1.कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function in Class 11),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11):

Trigonometric Function in Class 11

कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function in Class 11) के इस लेख में किसी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात की परिभाषा को रेडियन माप के पदों में तथा त्रिकोणमितीय फलन के रूप में अध्ययन करेंगे।
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2.कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन के उदाहरण (Trigonometric Function in Class 11 Examples):

निम्नलिखित प्रश्नों में पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिएः
Example:1. \cos x=\frac{-1}{2}, x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
Solution:\cos x=-\frac{1}{2} \\ \sec x=-2 \\ \sin 2 x+\cos ^2 x=1 \\ \Rightarrow \sin ^2 x=1-\cos ^2 x \\ =1-\left(-\frac{1}{2}\right)^2 \\ =1-\frac{1}{4} \\ =\frac{3}{4} \\ \sin x= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है तो sin x का मान ऋणात्मक होगा।इसलिए

\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \operatorname{cosec} x=-\frac{2}{\sqrt{3}} \\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{-\sqrt{3}}{2}}{\frac{-1}{2}}=\sqrt{3} \\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}
Example:2. \sin x=\frac{3}{5}, x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
Solution: \sin x=\frac{3}{5} \\ \operatorname{cosec} x=\frac{5}{3} \\ \sin ^2 x +\cos ^2 x=1 \\ \Rightarrow \cos ^2 x =1-\sin ^2 x \\ =1-\left(\frac{3}{5}\right)^2 \\ =1-\frac{9}{25} \\=\frac{25-9}{25} \\ =\frac{16}{25} \\ \Rightarrow \cos x = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} \\ \Rightarrow \cos x= \pm \frac{4}{5}
x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है तो cos x का मान ऋणात्मक होगा।इसलिए

\cos x=-\frac{4}{5} \\ \sec x=-\frac{5}{4} \\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4} \\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}
Example:3. \cot x=\frac{3}{4}, x तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
Solution: \cot x=\frac{3}{4} \\ \tan x=\frac{4}{3} \\ 1+\cot ^2 x=\operatorname{cossc}^2 x \\ \Rightarrow 1+\left(\frac{3}{4}\right)^2=\operatorname{cossc}^2 x \\ \Rightarrow \operatorname{cosce} x =1+\frac{9}{16} \\ =\frac{16+9}{16} \\ =\frac{25}{16} \\ \Rightarrow \operatorname{cosec} x = \pm \sqrt{\frac{25}{16}} \\ \operatorname{cosec} x = \pm \frac{5}{4}
x तृतीय चतुर्थांश में स्थित है तो cosec x का मान ऋणात्मक होगा।इसलिए

\operatorname{cosec} x=-\frac{5}{4} \\ \sin x=-\frac{4}{5} \\ \sin ^2 x+\cos ^2 x=1 \\ \cos ^2 x=1-\sin ^2 x \\ =1-\left(-\frac{4}{5}\right)^2 \\ =1-\frac{16}{25} \\ =\frac{25-16}{25} \\ =\frac{9}{25} \\ \cos x= \pm \sqrt{\frac{9}{25}} \\ \cos x= \pm \frac{3}{5}
x तृतीय चतुर्थांश में स्थित है तो cos x का मान ऋणात्मक होगा।इसलिए

\cos x=-\frac{3}{5} \\ \sec x=-\frac{5}{3}
Example:4. \sec x=\frac{13}{5}, x चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
Solution: \sec x=\frac{13}{5} \\ \cos x=\frac{5}{13} \\ \sin 2 x+\cos ^2 x=1 \\ \Rightarrow \sin ^2 x=1-\cos ^2 x \\ \Rightarrow \sin ^2 x=1-\left(\frac{5}{53}\right)^2 \\ =1-\frac{25}{169}=\frac{165-25}{169} \\ =\frac{144}{169} \\ \Rightarrow \sin x= \pm \sqrt{\frac{144}{169}} \\ \quad \sin x= \pm \frac{12}{13}
x चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है तो sin x का मान ऋणात्मक होगा।इसलिए

\sin x=-\frac{12}{13} \\ \operatorname{cosec} x=\frac{-13}{12} \\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=-\frac{12}{5} \\ \cot x=\frac{1}{\tan x}=-\frac{5}{12} \\ \sin x=-\frac{12}{13}, \cos x=\frac{5}{13}, \tan x=\frac{-12}{5}, \cot x=\frac{-5}{12} , \operatorname{cosec} x=\frac{-13}{12}
Example:5. \tan x=-\frac{5}{12}, x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
Solution: \tan x=-\frac{5}{12} \\ \cot x=\frac{1}{\tan x}=-\frac{12}{5} \\ 1+\tan ^2 x=\sec ^2 x \\ \Rightarrow \sec ^2 x =1+\left(-\frac{5}{12}\right)^2 \\ =1+\frac{25}{144}=\frac{144+25}{144} \\ =\frac{169}{144} \\ \sec x= \pm \sqrt{\frac{169}{144}}= \pm \frac{13}{12}
x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है तो sec x का मान ऋणात्मक होगा।इसलिए

\sec x=-\frac{13}{12}, \cos x=-\frac{12}{13} \\ \sin ^2 x+\cos ^2 x=1 \Rightarrow \sin ^2 x=1-\cos ^2 x \\ \Rightarrow \sin ^2 x=1-\left(-\frac{12}{13}\right)^2 \\ =1-\frac{144}{169}=\frac{169-147}{169} \\ =\frac{25}{169} \\ \Rightarrow \sin x= \pm \sqrt{\frac{25}{169}}= \pm \frac{5}{13}
x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है तो sin x का मान धनात्मक होगा।इसलिए

Trigonometric Function in Class 11

प्रश्न संख्या 6 से 10 के मान ज्ञात कीजिएः
Example:6. \sin 765^{\circ}
Solution: \sin 765^{\circ} \\ =\sin \left(360 \times 2+45^{\circ}\right)=\sin 45^{\circ} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}
Example:7. \operatorname{cosec}\left(-1410^{\circ}\right)
Solution: \operatorname{cosec}\left(-1410^{\circ}\right) \\ = \operatorname{cosec}\left( 1410^{\circ} \right) \quad[\because \operatorname{cosec}(-\theta)=-\operatorname{cosec} \theta] \\ =\operatorname{cosec} \left(360^{\circ} \times 4-30^{\circ}\right) \\ =\operatorname{cosec} 30^{\circ}=2 \quad[\because \operatorname{cosec}(360-\theta)=-\operatorname{cosec} \theta]
Example:8. \tan \frac{19 \pi}{3}
Solution: \tan \frac{19 \pi}{3} \\ =\tan \left(\pi \times 3+\frac{\pi}{3}\right) \\ =\tan \frac{\pi}{3} \quad[\because \tan (2 \pi+\theta)=\tan \theta] \\ =\sqrt{3}
Example:9. \sin \left(-\frac{11 \pi}{3}\right)
Solution: \sin \left(- \frac{ 11 \pi}{3}\right) \\ =-\sin \left(- \frac{ 11 \pi}{3}\right) \quad[\because \sin (-\theta)=-\sin \theta] \\=-\sin \left(2 \pi \times 2- \frac{\pi}{3}\right) \\ =\sin \frac{\pi}{3}[\because \sin (2 \pi-\theta)=-\sin \theta] \\=\frac{\sqrt{3}}{2}
Example:10. \cot \left(-\frac{15 \pi}{4}\right)
Solution: \cot \left(-\frac{15 \pi}{4}\right) \\ =-\cot \left(\frac{15 \pi}{4}\right)[\because \cot (-\theta)=-\cot \theta] \\ =-\cot \left[2 \pi \times 2-\frac{\pi}{4}\right] \\ =\cot \frac{\pi}{4}[\because \cot (2 \pi-\theta)=-\cot \theta] \\=1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function in Class 11),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन समस्याएँ (Trigonometric Function in Class 11 Problems):

Trigonometric Function in Class 11

सिद्ध कीजिए

(1.)\frac{\sin \left(180^{\circ}+\theta\right) \cdot \cos \left(90^{\circ}+\theta\right) \tan \left(270^{\circ}-\theta\right) \cot \left(360^{\circ}-\theta\right)}{\sin \left(360^{\circ}-\theta\right) \cos \left( 360^{\circ} +\theta\right) \operatorname{cosec}(-\theta) \sin \left(270^{\circ}+\theta\right)} =1
(2.) \frac{\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}+\theta\right)+\cot \left(450^{\circ}+\theta\right)}{\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}+\theta\right)+\tan \left(180^{\circ}-\theta\right)}+\frac{\tan \left(180^{\circ}+\theta\right)+\sec \left(180^{\circ}-\theta\right)}{\tan \left(360^{\circ}+\theta\right)-\sec (-\theta)}=2
(3.)निम्नलिखित समीकरण से x का मान ज्ञात कीजिएः

x \cot \left(90^{\circ}+\theta\right)+\tan \left(90^{\circ}+\theta\right) \sin \theta+ \operatorname{cosec}\left(90^{\circ}+\theta\right)=0
उत्तर (Answers):(3.) x=\sin \theta
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function in Class 11),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन (Frequently Asked Questions Related to Trigonometric Function in Class 11),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function in Class 11) के इस लेख में
किसी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात की परिभाषा को रेडियन माप के पदों में तथा त्रिकोणमितीय
फलन के रूप में अध्ययन करेंगे।