1.कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Specific Angles),कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of Specific Angles in Class 10):

Trigonometric Ratio of Specific Angles

कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Specific Angles) जैसे 0°,30°,45°,60° और 90° वाले कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करेंगे।
45° के त्रिकोणमितीय अनुपात
\triangle ABC में जिसका कोण B समकोण है यदि एक कोण 45° का हो तो अन्य कोण भी 45° का होगा अर्थात् \angle A=\angle C=45^{\circ} (देखिए आकृति)

Trigonometric Ratio of Specific Angles

अतः BC=AB (बराबर कोण की अभिमुख भुजाएँ)
अब मान लीजिए BC=AB=a
तब पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=a^{2}+a^{2}=2 a^{2}
इसलिए AC=a \sqrt{2}
त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषाओं को लागू करने पर हमें यह प्राप्त होता हैः
\sin 45°=\frac{45° \text{ के कोण की सम्मुख भुजा }}{कर्ण } =\frac{BC}{AC} \\ \Rightarrow \sin 45^{\circ}=\frac{a}{a \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos 45°=\frac{45° \text{ के कोण की संलग्न भुजा }}{कर्ण }=\frac{AB}{AC} \\ \Rightarrow \cos 45^{\circ}=\frac{a}{a \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \tan 45°=\frac{45° \text{ के कोण की सम्मुख भुजा}}{45° \text{के कोण की संलग्न भुजा}} \\ \Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{B C}{A B}=\frac{a}{a}=1
और \operatorname{cosecc} 45^{\circ}=\frac{1}{\sin 45^{\circ}}=\sqrt{2}, \sec 45^{\circ}=\frac{1}{\cos 45^{\circ}}=\sqrt{2} \\ \cot 45^{\circ}=\frac{1}{\tan 45^{\circ}}=1
30° और 60° के त्रिकोणमितीय अनुपात
आइए अब हम 30° और 60° के त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित करें।एक समबाहु त्रिभुज ABC पर विचार करें।क्योंकि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का होता है
इसलिए \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}
A से भुजा BC पर लम्ब AD डालिए (देखिए आकृति)
अब \triangle ABD \cong \triangle ACD (समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता से)

इसलिए BD=DC
और \angle BAD=\angle CAD (CPCT)
\triangle ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण D समकोण है और जहाँ \angle ABD=30^{\circ} और \angle ABD=60^{\circ} (देखिए आकृति)

Trigonometric Ratio of Specific Angles

हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय अनुपातों को ज्ञात करने के लिए हमें त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाईयाँ ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।आइए हम यह मान लें कि AB=2a
तब BD=\frac{1}{2} BC=a
और A D^{2}=A B^{2}-B D^{2}=\left(2a\right)^2-a^2=3 a^2
इसलिए AD=a \sqrt{3}
अब \sin 30^{\circ}=\frac{B D}{A B}=\frac{a}{2 a}=\frac{1}{2} \\ \cos 30^{\circ}=\frac{A D}{A B}=\frac{a \sqrt{3}}{2 a}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan 30^{\circ}=\frac{B D}{A D}=\frac{a}{a \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}
और \operatorname{cosec} 30^{\circ}=\frac{1}{\sin 30^{\circ}}=2, \sec 30^{\circ}=\frac{1}{\cos 30^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt{3}} \\ \cot 30^{\circ}=\frac{1}{\tan 30^{\circ}}=\sqrt{3}
इसी प्रकार \sin 60^{\circ}=\frac{A D}{A B}=\frac{a \sqrt{3}}{2 a}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos 60^{\circ} =\frac{1}{2}, \tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \\ \operatorname{cosec} 60^{\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}}, \sec 60^{\circ}=2
और \cot 60^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}
0° और 90° के त्रिकोणमितीय अनुपात

Trigonometric Ratio of Specific Angles

आइए हम देखें कि समकोण त्रिभुज ABC के कोण A को तब तक ओर छोटा किया जाए जब तक कि यह शून्य नहीं हो जाता है तब इस स्थिति में कोण A के त्रिकोणमितीय अनुपातों पर प्रभाव पड़ता है (देखिए आकृति)।जैसे-जैसे \angle A छोटा होता जाता है वैसे-वैसे भुजा BC की लम्बाई कम होती जाती है।बिन्दु C, बिन्दु B के निकट आता जाता है और अन्त में जब \angle A,0° के काफी निकट हो जाता है तब AC लगभग वही हो जाता है जो कि AB है (देखिए आकृति)

Trigonometric Ratio of Specific Angles

जब \angle A, 0° के अत्यधिक निकट होता है तब BC,0 के अत्यधिक निकट आ जाता है।तब  \sin A=\frac{B C}{A C} का मान 0 के अत्यधिक समीप होता है।और जब \angle A,0° के अत्यधिक निकट होता है तब AC लगभग वही होता है जो कि AB होता है और \cos A=\frac{A B}{A C} का मान 1 के अत्यधिक समीप होता है।
इसकी सहायता से हम उस स्थिति में और \cos A के मान परिभाषित कर सकते हैं जबकि A=0°,हम \sin ^{\circ}=0 और \cos 0^{\circ}=1 परिभाषित करते हैं।
इनका प्रयोग करने पर हमें ये प्राप्त होते हैंः
\tan 0^{\circ}=\frac{\sin 0^{\circ}}{\cos 0^{\circ}}=0, \cot 0^{\circ}=\frac{1}{\tan 0^{\circ}} (जो कि परिभाषित नहीं है)

\sec 0^{\circ}=\frac{1}{\cos 0^{\circ}}=1 और \operatorname{cosec} 0^{\circ}=\frac{1}{\sin 0^{\circ}} (जो कि परिभाषित नहीं है)
आइए अब हम उस स्थिति में देखें कि \angle A के त्रिकोणमितीय अनुपातों के साथ क्या होता है जबकि \triangle ABC के इस कोण को तब बड़ा किया जाता है,जब तक कि 90° का नहीं होता।\angle A जैसे-जैसे बड़ा होता जाता है, \angle C वैसे-वैसे छोटा होता जाता है।अतः ऊपर वाली स्थिति की भाँति भुजा AB की लम्बाई कम होती जाती है।बिन्दु A,बिन्दु B के निकट होता जाता है और अन्त में जब \angle A,90° के अत्यधिक निकट आ जाता है तो \angle C, 0° के अत्यधिक निकट आ जाता है और भुजा AC भुजा BC के साथ लगभग संपाती हो जाती है (देखिए आकृति)

Trigonometric Ratio of Specific Angles

जब \angle C, 0° के अत्यधिक निकट होता है तो \angle A, 90° के अत्यधिक निकट हो जाता है और भुजा AC लगभग वही हो जाती है जो भुजा BC है।अतः \sin A, 1 अत्यधिक निकट हो जाता है और जब \angle A, 90° के अत्यधिक निकट हो जाता है तब \angle C,0° के अत्यधिक निकट आ जाता है और भुजा AB लगभग शून्य हो जाती है।अतः \cos A,0° के अत्यधिक निकट हो जाता है।
अतः हम यह परिभाषित करते हैंः
\sin 90^{\circ}=1 और \cos 90^{\circ}=0
सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों की सारणी

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2.कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात के साधित उदाहरण (Trigonometric Ratio of Specific Angles Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित के मान निकालिएः
Example:1(i). \sin 60^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ}
Solution: \sin 60^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ} \\ =\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \\ =\frac{3}{4}+\frac{1}{4} \\ =\frac{3+1}{4} \\ =\frac{4}{4}=1
Example:1(ii). 2 \tan ^2 45^{\circ}+\cos ^2 30^{\circ}-\sin ^2 60^{\circ}
Solution: 2 \tan ^2 45^{\circ}+\cos ^2 30^{\circ}-\sin ^2 60^{\circ} \\ =2 \times(1)^2 +\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\ =2 \times 1 \\ =2
Example:1(iii). \frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}}
Solution: \frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}} \\ =\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+2} \\ =\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2+2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{ \sqrt{3}}{2+2 \sqrt{3}} \\ =\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)} \times \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)} \\ =\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{4(3-1)} \\ =\frac{\sqrt{18}-\sqrt{6}}{8} \\ =\frac{3 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}
Example:1(iv). \frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\operatorname{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}
Solution: \frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}+\operatorname{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}} \\ =\frac{\frac{1}{2}+1-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}+1} \\ =\frac{\frac{3}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3}{2}+\frac{2}{\sqrt{3}}} \\ =\frac{\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}{\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)} \\ =\frac{\frac{9}{4}+\frac{4}{3}-2 \times \frac{3}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{9}{4}-\frac{4}{3}} \\ =\frac{\frac{9}{4}+\frac{4}{3}-2 \sqrt{3}}{\frac{27-16}{12}}\\ =\frac{\frac{27+16-24 \sqrt{3}}{12}}{\frac{11}{12}} \\ =\frac{43-24 \sqrt{3}}{11}
Example:1(v). \frac{5 \cos ^2 60^{\circ}+4 \sec ^2 30^{\circ}-\tan ^2 45^{\circ}}{\sin ^2 30^{\circ}+\cos ^2 30^{\circ}}
Solution: \frac{5 \cos ^2 60^{\circ}+4 \sec ^2 30^{\circ}-\tan ^2 45^{\circ}}{\sin ^2 30^{\circ}+\cos ^2 30^{\circ}} \\ =\frac{5 \times\left(\frac{1}{2}\right)^2+4 \times\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2-(1)^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \\ =\frac{\frac{5}{4}+4 \times \frac{4}{3}-1}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} \\ =\frac{\frac{\frac{5}{4}+\frac{16}{3}-\frac{1}{1}}{1+3}}{4} \\ =\frac{\frac{15+64-12}{12}}{\frac{4}{4}} \\ =\frac{67}{12}
Example:2.सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिएः
Example:2(i). \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^2 30^{\circ}}
(A) sin 60° (B)cos 60° (C) tan 60° (D)sin 30°
Solution: \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^2 30^{\circ}} \\ =\frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \\ =\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}} \\ =\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3+1}{3}} \\ =\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ =\sin 68^{\circ} 

(A) sin 60° 
Example:2(ii).\frac{1-\tan ^2 45^{\circ}}{1+\tan ^2 45^{\circ}} 
(A) tan 90° (B)1 (C)sin 45° (D) 0
Solution:\frac{1-\tan ^2 45^{\circ}}{1+\tan ^2 45^{\circ}} \\ =\frac{1-(1)^2}{1+(1)^2}=0 
(D)0
Example:2(iii). \sin 2 A=2 \sin A  तब सत्य होता है जबकि A बराबर हैः
Solution:\sin 2 A=2 \sin A 
जब A=0° तो \sin 2 A=\sin \left(2 \times 0^{\circ}\right)=\sin 0^{\circ}=0 \\ \therefore 2 \sin A=2 \sin 0^{\circ}=2 \times 0=0 
(A) 0°
Example:2(iv). \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^2 30^{\circ}}  बराबर हैः

(A) cos 60° (B) sin 60° (c) tan 60° (D) sin 30°

Solution:- \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^2 30^{\circ}} \\ =\frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}} \\ =\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}} \\ =\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}=\sqrt{3}=\tan 60^{\circ} 

(c) tan 60°

Trigonometric Ratio of Specific Angles

Example:3.यदि \tan (A+B)=\sqrt{3}  और  \tan (A-B)=\frac{1}{\sqrt{3}} ; \quad 0^{\circ} < A+B \leq 90^{\circ} ;A>B  तो A और B का मान ज्ञात कीजिएः
Solution: \tan (A-B)=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan (A-B)=\tan 30^{\circ} \Rightarrow A-B=30^{\circ} \cdots(1) \\ \tan (A+B)=\sqrt{3} \\ \tan (A+B)=\tan 60^{\circ} \Rightarrow A+B=60^{\circ} \cdots(2) 
(1) व (2) को हल करने परः

\angle A=45^{\circ}, \angle B=15^{\circ} 
Example:4.बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य है या असत्य हैं।कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिएः
Example:4(i). \sin (A+B)=\sin A+\sin B 
Solution: \sin (A+B)=\sin A+\sin B 
माना कि A=30°,B=60°

अतः \sin (A+B) \neq \sin A+\sin B 
दिया गया कथन असत्य है।
Example:4(ii). \theta  में वृद्धि होने के साथ के मान में भी वृद्धि होती है।
Solution: \theta  का मान 0°,30°,45°,60°,90° तक बढ़ने पर \sin \theta  के मान में वृद्धि होती है परन्तु 90° के आगे वृद्धि नहीं होती है।
दिया गया कथन सत्य है।
Example:4(iii). \theta  में वृद्धि होने के साथ \cos \theta  के मान में भी वृद्धि होती है।
Solution: \cos 0^{\circ}=1, \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2} 
अतः \theta   का मान बढ़ाने पर \cos \theta  के मान में वृद्धि नहीं होती है।
अतः दिया गया कथन असत्य है।
Example:4(iv). \theta   के सभी मानों पर \sin \theta=\cos \theta 
Solution: \sin \theta=\cos \theta 
जब \theta=45^{\circ}  तो \sin 45^{\circ}=\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}} 
परन्तु \theta=30^{\circ}  तो \sin \theta \neq \cos \theta 
अतः \theta  के सभी मानों के लिए कथन असत्य है।
Example:4(v). A=0° पर \cot A  अपरिभाषित है।
Solution: \cot 0^{\circ} =\frac{\cos 0^{\circ}}{\sin 0^{\circ}} \\ =\frac{1}{0} \\ \infty  (अपरिभाषित)
A=0° पर cot A अपरिभाषित है।
दिया गया कथन सत्य है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Specific Angles),कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of Specific Angles in Class 10) को समझ सकते हैं।

3.कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात पर आधारित सवाल (Questions Based on Trigonometric Ratio of Specific Angles):

Trigonometric Ratio of Specific Angles

सिद्ध कीजिए किः

(1.) \frac{\sin 60^{\circ}}{1+\cos 60^{\circ}}=\tan 30^{\circ}
(2.) \tan ^2 30^{\circ}+\tan ^2 45^{\circ}+\tan ^2 60^{\circ}=4 \frac{1}{3}
(3.)यदि A=60° और B=30° तो सिद्ध कीजिएः

\cot (A-B)=\frac{\cot A \cot B-1}{\cot B-\cot A}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Specific Angles),कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of Specific Angles in Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Frequently Asked Questions Related to Trigonometric Ratio of Specific Angles),कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of Specific Angles in Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Specific Angles)
जैसे 0°,30°,45°,60° और 90° वाले कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करेंगे।