1.दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Two Angles),दो कोणों के योग और अन्तर का त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Functions of Sum and Difference of Two Angles Class 11):

दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Two Angles) के इस भाग में हम दो संख्याओं (कोणों) के योग एवं अन्तर के लिए त्रिकोणमितीय फलनों तथा उनसे सम्बन्धित व्यंजकों को व्युत्पन्न करेंगे।इस सम्बन्ध में इन मूल परिणामों को हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं कहेंगे।
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2.कोणों के योग और अन्तर का त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Functions of Sum and Difference of Two Angles Class 11):

(1) $\sin (-x) =-\sin x$ 

(2) $\cos (-x)=\cos x \\ \tan (-x) =-\tan x, \cot (-x)=-\cot x \\ \sec (-x) =\sec x, \operatorname{cosec}(-x)=-\operatorname{cosec} x$

(3.) $\cos (x+y) =\cos x \cos y-\sin x \sin y$

इकाई वृत्त पर विचार कीजिए,जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर हो।माना कि कोण $P_4 O P_1$, x तथा कोण $P_1 O P_2$, y हैं तो कोण $P_4 O P_2$, (x+y) होगा।पुनः माना कोण $P_4 O P_3$, (-y) है।अतः $P_1, P_2, P_3, P_4$ के निर्देशांक $P_1\left[ \cos x, \text { sin } x\right], P_2[\cos (x+y) ; \sin (x+y)], \\ P_3[\cos (-y), \sin (-y)] \text { और } P_4(1,0)$ होंगे।
त्रिभुजों $P_1 O P_3$ तथा $P_2 O P_4$ पर विचार कीजिए।वे सर्वांगसम हैं।इसलिए $P_{1} P_{3}$ और $P_{2}P_{4}$ बराबर हैं।दूरी सूत्र का उपयोग करने परः

$P_1 P_3^2=[\cos x-\cos (-y)]^2+[\sin x-\sin (-y)]^2 \\ = (\cos x-\cos y)^2+(\sin x+\sin y)^2 \\ = \cos ^2 x+\cos ^2 y-2 \cos x \cos y+\sin ^2 x+\sin ^2 y +2 \sin x \sin y \\ = 2-(2 \cos x \cos y-\sin x \sin y)$
पुनः $P_2 P_4^2= [1-\cos (x+y)]^{2}+[0-\sin (x+y)]^2  \\ = 1-2 \cos (x+y)+\cos ^2(x+y)+\sin ^2(x+y) \\ = 2-2 \cos (x+y)$
क्योंकि $P_1 P_3=P_2 P_4$ हम पाते हैं; $P_{1} P_{3}^2=P_{2} P_{4}^4 \\ 2-2(\cos x \cos y-\sin x \sin y)=2-2 \cos (x+y) \\ \cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$
(4.) $\cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$
सर्वसमिका (3) में y के स्थान पर -y रखने परः

$\cos (x+(-y))=\cos x \cos(-y)-\sin x \sin (-y) \\ \cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$
(5.) $\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$
सर्वसमिका (4) में x के स्थान पर $\frac{\pi}{2}$ तथा y के स्थान पर x रखने पर हम पाते हैं

$\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos \frac{\pi}{2} \cos x+\sin \frac{\pi}{2}  \sin x=\sin x$
(6.)  $\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$
सर्वसमिका 5 का उपयोग करने पर हम पाते हैं

$\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos \left[\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right]=\cos x$
(7.) $\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$
हम जानते हैं कि $\sin (x+y)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-(x+y)\right)=\cot \left[\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-y \right] \\ =\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \cos y+\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \sin y \\ \Rightarrow \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$
(8.) $\sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y$
यदि हम सर्वसमिका 7 में y के स्थान पर -y रखें तो उपर्युक्त परिणाम पाते हैं।
(9.)x और y के उपर्युक्त मानों को सर्वसमिकाओं 3,4,7 और 8 में रखने पर हम निम्नलिखित परिणाम निकाल सकते हैंः

$\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\sin x \quad \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x \\ \cos (\pi-x)=-\cos x \quad \sin (\pi-x)=\sin x \\ \cos (\pi+x)=-\cos x \quad \sin (\pi+x)=-\sin x \\ \cos (2 \pi-x)=\cos x \quad \sin (2 \pi-x)=-\sin x$
इसी प्रकार के परिणाम $\tan x , \cot x, \sec x$ एवं cosec x के लिए $\sin x$ और $\cos x$ के फलनों के परिणामों से आसानी से निकाले जा सकते हैं।
(10.)यदि x,y और (x+y) में से कोई $\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणांक नहीं है तो

$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}$
क्योंकि x, y तथा (x+y) में से कोई $\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणांक नहीं है तो,

$\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}$
क्योंकि x, y तथा (x+y) में से कोई का विषम गुणांक नहीं है,इसलिए $\cos x, \cos y$ तथा $\cos (x+y)$ शून्य नहीं हैं।अब

$\tan (x+y)=\frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)}=\frac{\sin \cos y+\cos x \sin y}{\cos x \cos y-\sin x \sin y}$
अंश और हर में $\cos x, \cos y$ से विभाजित करने पर हम पाते हैं।

$\tan (x+y)=\frac{\frac{\sin x \cos y}{\cos x \cos y}+\frac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y}}{\frac{\cos x \cos y}{\cos x \cos y} -\frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}}\\ \Rightarrow \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}$ 
(11.) $\tan (x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y}$
यदि सर्वसमिका 10 में y के स्थान पर -y रखने पर,हम पाते हैं

$\tan (x-y)=\tan [x+(-y)]=\frac{\tan x+\tan (-y)}{1-\tan x \tan (-y)} \\ \Rightarrow \tan (x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y}$
(12.)यदि x,y तथा (x+y) में से कोई भी कोण $\pi$ ,का गुणांक नहीं हैं, तो

$\cot (x+y)=\frac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x}$
क्योंकि x,y तथा (x+y) कोणों में से कोई भी $\pi$ , का गुणांक नहीं है,इसलिए $\sin x ,\sin y$ तथा $\sin (x+y)$ शून्य नहीं हैं।अब

$\cot (x+y)=\frac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=\frac{\cos x \cos y-\sin x \sin y}{\sin x \cos y+\cos x \cos y}$
अंश और हर को $\sin x \sin y$ , से विभाजित करने,पर हम पाते हैं

$\cos (x+y)=\frac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=\frac{\cos x \cos y-\sin x \sin y}{\sin x \cos y+\cos x \cos y}$
अंश तथा हर को $\sin x , \sin y$ से विभाजित करने पर हम पाते हैं

$\cot (x+y)=\frac{\cos x \cot y-1}{\cot y+\cot x}$
(13.) $\cot (x-y)=\frac{\cot x \cot y+1}{\cot y-\cot x}$
यदि सर्वसमिका 12 में y के स्थान पर -y रखते हैं तो हम उपर्युक्त परिणाम पाते हैं।
(14.) $\cos 2 x=\cos ^2 x-\sin ^2 x=2 \cos ^2 x-1 \\ =1-2 \sin x=\frac{1-\tan ^2 x}{1+\tan ^2 x}$
हम जानते हैं कि $\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$
y के स्थान पर x,रखें तो हम पाते हैं

$\cos 2 x=\cos ^2 x-\sin ^2 x \\ =\cos ^2 x-\left(1-\cos ^2 x\right)=2 \cos ^2 x-1$[/katex]
पुनः $\cos 2 x=\cos ^2 x-\sin ^2 x \\ =\cos ^2 x-\left(1-\cos ^2 x\right)=2 \cos ^2 x-1$
पुनः $\cos 2 x=\cos ^2 x-\sin ^2 x \\ =1-\sin ^2 x-\sin ^2 x=1-2 \sin ^2 x$
अतः हम पाते हैं $\cos 2x=\cos ^2 x-\sin ^2 x=\frac{\cos ^2 x-\sin ^2 x}{\cos ^2 x+\sin^2 x}$
अंश और हर को $\cos ^2 x$ से विभाजित करने पर,हम पाते हैं

$\cos 2 x=\frac{1-\tan ^2 x}{1+\tan ^2 x}$
(15.) $\sin 2 x=2 \sin x \cos x=\frac{2 \tan x}{1+\tan ^2 x}$
हम जानते हैं कि $\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$
y के स्थान पर x रखने पर,हम पाते हैं;

$\sin 2x=2 \sin x \cos x$

पुनः $\sin 2 x=\frac{2 \sin x \cos x}{\cos ^2 x+\sin ^2 x}$
प्रत्येक पद को $\cos ^2 x$ से विभाजित करने पर हम पाते हैंः

$\sin 2 x=\frac{2 \tan x}{1+\tan ^2 x}$
(16.) $\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^2 x}$
हम जानते हैं कि $\tan (x+y)=\frac{\tan x \tan y}{1-\tan x \tan y}$
y के स्थान पर x रखने पर,हम पाते हैं कि

$\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^2 x}$
(17.) $\sin 3 x=3 \sin x-4 \sin 3 x$ 
हम पाते हैं, $\sin 3 x=\sin (2 x+x) \\ =\sin 2 x \cos x+\cos 2 x \sin x \\ =2 \sin x \cos x \cos x+\left(1-2 \sin ^2 x\right) \sin x \\ = 2 \sin x\left(1-\sin ^2 x\right)+\sin x-2 \sin ^3 x \\ =2 \sin x-2 \sin ^3 x+\sin x-2 \sin ^3 x \\ \Rightarrow \sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^3 x$
(18.) $\cos 3 x=4 \cos ^3 x-3 \cos x$
हम पाते हैं $\cos 3 x=\cos (2 x+x) \\ =\cos 2 x \cos x-\sin 2 x \sin x \\ =\left(2 \cos ^2 x-1\right) \cos x-2 \sin x \cos x \sin x \\ =\left(2 \cos ^2 x-1\right) \cdot \cos x-2 \cos x\left(1-\cos ^2 x\right) \\ =2 \cos 3 x-\cos x-2 \cos x+2 \cos ^3 x \\ \Rightarrow \cos 3 x=4 \cos ^3 x-3 \cos x$
(19.) $\tan 3 x=\frac{3 \tan x-\tan ^3 x}{1-3 \tan ^2 x}$
हम पाते हैं, $\tan 3 x=\tan (2 x+x) \\ =\frac{\tan 2 x+\tan x}{1-\tan 2 x \cdot \tan x} \\ =\frac{\frac{2 \tan x}{1-\tan ^2 x}+\tan x}{1-\frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x} \cdot \tan x} \\ =\frac{2 \tan x+\tan x-\tan ^3 x}{1-\tan ^2 x-2 \tan ^2 x} \\ \Rightarrow \tan 3 x =\frac{3 \tan x-\tan 3 x}{1-3 \tan ^2 x}$
(20.)(i) $\cos x+\cos y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$
(ii) $\cos x-\cos y=-2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$
(ii) $\sin x+\sin y=2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$
(iv) $\sin x-\sin y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$
हम जानते हैं कि
$\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y \dots(1)$
और $\cos (2 x-y)=\cos x \cos y+\sin \sin y \dots(2)$
(1) और (2) को जोड़ने एवं घटाने पर,हम पाते हैं
$\cos (x+y)+\cos (x-y)=2 \cos x \cos y \dots(3)$
और $\cos (x+y)-\cos (x-y)=-2 \sin x \sin y dots(4)$
और भी $\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y \dots(5)$
और $\sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y dots(6)$
(5) और (6) को जोड़ने एवं घटाने पर,हम पाते हैं

$\sin (x+y)+\sin (x-y)=2 \sin x \cos y \dots(7) \\ \sin (x+y)-\sin (x-y)=2 \cos x \sin y \dots(8)$
माना कि $x+y=\theta$ तथा $x-y=\phi$ इसलिए
$x=\left(\frac{\theta+\phi}{2}\right) तथा y=\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)$
(3),(4),(7) तथा (8) में x और y के मान रखने पर, हम पाते हैं

$\cos \theta+\cos \phi=2 \cos \left(\frac{\theta+\phi}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta-\phi}{2}\right) \\ \cos \theta-\cos \phi=-2 \sin \left(\frac{\theta+\phi}{2}\right) \sin \left(\frac{\theta-\phi}{2}\right) \\ \sin \theta+\sin \phi=2 \sin \left(\frac{\theta+\phi}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta-\phi}{2}\right) \\ \sin \theta-\sin \phi=2 \cos \left(\frac{\theta+\phi}{2}\right) \sin \left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)$
क्योंकि $\theta$ तथा $\phi$ को कोई वास्तविक संख्या मान सकते हैं।हम $\theta$ के स्थान पर x तथा $\phi$ के स्थान पर y रखने पर पाते हैंः

$\cos x+\cos y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \cos x-\cos y=-2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \sin x+\sin y=2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \sin x-\sin y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$
(21.)(i) $2 \cos x \cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)$
(ii) $-2 \sin x \sin y=\cos (x+y)-\cos (x-y)$
(iii) $2 \sin x \cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)$
(iv) $2 \cos x \sin y=\sin (x+y)-\sin (x-y)$

3.दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात के उदाहरण (Trigonometrical Ratios of Two Angles Examples):

सिद्ध कीजिए

Example:1. $\sin^{2} \frac{\pi}{6}+\cos ^2 \frac{\pi}{3}-\tan ^2 \frac{\pi}{4}=-\frac{1}{2}$
Solution: $\sin ^2 \frac{\pi}{6}+\cos ^2 \frac{\pi}{3}-\tan ^2 \frac{\pi}{4}=-\frac{1}{2} \\ \text { L.H.S. } \sin ^2 \frac{\pi}{6}+\cos ^2 \frac{\pi}{3}-\tan ^2 \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^2 +\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{1}=\frac{1+1-4}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$
Example:2. $2 \sin ^2 \frac{\pi}{6}+\operatorname{cosec}^2 \frac{7 \pi}{6} \cos ^2 \frac{\pi}{3}=\frac{3}{2}$
Solution: $2sin \frac{\pi}{6}+\operatorname{cosec}^2 \frac{7 \pi}{6} \cos ^2 \frac{\pi}{3}=\frac{3}{2} \\ \text{L.H.S. } 2 \sin ^2 \frac{\pi}{6}+\operatorname{cosec}^2 \frac{2 \pi}{6} \cos ^2 \frac{\pi}{3} \\ =2 \times\left(\frac{1}{2}\right)^2+\operatorname{cosec}^2\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right) \times\left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ =2 \times \frac{1}{4}+\left(\operatorname{cosec}^2 \frac{\pi}{6}\right)\left(\frac{1}{4}\right) \\ =\frac{1}{2}+(2)^2 \times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}=\operatorname{R.H.S}$
Example:3. $\cot ^2 \frac{\pi}{6}+\operatorname{cosec} \frac{5 \pi}{6}+3 \tan ^2 \frac{\pi}{6}=6$
Solution: $\cot ^2 \frac{\pi}{6}+\operatorname{cosec} \frac{5 \pi}{6}+3 \tan ^2 \frac{\pi}{6}=6 \\ \text { L.H.S. }(\sqrt{3})^2+\operatorname{cosec}\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)+3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ = 3+\operatorname{cosec} \frac{\pi}{6}+3 \times \frac{1}{3} \\ =3+2+1=6=\text { R.H.S. }$
Example:4. $2 \sin ^2\left(\frac{3 \pi}{4}\right)+2 \cos ^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+2 \sec ^2 \frac{\pi}{3}=10$
Solution: $2 \sin ^2\left(\frac{3 \pi}{4}\right)+2 \cos ^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+2 \sec ^2 \frac{\pi}{3}=10 \\ \text{L.H.S. } 2 \sin ^2\left(\frac{3 \pi}{4}\right)+2 \cos ^2\left(\frac{\pi}{4}\right)+2 \sec ^{\left(\frac{\pi}{3}\right)} \\ =2 \sin ^2\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)+2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+2(2)^2 \\ =2 \sin ^2 \frac{\pi}{4}+2 \times \frac{1}{2}+2 \times 4 \\ =2 \times\left(\frac{1}{2}\right)^2+1+8 \\ =2 \times \frac{1}{2}+9=1+9=10=\text { R.H.S }$
Example:मान ज्ञात कीजिएः
Example:5(i). $\sin 75^{\circ}$
Solution: $\sin 75^{\circ} =\sin \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) \\ =\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} +\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \left[ \because \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y \text { सूत्र से } \right] \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} \\ =\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow \sin 75^{\circ}=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}$
Example:5(ii). $\tan 15^{\circ}$
Solution: $\tan 15^{\circ} \\ \tan \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right) \\ =\frac{\tan 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}} \\ =\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \\ =\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} \\ =\frac{3+1-2 \sqrt{3}}{3-1} \\ =\frac{4-2 \sqrt{3}}{2}=\frac{2(2-\sqrt{3})}{2}=2-\sqrt{3}$
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिएः
Example:6. $\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{4}-y\right)-\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}-y\right)=\sin (x+y)$
Solution: $\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{4}-y\right)-\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}-y\right)=\sin (x+y) \\ \text{L.H.S. } \cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{4}-y\right)-\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}-y\right) \\ =\cos \left[\frac{\pi}{4}-x+\frac{\pi}{4}-y\right] \left[\because \cos (x+y)=\cos x \cos y -\sin x \sin y \right] \\ = \cos \left[\frac{\pi}{2}-(x+y)\right] \\ =\sin (x+y)=\text{R.H.S.}$
Example:7. $\frac{\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)}=\left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^{2}$
Solution: $\frac{\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)}=\left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^2 \\ L.H.S.=\frac{\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)}= \frac{\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan x}{1-\tan \frac{\pi}{4} \tan x}}{\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan x}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan x}} \\ =\frac{1+\tan x}{1-\tan x} \times \frac{1+\tan x}{1-\tan x} \\ =\left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^2 =\text{R.H.S.}$ 
Example:8. $\frac{\cos (\pi+x) \cos (-x)}{\sin (\pi-x) \cos (\frac{\pi}{2}+x)}=\cot ^2 x$
Solution: $\frac{\cos (\pi+x) \cos (-x)}{\sin (\pi-x) \cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)}=\cot ^2 x \\ \text { L.H.S. }=\frac{\cos (\pi+x) \cos (-x)}{\sin (\pi-x) \cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)} \\ =\frac{-\cos x \cos x}{\sin x \cdot(-\sin x)} \\ = \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x}=\cot ^2 x=\text { R.H.S. }$ 
Example:9. $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+x\right) \cos (2 \pi+x) \left[\cot \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)+\cot (2 \pi+x)\right] = 1$
Solution: $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+x\right) \cos (2 \pi+x)\left[\cot \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)+\cot (2 \pi+x)\right]=1 \\ \text{L.H.S. } \cos \left(\frac{3 \pi}{2}+x\right) \cos (2 \pi+x)\left[\cot \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)+\cot (2 \pi+x)\right] \\ =\sin x \cos x(\tan x+\cot x) \\ =\sin x \cos x\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right) \\ =\sin x \cos x\left(\frac{\sin ^2 x+\cos ^2 x}{\sin x \cos x}\right) \\ =1= \text {R.H.S}$
Example:10. $\sin (n+1) x \sin (n+2) x+\cos (n+1) x \cdot \cos (n+2) x=\cos x$
Solution: $\sin (n+1) x \sin (n+2) x+\cos (n+1) x \cos (n+2) x=\cos x \\ \text{L.H.S.} \sin (n+1) x \sin (n+2) x+\cos (n+1) x \cos (n+2) x \\ =\cos [(n+2) x-(n+1) x] \\ \left[ \because \cos (x-y)=\cos x \cos x+\sin x \sin y \right] \\ =\cos (n x+2 x-n x-x) \\ =\cos x=\text{R.H.S.}$
Example:11. $\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)=-\sqrt{2} \sin x$
Solution: $\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)=-\sqrt{2} \sin x \\ \text{L.H.S.} \cos \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-x\right) \\ =2 \sin \left[\frac{\frac{3 \pi}{4}+x+\frac{3 \pi}{4}-x}{2}\right] \sin \left[\frac{\frac{3 \pi}{4}+x-\frac{3 \pi}{4}+x}{2}\right] \\ =-2 \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right) \sin \left(\frac{2 x}{2}\right) \\ =-2 \times \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right) \sin x \\ =-2 \sin \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right) \sin x \\ =-2 \sin \frac{\pi}{4} \sin x \\ =-2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \\ =-\sqrt{2} \sin x=\text{R.H.S.}$
Example:12. $\sin ^{2} 6 x-\sin ^2 4 x=\sin 2 x \sin 10 x$
Solution: $\sin ^2 6 x-\sin ^2 4 x=\sin 2 x \sin 10 x \\ \text{L.H.S.} \sin ^2 6 x-\sin ^2 4x \\=(\sin 6 x-\sin 4 x)(\sin 6 x+\sin 4 x) \\ =2 \cos \left(\frac{6 x+4 x}{2}\right) \sin \left(\frac{6 x-4 x}{2}\right) 2 \sin \left(\frac{6 x+4 x}{2}\right) \cos \left(\frac{6 x-4 x}{2}\right) \\ =2 \cos 5 x \sin x-2 \sin 5 x \cos x \\ =(2 \sin 5x \cos 5x)(2 \sin x \cos x) \\ =\sin 10x \sin 2 x[\sin 2 x=2 \sin x \cos x] =\text{R.H.S.}$

Example:13. $\cos ^2 2 x-\cos ^2 6 x=\sin 4 x \sin 8 x$
Solution: $\cos ^2 2 x-\cos ^2 6 x=\sin 4 x \sin 8x \\ \text{L.H.S. } \cos ^2 2 x-\cos ^2 6 x=(\cos 2 x-\cos 6 x)(\cos 2 x+\cos 6 x) \\=-2 \sin \left(\frac{2 x-6 x}{2}\right) \sin \left(\frac{2 x+62 x}{2}\right) \sec \left(\frac{2 x-6 x}{2}\right) \cos \left(\frac{2 x+6 x}{2}\right) \\ = -2 \sin (-2 x) \sin 4 x-2 \cos (-2 x) \cos 4 x \\ = (2 \sin x \cos 2 x)(2 \sin 4 x \cos 4 x) \\ = \sin 4 x \sin 8 x[\because \sin 2 x=2 \sin x \cos x]=\text{R.H.S.}$
Example:14. $\sin 2 x+2 \sin 4 x+\sin 6 x=4 \cos ^2 x \sin 4 x$
Solution: $\sin 2 x+2 \sin 4 x+\sin 6 x=4 \cos ^2 x \sin 4 x \\ \text{L.H.S. } \sin 2 x+2 \sin 4 x+\sin 6 x \sin 2 x+\sin 6 x+2 \sin 4 x \\ =2 \sin \left(\frac{2 x+6 x}{2}\right) \cos \left(\frac{2 x-6 x}{2}\right)+2 \sin 4 x \\ =2 \sin 4 x \cos (-2 x)+2 \sin 4 x \\ =2 \sin 4 x[\cos 2 x+1] \\ =2 \sin 4 x\left(2 \cos ^2 x-1+1\right) \\ =2 \sin 4x \cdot 2 \cos ^2 x=4 \cos ^2 x \sin 4 x =\text{R.H.S.}$
Example:15. $\cot 4 x(\sin 5 x+\sin 3 x)= \cot x(\sin 5 x-\sin 3 x)$
Solution: $\cot 4 x(\sin 5 x+\sin 3 x)=\cot x (\sin 5 x-\sin 3 x) \\ \text { L.H.S. } \cot 4 x(\sin 5 x+\sin 3 x)$
Example:16. $\frac{\cos 9 x-\cos 5 x}{\sin 17 x-\sin 3 x}=\frac{-\sin 2 x}{\cos 10 x}$
Solution: $\frac{\cos 9 x-\cos 5 x}{\sin 17 x-\sin 3 x}=-\frac{\sin 2 x}{\cos 10 x} \\ \text{L.H.S. }= \frac{\cos 9 x-\cos 5 x}{\sin 17 x-\sin 3x} \\ =\frac{-2 \sin \left(\frac{9 x+5 x}{2}\right) \sin \left(\frac{9 x-5 x}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{17 x+3 x}{2}\right) \sin \left(\frac{17 x-3 x}{2}\right)} \\ =-\frac{2 \sin 7 x \sin 2 x}{2 \cos 10 x \sin 7 x} \\ =-\frac{\sin 2 x}{\cos 10 x}=\text { R.H.S.}$
Example:17. $\frac{\sin 5 x+\sin 3 x}{\cos 5 x+\cos 3 x}=\tan 4 x$
Solution: $\frac{\sin 5 x+\sin 3 x}{\cos 5 x+\cos 3 x}=\tan 4 x \\ \text{L.H.S. } \frac{\sin 5 x+\sin 3 x}{\cos 5 x+\cos 3 x}=\frac{2 \sin \left(\frac{5 x+3 x}{2}\right) \cos \left(\frac{5 x-3 x}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{5 x+3x}{2}\right) \cos \left(\frac{5 x-3 x}{2}\right)} \\ =\frac{2 \sin 4 x \cos x}{2 \cos 4 x \cos x} \\ =\tan 4 x=\text { R.H.S. }$
Example:18. $\frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}=\tan \left(\frac{x-y}{2}\right)$
Solution: $\frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}=\tan \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \text { L.H.S. } \frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y} \\ =\frac{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)} \\ =\tan \left(\frac{x-y}{2}\right)=\text{R.H.S.}$
Example:19. $\frac{\sin x+\sin 3 x}{\cos x+\cos 3 x}=\tan 2 x$
Solution: $\frac{\sin x+\sin 3 x}{\cos x+\cos 3 x}=\tan 2 x \\ \text { L.H.S. } \frac{\sin x+\sin 3 x}{\cos x+\cos 3 x}=\frac{2 \sin \left(\frac{x+3 x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x-x}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+3 x}{2}\right) \cos \left(\frac{x-3 x}{2}\right)} \\ =\frac{2 \sin 2 x \cos x}{2 \cos 2 x \cos (-x)} \\ =\tan 2 x \frac{\cos x}{\cos x} \\=\tan 2x=\text { R.H.S.}$
Example:20. $\frac{\sin x-\sin 3 x}{\sin ^2 x-\cos ^2 x}=2 \sin x$
Solution: $\frac{\sin x-\sin 3 x}{\sin ^2 x-\cos ^2 x}=2 \sin x \\ \text { L.H.S. }=\frac{\sin x-\sin 3 x}{\sin ^2 x-\cos ^2 x} \\ =\frac{2 \cos \left(\frac{x+3 x}{2}\right) \sin \left(\frac{x-3 x}{2}\right)}{-\left(\cos ^2 x-\sin ^2 x\right)} \\ =\frac{2 \cos 2 x \sin (-x)}{-\cos 2 x}\left[\cos ^2 x-\sin ^2 x=\cos 2x\right] \\ =-2 \sin(-x)=2 \sin x=\text { R.H.S. }$
Example:21. $\frac{\cos 4 x+\cos 3 x+\cos 2 x}{\sin 4 x+\sin 3 x+\sin 2 x}=\cot 3 x$
Solution: $\frac{\cos 4 x+\cos 3 x+\cos 2 x}{\sin 4 x+\sin 3 x+\sin 2 x}=\cot 3 x \\ \text{L.H.S. }= \frac{\cos 4 x+\cos 3 x+\cos 2 x}{\sin 4 x+\sin 3 x+\sin 2 x} \\ =\frac{\cos 4 x+\cos 2 x+\cos 3 x}{\sin 4 x+\sin 2 x+\sin 3 x} \\ =\frac{2 \cos \left(\frac{4 x+2 x}{2}\right) \cos \left(\frac{4 x-2 x}{5}\right)+\cos 3 x}{2 \sin \left(\frac{4 x+2 x}{2}\right) \cos \left(\frac{4 x-2 x}{2}\right)+\sin 3 x} \\ =\frac{2 \cos 3 x \cos x+\cos 3 x}{2 \sin 3 x \cos x+\sin 3 x} \\ =\frac{2 \cos 3 x(\cos x+1)}{2 \sin 3 x(\cos x+1)} \\ =\cot 3 x=\text{R.H.S.}$
Example:22. $\cot x \cot 2 x-\cot 2 x \cot 3 x-\cot 3 x \cot x=1$
Solution: $\cot x \cot 2 x-\cot 2 x \cot 3 x-\cot 3 x \cot x=1 \\ \cot 3 x=\cot (x+2 x) \\ \Rightarrow \cot 3 x=\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot 2 x+\cot x} \\ \Rightarrow \cot 2 x \cot 3 x+\cot x \cot 3 x=\cot x \cot 2 x-1 \\ \Rightarrow \cot x \cot 2 x-\cot 2 x \cot 3 x-\cot x \cot 3 x \\ =1=\text{R.H.S.}$
Example:23. $\tan 4 x=\frac{4 \tan x(1-\tan x)}{1-6 \tan ^2 x+\tan ^4 x}$
Solution: $\tan 4 x=\frac{4 \tan x\left(1-\tan ^2 x\right)}{1-6 \tan ^2 x+\tan ^4 x} \\ \text { L.H.S. } \tan 4 x =\frac{2 \tan 2 x}{1-\tan ^2 2 x} \\ =\frac{2\left(\frac{2 \tan x}{1-\tan ^2 x}\right)}{1-\left(\frac{2 \tan x}{1-\tan ^2 x}\right)^2} \\ =\frac{\frac{4 \tan x}{1-\tan ^2 x}}{\frac{\left(1-\tan ^2 x\right)^2-4 \tan ^2 x}{\left(1-\tan ^2 x\right)^2}}\\ =\frac{4 \tan x \times\left(1-\tan ^2 x\right)}{1-2 \tan ^2 x+\tan ^4 x-4 \tan ^2 x} \\ =\frac{4 \tan x\left(1-\tan ^2 x\right)}{1-6 \tan ^2 x+\tan ^4 x}=\text{R.H.S.}$
Example:24. $\cos 4 x=1-8 \sin ^2 x \cos ^2 x$
Solution: $\cos 4 x=1-8 \sin ^2 x \cos ^2 x \\ \text{L.H.S.} \cos 4 x =1-2 \sin ^2 2 x \\ =2-2(2 \sin x \cos x)^2 \left[\because \sin 2 x=2 \sin x \cos x ,\cos 2 x=1-2 \sin ^2 x\right] \\ =1-2 \times \sin ^2 x \cos ^2 x \\ =1-8 \sin ^2 x \cos ^2 x= \text { R.H.S. }$
Example:25. $\cos 6 x=32 \cos ^6 x-48 \cos ^4 x+18 \cos ^2 x-1$
Solution: $\cos 6 x=32 \cos ^6 x-48 \cos^4 x +18 \cos ^2 x-1 \\ \text{L.H.S.} \cos 6 x \\ =2 \cos ^2 3 x-1\left[\because \cos 2 x=2 \cos ^2 x-1\right] \\ =2\left[4 \cos ^3 x-3 \cos x\right]^2\left[\because \cos 3 x=4 \cos ^3 x-3 \cos x\right] \\ =2\left(16 \cos ^6 x-24 \cos ^4 x+9 \cos ^2 x\right)-1 \\ =32 \cos ^6 x-48 \cos ^4 x+18 \cos ^2 x-1 =\text { R.H.S. }$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Two Angles),दो कोणों के योग और अन्तर का त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Functions of Sum and Difference of Two Angles Class 11) को समझ सकते हैं।

4.दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात की समस्याएं (Trigonometrical Ratios of Two Angles Problems):

यदि $\sin A+\sin B=a$ तथा $\cos A+\cos B=b$

सिद्ध कीजिए
(1) $\cos (A+B)=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}$
(2) $\sin (A+B)=\frac{2 a b}{a^2+b^2}$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Two Angles),दो कोणों के योग और अन्तर का त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Functions of Sum and Difference of Two Angles Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Frequently Asked Questions Related to Trigonometrical Ratios of Two Angles),दो कोणों के योग और अन्तर का त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Functions of Sum and Difference of Two Angles Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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Trigonometrical Ratios of Two Angles

दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात
(Trigonometrical Ratios of Two Angles)

Trigonometrical Ratios of Two Angles