}}{2 n!}
परन्तु श्रेणी \overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} \frac{R^{2 n}}{2 n!} , R के परिमित मानों के लिए अभिसारी है।अतः वायर्स्ट्रास परीक्षण से श्रेणी \overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} (-1)^n \frac{z^{2 n}}{2 n!} एकसमान अभिसारी है।
Example:3.सिद्ध कीजिए कि श्रेणी 2 \sin \frac{1}{3z}+4 \sin \frac{1}{9z}+\cdots+2^n \sin \frac{1}{3^n z}+ \cdots ,z के सभी मानों के लिए निरपेक्ष अभिसारी है,सिवाय इसके कि z=0 के निकट एकसमान रूप से अभिसारी नहीं होती है।
(Show that the series 2 \sin \frac{1}{3z}+4 \sin \frac{1}{9z}+\cdots+2^n \sin \frac{1}{3^n z}+ \cdots
converges absolutely for all values of z except zero but does not converge uniformly near z=0.)
Solution: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} 3^n \sin \left(\frac{1}{3^n z}\right) \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{z} \frac{\sin \left(\frac{1}{3^{n}z}\right)}{\left(\frac{1}{3^{n}z}\right)} \\ =\frac{1}{z}, z \neq 0
एक संख्या M ज्ञात कर सकते हैं,जो z पर निर्भर है परन्तु n से स्वतन्त्र है।

\left|3^n \sin \frac{1}{3^n z}\right| < M \\ \Rightarrow \left|2^n \sin \frac{1}{3^n z}\right|< M \left(\frac{2}{3}\right)^n
परन्तु \sum M \left(\frac{2}{3}\right)^n अभिसारी है इसलिए दी हुई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।
अब z=0 के निकट एकसमान अभिसारी नहीं होने के लिए हमें योग फलन को z=0 पर असंतत सिद्ध करना होगा:
\underset{z \rightarrow 0}{\lim} 2^n \sin \frac{1}{3^n z} का अस्तित्व नहीं है।
अतः z=0 के निकट श्रेणी एकसमान अभिसारी नहीं है।
Example:4.एकसमान अभिसरण के लिए निम्नलिखित श्रेणी का परीक्षण करें:
(Test the following series for uniform convergence):
Example:4(i): \sum \frac{1}{2^n} \tan \left(\frac{z}{2^n}\right)
Solution:माना u_n(z)=\frac{z}{2^n}, v_n(z)=\frac{1}{z} \tan \left(\frac{z}{2^n}\right) \\ \sum u_n (z) किसी भी परिबद्ध प्रान्त में अभिसारी है और इसलिए इसका आंशिक योग परिबद्ध है।इसलिए प्रथम शर्त सन्तुष्ट होती है:

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} v_n(z)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{2} \tan \left(\frac{z}{2^n}\right)=0
अतः तीसरी शर्त भी सन्तुष्ट होती है।
अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} 2^{n+1}\left[v_n(z)-v_{n+1}(z)\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^{n+1}}{2}\left[\tan \frac{z}{2^n}-\tan \frac{z}{2^{n+1}}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^{n+1}}{z}\left(\frac{\sin \frac{z}{2^{n+1}}}{\cos \left(\frac{z}{2^n}\right) \cos \left(\frac{z}{2^{n+1}}\right)}\right) \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{\sin \left(\frac{z}{2^{n+1}} \right)}{\frac{z}{2^{n+1}}}\right) \frac{1}{\cos \left(\frac{z}{2^n}\right) \cos \left(\frac{z}{z^{n+1}}\right)} \\ =1
संख्या M एक संख्या है जो n तथा z दोनों से स्वतन्त्र है
\left|2^{n+1}\{\left(v_n(z)\right)-v_{n+1}(z)\}\right|< M \\ \left|v_n(z)-v_{n+1}(z)\right|<\frac{M}{2^{n+1}} \\ \sum \frac{M}{2^{n+1}} अभिसारी श्रेणी है इसलिए M-परीक्षण से श्रेणी \sum | \left(v_n(z)-v_{n+1}(z)\right) | निरपेक्ष और एकसमान अभिसारी है,किसी भी परिबद्ध संवृत्त प्रान्त में।
अतः परीक्षण की द्वितीय शर्त सन्तुष्ट होती है।फलतः दी हुई श्रेणी प्रत्येक परिबद्ध संवृत्त प्रान्त में एकसमान अभिसारी है।
Example:4(ii). \sum \frac{1}{n^2} \frac{z^n}{1-z^n}
Solution:माना u_n(z)=\frac{1}{n^2}, v_n(z)=\frac{z^n}{1+z^n} \\ \sum \frac{1}{n^2}
अभिसारी है अतः प्रथम शर्त सन्तुष्ट होती है।
V_0(z)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} , इसलिए v_0(z)  परिबद्ध है अतः दूसरी शर्त सन्तुष्ट होती है
अब \left|v_n(z)-v_{n+1}(z)\right|=\left|\frac{z^n}{1+z^n}-\frac{z^{n+1}}{1+z^{n+1}}\right| \\ =\left|\frac{z^n(1-z)}{\left(1+z^n\right)\left(1+z^{n+1}\right)}\right| \\ \leq \frac{|z|^n \cdot(1+|-z| )}{\left(1-|-z|^n\right)\left(1-|-z|^{n+1}\right)} \\ \leq \frac{r^n(1+r)}{\left(1-r^n\right)\left(1-r^{n+1} \right)},|z|=r \\=\frac{1+r}{1-r}\left[\frac{1}{1-r^n}-\frac{1}{1-r^{n+1}}\right] \\ \therefore \overset{n}{\underset{1}{\sum}} \left|v_n(z)-v_{n+1}(z)\right| \leq \frac{1+r}{1-r} \sum \left(\frac{1}{1-r^n}-\frac{1}{1-r^{n+1}}\right) \\ \leq \frac{1+r}{1-r}\left(\frac{1}{1-r}-\frac{1}{1-r^{n+1}}\right) \\ \overset{\infty}{\underset{1}{\sum}} \left|v_n(z)-v_{n+1}(z)\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1+r}{1-r}\left(\frac{1}{1-r}-\frac{1}{1-r^{n+1}}\right) \\ =\frac{1+r}{(1-r)^2} यदि r>1
=\frac{1+r}{1-r}\left(\frac{1}{1-r}-1\right) \\ =\frac{r(1+r)}{(1-r)^2} यदि r<1

\therefore \sum | v_n(z)-v_{n+1}(z) | अभिसारी है और |z|<1 या >1 के लिए योग परिबद्ध है। अतः तीसरी शर्त पूरी होती है फलतः दी गई श्रेणी एकसमान अभिसारी है जब |z|<1 या |z|>1

Uniform Convergence and Power Series

Example:5. सिद्ध कीजिए कि श्रेणी \overset{\infty}{\underset{1}{\sum}} n^{-z}  किसी भी परिबद्ध संवृत्त क्षेत्र में निरपेक्ष और एकसमान रूप से अभिसारी है जिसमें R(z)>1 है।
(Show that the series \overset{\infty}{\underset{1}{\sum}} n^{-z} converges absolutely and uniformly in any bounded closed region in which R(z)>1.)
Solution:माना z=x+iy तब

यदि R(z)>1 तो एक धनात्मक संख्या \delta का अस्तित्व इस प्रकार होगा कि g(z) \geq 1+\delta , R(z)=x लेने पर:

\therefore x \geq 1+\delta
अब \left|\frac{1}{n^2}\right|=\frac{1}{n^x} \leq \frac{1}{n^{1+\delta}} \forall n तथा z ताकि R(z) \geq 1+ \delta
श्रेणी \overset{\infty}{\underset{1}{\sum}} \frac{1}{n^{1+\delta}} अभिसारी है इसलिए M-परीक्षण से दी हुई श्रेणी निरपेक्ष और एकसमान अभिसारी है,किसी भी परिबद्ध और संवृत्त क्षेत्र में जिसमें R(z)>1
श्रेणी \frac{1}{n^2}का योग फलन रीमान जेटा फलन कहलाता है और प्रदर्शित किया जाता है \varsigma (z)
स्पष्टतः \varsigma (z) क्षेत्र R(z)>1 में फलन z विश्लेषिक फलन को प्रदर्शित करता है
\varsigma (z) एकसमान अभिसारी तथा \frac{1}{n^z} का प्रत्येक पद,R(z)>1 में विश्लेषिक है।
Example:6. प्रदर्शित कीजिए कि श्रेणी \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} z^{-n z} ,क्षेत्र |z| \leq R,|\arg z| \leq \delta , जहाँ 0<\delta<\frac{\pi}{2} में निरपेक्ष अभिसारी है,लेकिन एकसमान रूप से नहीं।
यह भी प्रदर्शित कीजिए कि 0 \neq r \leq |z| \leq R,|\arg z| \leq \delta में अभिसारी है।
(Show that the series \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} z^{-n z} converges absolutely but not uniformly in the sector |z| \leq R,|\arg z| \leq \delta , where 0<\delta<\frac{\pi}{2} .)
Solution:माना z=\rho e^{i \theta} ,क्षेत्र |z| \leq R,|\arg z| \leq \delta  जब 0<\delta<\frac{\pi}{2} में कोई बिन्दु है।
\left|z e^{-nz}\right|=| z| \cdot \left| \exp \left(-n \rho e^{i \theta}\right)\right| \\ =\rho |\exp (-n \rho \cos \theta-i n \rho \sin \theta)| \\ = \rho \exp (-n \rho \cos \theta ) \\ =\rho \left(e^{(\rho \cos \theta)^{(-n)}}\right) \\ = \left|z e^{-n z} \right| \left[ \exp (-i n \rho \sin \theta )=1 \right] \\ =\rho e^{-n x} जब z=x+i y=\rho e^{i \theta} \\ \rho \cos \theta>x, 0< \theta<\frac{\pi}{2} \Rightarrow x>0 \Rightarrow e^{-x}< 1 जब e^{x}=1
इस प्रकार \sum |z e^{-nz}|=\rho \sum e^{-nx} गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात e^{-x}<1  है।इसलिए यह अभिसारी है।इस प्रकार \sum z e^{-nz} दिए गए क्षेत्र में निरपेक्ष अभिसारी है।
\left|u_n(z)\right|=\rho e^{-n x} \leq R जब e^{-x}<1 \\ \Rightarrow\left|u_n(z)\right| \leq R, M_n=R लें , श्रेणी \Sigma M_n अपसारी है। 
\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} M_n=\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} R=R \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} 1 अपसारी है।
वायर्स्ट्रास M-परीक्षण से एकसमान अभिसारी नहीं है (दिए हुए क्षेत्र में)
भाग द्वितीय: 0 \neq r \leq |z| \leq R,|\arg z| \leq \delta \\ \left|u_n(z)\right| =\rho e^{-n x} \\ =\rho e^{-n \rho \cos \theta} \\ =\rho\left(e^{-\rho \cos \theta}\right)^n \\ \leq R\left(e^{-r \cos \delta} \right)^n, r \leq \rho तथा \theta \leq \delta के लिए 
\therefore|u_{n} (z)| \leq M_{n} \cdots(1) जहाँ M_n=R e^{-n r \cos \delta}, \frac{1}{e^{r \cos \delta}}<1 यदि \delta > 0, \cos \delta >0
इस प्रकार \Sigma M_n=R \Sigma e^{-n r \cos \delta} गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात e^{r \cos \delta}<1 है।अतः \Sigma M_n वायर्स्ट्रास M-परीक्षण से अभिसारी है,अतः ऊपर दर्शाए प्रान्त में श्रेणी \sum u_{n} (z) एकसमान अभिसारी है।
Example:7. प्रदर्शित कीजिए कि श्रेणी  z e^{-n z} ,सेक्टर z \leq R,|\arg z| \leq \delta,  जब 0<\delta<\frac{\pi}{2} में निरपेक्ष अभिसरित होती है,लेकिन एकसमान रूप से नहीं।
क्या होने पर अभिसरण एकसमान होता है?
(Show that the series \overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} z e^{-n z} converges absolutely but not uniformly in the sector |z| \leq R,|\arg z| \leq \delta ,when 0<\delta<\frac{\pi}{2} . 
Is the convergence uniform when r \leq |z| \leq R,|\arg z| \leq \delta ?)
Solution: \left|z e^{-n z}\right|=\left|\rho e^{i \phi} e^{-n \rho e^{i \phi}}\right|
[ z=\rho e^{i \phi} पर]

=\rho\left|e^{-n \rho \cos \phi} e^{-i n \rho \sin \phi}\right| \\ =\rho e^{-n \rho \cos \phi}
जबकि 0<|\phi|<\frac{\pi}{2}  इसलिए \rho \cos \phi>0 तथा e^{-\rho \cos \phi} < 1 \\ \therefore \overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} \left|z e^{-n z}\right|=\rho \overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} e^{-n \rho \cos \phi}
गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात 1 से कम है और यह अभिसारी श्रेणी है।
परिणामस्वरूप श्रेणी \overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} z e^{-n z}  निरपेक्ष अभिसारी है,क्षेत्र |z| \leq R ,|\arg z| \leq \delta जहाँ 0<\delta< \frac{\pi }{2} में।

S(z)=\left[\begin{array}{l}0, z=0 \\ \frac{z}{1-e^{-z}}, z \neq 0 \end{array}\right.
जबकि \underset{z \rightarrow 0}{\lim} S(z)=\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{z}{1-e^{-z}}=1 \neq S(0)
अतः योगफलन S(z) ,z=0 पर असंतत है,जो कि दिए हुए क्षेत्र का बिन्दु है,इसलिए दी हुई श्रेणी दिए हुए क्षेत्र  में एकसमान अभिसारी नहीं है।
हालाँकि दी हुई श्रेणी क्षेत्र 0 \neq r \leq |z| \leq R,|\arg z| \leq \delta  में एकसमान अभिसारी है।
\left|z e^{-n z}\right|=\rho e^{-n \rho \cos \phi} \leq R e^{-n r \cos \delta} तथा श्रेणी \sum R e^{-n r \cos \delta} अभिसारी है।
उपर्युक्त प्रान्त में दी हुई श्रेणी  वायर्स्ट्रास M-परीक्षण से एकसमान अभिसारी है।
Example:8. डोमेन |z| \leq 1 में श्रेणी \overset{\infty}{\underset{n=2}{\sum}} \frac{2^n}{n(n+1)^{\frac{1}{2}}} के अभिसरण का परीक्षण करें।
(Test the convergence of the series \overset{\infty}{\underset{n=2}{\sum}} \frac{2^n}{n(n+1)^{\frac{1}{2}}} in the domain |z| \leq 1 .)
Solution:माना u_n(z)=\frac{z^n}{n(n+1)^{\frac{1}{2}}} और |z| \leq 1 \\ \left|u_n(z)\right| =\frac{|z|^n}{n(n+1)^{\frac{1}{2}}} \leq \frac{1}{n(n+1)^{\frac{1}{2}}} \leq \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \\ M_n=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \\ \left|u_n(z)\right| \leq M_n और \Sigma M_n अभिसारी है।
अतः वायर्स्ट्रास M-परीक्षण से दी हुई श्रेणी डोमेन |z| \leq 1 में एकसमान अभिसारी है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा एक समान अभिसरण तथा घात श्रेणी (Uniform Convergence and Power Series),सम्मिश्र विश्लेषण में एकसमान अभिसरण (Uniform Convergence in Complex Analysis) को समझ सकते हैं।

Uniform Convergence and Power Series

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3.एक समान अभिसरण तथा घात श्रेणी (Frequently Asked Questions Related to Uniform Convergence and Power Series),सम्मिश्र विश्लेषण में एकसमान अभिसरण (Uniform Convergence in Complex Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

एक समान अभिसरण तथा घात श्रेणी (Uniform Convergence and Power Series)
के इस आर्टिकल में फलनों की श्रेणी और घात श्रेणी पर आधारित सवालों के एकसमान
अभिसरण की जाँच करेंगे।