1.त्रिकोणमितीय समीकरण कक्षा 11 (Trigonometric Equations Class 11),कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equations in Class 11):

Trigonometric Equations Class 11

त्रिकोणमितीय समीकरण कक्षा 11 (Trigonometric Equations Class 11) के इस आर्टिकल में त्रिकोणमितीय समीकरणों के मुख्य हल तथा व्यापक हल ज्ञात करने का अध्ययन करेंगे।
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2.त्रिकोणमितीय समीकरण कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Trigonometric Equations Class 11 Solved Examples):

निम्नलिखित समीकरणों का मुख्य तथा व्यापक हल ज्ञात कीजिए:
Example:1. \tan x=\sqrt{3}
Solution: \tan x=\sqrt{3} \\ \Rightarrow \tan x =\tan \left(\frac{\pi}{3}\right), \tan \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right) \\ \Rightarrow \tan x =\tan \left(\frac{\pi}{3}\right), \tan \left(\frac{4 \pi}{3}\right)
मुख्य हल x=\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}
व्यापक हल x =n \pi+y,  जहाँ n \in Z \\ \Rightarrow x =x \pi+\frac{\pi}{3}, n \in Z
Example:2. \sec x=2
Solution: \sec x=\sec \frac{\pi}{3}, \sec \left(2 \pi-\frac{\pi}{3}\right) \\ \Rightarrow \cos x=\cos \frac{\pi}{3}, \cos \left(\frac{5 \pi}{3}\right)
मुख्य हल x=\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} 
व्यापक हल x=2 n \pi \pm y \\ x=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3},  जहाँ  n \in Z
Example:3. \cot x=-\sqrt{3}
Solution: \cot x=-\sqrt{3} \\ \cot x=\cot \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right), \cot \left(2 \pi-\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \cot x=\cot \left(\frac{5 \pi}{6}\right), \cot \left(\frac{11 \pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \tan x=\tan \left(\frac{5 \pi}{6}\right), \cot \left(\frac{11 \pi}{6}\right) 
मुख्य हल x=\frac{5 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}
व्यापक हल x=n \pi+y, n \in Z \\ x=n \pi+\frac{5 \pi}{6}, n \in Z
Example:4. \operatorname{cosec} x=-2
Solution: \operatorname{cosec} x=-2 \\ \Rightarrow \operatorname{cosec} x=-\operatorname{cosec} \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \operatorname{cosec} x=\operatorname{cosec} \left( \pi+\frac{\pi}{6} \right), \operatorname{cosce} \left( 2\pi-\frac{\pi}{6} \right)\\ \Rightarrow \operatorname{cosec} x= \operatorname{cosec} \left(\frac{7 \pi}{6}\right), \operatorname{cosec} \left(\frac{11 \pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \sin x=\sin \left(\frac{7 \pi}{6}\right), \sin \left(\frac{11 \pi}{6}\right)
मुख्य हल x=\frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}
व्यापक हल x=n \pi+(-1)^n y, n \in Z \\ x=n \pi+(-1)^n \frac{7 \pi}{6}, n \in Z

Trigonometric Equations Class 11

निम्नलिखित प्रत्येक समीकरणों का व्यापक हल ज्ञात कीजिए:
Example:5. \cos 4 x=\cos 2 x
Solution: \cos x-\cos 2 x=0 \\ \Rightarrow -2 \sin \left(\frac{4 x+2 x}{2}\right) \sin \left(\frac{2 x-4 x}{2}\right)=\sin 0 \\ \Rightarrow \sin 3 x \sin x=\sin 0 \\ \Rightarrow \sin 3 x=\sin 0, \sin x=\sin 0
व्यापक हल  \Rightarrow 3 x=n \pi, x=n \pi \\ \Rightarrow x=\frac{n \pi}{3}, x=n \pi, x \in Z
Example:6. \cos 3 x+\cos x-\cos 2 x=0
Solution: \cos 3 x+\cos x-\cos x=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \left(\frac{3 x+x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x-x}{2}\right)-\cos 2 x=0 \\ \Rightarrow 2 \cos 2 x \cos x-\cos 2 x=0 \\ \Rightarrow \cos 2 x(2 \cos x-1)=0 \\ \Rightarrow \cos 2 x=0,2 \cos x=1=0 \Rightarrow \cos x=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos 2 x=\cos \frac{\pi}{2}, \cos x=\cos \frac{\pi}{3}
व्यापक हल x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, x=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3} , n \in Z
Example:7. \sin 2 x+\cos x=0
Solution: \sin 2 x+\cos x=0 \\ \Rightarrow 2 \sin x \cos x+\cos x=0 \\ \Rightarrow \cos x(2 \sin x+1)=0 \\ \Rightarrow \cos x=0,2 \cos x+1=0 \Rightarrow \sin x=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos x=\cos \frac{\pi}{2}, \sin x=\sin \left(\frac{7 \pi}{6}\right)
व्यापक हल x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, x=n \pi+(-1)^{n}y \\ x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} , x=n \pi+(-1)^{n} \frac{7 \pi}{6} , n \in Z
Example:8. \sec^2 2 x=1-\tan 2 x
Solution: \sec^2 2x=1-\tan 2 x \\ \Rightarrow \left(1+\tan ^2 2 x\right)=1-\tan 2 x \\ \Rightarrow 1+\tan^2 2 x=1-\tan 2x \\ \Rightarrow \tan^2 2 x+\tan 2x=0 \\ \Rightarrow \tan 2 x(\tan 2 x+1)=0 \\ \Rightarrow \tan 2x=0, \quad \tan 2x+1=0 \Rightarrow \tan 2x=-1 \\ \Rightarrow \tan 2 x=\tan 0, \tan 2 x=\tan (\pi-\frac{\pi}{4}) \\ \Rightarrow \tan 2x=\tan 0, \tan 2 x=\tan 2x=\tan \frac{3 \pi}{4}
व्यापक हल x=n \pi+y \\ \Rightarrow 2 x=n \pi, \quad 2 x=n \pi+\frac{3 \pi}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{n \pi}{2}, x=\frac{n \pi}{2}+\frac{3 \pi}{8}, n \in z
Example:9. \sin x+\sin 3 x+\sin 5 x=0
Solution: \sin x+\sin 3 x+\sin 5 x=0 \\ \Rightarrow \sin 3 x+2 \sin \left(\frac{x+5 x}{2}\right) \cos \left(\frac{5 x-x}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow \sin 3 x+2 \sin 3 x \cos 2 x=0 \\ \Rightarrow \sin 3 x(1+2 \cos 2 x)=0 \\ \Rightarrow \sin 3 x=0,1+2 \cos 2 x=0 \\ \Rightarrow \sin 3 x=\sin 0, \quad 2 \cos 2 x=-1 \\ \Rightarrow \sin 3 x=\sin 0, \quad \cos 2 x=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \sin 3 x=\sin 0, \cos 2 x=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) \\ \Rightarrow \sin 3 x=\sin 0, \cos 2 x=\cos \frac{2 \pi}{3}
व्यापक हल x=n \pi+(-1)^n y \\ \sin 3 x=\sin 0 \\ 3 x=x \pi \\ \Rightarrow x=\frac{n \pi}{3} \\ \cos 2 x=\cos \frac{2 \pi}{3}, x=2 x \pi \pm y \\ \Rightarrow 2 x=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \\ x=\frac{n \pi}{3}, x=n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरण कक्षा 11 (Trigonometric Equations Class 11),कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equations in Class 11) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमितीय समीकरण कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Questions Based on Trigonometric Equations Class 11):

Trigonometric Equations Class 11

निम्नलिखित समीकरणों के व्यापक हल ज्ञात कीजिए:

(1) 2 \cos ^2 \theta+\sqrt{2} \sin \theta=2
(2.) 4 \sin ^2 \theta+\sqrt{3}=2(1+\sqrt{3}) \sin \theta
(3.) \cot \theta-\tan \theta-2=0
उत्तर (Answers): (1.) n \pi, n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{4}, n \in Z
(2.) n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{6}, n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{3}, n \in Z
(3.) \frac{n \pi}{2}+\frac{\pi}{8}, n \in Z
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमितीय समीकरण कक्षा 11 (Trigonometric Equations Class 11),कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equations in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.त्रिकोणमितीय समीकरण कक्षा 11 पर आधारित प्रमेय (Theorems Based on Trigonometric Equations Class 11):

प्रमेय (Theorem):1.किन्हीं वास्तविक संख्याएँ x तथा y के लिए \sin x=\sin y से, x=n \pi+(-1)^{n} y जहाँ n \in Z प्राप्त होता है।
उपपत्ति (Proof):यदि \sin x=\sin y तो 
\sin x-\sin y=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow \cos \frac{x+y}{2}=0 या \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow  \frac{x+y}{2}=(2 n+1) \frac{\pi}{2} या \frac{x-y}{2}=n \pi जहाँ n \in Z \\ \Rightarrow x=(2 n+1)\pi-y \Rightarrow x=2 n \pi+y जहाँ n \in Z \\ \Rightarrow x=(2 n+1) \pi+(-1)^{2 n+1} y \Rightarrow x=2 n \pi+(-1)^{2n} y जहाँ n \in Z
दोनों परिणामों को मिलाने परः x=n \pi+(-1)^n y जहाँ n \in Z
प्रमेय (Theorem):2.कोई वास्तविक संख्याएँ x तथा y के लिए \cos x=\cos y से x=2 n \pi \pm y  जहाँ n \in Z प्राप्त होता है।
उपपत्ति (Proof):यदि \cos x=\cos y तो
\cos x-\cos y=0 \Rightarrow-2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow \sin \left(\frac{x+y}{2}\right)=0  या  \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{x+y}{2}=n \pi या \frac{x-y}{2}=n \pi जहाँ n \in Z \\ \Rightarrow x=2 n \pi-y या x=2 n  \pi+y जहाँ n \in Z
अतः x=2 n \pi \pm y जहाँ n \in Z
प्रमेय (Theorem):3.सिद्ध कीजिए कि x तथा y का \frac{\pi}{2} विषम गुणज नहीं है तो
\tan x=\tan y से x=n \pi+y जहाँ n \in Z प्राप्त होता है।
उपपत्ति (Proof):यदि \tan x=\tan y तो \tan x-\tan y=0 \\ \Rightarrow \frac{\sin x \cos y-\cos x \sin y}{\cos x \cos y}=0 \\ \sin (x-y)=0 \Rightarrow x-y=n \pi
अर्थात् x=n \pi+y जहाँ n \in Z

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5.त्रिकोणमितीय समीकरण कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Trigonometric Equations Class 11),कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equations in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिकोणमितीय समीकरण कक्षा 11 (Trigonometric Equations Class 11) के इस आर्टिकल
में त्रिकोणमितीय समीकरणों के मुख्य हल तथा व्यापक हल ज्ञात करने का अध्ययन करेंगे।