1.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करना (To Solve LPP by Two Phase Method),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से कैसे हल करें? (How to Solve Linear Programming Problems by Two Phase Method):

To Solve LPP by Two Phase Method

रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करने (To Solve LPP by Two Phase Method) के इस आर्टिकल में रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को वैकल्पिक विधि द्विप्रावस्था विधि से हल करेंगे।
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2.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करने पर आधारित उदाहरण (Examples Based on To Solve LPP by Two Phase Method):

निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करिए:
(Solve the following L. P. P. by two phase method):
Example:4.अधिकतम (Max.) Z=2 x_1+x_2+x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) 4 x_1+6 x_2+3 x_3 \leq 8 \\ 3 x_1-6 x_2+4 x_3 \leq 1 \\ 2 x_1+3 x_2-5 x_3 \geq 4
तथा (and) x_1, x_2, x_3 \geq 0
Solution:प्रतिबन्ध असमिकाओं को न्यूनतापूरक चर x_4, x_5 तथा आधिक्यपूरक चर x_6 की सहायता से समीकरणों में परिवर्तन करने पर:
अधिकतम Z=2 x_1+x_2+x_3+0 x_4+0 x_5+x_6
प्रतिबन्ध 4 x_1+6 x_2+3 x_3+x_4+a x_5+x_6=8 \\ 3 x_1-6 x_2+4 x_3+0 x_4+x_5+0 x_6=1 \\ 2 x_1+3 x_2-5 x_3+0 x_4+0 x_5-x_6=4
तथा x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0
परन्तु उपर्युक्त समस्या में एकिक सदिश e_3 विद्यमान नहीं है,अतः तीसरी समीकरण में कृत्रिम चर x_7 जोड़ते हैं तथा प्रथम प्रावस्था में उद्देश्य फलन में x_7 का मान -1 लेने पर तथा x_7 के अतिरिक्त प्रत्येक चर का मान शून्य लेने पर दी हुई समस्या का उद्देश्य फलन निम्न हो जाता है:

Z^*=0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6 -x_7
प्रतिबन्ध -4 x_1+6 x_2+3 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6+0 x_7=8 \\ 3 x_1-6 x_2+4 x_3+0 x_4+x_5+0 x_6+0 x_7=1 \\ 2 x_1+3 x_2-5 x_3+0 x_4+0 x_5-x_6+x_7=4
तथा x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_7 \geq 0
अब प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स

\left[\begin{array}{ccccccc} -4 & 6 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -6 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & -5 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \alpha_7 \right) \\ \left(\alpha_4 \alpha_5 \alpha_7\right)=I_3 अतः प्रथम चरण की सारणी I का प्रारम्भिक आधार B=\left(\alpha_4 \alpha_5 \alpha_7\right) तथा सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में Z_{j}-C_{j} के सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं हैं,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
Z_2^*-C_2=-3 निम्नतम है,अतः नए आधार के लिए प्रवेशी सदिश होगा।
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{8}{6}, \frac{4}{3}\right\} \\ =\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)
चूँकि निम्नतम मान \frac{4}{3} है,अतः \alpha_4 तथा \alpha_7 दोनों ही अपगामी सदिश होंगे।यह अपभ्रष्टता विद्यमान होने का संकेत है।चूँकि \alpha_7 कृत्रिम चर है,अतः \alpha_7 को अपगामी सदिश लेंगे।अतः y_{32} अर्थात् मुख्य अवयव है।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
मुख्य अवयव वाली पंक्ति (working rule):
मुख्य अवयव वाली पंक्ति प्रथम सारणी की तृतीय पंक्ति है।इसके प्रत्येक अवयव को मुख्य अवयव 3 से भाग देने पर द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति तैयार होगी:

\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}=1,-\frac{5}{3}, \frac{0}{3}=0, \frac{0}{3}=0,-\frac{1}{3}
प्रथम पंक्ति:प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत प्रथम पंक्ति के अवयव 6 से गुणा करके घटा देंगे:
8-\frac{4}{3} \times 6=0,4-\frac{2}{3} \times 6=0,6-1 \times 6=0, \\ 3-\left(-\frac{5}{3}\right) \times 6=13,1-0 \times 6=1,0-0 \times 6=0, \\ 0-(-\frac{1}{3}) \times 6=2
द्वितीय पंक्ति:प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् द्वितीय सारणी के लिए तैयार की गई तृतीय पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत द्वितीय पंक्ति के अवयव -6 से गुणा करके घटा देंगे:
1-\frac{4}{3} \times -6=9,3-\frac{2}{3} \times -6=7,-6-1 \times -6=0, \\ 4-\left(-\frac{5}{3}\right) \times -6=-6,0-0 \times -6=0,1-0 \times -6=1 \\ 0-\left(-\frac{1}{3}\right) \times -6=-2
प्रथम प्रावस्था:सारणी II

उपर्युक्त सारणी में Z^{*}_{j}-C_{j} \geq 0 तथा कोई भी कृत्रिम चर आधार में नहीं है,अतः प्रथम चरण इस स्थिति में समाप्त होता है।अतः इस सारणी से प्राप्त हल मूल समस्या का आधारी सुसंगत हल है।अब द्वितीय प्रावस्था (Phase II) में प्रवेश करते हैं।उद्देश्य फलन

Z=2 x_1+x_2+x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6
द्वितीय चरण:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में Z_{j}-C_{j}  सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं हैं,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
Z_{j}-C_{j}=-\frac{8}{3} निम्नतम है,अतः नए आधार के लिए \alpha_3 प्रवेशी सदिश होगा।
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i3}}, y_{i3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{ \frac{0}{13}\right\} \\ =\left(\frac{0}{13}\right) =\frac{x_{B1}}{y_{13}} \\ \therefore y_{13} अर्थात् 13 मुख्य अवयव तथा \alpha_4 अपगामी सदिश होगा।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
मुख्य अवयव वाली पंक्ति (working rule):
मुख्य अवयव वाली पंक्ति प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति है।अतः प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव को मुख्य अवयव 13 से भाग देने पर द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति तैयार होगी:

\frac{0}{13}=0, \frac{0}{13}=0, \frac{0}{13}=0, \frac{13}{10}=1, \frac{1}{13}, \\ \frac{0}{13}=0, \frac{2}{13}
द्वितीय पंक्ति:प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत द्वितीय पंक्ति के अवयव -6 से गुणा करके घटा देंगे:
9-0 \times -6=9,7-0 \times -6=7,0-0 \times -6=0, \\ -6-1 \times -6=0,0-\frac{1}{13} \times -6=\frac{6}{13}, 1-0 \times -6=1, \\ -2-\frac{2}{13} \times -6=\frac{14}{13}
तृतीय पंक्ति:प्रथम सारणी की तृतीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् द्वितीय सारणी के लिए तैयार की गई पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत तृतीय पंक्ति के अवयव -\frac{5}{3} से गुणा करके घटा देंगे:

\frac{4}{3}-0 \times-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}, \frac{2}{3}-6 \times -\frac{5}{3}=\frac{2}{3},1-0 \times \frac{5}{3}=1 \\ -\frac{5}{3}-1 \times-\frac{5}{3}=0,0-\frac{1}{13} \times-\frac{5}{3}=\frac{5}{39} \\ 0-0 \times-\frac{5}{3}=0,-\frac{1}{3} -\frac{2}{13} \times \frac{5}{3}=-\frac{1}{13}
द्वितीय चरण:सारणी II

\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 1 & \alpha_3 & x_3 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{13} & 0 & \frac{2}{13} \\ \hline 0 & \alpha_5 & x_5 & 9 & \fbox{7} & 0 & 0 & \frac{6}{13} & 1 & \frac{14}{13} \\ \hline 1 & \alpha_2 & x_2 & \frac{4}{3} & \frac{2}{3} & 1 & 0 & \frac{5}{39} & 0 & -\frac{1}{13} \\ \hline & & & Z^{*}_{j}-C_{j} & -\frac{4}{3} & 0 & 0 & \frac{8}{39} & 0 & -\frac{1}{13} \\ \hline & & & & \uparrow & & & & \downarrow & \end{array}
उपर्युक्त सारणी में Z_{j}-C_{j} के सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं हैं,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
Z_{1}-C_{1}=-\frac{4}{3} निम्नतम है,अतः नए आधार के लिए \alpha_1 प्रवेशी सदिश होगा।
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i1}}, y_{i1}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{ \frac{9}{7},\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}\right\} \\ =\left(\frac{9}{7}\right) =\frac{x_{B2}}{y_{21}} \\ \therefore y_{21} अर्थात् 7 मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_5 अपगामी सदिश होगा।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
मुख्य अवयव वाली पंक्ति (working rule):
मुख्य अवयव वाली पंक्ति,द्वितीय पंक्ति है।अतः द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव को मुख्य अवयव 7 से भाग देने पर तृतीय सारणी के लिए द्वितीय पंक्ति तैयार होगी:

\frac{9}{7}, \frac{7}{7}=1, \frac{0}{7}=0, \frac{0}{7}=0, \frac{\frac{6}{13}}{9}=\frac{6}{91}, \frac{1}{7}, \\ \frac{\frac{14}{13}}{7}=\frac{2}{13}
प्रथम पंक्ति:द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत प्रथम पंक्ति के अवयव 0 से गुणा करके घटा देंगे:
0-\frac{9}{7} \times 0=0 ,1 \times 0=0,0-0 \times 0=0, 1-0 \times 0=1, \\ \frac{1}{13}-\frac{6}{91} \times 0=\frac{1}{13}, 0-\frac{1}{7} \times 0=0, \frac{2}{13}-\frac{2}{13} \times 0=\frac{2}{13}
तृतीय पंक्ति:द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् तृतीय सारणी के लिए तैयार की गई द्वितीय पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत तृतीय पंक्ति के अवयव \frac{2}{3} से गुणा करके घटा देने पर तृतीय पंक्ति तैयार होगी:

\frac{4}{3}-\frac{9}{7} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{21}, \frac{2}{3}-1 \times \frac{2}{3}=0,1-0 \times \frac{2}{3}=1 \\ 0-0 \times \frac{2}{3}=0, \frac{5}{39}-\frac{6}{91} \times \frac{2}{3}=\frac{23}{273}, \\ 0-\frac{1}{7} \times \frac{2}{3}=-\frac{2}{21},-\frac{1}{13}-\frac{2}{13} \times \frac{2}{3}=-\frac{7}{39}
द्वितीय चरण:सारणी III

\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 1 & \alpha_3 & x_3 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{13} & 0 & \frac{2}{13} \\ \hline 2 & \alpha_1 & x_1 & \frac{9}{7} & 1 & 0 & 0 & \frac{6}{91} & \frac{1}{7} & \frac{2}{13} \\ \hline 1 & \alpha_2 & x_2 & \frac{10}{21} & 0 & 1 & 0 & \frac{23}{273} & -\frac{2}{21} & \frac{-7}{39} \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j} & 0 & 0 & 0 & \frac{80}{273} & \frac{4}{21} & \frac{11}{39}\\ \hline \end{array}
उपर्युक्त सारणी में Z_{j}-C_{j} के सभी मान ऋणेत्तर \left(\geq 0 \right) हैं,अतः इसका आधारी हल इष्टतम होगा जो निम्न प्रकार है:

x_1=\frac{9}{7}, x_2=\frac{10}{21}, x_3=0, x_4=0, x_5=0, x_6=0
अतः दी गई समस्या का इष्टतम हल:

x_1=\frac{9}{7}, x_2=\frac{10}{21}, x_3=0
Max Z=2 x_1+x_2+x_3 \\ \Rightarrow Max. Z=2 \times \frac{9}{7}+\frac{10}{21}+0=\frac{64}{21}
Example:5.निम्नतम (Min.) Z=x_1-2 x_2-3 x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) -2 x_1+x_2+3 x_3=2 \\ 2 x_1+3 x_2+4 x_3=1
तथा (and) x_1, x_2, x_3 \geq 0
Solution:सर्वप्रथम उद्देश्य फलन को अधिकतमीकरण की समस्या में बदलते हैं,चूँकि यह एक निम्नतमीकरण की समस्या है।
अधिकतम W=-x_1+2 x_2+3 x_3
प्रतिबन्ध  -2 x_1+x_2+3 x_3=2 \\ 2 x_1+3 x_2+4 x_3=1
तथा (and) x_1, x_2, x_3 \geq 0
इस समस्या का प्रारम्भिक हल प्राप्त नहीं कर सकते हैं।चूँकि इसके गुणांक मैट्रिक्स में एकिक उपमैट्रिक्स I_2 विद्यमान नहीं है,अतः उपर्युक्त समीकरणों में कृत्रिम चर x_4 तथा x_5 जोड़ते हैं तथा उद्देश्य फलन में इनके संगत मूल्य -1 रखते हैं तथा कृत्रिम चरों के अतिरिक्त अन्य चरों का मूल्य शून्य रखने पर:
अधिकतम Z^*=0 x_1+0 x_2+0 x_3-x_4-x_5
प्रतिबन्ध -2 x_1+x_2+3 x_3+x_4+0 x_5=2 \\ 2 x_1+3 x_2+4 x_3+0 x_4+x_5=1
तथा x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0
अब प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स
\left[\begin{array}{ccccc} -2 & 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 1\end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5\right) \\ \left(\alpha_4 \alpha_5\right)=I_2 अतः प्रथम चरण की सारणी I का प्रारम्भिक आधार B=\left(\alpha_4, \alpha_5\right) तथा सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में Z^{*}_{j}-C_{j} के सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं हैं,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
Z^{*}_{3}-C_{3}=-7निम्नतम है,अतः नये आधार के लिए \alpha_3  प्रवेशी सदिश होगा।
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{2}{3}, \frac{1}{4}\right\} \\ = \frac{1}{4}=\frac{x_{B2}}{y_{23}} \\ \therefore y_{23} अर्थात् 4 मुख्य अवयव होगा तथा \alpha_5 अपगामी सदिश होगा। \alpha_5  चूँकि कृत्रिम चर है,अतः इसे नई सारणी में सम्मिलित नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी II

चूँकि Z^{*}_{j}-C_{j} के प्रत्येक मान \geq  है इसलिए सहायक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल प्राप्त हो सकता है परन्तु अधिकतम Z^{*}<0 तथा कृत्रिम चर x_{4} आधार में धनात्मक मान सहित विद्यमान है।इसलिए मूल समस्या अर्थात् दी हुई समस्या का कोई सुसंगत हल नहीं है।

To Solve LPP by Two Phase Method

Example:6.अधिकतम (Max.) Z=2 x_1+4 x_2+7 x_3

प्रतिबन्ध (s.t.)  6 x_1+10 x_2+5 x_3 \leq 15 \\ 33 x_1-10 x_2+9 x_3 \leq 33 \\ x_1+2 x_2+x_3 \geq 4
तथा (and) x_1, x_2, x_3 \geq 0
Solution:  प्रतिबन्ध असमिकाओं को न्यूनतापूरक चर x_4, x_5 तथा आधिक्यपूरक चर x_6 की सहायता से समीकरणों में परिवर्तित करने पर:

अधिकतम Z=2 x_1+4 x_2+7 x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6
प्रतिबन्ध 6 x_1+10 x_2+5 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6=15 \\ 33 x_1-10 x_2+9 x_3+0 x_4+x_5+0 x_6=33 \\ x_1+2 x_2+x_3+0 x_4+0 x_5-x_6=4 
तथा x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0

परन्तु उपर्युक्त समस्या में एकिक सदिश e_{3} विद्यमान नहीं है,अतः तीसरी समीकरण में कृत्रिम चर x_7 जोड़ते हैं तथा प्रथम प्रावस्था में उद्देश्य फलन में x_7 का मान -1 लेने पर तथा x_7 के अतिरिक्त प्रत्येक चर का मान शून्य लेने पर दी हुई समस्या का उद्देश्य फलन निम्न हो जाता है:

Z^*=0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6-x_7
प्रतिबन्ध 6 x_1+10 x_2+5 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6+0 x_7=15 \\ 33 x_1-10 x_2+9 x_3+0 x_4+x_5+0 x_6+0 x_7=33 \\ x_1+2 x_2+x_3+0 x_4+0 x_5-x_6+x_7=4
तथा x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \geq 0

अब प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स

\left[\begin{array}{ccccccc} 6 & 10 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 33 & -10 & 9 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \alpha_7 \right) \\ \left(\alpha_4 \alpha_5 \alpha_7\right)=I_3  अतः प्रथम चरण की सारणी I का प्रारम्भिक आधार B=\left(\alpha_4, \alpha_5, \alpha_7 \right) तथा सारणी निम्न प्रकार होगी:

प्रथम प्रावस्था:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में Z^{*}_{j}-C_{j} के सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं है अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है। Z^{*}_{2}-C_{2}=-2 निम्नतम है,अतः नये आधार के लिए \alpha_2 प्रवेशी सदिश होगा। 

\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{15}{10}, \frac{4}{2}\right\} \\ =\frac{15}{10} =\frac{x_{B1}}{y_{12}} \\ \therefore y_{12} अर्थात् 10 मुख्य अवयव होगा तथा \alpha_4 अपगामी सदिश होगा।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:

प्रथम प्रावस्था:सारणी II

चूँकि Z^{*}_{j}-C_{j} के प्रत्येक मान \geq 0 है इसलिए सहायक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल प्राप्त हो सकता है परन्तु अधिकतम Z^{*}<0 तथा कृत्रिम चर x_7 आधार में धनात्मक मान सहित विद्यमान है।इसलिए मूल समस्या अर्थात् दी हुई समस्या का कोई सुसंगत हल नहीं है।
Example:7.अधिकतम (Max.) Z=3 x_1-x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) 2 x_1+x_2 \geq 2 \\ x_1+3 x_2 \leq 2 \\ x_2 \leq 4
तथा (and) x_1, x_2 \geq 0
Solution:प्रतिबन्ध असमिकाओं को आधिक्यपूरक चर x_3 तथा न्यूनतापूरक चर x_4,x_5 की सहायता से समीकरणों में परिवर्तन करने पर:
अधिकतम Z=3 x_1-x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5
प्रतिबन्ध 2 x_1+x_2-x_3+0 x_4+0 x_5=2 \\ x_1+3 x_2+0 x_3+x_4+0 x_5=2 \\ 0 x_1+x_2+0 x_3+0 x_4+x_5=1
तथा x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0
परन्तु उपर्युक्त समस्या में एकिक सदिश e_3 विद्यमान नहीं है,अतः प्रथम समीकरण में कृत्रिम चर x_6 जोड़ते हैं तथा प्रथम प्रावस्था में उद्देश्य फलन में x_6 का मान -1 लेने पर तथा x_6 के अतिरिक्त प्रत्येक चर का मान शून्य लेने पर दी गई समस्या का उद्देश्य फलन निम्न हो जाता है:

Z^*=0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5-x_6
प्रतिबन्ध 2 x_1+x_2-x_3+0 x_4+0 x_5+x_6=2 \\ x_1+3 x_2+0 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6=2 \\ 0 x_1+x_2+0 x_3+0 x_4+x_5+0 x_6=4
तथा x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0
अब प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स

\left[\begin{array}{rrrrrr} 2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \right) \\ \left(\alpha_6 \alpha_4 \alpha_5\right)=I_3 अतः प्रथम चरण की सारणी I का प्रारम्भिक आधार B=\left(\alpha_6, \alpha_4 , \alpha_5\right)=I_3तथा सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी I

उपर्युक्त सारणी Z^{*}_{j}-C_{j} में के सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं हैं,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
Z^{*}_{1}-C_{1}=-2 निम्नतम है,अतः नए आधार के लिए \alpha_1 प्रवेशी सदिश होगा।
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 1}}, y_{i 1}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{2}{2},\frac{2}{1}\right\} \\ = \frac{2}{2}=\frac{x_{B1}}{y_{11}} \\ \therefore y_{11} अर्थात् 2 मुख्य अवयव है तथा \alpha_6 अपगामी सदिश होगा। \alpha_6 चूँकि कृत्रिम चर है,अतः इसे नई सारणी में सम्मिलित नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी II

उपर्युक्त सारणी Z^{*}_{j}-C_{j}\geq 0 में तथा कोई भी कृत्रिम चर आधार में नहीं है,अतः प्रथम चरण इस स्थिति में समाप्त होता है।अतः इस सारणी से प्राप्त हल मूल समस्या का आधारी सुसंगत हल है।अब द्वितीय प्रावस्था (Phase II) में प्रवेश करते हैं।उद्देश्य फलन

Z=3 x_1-x_2+0 x_3+6 x_4+0 x_5
द्वितीय चरण:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में Z^{*}_{j}-C_{j} के सभी मान ऋणेत्तर (Non negative) नहीं हैं,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
Z_3-C_3=-\frac{3}{2} निम्नतम है,अतः नए आधार के लिए \alpha_3 प्रवेशी सदिश होगा।
\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{2}{\frac{1}{2}}\right\} \\ = \frac{2}{\frac{1}{2}}=\frac{x_{B2}}{y_{23}} \\ \therefore y_{23} अर्थात् \frac{1}{2} मुख्य अवयव (key element) है तथा \alpha_4 अपगामी सदिश होगा। अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
द्वितीय चरण:सारणी II

उपर्युक्त सारणी में Z_{j}-C_{j} के सभी मान ऋणेत्तर \left(\geq 0 \right) हैं,अतः इसका आधारी हल इष्टतम होगा जो निम्न प्रकार है:

x_1=2, x_2=0, x_3=2, x_4=0, x_5=4
अतः दी गई समस्या का इष्टतम हल:

Max Z=3 x_1-x_2=3 \times 2-0=6
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करना (To Solve LPP by Two Phase Method),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से कैसे हल करें? (How to Solve Linear Programming Problems by Two Phase Method) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करने के सवाल (To Solve LPP by Two Phase Method Questions):

To Solve LPP by Two Phase Method

निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करिए:
(Solve the following L. P. P. by two phase method):

(1.) minimize Z=x_1+2 x_2
subject to 2 x_1+5 x_2 \geq 6 \\ x_1+x_2 \geq 2
and x_1, x_2 \geq 0
(2) minimize Z=2 x_1+x_2
subject to 3 x_1+x_2 \leq 3 \\ 4 x_1+3 x_2 \geq 6 \\ x_1+2 x_2 \leq 3
and x_1, x_2 \geq 0
उत्तर (Answers): उत्तर (Answers): (1.) x_1=\frac{4}{3}, x_2=\frac{2}{3} min Z=\frac{8}{3}
(2.) x_1=\frac{3}{5}, x_2=\frac{6}{5} min Z=\frac{12}{5}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करना (To Solve LPP by Two Phase Method),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से कैसे हल करें? (How to Solve Linear Programming Problems by Two Phase Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करना (Frequently Asked Questions Related to To Solve LPP by Two Phase Method),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से कैसे हल करें? (How to Solve Linear Programming Problems by Two Phase Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करने (To Solve LPP by Two Phase
Method) के इस आर्टिकल में रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को वैकल्पिक विधि द्विप्रावस्था
विधि से हल करेंगे।