1.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करना (To Solve LPP by Two Phase Method),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से कैसे हल करें? (How to Solve Linear Programming Problems by Two Phase Method):

To Solve LPP by Two Phase Method

रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करने (To Solve LPP by Two Phase Method) के इस आर्टिकल में रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को वैकल्पिक विधि द्विप्रावस्था विधि से हल करेंगे।
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2.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करने पर आधारित उदाहरण (Examples Based on To Solve LPP by Two Phase Method):

निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करिए:
(Solve the following L. P. P. by two phase method):
Example:4.अधिकतम (Max.) $Z=2 x_1+x_2+x_3$
प्रतिबन्ध (s.t.) $4 x_1+6 x_2+3 x_3 \leq 8 \\ 3 x_1-6 x_2+4 x_3 \leq 1 \\ 2 x_1+3 x_2-5 x_3 \geq 4$
तथा (and) $x_1, x_2, x_3 \geq 0$
Solution:प्रतिबन्ध असमिकाओं को न्यूनतापूरक चर $x_4, x_5$ तथा आधिक्यपूरक चर $x_6$ की सहायता से समीकरणों में परिवर्तन करने पर:
अधिकतम $Z=2 x_1+x_2+x_3+0 x_4+0 x_5+x_6$
प्रतिबन्ध $4 x_1+6 x_2+3 x_3+x_4+a x_5+x_6=8 \\ 3 x_1-6 x_2+4 x_3+0 x_4+x_5+0 x_6=1 \\ 2 x_1+3 x_2-5 x_3+0 x_4+0 x_5-x_6=4$
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0$
परन्तु उपर्युक्त समस्या में एकिक सदिश $e_3$ विद्यमान नहीं है,अतः तीसरी समीकरण में कृत्रिम चर $x_7$ जोड़ते हैं तथा प्रथम प्रावस्था में उद्देश्य फलन में $x_7$ का मान -1 लेने पर तथा $x_7$ के अतिरिक्त प्रत्येक चर का मान शून्य लेने पर दी हुई समस्या का उद्देश्य फलन निम्न हो जाता है:

$Z^*=0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6 -x_7$
प्रतिबन्ध $-4 x_1+6 x_2+3 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6+0 x_7=8 \\ 3 x_1-6 x_2+4 x_3+0 x_4+x_5+0 x_6+0 x_7=1 \\ 2 x_1+3 x_2-5 x_3+0 x_4+0 x_5-x_6+x_7=4$
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_7 \geq 0$
अब प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स

$\left[\begin{array}{ccccccc} -4 & 6 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -6 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & -5 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \alpha_7 \right) \\ \left(\alpha_4 \alpha_5 \alpha_7\right)=I_3$ अतः प्रथम चरण की सारणी I का प्रारम्भिक आधार $B=\left(\alpha_4 \alpha_5 \alpha_7\right)$ तथा सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में $Z_{j}-C_{j}$ के सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं हैं,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
$Z_2^*-C_2=-3$ निम्नतम है,अतः नए आधार के लिए प्रवेशी सदिश होगा।
$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{8}{6}, \frac{4}{3}\right\} \\ =\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)$
चूँकि निम्नतम मान $\frac{4}{3}$ है,अतः $\alpha_4$ तथा $\alpha_7$ दोनों ही अपगामी सदिश होंगे।यह अपभ्रष्टता विद्यमान होने का संकेत है।चूँकि $\alpha_7$ कृत्रिम चर है,अतः $\alpha_7$ को अपगामी सदिश लेंगे।अतः $y_{32}$ अर्थात् मुख्य अवयव है।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
मुख्य अवयव वाली पंक्ति (working rule):
मुख्य अवयव वाली पंक्ति प्रथम सारणी की तृतीय पंक्ति है।इसके प्रत्येक अवयव को मुख्य अवयव 3 से भाग देने पर द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}=1,-\frac{5}{3}, \frac{0}{3}=0, \frac{0}{3}=0,-\frac{1}{3}$
प्रथम पंक्ति:प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत प्रथम पंक्ति के अवयव 6 से गुणा करके घटा देंगे:
$8-\frac{4}{3} \times 6=0,4-\frac{2}{3} \times 6=0,6-1 \times 6=0, \\ 3-\left(-\frac{5}{3}\right) \times 6=13,1-0 \times 6=1,0-0 \times 6=0, \\ 0-(-\frac{1}{3}) \times 6=2$
द्वितीय पंक्ति:प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् द्वितीय सारणी के लिए तैयार की गई तृतीय पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत द्वितीय पंक्ति के अवयव -6 से गुणा करके घटा देंगे:
$1-\frac{4}{3} \times -6=9,3-\frac{2}{3} \times -6=7,-6-1 \times -6=0, \\ 4-\left(-\frac{5}{3}\right) \times -6=-6,0-0 \times -6=0,1-0 \times -6=1 \\ 0-\left(-\frac{1}{3}\right) \times -6=-2$
प्रथम प्रावस्था:सारणी II

उपर्युक्त सारणी में $Z^{*}_{j}-C_{j} \geq 0$ तथा कोई भी कृत्रिम चर आधार में नहीं है,अतः प्रथम चरण इस स्थिति में समाप्त होता है।अतः इस सारणी से प्राप्त हल मूल समस्या का आधारी सुसंगत हल है।अब द्वितीय प्रावस्था (Phase II) में प्रवेश करते हैं।उद्देश्य फलन

$Z=2 x_1+x_2+x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6$
द्वितीय चरण:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में $Z_{j}-C_{j}$ सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं हैं,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
$Z_{j}-C_{j}=-\frac{8}{3}$ निम्नतम है,अतः नए आधार के लिए $\alpha_3$ प्रवेशी सदिश होगा।
$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i3}}, y_{i3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{ \frac{0}{13}\right\} \\ =\left(\frac{0}{13}\right) =\frac{x_{B1}}{y_{13}} \\ \therefore y_{13}$ अर्थात् 13 मुख्य अवयव तथा $\alpha_4$ अपगामी सदिश होगा।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
मुख्य अवयव वाली पंक्ति (working rule):
मुख्य अवयव वाली पंक्ति प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति है।अतः प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव को मुख्य अवयव 13 से भाग देने पर द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{0}{13}=0, \frac{0}{13}=0, \frac{0}{13}=0, \frac{13}{10}=1, \frac{1}{13}, \\ \frac{0}{13}=0, \frac{2}{13}$
द्वितीय पंक्ति:प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत द्वितीय पंक्ति के अवयव -6 से गुणा करके घटा देंगे:
$9-0 \times -6=9,7-0 \times -6=7,0-0 \times -6=0, \\ -6-1 \times -6=0,0-\frac{1}{13} \times -6=\frac{6}{13}, 1-0 \times -6=1, \\ -2-\frac{2}{13} \times -6=\frac{14}{13}$
तृतीय पंक्ति:प्रथम सारणी की तृतीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् द्वितीय सारणी के लिए तैयार की गई पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत तृतीय पंक्ति के अवयव $-\frac{5}{3}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$\frac{4}{3}-0 \times-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}, \frac{2}{3}-6 \times -\frac{5}{3}=\frac{2}{3},1-0 \times \frac{5}{3}=1 \\ -\frac{5}{3}-1 \times-\frac{5}{3}=0,0-\frac{1}{13} \times-\frac{5}{3}=\frac{5}{39} \\ 0-0 \times-\frac{5}{3}=0,-\frac{1}{3} -\frac{2}{13} \times \frac{5}{3}=-\frac{1}{13}$
द्वितीय चरण:सारणी II

$\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 1 & \alpha_3 & x_3 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{13} & 0 & \frac{2}{13} \\ \hline 0 & \alpha_5 & x_5 & 9 & \fbox{7} & 0 & 0 & \frac{6}{13} & 1 & \frac{14}{13} \\ \hline 1 & \alpha_2 & x_2 & \frac{4}{3} & \frac{2}{3} & 1 & 0 & \frac{5}{39} & 0 & -\frac{1}{13} \\ \hline & & & Z^{*}_{j}-C_{j} & -\frac{4}{3} & 0 & 0 & \frac{8}{39} & 0 & -\frac{1}{13} \\ \hline & & & & \uparrow & & & & \downarrow & \end{array}$
उपर्युक्त सारणी में $Z_{j}-C_{j}$ के सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं हैं,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
$Z_{1}-C_{1}=-\frac{4}{3}$ निम्नतम है,अतः नए आधार के लिए $\alpha_1$ प्रवेशी सदिश होगा।
$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i1}}, y_{i1}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{ \frac{9}{7},\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}\right\} \\ =\left(\frac{9}{7}\right) =\frac{x_{B2}}{y_{21}} \\ \therefore y_{21}$ अर्थात् 7 मुख्य अवयव (key element) तथा $\alpha_5$ अपगामी सदिश होगा।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
मुख्य अवयव वाली पंक्ति (working rule):
मुख्य अवयव वाली पंक्ति,द्वितीय पंक्ति है।अतः द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव को मुख्य अवयव 7 से भाग देने पर तृतीय सारणी के लिए द्वितीय पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{9}{7}, \frac{7}{7}=1, \frac{0}{7}=0, \frac{0}{7}=0, \frac{\frac{6}{13}}{9}=\frac{6}{91}, \frac{1}{7}, \\ \frac{\frac{14}{13}}{7}=\frac{2}{13}$
प्रथम पंक्ति:द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत प्रथम पंक्ति के अवयव 0 से गुणा करके घटा देंगे:
$0-\frac{9}{7} \times 0=0 ,1 \times 0=0,0-0 \times 0=0, 1-0 \times 0=1, \\ \frac{1}{13}-\frac{6}{91} \times 0=\frac{1}{13}, 0-\frac{1}{7} \times 0=0, \frac{2}{13}-\frac{2}{13} \times 0=\frac{2}{13}$
तृतीय पंक्ति:द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् तृतीय सारणी के लिए तैयार की गई द्वितीय पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत तृतीय पंक्ति के अवयव $\frac{2}{3}$ से गुणा करके घटा देने पर तृतीय पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{4}{3}-\frac{9}{7} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{21}, \frac{2}{3}-1 \times \frac{2}{3}=0,1-0 \times \frac{2}{3}=1 \\ 0-0 \times \frac{2}{3}=0, \frac{5}{39}-\frac{6}{91} \times \frac{2}{3}=\frac{23}{273}, \\ 0-\frac{1}{7} \times \frac{2}{3}=-\frac{2}{21},-\frac{1}{13}-\frac{2}{13} \times \frac{2}{3}=-\frac{7}{39}$
द्वितीय चरण:सारणी III

$\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 1 & \alpha_3 & x_3 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{13} & 0 & \frac{2}{13} \\ \hline 2 & \alpha_1 & x_1 & \frac{9}{7} & 1 & 0 & 0 & \frac{6}{91} & \frac{1}{7} & \frac{2}{13} \\ \hline 1 & \alpha_2 & x_2 & \frac{10}{21} & 0 & 1 & 0 & \frac{23}{273} & -\frac{2}{21} & \frac{-7}{39} \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j} & 0 & 0 & 0 & \frac{80}{273} & \frac{4}{21} & \frac{11}{39}\\ \hline \end{array}$
उपर्युक्त सारणी में $Z_{j}-C_{j}$ के सभी मान ऋणेत्तर $\left(\geq 0 \right)$ हैं,अतः इसका आधारी हल इष्टतम होगा जो निम्न प्रकार है:

$x_1=\frac{9}{7}, x_2=\frac{10}{21}, x_3=0, x_4=0, x_5=0, x_6=0$
अतः दी गई समस्या का इष्टतम हल:

$x_1=\frac{9}{7}, x_2=\frac{10}{21}, x_3=0$
Max Z=$2 x_1+x_2+x_3 \\ \Rightarrow$ Max. Z=$2 \times \frac{9}{7}+\frac{10}{21}+0=\frac{64}{21}$
Example:5.निम्नतम (Min.) $Z=x_1-2 x_2-3 x_3$
प्रतिबन्ध (s.t.) $-2 x_1+x_2+3 x_3=2 \\ 2 x_1+3 x_2+4 x_3=1$
तथा (and) $x_1, x_2, x_3 \geq 0$
Solution:सर्वप्रथम उद्देश्य फलन को अधिकतमीकरण की समस्या में बदलते हैं,चूँकि यह एक निम्नतमीकरण की समस्या है।
अधिकतम $W=-x_1+2 x_2+3 x_3$
प्रतिबन्ध  $-2 x_1+x_2+3 x_3=2 \\ 2 x_1+3 x_2+4 x_3=1$
तथा (and) $x_1, x_2, x_3 \geq 0$
इस समस्या का प्रारम्भिक हल प्राप्त नहीं कर सकते हैं।चूँकि इसके गुणांक मैट्रिक्स में एकिक उपमैट्रिक्स $I_2$ विद्यमान नहीं है,अतः उपर्युक्त समीकरणों में कृत्रिम चर $x_4$ तथा $x_5$ जोड़ते हैं तथा उद्देश्य फलन में इनके संगत मूल्य -1 रखते हैं तथा कृत्रिम चरों के अतिरिक्त अन्य चरों का मूल्य शून्य रखने पर:
अधिकतम $Z^*=0 x_1+0 x_2+0 x_3-x_4-x_5$
प्रतिबन्ध $-2 x_1+x_2+3 x_3+x_4+0 x_5=2 \\ 2 x_1+3 x_2+4 x_3+0 x_4+x_5=1$
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0$
अब प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स
$\left[\begin{array}{ccccc} -2 & 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 1\end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5\right) \\ \left(\alpha_4 \alpha_5\right)=I_2$ अतः प्रथम चरण की सारणी I का प्रारम्भिक आधार $B=\left(\alpha_4, \alpha_5\right)$ तथा सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में $Z^{*}_{j}-C_{j}$ के सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं हैं,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
$Z^{*}_{3}-C_{3}=-7$निम्नतम है,अतः नये आधार के लिए $\alpha_3$  प्रवेशी सदिश होगा।
$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{2}{3}, \frac{1}{4}\right\} \\ = \frac{1}{4}=\frac{x_{B2}}{y_{23}} \\ \therefore y_{23}$ अर्थात् 4 मुख्य अवयव होगा तथा $\alpha_5$ अपगामी सदिश होगा। $\alpha_5$  चूँकि कृत्रिम चर है,अतः इसे नई सारणी में सम्मिलित नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी II

चूँकि $Z^{*}_{j}-C_{j}$ के प्रत्येक मान $\geq$  है इसलिए सहायक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल प्राप्त हो सकता है परन्तु अधिकतम $Z^{*}<0$ तथा कृत्रिम चर $x_{4}$ आधार में धनात्मक मान सहित विद्यमान है।इसलिए मूल समस्या अर्थात् दी हुई समस्या का कोई सुसंगत हल नहीं है।

To Solve LPP by Two Phase Method

Example:6.अधिकतम (Max.) $Z=2 x_1+4 x_2+7 x_3$

प्रतिबन्ध (s.t.)  $6 x_1+10 x_2+5 x_3 \leq 15 \\ 33 x_1-10 x_2+9 x_3 \leq 33 \\ x_1+2 x_2+x_3 \geq 4$
तथा (and) $x_1, x_2, x_3 \geq 0$
Solution:  प्रतिबन्ध असमिकाओं को न्यूनतापूरक चर $x_4, x_5$ तथा आधिक्यपूरक चर $x_6$ की सहायता से समीकरणों में परिवर्तित करने पर:

अधिकतम $Z=2 x_1+4 x_2+7 x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6$
प्रतिबन्ध $6 x_1+10 x_2+5 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6=15 \\ 33 x_1-10 x_2+9 x_3+0 x_4+x_5+0 x_6=33 \\ x_1+2 x_2+x_3+0 x_4+0 x_5-x_6=4$ 
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0$

परन्तु उपर्युक्त समस्या में एकिक सदिश $e_{3}$ विद्यमान नहीं है,अतः तीसरी समीकरण में कृत्रिम चर $x_7$ जोड़ते हैं तथा प्रथम प्रावस्था में उद्देश्य फलन में $x_7$ का मान -1 लेने पर तथा $x_7$ के अतिरिक्त प्रत्येक चर का मान शून्य लेने पर दी हुई समस्या का उद्देश्य फलन निम्न हो जाता है:

$Z^*=0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6-x_7$
प्रतिबन्ध $6 x_1+10 x_2+5 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6+0 x_7=15 \\ 33 x_1-10 x_2+9 x_3+0 x_4+x_5+0 x_6+0 x_7=33 \\ x_1+2 x_2+x_3+0 x_4+0 x_5-x_6+x_7=4$
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \geq 0$

अब प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स

$\left[\begin{array}{ccccccc} 6 & 10 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 33 & -10 & 9 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \alpha_7 \right) \\ \left(\alpha_4 \alpha_5 \alpha_7\right)=I_3$  अतः प्रथम चरण की सारणी I का प्रारम्भिक आधार $B=\left(\alpha_4, \alpha_5, \alpha_7 \right)$ तथा सारणी निम्न प्रकार होगी:

प्रथम प्रावस्था:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में $Z^{*}_{j}-C_{j}$ के सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं है अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है। $Z^{*}_{2}-C_{2}=-2$ निम्नतम है,अतः नये आधार के लिए $\alpha_2$ प्रवेशी सदिश होगा। 

$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{15}{10}, \frac{4}{2}\right\} \\ =\frac{15}{10} =\frac{x_{B1}}{y_{12}} \\ \therefore y_{12}$ अर्थात् 10 मुख्य अवयव होगा तथा $\alpha_4$ अपगामी सदिश होगा।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:

प्रथम प्रावस्था:सारणी II

चूँकि $Z^{*}_{j}-C_{j}$ के प्रत्येक मान $\geq 0$ है इसलिए सहायक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल प्राप्त हो सकता है परन्तु अधिकतम $Z^{*}<0$ तथा कृत्रिम चर $x_7$ आधार में धनात्मक मान सहित विद्यमान है।इसलिए मूल समस्या अर्थात् दी हुई समस्या का कोई सुसंगत हल नहीं है।
Example:7.अधिकतम (Max.) $Z=3 x_1-x_2$
प्रतिबन्ध (s.t.) $2 x_1+x_2 \geq 2 \\ x_1+3 x_2 \leq 2 \\ x_2 \leq 4$
तथा (and) $x_1, x_2 \geq 0$
Solution:प्रतिबन्ध असमिकाओं को आधिक्यपूरक चर $x_3$ तथा न्यूनतापूरक चर $x_4,x_5$ की सहायता से समीकरणों में परिवर्तन करने पर:
अधिकतम $Z=3 x_1-x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5$
प्रतिबन्ध $2 x_1+x_2-x_3+0 x_4+0 x_5=2 \\ x_1+3 x_2+0 x_3+x_4+0 x_5=2 \\ 0 x_1+x_2+0 x_3+0 x_4+x_5=1$
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0$
परन्तु उपर्युक्त समस्या में एकिक सदिश $e_3$ विद्यमान नहीं है,अतः प्रथम समीकरण में कृत्रिम चर $x_6$ जोड़ते हैं तथा प्रथम प्रावस्था में उद्देश्य फलन में $x_6$ का मान -1 लेने पर तथा $x_6$ के अतिरिक्त प्रत्येक चर का मान शून्य लेने पर दी गई समस्या का उद्देश्य फलन निम्न हो जाता है:

$Z^*=0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5-x_6$
प्रतिबन्ध $2 x_1+x_2-x_3+0 x_4+0 x_5+x_6=2 \\ x_1+3 x_2+0 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6=2 \\ 0 x_1+x_2+0 x_3+0 x_4+x_5+0 x_6=4$
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0$
अब प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स

$\left[\begin{array}{rrrrrr} 2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \right) \\ \left(\alpha_6 \alpha_4 \alpha_5\right)=I_3$ अतः प्रथम चरण की सारणी I का प्रारम्भिक आधार $B=\left(\alpha_6, \alpha_4 , \alpha_5\right)=I_3$तथा सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी I

उपर्युक्त सारणी $Z^{*}_{j}-C_{j}$ में के सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं हैं,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
$Z^{*}_{1}-C_{1}=-2$ निम्नतम है,अतः नए आधार के लिए $\alpha_1$ प्रवेशी सदिश होगा।
$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 1}}, y_{i 1}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{2}{2},\frac{2}{1}\right\} \\ = \frac{2}{2}=\frac{x_{B1}}{y_{11}} \\ \therefore y_{11}$ अर्थात् 2 मुख्य अवयव है तथा $\alpha_6$ अपगामी सदिश होगा। $\alpha_6$ चूँकि कृत्रिम चर है,अतः इसे नई सारणी में सम्मिलित नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी II

उपर्युक्त सारणी $Z^{*}_{j}-C_{j}\geq 0$ में तथा कोई भी कृत्रिम चर आधार में नहीं है,अतः प्रथम चरण इस स्थिति में समाप्त होता है।अतः इस सारणी से प्राप्त हल मूल समस्या का आधारी सुसंगत हल है।अब द्वितीय प्रावस्था (Phase II) में प्रवेश करते हैं।उद्देश्य फलन

$Z=3 x_1-x_2+0 x_3+6 x_4+0 x_5$
द्वितीय चरण:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में $Z^{*}_{j}-C_{j}$ के सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं हैं,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
$Z_3-C_3=-\frac{3}{2}$ निम्नतम है,अतः नए आधार के लिए $\alpha_3$ प्रवेशी सदिश होगा।
$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{2}{\frac{1}{2}}\right\} \\ = \frac{2}{\frac{1}{2}}=\frac{x_{B2}}{y_{23}} \\ \therefore y_{23}$ अर्थात् $\frac{1}{2}$ मुख्य अवयव (key element) है तथा $\alpha_4$ अपगामी सदिश होगा। अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
द्वितीय चरण:सारणी II

उपर्युक्त सारणी में $Z_{j}-C_{j}$ के सभी मान ऋणेत्तर $\left(\geq 0 \right)$ हैं,अतः इसका आधारी हल इष्टतम होगा जो निम्न प्रकार है:

$x_1=2, x_2=0, x_3=2, x_4=0, x_5=4$
अतः दी गई समस्या का इष्टतम हल:

Max $Z=3 x_1-x_2=3 \times 2-0=6$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करना (To Solve LPP by Two Phase Method),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से कैसे हल करें? (How to Solve Linear Programming Problems by Two Phase Method) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करने के सवाल (To Solve LPP by Two Phase Method Questions):

To Solve LPP by Two Phase Method

निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करिए:
(Solve the following L. P. P. by two phase method):

(1.) minimize $Z=x_1+2 x_2$
subject to $2 x_1+5 x_2 \geq 6 \\ x_1+x_2 \geq 2$
and $x_1, x_2 \geq 0$
(2) minimize $Z=2 x_1+x_2$
subject to $3 x_1+x_2 \leq 3 \\ 4 x_1+3 x_2 \geq 6 \\ x_1+2 x_2 \leq 3$
and $x_1, x_2 \geq 0$
उत्तर (Answers): उत्तर (Answers): (1.) $x_1=\frac{4}{3}, x_2=\frac{2}{3}$ min Z=$\frac{8}{3}$
(2.) $x_1=\frac{3}{5}, x_2=\frac{6}{5}$ min Z=$\frac{12}{5}$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करना (To Solve LPP by Two Phase Method),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से कैसे हल करें? (How to Solve Linear Programming Problems by Two Phase Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- How to Solve LPP by Two Phase Method?

4.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करना (Frequently Asked Questions Related to To Solve LPP by Two Phase Method),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से कैसे हल करें? (How to Solve Linear Programming Problems by Two Phase Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करने (To Solve LPP by Two Phase
Method) के इस आर्टिकल में रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को वैकल्पिक विधि द्विप्रावस्था
विधि से हल करेंगे।