1.त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Functions Class 11),त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions):

Trigonometric Functions Class 11

त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Functions Class 11) में ‘ट्रिगोनोमेट्री’ की व्युत्पत्ति ग्रीक शब्दों ‘ट्रिगोन’ तथा ‘मेट्रोन’ से हुई है तथा इसका अर्थ ‘त्रिभुज की भुजाओं को मापना’ होता है।इस विषय का विकास मूलतः त्रिभुजों से सम्बन्धित ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया गया था।इसका अध्ययन समुद्री यात्राओं के कप्तानों,सर्वेयरों जिन्हें नए भू-भागों का चित्र तैयार करना होता था तथा अभियन्ताओं आदि के द्वारा किया गया।वर्तमान में इसका उपयोग बहुत सारे क्षेत्रों जैसे विज्ञान,भूकम्प शास्त्र,विद्युत परिपथ (सर्किट) के डिजाइन तैयार करने,अणु की अवस्था का वर्णन करने,समुद्र में आनेवाले ज्वार की ऊँचाई के विषय में पूर्वानुमान लगाने में,सांगीतिक लय (टोन) का विश्लेषण करने तथा अन्य क्षेत्रों में होता है।
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2.त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Trigonometric Functions Class 11 Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित डिग्री के माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिएः
Example:1(i).25°
Solution:25°
=25^{\circ} \times \frac{\pi}{180}=\frac{5 \pi}{36} रेडियन
Example:1(ii).-47°30′
Solution:-47°30′
= -47^{\circ}+\left(\frac{30}{60}\right)^{\circ}=-47 \frac{1}{2} डिग्री
=-\frac{95}{2} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} रेडियन

= -\frac{19 \pi}{72} रेडियन
Example:1(iii).240°
Solution: 240^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} \\ =\frac{4 \pi}{3}
Example:1(iv).520°
Solution:520°
=520^{\circ} \times \frac{\pi}{1800} \\ =\frac{26 \pi}{9} रेडियन
Example:2.निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए ( \pi=\frac{22}{7} का प्रयोग करें):
Example:2(i). \frac{11}{16}
Solution: \frac{11}{16} \\ =\frac{11}{16} \times \frac{180^{\circ}}{11} \\=\frac{1980}{16 \times \frac{22}{7}}=\frac{1980 \times 7}{16 \times 22} \\ =\frac{13860}{352} \\ =39^{\circ} 21^{\prime} 30^{\prime \prime}
Example:2(ii).-4
Solution: -4 \\ =-4 \times \frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{-720}{\frac{22}{7}}=\frac{-5040}{22} \\ =229^{\circ} 5^{\prime} 27.2^{\prime \prime}
Example:2(iii). \frac{5 \pi}{3}
Solution:\frac{5 \pi}{3} \\ =\frac{5 \pi}{3} \times \frac{180^{\circ}}{\pi} \\=300°
Example:2(iv). \frac{7 \pi}{6}
Solution: \frac{7 \pi}{6} \\ =\frac{7 \pi}{6} \times \frac{180^{\circ}}{\pi} \\ =210^{\circ}
Example:3.एक पहिया एक मिनट में 360 परिक्रमण करता है तो एक सेकण्ड में कितने रेडियन माप का कोण बनाएगा?
Solution:1 परिक्रमण में पहिया घूमता है= 2 \pi रेडियन
360 परिक्रमण में पहिया घूमता है=360 \times 2 \pi रेडियन
=720 \pi रेडियन
1 मिनट अर्थात् 60 सेकण्ड में पहिया परिक्रमण करता है=720 \pi रेडियन
1 सेकण्ड में पहिया परिक्रमण करता है=\frac{720 \pi}{60}
=12 \pi रेडियन
Example:4.एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या 100 सेमी है, की 22 सेमी लम्बाई की चाप वृत्त के केन्द्र पर कितने डिग्री माप का कोण बनाएगी ( \pi=\frac{22}{7} का प्रयोग कीजिए।)
Solution:वृत्त की त्रिज्या (r)=100 सेमी
चाप की लम्बाई (l)=22 सेमी
l=r \theta \Rightarrow \theta=\frac{l}{r}=\frac{22}{100} रेडियन

=\frac{22}{100} \times \frac{180}{\pi} \text { डिगी } \\ =\frac{3960}{100 \times \frac{22}{7}}=\frac{27720}{2200} \\ \Rightarrow \theta =12^{\circ} 36^{\prime}
Example:5.एक वृत्त जिसका व्यास 40 सेमी है,की एक जीवा 20 सेमी लम्बाई की है तो इसके संगत छोटे चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

Trigonometric Functions Class 11

Solution: \frac{A L}{O A}=\frac{10}{20} \\ \Rightarrow \sin \theta=\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6} \\ \angle AOB=2 \theta=\frac{2 \pi}{6}=\frac{\pi}{3} \\ r=20 \text{ सेमी } , \theta=\frac{\pi}{3}, \quad l=? \\ l=r \theta=\frac{20 \pi}{3}
Example:6.यदि दो वृत्तों के समान लम्बाई वाले चाप केन्द्रों पर क्रमशः 60° तथा 75° के कोण बनाते हों तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution: \theta_1=60^{\circ}, \theta_2=75^{\circ}, l_1=l_2 \\ r_1: r_2=? \\ l_1=r_1 \theta_1 \Rightarrow l_1=60 \times \frac{\pi}{180} r_1 \\ l_2=r_2 \theta_2 \Rightarrow l_2=75 \times \frac{\pi}{180} r_2 \\ l_1=l_2 \\ \Rightarrow \frac{60 \pi}{180} r_1=\frac{75 \pi}{180} r_2 \\ \Rightarrow \frac{r_1}{r_2}=\frac{75 \pi}{180} \times \frac{180}{60 \pi} \\ \Rightarrow r_{1} : r_{2}=5 :4
Example:7.75 सेमी लम्बाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोक द्वारा बनाए गए चाप की लम्बाई निम्नलिखित हैंः
Example:7(i).10 सेमी
Solution:l=10 सेमी, r=75 सेमी
l=r \theta \Rightarrow \theta=\frac{l}{r} \\ \Rightarrow \theta=\frac{10}{75}=\frac{2}{15} रेडियन
Example:7(ii).15 सेमी
Solution:15 सेमी
l=15 सेमी ,r=75 सेमी
\theta=\frac{l}{r} = \frac{15}{75} \\ \Rightarrow \theta=\frac{1}{5} रेडियन
Example:7(iii).21 सेमी
Solution:21 सेमी
l=21 सेमी, r=75 सेमी

\theta=\frac{1}{r}=\frac{21}{75}=\frac{7}{25} \\ \Rightarrow \theta=\frac{7}{25} रेडियन
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Functions Class 11),त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 की समस्याएँ (Trigonometric Functions Class 11 Problems):

Trigonometric Functions Class 11

(1.)एक घड़ी में मिनट की सुई 1.5 सेमी लम्बी है।इसकी नोक 40 मिनट में कितनी दूर जा सकती है (\pi=3.14 का प्रयोग करें)?
(2.)यदि दो वृत्तों के चापों की लम्बाई समान हो और वे अपने केन्द्र पर क्रमशः 65° तथा 110° का कोण बनाते हैं, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)l=6.28 सेमी (2) r_{1} : r_{2}=22: 13
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Functions Class 11),त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Trigonometric Functions Class 11),त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.कोण को परिभाषित करो। (Define the Angle):

उत्तर:एक कोण वह माप है जो एक किरण के उसके प्रारम्भिक बिन्दु के परितः घूमने पर बनता है।किरण के घूर्णन की मूल स्थिति को प्रारम्भिक भुजा तथा घूर्णन के अन्तिम स्थिति को कोण की अन्तिम भुजा कहते हैं।घूर्णन बिन्दु को शीर्ष कहते हैं।यदि घूर्णन वामावर्त है तो कोण धनात्मक तथा यदि घूर्णन दक्षिणावर्त है तो कोण ऋणात्मक कहलाता है।

प्रश्न:2.डिग्री माप को परिभाषित कीजिए। (Define Degree Measure):

उत्तर:यदि प्रारम्भिक भुजा से अन्तिम भुजा का घुमाव एक पूर्ण परिक्रमण का वाँ भाग हो तो हम कोण का माप एक डिग्री कहते हैं,इसे 1° से लिखते हैं।एक डिग्री को मिनट में तथा एक मिनट को सेकण्ड में विभाजित किया जाता है।एक डिग्री का  साठवाँ भाग एक मिनट कहलाता है,इसे 1′ से लिखते हैं तथा एक मिनट का साठवाँ भाग एक सेकण्ड कहलाता है,इसे 1″ से लिखते हैं।
अर्थात् 1°=60′,1’=60″

प्रश्न:3.रेडियन माप को परिभाषित करो। (Define Radian Measure):

उत्तर:कोण को मापने के लिए एक दूसरी इकाई भी है, जिसे रेडियन माप कहते हैं।इकाई वृत्त (वृत्त की त्रिज्या एक इकाई हो) के केन्द्र पर एक इकाई लम्बाई के चाप द्वारा बने कोण को एक रेडियन कहते हैं।
इकाई त्रिज्या के वृत्त की परिधि होती है।अतः प्रारम्भिक भुजा की एक पूर्ण परिक्रमा केन्द्र पर रेडियन का कोण अन्तरित करती है।
यह सर्वविदित है कि r त्रिज्या वाले एक वृत्त में, r लम्बाई का चाप केन्द्र पर एक रेडियन का कोण अन्तरित करता है।हम जानते हैं कि वृत्त के समान चाप केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करते हैं।चूँकि r त्रिज्या के वृत्त में r लम्बाई का चाप केन्द्र पर \frac{l}{r} एक रेडियन का कोण अन्तरित करता है,इसलिए l लम्बाई का चाप केन्द्र पर रेडियन का कोण अन्तरित करेगा।अतः यदि एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या r है, चाप की लम्बाई l तथा केन्द्र पर अन्तरित कोण \theta रेडियन है तो हम पाते हैं कि \theta=\frac{l}{r} \Rightarrow l=r \theta

प्रश्न:4.डिग्री तथा रेडियन के मध्य क्या सम्बन्ध होता है? (What is Relation Between Degree and Radian?):

उत्तर:वृत्त, केन्द्र पर एक कोण बनाता है जिसकी माप रेडियन है तथा यह 360° डिग्री माप है,इसलिए
रेडियन=360° या रेडियन=180°
उपर्युक्त सम्बन्ध हमें रेडियन माप को डिग्री माप तथा डिग्री माप को रेडियन माप में व्यक्त करते हैं।
\pi का निकटतम मान \frac{22}{7} का उपयोग करते हैं हम पाते हैं कि
1 रेडियन=\frac{180°}{\pi}=57°16′,1°=\frac{\pi}{180°} रेडियन=0.01746 रेडियन (निकटतम)
कुछ सामान्य कोणों के डिग्री माप तथा रेडियन माप के सम्बन्ध निम्नलिखित सारणी में दिए गए हैंः
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{ डिग्री } & 30° & 45° & 60° & 90° & 180° & 270° & 360° \\ \hline \text{रेडियन} & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \pi & \frac{3\pi}{2} & 2 \pi \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Functions Class 11),त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Functions Class 11) में ‘ट्रिगोनोमेट्री’ की व्युत्पत्ति
ग्रीक शब्दों ‘ट्रिगोन’ तथा ‘मेट्रोन’ से हुई है तथा इसका अर्थ ‘त्रिभुज की भुजाओं को मापना’ होता है।