1.प्रायिकता में घटनाओं के प्रकार कक्षा 11 (Type of Events in Probability Class 11),प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11):

Type of Events in Probability Class 11

प्रायिकता में घटनाओं के प्रकार कक्षा 11 (Type of Events in Probability Class 11) के इस आर्टिकल में असम्भव व निश्चित घटनाएँ,सरल घटना,पूरक घटना आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.प्रायिकता में घटनाओं के प्रकार कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Type of Events in Probability Class 11 Solved Illustrations):

Illustration:1.एक पासा फेंका जाता है।मान लीजिए घटना E ‘पासे पर संख्या 4 दर्शाता’ है और F ‘पासे पर सम संख्या दर्शाता’ है।क्या E और F परस्पर अपवर्जी हैं?
Solution:E={4},F={2,4,6}
E \cap F={4}
अतः दोनों घटनाएँ E व F परस्पर अपवर्जी नहीं है।
Illustration:2.एक पासा फेंका जाता है।निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
Illustration:2(i).A:संख्या 7 से कम है।
Solution:A={1,2,3,4,5,6}
Illustration:2(ii).B:संख्या 7 से बड़ी है।
Solution: B=\phi
Illustration:2(iii).C:संख्या 3 का गुणज है।
Solution:C={3,6}
Illustration:2(iv).D:संख्या 4 से कम है।
Solution:D={1,2,3}
Illustration:(v).E:4 से बड़ी सम संख्या है।
Solution:E={6}
Illustration:(vi).F:संख्या 3 से कम नहीं है।
Solution:F={3,4,5,6}
A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\}, A \cap B=\phi \\ B \cup C=\{3,6 \}, E \cap F=\{ 6 \}, \\ D \cap E=\phi , A-C=\{1,2,4,5 \}, D-E=\{ 1,2,3 \}, \\ E \cap F^{\prime}=\phi \left[ \because F^{\prime}=\{1,2\}, \right]
Illustration:3.एक परीक्षण में पासे के एक जोड़े को फेंकते हैं और उन पर प्रकट संख्याओं को लिखते हैं।निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
A:प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है।
B:दोनों पासों पर संख्या 2 प्रकट होती है।
C:प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।इन घटनाओं के कौन-कौन से युग्म परस्पर अपवर्जी है?
Solution:A={3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)}
B={(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}
C={(3,6),(6,3),(5,4),(4,5),(6,6)}
A \cap B=\Phi, B \cap C=\phi
अतः A और B तथा B और C परस्पर अपवर्जी है।

Type of Events in Probability Class 11

Illustration:4.तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है।मान लीजिए कि घटना ‘तीन चित्त दिखना’ को A से, घटना ‘दो चित्त और एक पट दिखना’ को B से, घटना ‘तीन पट दिखना’ को C और घटना ‘पहले सिक्के पर चित्त दिखना’ को D से निरूपित किया गया है।बताइए कि इनमें से कौन-सी घटनाएँ (i)परस्पर अपवर्जी हैं? (ii)सरल हैं? (iii)मिश्र हैं?
Solution:A={HHH},B=”{HHT,HTH,THH}, C={TTT}, D={HHH,HHT,HTH,HTT}
(i) A \cap B=\phi, A \cap C=\phi, B \cap C=\phi, C \cap D=\phi
अतः A और B;A और C;B और C;C और D परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं
(ii)A और C सरल घटना है।
(iii)B और D मिश्र घटनाएँ है।
Illustration:5.तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं।वर्णन कीजिए।
Illustration:5(i).दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं।
Solution:तीन चित्त प्राप्त होना और तीन पट प्राप्त होना।
Illustration:5(ii).तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।
Solution:”तथ्यतः तीन चित्त प्राप्त होना”, “तथ्यतः एक पट प्राप्त होना” और “न्यूनतम दो पट प्राप्त होना”
Illustration:5(iii).दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
Solution:”न्यूनतम एक चित्त प्राप्त होना” और “न्यूनतम एक पट प्राप्त होना”
Illustration:5(iv).दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं।
Solution:”तथ्यतः दो चित्त प्राप्त होना” और “तथ्यतः दो पट प्राप्त होना”
Illustration:5(v).तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु नि:शेष नहीं हैं।
Solution:” तथ्यतः एक चित्त प्राप्त होना” और “तथ्यतः दो चित्त प्राप्त होना” और  “तथ्यतः तीन चित्त प्राप्त होना”
Illustration:6.दो पासे फेंके जाते हैं।घटनाएँ A,B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A:पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B:पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C:पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग होना
निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
Solution:S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
C={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}
Illustration:6(i).A’={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}=B
Illustration:6(ii).B-नहीं
Solution:B’={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}=A
Illustration:6(iii).A या B
Solution=A या B=A \cup B ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}=S
Illustration:6(iv).A और B
Solution:A और B=B \cap C=\phi
Illustration:6(v).A किन्तु C नहीं
Solution:A-C={(2,4),(2,5),(2,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Illustration:6(vi).B या C
Solution: B \cup C ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(2,1),(2,2),(4,1)}
Illustration:6(vii).B और C
Solution: B \cap C={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(3,1),(3,2)}
Illustration:6(viii). A \cap B^{\prime} \cap C^{\prime}
Solution:A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
B’={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
C’={(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
A \cap B^{\prime} \cap C^{\prime}={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
={(2,4),(2,5),(2,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Illustration:7.उपर्युक्त प्रश्न 6 को देखिए और निम्नलिखित में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):
Illustration:7(i).A और B परस्पर अपवर्जी हैं।
Solution:A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}

A \cap B=\phi
अतः A और B परस्पर अपवर्जी हैं फलतः सत्य है।
Illustration:7(ii).A और B परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।
Solution:A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
A \cap B=\phi तथा A \cup B=S
A और B परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।फलतः सत्य है।
Illustration:7(iii).A=B’
Solution:A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}=B’
B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
A=B’ सत्य है।
A पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना है।B पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना है तथा B’ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होने वाली घटना होगी।अतः A=B’
Illustration:7(iv).A और C परस्पर अपवर्जी हैं।
Solution:A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
C={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}
A \cap C={(2,1),(2,2),(2,3),(4,1)}
अतः A और C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।फलतः असत्य है।
Illustration:7(v).A और B’ परस्पर अपवर्जी है।
Solution: A \cap B^{\prime}={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
अतः A और B’ परस्पर अपवर्जी नहीं है।फलतः असत्य है।
Illustration:7(vi).A’,B’,C’ परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ हैं।
Solution:A’={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
B’={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
C’={(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
स्पष्ट है कि A’,B’,C’ परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ नहीं हैं।अतः असत्य है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रायिकता में घटनाओं के प्रकार कक्षा 11 (Type of Events in Probability Class 11),प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11) को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता में घटनाओं के प्रकार कक्षा 11 पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Type of Events in Probability Class 11):

Type of Events in Probability Class 11

(1.)पासों के जोड़े (जिसमें एक लाल रंग का और दूसरा नीले रंग का है) को एक बार फेंकने के परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।प्रतिदर्श समष्टि के अवयवों की संख्या भी ज्ञात कीजिए।
(2.)एक पासा फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए।घटना ‘एक अभाज्य संख्या प्राप्त होना’ को A से और घटना ‘एक विषम संख्या प्राप्त होना’ को B से निरूपित किया गया है।निम्नलिखित घटनाओं (i)A या B (ii)A और B (iii)A किन्तु B नहीं (iv)’A नहीं’ को निरूपित करने वाले समुच्चय लिखिए।
उत्तर (Answers):(1.)S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
समष्टि के अवयवों की संख्या=36
(2.)(i)A या B={1,2,3,5} (ii)A और B={3,5} (iii)’A किन्तु B नहीं’=A-B={2} (iv)’A नहीं’=A’={1,4,6}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता में घटनाओं के प्रकार कक्षा 11 (Type of Events in Probability Class 11),प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रायिकता में घटनाओं के प्रकार कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Type of Events in Probability Class 11),प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रायिकता में घटनाओं के प्रकार कक्षा 11 (Type of Events in Probability Class 11) के
इस आर्टिकल में असम्भव व निश्चित घटनाएँ,सरल घटना,पूरक घटना आदि पर आधारित
सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।