Transpose of a Matrix Class 12
1.आव्यूह का परिवर्त कक्षा 12 (Transpose of a Matrix Class 12),गणित में आव्यूह का परिवर्त (Transpose of a Matrix in Mathematics):
आव्यूह का परिवर्त कक्षा 12 (Transpose of a Matrix Class 12) के इस आर्टिकल में हम किसी आव्यूह के परिवर्त तथा कुछ विशेष प्रकार के आव्यूहों जैसे सममित आव्यूह (Symmetric Matrix) तथा विषम सममित आव्यूह (Skew Symmetric Matrix) के बारे में जानेंगे।
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2.आव्यूह का परिवर्त कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Transpose of a Matrix Class 12):
Example:1.निम्नलिखित आव्यूहों में से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिएः
Example:1(i). \left[\begin{array}{c} 5 \\ \frac{1}{2} \\ -1 \end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{c} 5 \\ \frac{1}{2} \\ -1 \end{array}\right]
परिवर्त मैट्रिक्स=\left[\begin{array}{lll} 5 & \frac{1}{2} & -1 \end{array}\right]
Example:1(ii). \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right]
परिवर्त मैट्रिक्स=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\-1 & 3\end{array}\right]
Example:1(iii). \left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1\end{array}\right]
A का परिवर्त मैट्रिक्स=A^{T}=\left[\begin{array}{rrr} -1 & \sqrt{3} & 2 \\ 5 & 5 & 3 \\ 6 & 6 & -1 \end{array}\right]
Example:2.यदि A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right] तथा B=\left[\begin{array}{ccc}-4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right] है तो सत्यापित कीजिए कि
Example:2(i).(A+B)’=A’+B’
Solution:(A+B)’=A’+B’
A+B=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{ccc}-4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}-1-4 & 2+1 & 3-5 \\ 5+1 & 7+2 & 9+0 \\ -2+1 & 1+3 & 1+1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}-5 & 3 & -2 \\ 6 & 9 & 9 \\ -1 & 4 & 2\end{array}\right] \\ (A+B)^{\prime}=\left[\begin{array}{rrr}-5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2\end{array}\right] \cdots(1) \\ A^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{array}\right] \\ B^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}-4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{array}\right] \\ A^{\prime}+B^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}-4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{array} \right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}-1-4 & 5+1 & -2+1 \\ 2+1 & 7+2 & 1+3 \\ 3-5 & 9+0 & 1+1\end{array} \right] \\ \Rightarrow A^{\prime}+B^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}-5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2\end{array}\right] \cdots(2)
(1) व (2) सेः
(A+B)’=A’+B’
Example:2(ii).(A-B)’=A’-B’
Solution:(A-B)’=A’-B’
A-B=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}-4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}-1+4 & 2-1 & 3+5 \\ 5-1 & 7-2 & 9-0 \\ -2-1 & 1-3 & 1-1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 8 \\ 4 & 5 & 9 \\ -3 & -2 & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow(A-B)^{\prime}= \left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0\end{array}\right] \cdots(1) \\ A^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{array}\right],B^{\prime}= \left[\begin{array}{ccc}-4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{array}\right] \\ \Rightarrow A^{\prime}-B^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}-4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}-1+4 & 5-1 & -2-1 \\ 2-1 & 7-2 & 1-3 \\ 3+5 & 9-0 & 1-1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0\end{array}\right] \cdots(1)
(1) व (2) सेः
(A-B)’=A’-B’
Example:3.यदि A=\left[\begin{array}{ll}3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] तथा B=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right] हैं तो सत्यापित कीजिए कि
Example:3(i).(A+B)’=A’+B’
Solution:(A+B)’=A’+B’
A^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] \Rightarrow A= \left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right] \\ A+B=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{lll}3-1 & -1+2 & 0+1 \\ 4+1 & 2+2 & 1+3\end{array}\right] \\ A+B =\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 4\end{array}\right] \\ (A+B)^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4\end{array}\right] \cdots(1) \\ B^{\prime}=\left[\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right] \\ A^{\prime}+B^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1\end{array} \right] +\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}3-1 & 4+1 \\ -1+2 & 2+2 \\ 0+1 & 1+3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4\end{array}\right] \cdots(2)
(1) व (2) सेः
(A+B)’=A’+B’
Example:3(ii).(A-B)’=A’-B’
Solution:(A-B)’=A’-B’
A^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] \Rightarrow A= \left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right] \\ A-B=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{llll}3+1 & -1-2 & 0-1 \\ 4-1 & 2-2 & 1-3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}4 & -3 & -1 \\ 3 & 0 & -2\end{array}\right] \\ \Rightarrow(A-B)^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2\end{array}\right] \cdots(1) \\ A^{\prime}-B^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc} 3+1 & 4-1 \\ -1-2 & 2-2 \\ 0-1 & 1-3\end{array}\right] \\ \Rightarrow A^{\prime} -B^{\prime}= \left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2\end{array}\right] \cdots(2)
(1) व (2) सेः
(A-B)’=A’-B’
Example:4.यदि A^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}-2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right] तथा B=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right] है तो (A+2B)’ ज्ञात कीजिए।
Solution: A^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}-2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right] \Rightarrow A=\left[\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 3 & 2\end{array}\right] \\ B=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right] \Rightarrow 2 B=\left[\begin{array}{cc}-2 & 0 \\ 2 & 4\end{array}\right] \\ A+2 B=\left[\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 3 & 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-2 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}-2-2 & 1+0 \\ 3+2 & 2+4\end{array}\right] \\ \Rightarrow A+2 B=\left[\begin{array}{rr}-4 & 1 \\ 5 & 6\end{array}\right] \\ \Rightarrow(A+2 B)^{\prime}= \left[\begin{array}{cc}-4 & 5 \\ 1 & 6\end{array}\right]
Example:5 A तथा B आव्यूह के लिए सत्यापित कीजिए कि (AB)’=B’A’ ,
Example:5(i). A=\left[\begin{array}{r}1 \\ -4 \\ 3\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 1\end{array}\right]
Solution: A=\left[\begin{array}{c}1 \\ -4 \\ 3\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 1\end{array}\right] \\ A B=\left[\begin{array}{c}1 \\ -4 \\ 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}1 \times -1 & 1 \times 2 & 1 \times 1 \\ -4 \times-1 & -4 \times 2 & -4 \times 1 \\ 3 \times-1 & 3 \times 2 & 3 \times 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\ 4 & -8 & -4 \\ -3 & 6 & 3\end{array}\right] \\ \Rightarrow(A B)^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3\end{array}\right] \cdots(1) \\ B^{\prime}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \quad A^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -4 & 3\end{array}\right] \\ B^{\prime} A^{\prime}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & -4 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1 \times 1 & -1 \times -4 & -1 \times 3 \\ 2 \times 1 & 2 \times -4 & 2 \times 3 \\ 1 \times 1 & 1 \times -4 & 1 \times 3\end{array}\right] \\ B^{\prime} A^{\prime} =\left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3\end{array}\right] \cdots(2)
(1) व (2) सेः
(AB)’=B’A’
Example:5(ii). A=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}1 & 5 & 7\end{array}\right]
Solution: A=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}1 & 5 & 7\end{array}\right] \\ AB=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 5 & 7\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{lll}0 \times 1 & 0 \times 5 & 0 \times 7 \\ 1 \times 1 & 1 \times 5 & 1 \times 7 \\ 2 \times 1 & 2 \times 5 & 2 \times 7\end{array}\right] \\ \Rightarrow A B= \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 10 & 14\end{array}\right] \\ \Rightarrow (AB)^{\prime}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14\end{array}\right] \cdots(1) \\ \Rightarrow A^{\prime}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2\end{array}\right], B^{\prime}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 7\end{array}\right] \\ B^{\prime} A^{\prime}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 7\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}1 \times 0 & 1 \times 1 & 1 \times 2 \\ 5 \times 0 & 5 \times 1 & 5 \times 2 \\ 7 \times 0 & 7 \times 1 & 7 \times 2\end{array}\right] \\ B^{\prime} A^{\prime}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14\end{array}\right] \cdots(2)
(1) व (2) सेः
(AB)’=B’A’
Example:6(i). यदि A=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right] हो तो सत्यापित कीजिए कि A’A=I
Solution: A=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] \\ A^{\prime}=\left[\begin{array}{lr} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] \\ A^{\prime} A=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha-\sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha & \sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha \end{array}\right] \\ \Rightarrow A^{\prime} A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \\ \Rightarrow A^{\prime} A=I
Example:6(ii).यदि A=\left[\begin{array}{rr}\sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right] हो तो सत्यापित कीजिए कि A’A=I
Solution: A=\left[\begin{array}{rr}\sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right] \\ A^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}\sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right] \\ A^{\prime} A=\left[\begin{array}{ll}\sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}\sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha-\sin \alpha \cos \alpha & \cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \\ \Rightarrow A^{\prime} A=I
Example:7(i).सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3\end{array}\right] एक सममित आव्यूह है।
Solution: A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right] \\ A^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right] \\ A^{\prime}=A
अतः A सममित आव्यूह है।
Example:7(ii).सिद्ध कीजिए कि A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right] एक विषम सममित आव्यूह है।
Solution: A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right] \\ A^{\prime}=\left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right] \\ -A= \left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right] \\ A^{\prime}=-A
अतः A विषम सममित आव्यूह है।
Example:8.आव्यूह A=\left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 6 & 7\end{array}\right] के लिए सत्यापित कीजिए कि
Example:8(i).(A+A’) एक सममित आव्यूह है।
Solution: A=\left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 6 & 7\end{array}\right], A^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 5 & 7\end{array}\right] \\ A+A^{\prime} =\left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 6 & 7\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 5 & 7\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}1+1 & 5+6 \\ 6+5 & 7+7\end{array}\right] \\ \Rightarrow A+A^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}2 & 11 \\ 11 & 14 \end{array}\right] \cdots(1) \\ \left(A+A^{\prime}\right)^{\prime} =\left[\begin{array}{ll}2 & 11 \\ 11 & 14\end{array}\right] \cdots(2)
(1) व (2) सेः
\left(A+A^{\prime}\right)^{\prime}=A+A^{\prime}
अतः A+A’ एक सममित आव्यूह है।
Example:8(ii).(A-A’) एक विषम सममित आव्यूह है।
Solution: A=\left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 6 & 7\end{array}\right], A^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 5 & 7\end{array}\right] \\ A-A^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 6 & 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 5 & 7\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}1-1 & 5-6 \\ 6-5 & 7-7\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\1 & 0 \end{array}\right] \\-\left(A-A^{\prime} \right)=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right] \cdots(1) \\ \left(A-A^{\prime} \right)^{\prime} =\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right] \cdots(2)
(1) व (2) सेः
\left(A-A^{\prime}\right)^{\prime}=-\left(A-A^{\prime}\right)
अतः A-A’ एक विषम सममित आव्यूह है।
Example:9.यदि A=\left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right] तो \frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right) तथा \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right) ज्ञात कीजिए।
Solution: A=\left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right], A^{\prime} =\left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right] \\ A-A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}0 & a+a & b+b \\ -a-a & 0 & c+c \\ -b-b & -c-c & 0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 a & 2 b \\ -2 a & 0 & 2 c \\ -2 b & -2 c & 0\end{array}\right] \\ \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}0 & 2 a & 2b \\ -2 a & 0 & 2c \\ -2 b & -2 c & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime} \right) =\left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right] \\ A+A^{\prime}= \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}0+0 & a-a & b-b \\ -a+a & 0+0 & c-c \\ -b+b & -c+c & 0+0\end{array}\right] \\ \Rightarrow A+A^{\prime}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \\ \frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Example:10.निम्नलिखित आव्यूहों को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
Example:10(i). \left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right] \\ A^{\prime}= \left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right] \\ A+A^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array} \right] +\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 5 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}3+3 & 5+1 \\ 1+5 & -1-1\end{array}\right] \\ \frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right) =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}6 & 6 \\ 6 & -2\end{array}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}(A+A^{\prime}) =\left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1 \end{array}\right] \\ A-A^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & -1\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{cc}3-3 & 5-1 \\ 1-5 & -1+1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right] \\ \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime} \right)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -4 & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \left(A-A^{\prime}\right)=\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right] \\ \frac{1}{2} \left(A+ A^{\prime} \right) सममित आव्यूह तथा \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right) विषम सममित आव्यूह है अतः इनका योगफल
\frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right) =\left[\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}3+0 & 3+2 \\ 3-2 & -1+0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{rr}3 & 5 \\ 1 & -1\end{array}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)=A
Example:10(ii). \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array} \right],\quad A^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right] \\ A+A^{\prime} =\left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}6+6 & -2-2 & 2+2 \\ -2-2 & 3+3 & -1-1 \\ 2+2 & -1-1 & 3+3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6\end{array}\right] \\ \frac{1}{2}(A+A^{\prime})=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right] \\ A-A^{\prime} =\left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}6-6 & -2+2 & 2-2 \\ -2+2 & 3-3 & -1+1 \\ 2-2 & -1+1 & 3-3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \\ \frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right) सममित आव्यूह तथा \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right) विषम सममित आव्यूह है अतः इनका योगफल
\frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)=\left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)=A
Example:10(iii). \left[\begin{array}{ccc}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right], A^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right] \\ A+A^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}3+3 & 3-2 & -1-4 \\ -2+3 & -2-2 & 1-5 \\ -4-1 & -5+1 & 2+2\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4\end{array}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(A+ A^{\prime} \right) =\frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}3 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & -2 & -2 \\ -\frac{5}{2} & -2 & 2\end{array}\right] \\ A-A^{\prime} =\left[\begin{array}{ccc}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}3-3 & 3+2 & -1+4 \\ -2-3 & -2+2 & 1+5 \\ -4+1 & -5-1 & 2-2\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{ccc}0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0\end{array}\right] \\ \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0 \end{array} \right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)=\left[\begin{array}{ccc}0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & 0 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -3 & 0\end{array}\right] \\ \frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right) सममित आव्यूह तथा \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right) विषम सममित आव्यूह है अतः इनका योगफल
\frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)=\left[\begin{array}{ccc}3 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & -2 & -2 \\ -\frac{5}{2} & -2 & 2\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ccc}0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & 0 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -3 & 0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}3+0 & \frac{1}{2}+\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}+\frac{3}{2} \\ \frac{1}{2}-\frac{5}{2} & -2+0 & -2+3 \\ -\frac{5}{2}-\frac{3}{2} & -2-3 & 2+0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right) +\frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)=A
Example:10(iv). \left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right], A^{\prime}= \left[\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right] \\ A+A^{\prime}=\left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}1+1 & 5-1 \\ -1+5 & 2+2\end{array}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 4 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right] \\ A-A^{\prime} =\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array} \right] =\left[\begin{array}{cc}1-1 & 5+1 \\ -1-5 & 2-2\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}0 & 6 \\ -6 & 0\end{array}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}0 & 6 \\ -6 & 0\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right] \\ \frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right) सममित आव्यूह तथा \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right) विषम सममित आव्यूह है अतः इनका योगफल
\frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right) =\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}1+0 & 2+3 \\ 2-3 & 2+0\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)=A
प्रश्न संख्या 11 तथा 12 में सही उत्तर चुनिएः
Example:11.यदि A तथा B समान कोटि के आव्यूह हैं तो AB-BA एक
(A)विषम सममित आव्यूह है (B)सममित आव्यूह है
(C)शून्य आव्यूह है (D)तत्समक आव्यूह है
Solution:A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं अतः
A=A’ तथा B=B’
(AB-BA)’=(AB)’-(BA)’
=B’A’-A’B’
=BA-AB [ \because A=A’ व B=B’]
\Rightarrow (AB-BA)’=-(AB-BA)
अतः AB-BA विषम सममित आव्यूह है।
फलतः विकल्प (A) सही है।
Example:12.यदि A=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] तो A+A’=I, यदि \alpha का मान है
(A) \frac{\pi}{6} (B) \frac{\pi}{3} (C) \pi (D) \frac{3 \pi}{2}
Solution: A+A^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ll}\cos \alpha+\cos \alpha & -\sin \alpha+\sin \alpha \\ \sin \alpha-\sin \alpha & \cos \alpha+\cos \alpha\end{array}\right] \\ \Rightarrow A+A^{\prime} =\left[\begin{array}{ll}2 \cos \alpha & 0 \\ 0 & 2 \cos \alpha\end{array}\right] \cdots(1)
दिया हैः A+A^{\prime}=I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \cdots(2)
(1) व (2) सेः
\left[\begin{array}{ll}2 \cos \alpha & 0 \\ 0 & 2 \cos \alpha\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \\ \Rightarrow 2 \cos \alpha=1 \Rightarrow \cos \alpha=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \cos \alpha=\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}
अतः विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आव्यूह का परिवर्त कक्षा 12 (Transpose of a Matrix Class 12),गणित में आव्यूह का परिवर्त (Transpose of a Matrix in Mathematics) को समझ सकते हैं।
3.आव्यूह का परिवर्त कक्षा 12 के सवाल (Transpose of a Matrix Class 12 Questions):
(1.)मैट्रिक्स A का क्रम 3×4 है तथा B इस प्रकार की मैट्रिक्स है कि A^{T}B एवं AB^{T} दोनों ही परिभाषित है तो B का क्रम लिखिए।
(2.)यदि A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -4 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right] तथा B=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 3 & 4 \\ -5 & -6\end{array}\right] तो A+B^{T} ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)3×4 (2.) \left[\begin{array}{lll}1 & 6 & -9 \\ 1 & 6 & -3\end{array}\right]
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आव्यूह का परिवर्त कक्षा 12 (Transpose of a Matrix Class 12),गणित में आव्यूह का परिवर्त (Transpose of a Matrix in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।
4.परिवर्त मैट्रिक्स पर प्रमेय (Theorem on Transpose of a Matrix):
प्रमेय (Theorem):1.वास्तविक अवयवों वाले किसी वर्ग आव्यूह A के लिए A+A’ एक सममित आव्यूह तथा A-A’ एक विषम सममित आव्यूह होते हैंः
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए B=A+A’ तब
B’=(A+A’)’
=A’+(A’)’ (क्योंकि (A+B)’=A’+B’)
=A’+A (क्योंकि (A’)’=A)
=A+A’ (A+B=B+A)
=B
इसलिए B=A+A’ एक सममित आव्यूह है।
अब मान लीजिए कि C=A-A’
C’=(A-A’)’=A’-(A’)’
=A’-A
=-(A-A’)=-C
C=A-A’ एक विषम सममित आव्यूह है।
प्रमेय (Theorem):2.किसी वर्ग आव्यूह को एक सममित तथा एक विषम सममित आव्यूहों के योगफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए कि A एक वर्ग आव्यूह है
A=\frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right)
प्रमेय 1 द्वारा हमें ज्ञात है कि A+A’ एक सममित आव्यूह तथा A-A’ एक विषम सममित आव्यूह है।क्योंकि किसी भी आव्यूह A के लिए (kA)’=kA’ होता है।इससे निष्कर्ष निकलता है कि \frac{1}{2}\left(A+A^{\prime}\right) सममित आव्यूह तथा \frac{1}{2}\left(A-A^{\prime}\right) विषम सममित आव्यूह है।अतः किसी वर्ग आव्यूह को एक सममित तथा एक विषम सममित आव्यूहों के योगफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
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5.आव्यूह का परिवर्त कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Transpose of a Matrix Class 12),गणित में आव्यूह का परिवर्त (Transpose of a Matrix in Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.परिवर्त मैट्रिक्स किसे कहते हैं? (What is Transpose of a Matrix?):
उत्तर:यदि A=\left[a_{ij}\right] एक m×n कोटि का आव्यूह है तो A की पंक्तियों तथा स्तम्भों का परस्पर विनिमय (Interchange) करने से प्राप्त होने वाला आव्यूह A का परिवर्त (Transpose) कहलाता है।आव्यूह A के परिवर्त को A’ (या A^{T}) से निरूपित करते हैं।दूसरे शब्दों में यदि A=\left[a_{ij}\right]_{m \times n} तो A^{\prime}= \left[a_{ij}\right]_{n \times m} होगा।
प्रश्न:2.आव्यूहों के परिवर्त के गुणधर्म क्या हैं? (What are Properties of Transpose of Matrices?):
उत्तरःकिसी आव्यूह के परिवर्त आव्यूह के निम्नलिखित गुणधर्मों को बिना उपपत्ति दिए व्यक्त करते हैं।उपयुक्त कोटि के किन्हीं आव्यूहों A तथा B के लिएः
(1.)(A’)’=A (2)(kA)’=kA’ (जहाँ k कोई अचर है)
(3.)(A+B)’=A’+B’ (4.)(AB)’=B’A’
प्रश्न:3.सममित मैट्रिक्स किसे कहते हैं? (What is Symmetric Matrices?):
उत्तर:एक वर्ग आव्यूह A=\left[a_{i j}\right] सममित कहलाता है यदि A’=A अर्थात् i तथा j के हर संभव मानों के लिए [a_{ij}]=[a_{ji}] हो।
प्रश्न:4.विषम सममित आव्यूह किसे कहते हैं? (What is Skew Symmetric Matrices?):
उत्तर:एक वर्ग आव्यूह A=\left[a_{ij}\right] विषम सममित आव्यूह कहलाता है यदि A’=-A अर्थात् i तथा j के हर सम्भव मानों के लिए a_{ji}=-a_{ij} हो।अब हम i=j रखें तो a_{ii}=-a_{ii} होगा।अतः 2 a_{ii}=0 अथवा a_{ii}=0 समस्त i के लिए।
इसका अर्थ हुआ कि किसी विषम सममित आव्यूह के विकर्ण के सभी अवयव शून्य होते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा आव्यूह का परिवर्त कक्षा 12 (Transpose of a Matrix Class 12),गणित में आव्यूह का परिवर्त (Transpose of a Matrix in Mathematics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Transpose of a Matrix Class 12
आव्यूह का परिवर्त कक्षा 12
(Transpose of a Matrix Class 12)
Transpose of a Matrix Class 12
आव्यूह का परिवर्त कक्षा 12 (Transpose of a Matrix Class 12) के इस आर्टिकल में हम
किसी आव्यूह के परिवर्त तथा कुछ विशेष प्रकार के आव्यूहों जैसे सममित आव्यूह
(Symmetric Matrix) तथा विषम सममित आव्यूह (Skew Symmetric Matrix) के बारे में जानेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
