1.वोगल सन्निकटन विधि से हल करना (To Solve by Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि से परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method):

To Solve by Vogel Approximation Method

वोगल सन्निकटन विधि से हल करना (To Solve by Vogel Approximation Method) के इस आर्टिकल में परिवहन समस्या वाले सवालों को हल करके उनके आधारी सुसंगत हल तथा इष्टतम हल ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.न्यूनतम लागत-प्रविष्टि विधि का उदाहरण (Lowest Cost Entry Method Example):

Example:10.निम्न परिवहन समस्या का न्यूनतम लागत-प्रविष्टि विधि से आरम्भिक आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए।
(Find the initial basic feasible solution to the following T. P. by lowest cost-Entry method (L.C.E.M.))

Solution:चरण (Step):I.लागत को छोटी कोष्ठक में लिखते हैं।अब लागत मैट्रिक्स का अवलोकन करते हैं और न्यूनतम लागत वाले कोष्ठकों को चुनते हैं यदि ऐसा कोष्ठक अद्वितीय नहीं है तो इनमें से किसी एक को पहले चुन लेते हैं यहाँ कोष्ठक (1,4) में न्यूनतम लागत 13 है।कोष्ठक (1,4) में लागत 13 को अधिकतम उपलब्ध इकाई 11 को मांग के अनुसार आवंटन करते हैं अर्थात् min(11,15)=11 आवंटन करते हैं और इसे 11(13) लिखते हैं।
चरण (Step):II.पुनः लागत मैट्रिक्स की आवंटित कोष्ठकों को छोड़कर का अवलोकन करते हैं तथा अगली न्यूनतम लागत वाले कोष्ठकों को चुनते हैं यहाँ न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,3) है तथा न्यूनतम लागत 14 है।कोष्ठक (2,3) में लागत 14 को अधिकतम उपलब्ध इकाई 13 को माँग के अनुसार आवंटित करते हैं अर्थात् min(13,12)=12 इकाई आवंटन करते हैं।इसे 12(14) लिखते हैं।
कोष्ठक (1,1) में लागत 21 को उपलब्ध इकाइयों में से आवंटन करते हैं परन्तु यहाँ उपलब्ध इकाई शून्य है इसलिए आवंटन नहीं करते हैं।
चरण (Step):III.पुनः लागत मैट्रिक्स की अगली न्यूनतम लागत 17 वाले कोष्ठक (2,1) को चुनते हैं।इसमें अधिकतम उपलब्ध इकाइयाँ 1 को माँग के अनुसार आवंटन min(1,6)=1 इकाई करते हैं।
(i)कोष्ठक (2,2) में अधिकतम उपलब्ध इकाई शून्य है इसलिए आवंटन नहीं करते हैं।
चरण (Step):IV.पुनः लागत मैट्रिक्स की अगली न्यूनतम लागत 18 वाले कोष्ठक (3,3) को चुनते हैं।इसमें अधिकतम उपलब्ध इकाइयाँ 19 को माँग के अनुसार आवंटन करते हैं परन्तु यहाँ माँग शून्य है इसलिए आवंटन नहीं करते।
चरण (Step):V.पुनः लागत मैट्रिक्स की अगली न्यूनतम लागत 21,23,25 वाले कोष्ठक क्रमशः (1,1),(2,4),(1,3) को चुनते हैं परन्तु उपलब्ध इकाइयाँ शून्य हैं इसलिए आवंटन नहीं करते।
चरण (Step):VI.पुनः लागत मैट्रिक्स में अगली न्यूनतम लागत 27 वाले कोष्ठक (3,2) को चुनते हैं यहाँ कुल उपलब्ध इकाइयाँ 19 हैं तथा माँग 10 इकाई हैं इसलिए min(19,10)=10 इकाइयाँ कोष्ठक (3,2) में आवंटित करते हैं।
चरण (Step):VII.पुनः लागत मैट्रिक्स में अगली न्यूनतम लागत 32 वाला कोष्ठक (3,1) है।कोष्ठक (3,1) में अधिकतम इकाइयाँ 9 तथा माँग 5 इकाइयाँ है इसलिए 5 इकाइयाँ आवंटित करते हैं अर्थात् min(9,5)=5
चरण (Step):VIII.पुनः लागत मैट्रिक्स में अगली न्यूनतम लागत 41 वाला कोष्ठक (3,4) है।कोष्ठक (3,4) में अधिकतम इकाइयाँ 4 तथा माँग 4 इकाइयाँ है इसलिए min(4,4)=4 इकाइयाँ आवंटित करते हैं।
इसके पश्चात पंक्ति आवंटन योग $(=\Sigma a_{i})$  तथा स्तम्भ आवंटन योग  $(=\Sigma b_{i})$ की जाँच कर लेते हैं।

न्यूनतम लागत-प्रविष्टि विधि से प्राप्त आधारी हल से लागत:
=11×13+1×17+12×14+5×32+10×27+4×41
=143+17+168+160+270+164
=922
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ ज्ञात करते हैं।

To Solve by Vogel Approximation Method

$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली तीसरी पंक्ति को चुनते हैं।अतः $u_{3}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $C_{ij}=u_{i}+v_{j}$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी

$C_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 32=0+v_1 \Rightarrow v_1=32 \\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 27=0+v_2 \Rightarrow v_2=27 \\ C_{34}=u_3+v_4 \Rightarrow 41=0+v_4 \Rightarrow v_4=41 \\ C_{14}=u_1+v_4 \Rightarrow 13=u_1+41 \Rightarrow u_1=-28 \\ C_{21}=u_2+v_1 \Rightarrow 17=u_2+32 \Rightarrow u_2=-15 \\ C_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 14=-15+v_3 \Rightarrow v_3=29$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{cccc} 4 & -1 & 1 & * \\ * & 12 & * & 26 \\ * & * & 29 & * \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{i j}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 21 & 16 & 25 & * \\ * & 18 & * & 23 \\ * & * & 18 & * \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right] =\left[C_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\ =\left[\begin{array}{lllll} 21 & 16 & 25 & * \\ * & 18 & * & 23 \\ * & * & 18 & * \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc} 4 & -1 & 1 & * \\ * & 12 & * & 26 \\ * & * & 29 & * \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{i j}\right] =\left[\begin{array}{cccc} 17 & 17 & 24 & * \\ * & 6 & * & -3 \\ * & * & -11 & * \end{array}\right]$
मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ में $d_{24}=-3$ तथा $d_{33}=-11$ के अतिरिक्त सभी रिक्त कोष्ठिकाओं से सम्बन्धित मूल्यांकन ऋणेतर है। $d_{33}=-11$ है न्यूनतम अतः कोष्ठक (3,3) को आवंटन कर इस हल को सुधारते हैं।
चूँकि $d_{33}=-11$ न्यूनतम $\left[d_{i j}\right]$ है इसलिए इस कोष्ठक की अधिकतम आवंटन किसी भरे हुए कोष्ठक से करते हैं।शेष आवंटन में परिवर्तन करते हुए जैसा कि नीचे सारणी में दर्शाया गया है।यहाँ अधिकतम आवंटन माना $\theta$ है। $\theta$ बन्दलूप के कोने पर –$\theta$ वाले नियतन में से न्यूनतम को शून्य के बराबर रखकर $\theta$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & & & 11(13) \\ \hline \overset{1(17)}{+ \theta} & \longleftarrow & \overset{12(14)}{- \theta} & \\ \hline \downarrow & &\uparrow & \\ \hline \overset{5(32)}{- \theta} & \overset{10(27)}{\longrightarrow } & +\theta & 4(41) \\ \hline \end{array} \\ \min (12-\theta, 5-\theta)=0 \Rightarrow 5-\theta=0 \Rightarrow \theta=5$
इस प्रकार कोष्ठिका (3,1) में आवंटन शून्य हो जाता है अर्थात् यह खाली कोष्ठिका हो जाती है।नया आधारी हल निम्न सारणी में दर्शाया गया है।

इस आधारी हल (B. F. S.) के लिए कुल परिवहन लागत
=11×13+6×17+7×14+10×27+5×18+4×41
=143+102+98+270+90+164
=867
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली तीसरी पंक्ति को चुनते हैं।अतः $u_{3}$  को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $C_{ij}=u_{i}+v_{j}$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी

$C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 27=0+v_2 \Rightarrow v_2=27 \\ C_{33}=u_3+v_3 \Rightarrow 18=0+v_3 \Rightarrow v_3=18 \\ C_{34}=u_3+v_4 \Rightarrow 41=0+v_4 \Rightarrow v_4=41 \\ C_{14}=u_1+v_4 \Rightarrow 13=u_1+41 \Rightarrow u_1=-28 \\ C_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 14=u_2+18 \Rightarrow u_2=-4 \\ C_{21}=u_2+v_1 \Rightarrow 17=-u_1+v_1 \Rightarrow v_1=21$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{cccc} -7 & -1 & -10 & * \\ * & 23 & * & 37 \\ 21 & * & * & * \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{i j}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 21 & 16 & 25 & * \\ * & 18 & * & 23 \\ 32 & * & * & * \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right]=\left[c_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\ =\left[\begin{array}{cccc} 21 & 16 & 25 & * \\ * & 18 & * & 23 \\ 32 & * & * & * \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc} -7 & -1 & -10 & * \\ * & 23 & * & 37 \\21 & * & * & * \end{array}\right] \\ \Rightarrow [d_{ij}]=\left[\begin{array}{cccc} 28 & 17 & 35 & * \\ * & -5 & * & -14 \\ 11 & * & * & * \end{array}\right]$
मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ में $d_{22}=-5$ तथा $d_{24}=-11$ के अतिरिक्त सभी रिक्त कोष्ठिकाओं से सम्बन्धित मूल्यांकन ऋणेतर है।अतः कोष्ठक (2,4) को आवंटन कर इस हल को सुधारते हैं।
चूँकि $d_{24}=-11$ न्यूनतम $\left[d_{i j}\right]$ है इसलिए इस कोष्ठक की अधिकतम आवंटन किसी भरे हुए कोष्ठक से करते हैं।शेष आवंटन में परिवर्तन करते हुए जैसा कि नीचे सारणी में दर्शाया गया है।यहाँ अधिकतम आवंटन माना $\theta$  है। $\theta$ बन्दलूप के कोने पर –$\theta$ वाले नियतन में से न्यूनतम को शून्य के बराबर रखकर $\theta$  का मान ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & & & 11(13) \\ \hline 6(17) & & \overset{- \theta}{7(14)} \longrightarrow & +\theta \\ \hline & & \uparrow & \downarrow \\ \hline & 10(27) & \overset{+ \theta}{5(18)} & \longleftarrow \overset{4(41)}{- \theta} \\ \hline \end{array} \\ \min (7-\theta, 4-\theta)=0 \Rightarrow 4-\theta=0 \Rightarrow \theta=4$
इस प्रकार कोष्ठिका (3,4) में आवंटन शून्य हो जाता है अर्थात् यह खाली कोष्ठिका हो जाती है।नया आधारी हल निम्न सारणी में दर्शाया गया है।
$\begin{array}{|cccc|} \hline & & & 11(13) \\ 6(17) & & 3(14) & 4(23) \\ & 10(27) & 9(18) \\ \hline \end{array}$
इस आधारी हल (B. F. S.) के लिए कुल परिवहन लागत
=11×13+6×17+3×14+4×23+10×27+9×18
=143+102+52+92+270+162
=821
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली दूसरी पंक्ति को चुनते हैं।अतः $u_{2}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $C_{ij}=u_{i}+v_{j}$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी

$C_{21}=u_2+v_1 \Rightarrow 17=0+v_1 \Rightarrow v_1=17 \\ C_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 14=0+v_3 \Rightarrow v_3=14 \\ C_{24}=u_2+v_4 \Rightarrow 23=0+v_4 \Rightarrow v_4=23 \\ C_{14}=u_1+v_4 \Rightarrow 13=u_1+23 \Rightarrow v_1=-10 \\ C_{33}=u_3+v_3 \Rightarrow 18=u_3+14 \Rightarrow u_3=4 \\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 27=4+v_2 \Rightarrow v_2=23$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_i\right]=\left[\begin{array}{cccc} 7 & 13 & 4 & * \\ * & 23 & * & * \\ 21 & * & * & 27 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{i j}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 21 & 16 & 25 & * \\ * & 18 & * & * \\ 32 & * & * & 41 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right]=\left[\begin{array}{cccc} c_{i j} \end{array}\right]-\left[u_i + v_j \right] \\ =\left[\begin{array}{cccc} 21 & 16 & 25 & * \\ * & 18 & * & * \\ 32 & * & * & 41 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc} 7 & 13 & 4 & * \\ * & 23 & * & * \\ 21 & * & * & 27 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[d_{i j}\right] =\left[\begin{array}{cccc} 14 & 3 & 21 & * \\ * & -5 & * & * \\ 11 & * & * & 14 \end{array}\right]$
मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ में $d_{22}=-5$ के अतिरिक्त सभी रिक्त कोष्ठिकाओं से सम्बन्धित मूल्यांकन ऋणेतर है।अतः कोष्ठक (2,2) को आवंटन कर इस हल को सुधारते हैं।
चूँकि $d_{22}=-5$ न्यूनतम $\left[d_{i j}\right]$ है इसलिए इस कोष्ठक की अधिकतम आवंटन किसी भरे हुए कोष्ठक से करते हैं।शेष आवंटन में परिवर्तन करते हुए जैसा कि नीचे सारणी में दर्शाया गया है।यहाँ अधिकतम आवंटन माना $\theta$ है। $\theta$ बन्दलूप के कोने पर –$\theta$ वाले नियतन में से न्यूनतम को शून्य के बराबर रखकर $\theta$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|r|c|c|} \hline & & & 11(13) \\ \hline 6(17) & +\theta \longrightarrow & \overset{- \theta}{3(14)} & 4(23) \\ \hline & \uparrow & \downarrow & \\ \hline & \overset{- \theta}{10(27)} & \longleftarrow \overset{+ \theta}{9(18)} & \\ \hline \end{array} \\ \min (3-\theta, 10-\theta)=0 \Rightarrow 3-\theta=0 \Rightarrow \theta=3$
इस प्रकार कोष्ठिका (2,3) में आवंटन शून्य हो जाता है अर्थात् यह खाली कोष्ठिका हो जाती है।नया आधारी हल निम्न सारणी में दर्शाया गया है।
$\begin{array}{|cccc|} \hline & & & 11(13) \\ 6(17) & 3(18) & & 4(23) \\ & 7(27) & 12(18) & \\ \hline \end{array}$
इस आधारी हल (B. F. S.) के लिए कुल परिवहन लागत
=11×13+6×17+3×18+4×23+7×27+12×18
=143+102+54+92+189+216
=796
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स प्राप्त होती हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी

$C_{21}=c_2+v_1 \Rightarrow 17=0+v_1 \Rightarrow v_1=17 \\ C_{22}=u_2+v_2 \Rightarrow 18=0+v_2 \Rightarrow v_2=18 \\ C_{24}=u_2+v_4 \Rightarrow 23=0+v_{44} \Rightarrow v_4=23 \\ C_{14}=u_1+v_4 \Rightarrow 13=u_1+23 \Rightarrow u_1=-10 \\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 27=u_3+18 \Rightarrow u_3=9 \\ C_{33}=u_3+r_3 \Rightarrow 18=9+v_3 \Rightarrow v_3=9$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{cccc} 7 & 8 & -1 & * \\ * & * & 9 & * \\ 26 & * & * & 32 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{i j}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 21 & 16 & 25 & * \\ * & * & 14 & * \\ 32 & * & * & 41 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right]=\left[C_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\ =\left[\begin{array}{llll} 21 & 16 & 25 & * \\ * & * & 14 & * \\ 32 & * & * & 41 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc}7 & 8 & -1 & * \\ * & * & 9 & * \\ 26 & * & * & 32 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{i j}\right]=\left[\begin{array}{llll} 14 & 8 & 26 & * \\ * & * & 5 & * \\ 6 & * & * & 9 \end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ के सभी अवयव धनात्मक हैं अतः उपर्युक्त आधारी इष्टतमत्व हल है तथा अद्वितीय है।अतः इस हल से प्राप्त कुल लागत 796 इष्टतम है।

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वोगल सन्निकटन विधि से हल करना (To Solve by Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि से परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) को समझ सकते हैं।

3.वोगल सन्निकटन विधि से हल करना के उदाहरण (To Solve by Vogel Approximation Method Example):

Example:12.निम्न तालिका में प्रत्येक संयंत्र द्वारा एक उत्पादन एवं विभिन्न बाजारों की उसकी माँग अंकित है।उत्पादन की प्रति इकाई परिवहन व्यय की तालिका में दर्शाया गया है।इष्टतम परिवहन योजना ज्ञात कीजिए।
(Determine the optimal transformation plan from the following table giving the plant to market shipping costs and qualities required at each market and available at each plant):

Solution:चरण (Step):I.यहाँ कुल उपलब्ध इकाइयाँ $\sum a_{i}=50+40+70=160$ ,कुल आवश्यकता $\sum b_{j}=30+25+35+40=130$ से अधिक है।हम एक काल्पनिक गोदाम $W_{5}$ (Dummy) जिसकी आवश्यकता $\sum a_{i}- \sum b_{j}=160-130=30$ इकाई लेते हैं।अब नई परिवर्तन समस्या निम्न प्रकार है:

पद (Step):II.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):III.अधिकतम शास्ति वाली द्वितीय पंक्ति है जिसकी शास्ति 10 है।अतः द्वितीय पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (2,5) को चुनते है इसमें अधिकतम आवंटन min(40,30)=30 करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर कोष्ठक (2,3) पर अधिकतम आवंटित करते हैं यहाँ कोष्ठक (2,3) पर min(10,35)=10 आवंटित करते हैं।इस प्रकार द्वितीय पंक्ति की सीमा पूरी हो जाती है इसलिए इसको निरस्त कर देते हैं।
अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाले तृतीय स्तम्भ को चुनते हैं जिसकी शास्ति 11 है।तृतीय स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (1,3) को चुनते हैं इसमें min(50,25)=25 आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर इसे निरस्त कर देते हैं।अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाली प्रथम पंक्ति को चुनते हैं जिसकी शास्ति 8 है।प्रथम पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,4) को चुनते हैं इसमें min(25,40)=25 का आवंटन करते हैं।पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली तृतीय पंक्ति है जिसकी शास्ति 8 है।तृतीय पंक्ति में न्यूनतम लागत 8 को अधिकतम उपलब्ध इकाई तथा आवश्यकता के अनुसार आवंटन करते हैं अर्थात् min(70,30)=30 इकाइयाँ आवंटन करते हैं इसके पश्चात शेष उपलब्ध इकाईयों में से अगली न्यूनतम लागत 9 वाले कोष्ठक (3,4) में आवश्यकता के अनुसार आवंटन करते हैं अर्थात् min(40,15)=15 इकाइयाँ आवंटित करते हैं।अब शेष उपलब्ध 25 इकाइयाँ को अगली न्यूनतम लागत 12 वाले कोष्ठक (3,2) में आवश्यकता के अनुसार आवंटित करते हैं।यहाँ कोष्ठक (3,2) के लिए उपलब्ध इकाई=आवश्यकता की इकाई=25 है इसे आवंटित करते हैं।इस प्रकार उपलब्ध इकाई व आवश्यकता इकाई का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।

उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:

अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=25×7+25×8+10×10+30×0+30×8+25×12+15×9
=175+200+100+0+240+300+135
=1150 रुपए
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली तीसरी पंक्ति को चुनते हैं।अतः $u_{3}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $c_{i j}=u_i+v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी

$C_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 8=0+v_1 \Rightarrow v_1=8 \\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 12=0+v_2 \Rightarrow v_2=12 \\ C_{34}=u_3+v_4 \Rightarrow 9=0+v_4 \Rightarrow v_4=9 \\ C_{14}=u_1+v_4 \Rightarrow 8=9+v_4 \Rightarrow v_4=-1 \\ C_{13}=u_1+v_3 \Rightarrow 7=-1+v_3 \Rightarrow v_3=8 \\ C_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 10=u_{21}+8 \Rightarrow u_2=2$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 7 & 11 & * & * & -3 \\ 10 & 14 & * & 11 & * \\ * & * & 8 & * & -2 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{ij}\right]=\left[\begin{array}{lllll} 11 & 20 & * & * & 0 \\ 21 & 16 & * & 12 & * \\ * & * & 18 & * & 0 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right] =\left[c_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\=\left[\begin{array}{lllll} 11 & 20 & * & * & 0 \\ 21 & 16 & * & 12 & * \\ * & * & 18 & * & 0 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccccc} 7 & 11 & * & * & -3 \\ 10 & 14 & * & 11 & * \\ * & * & 8 & * & -2 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{ij}\right] =\left[\begin{array}{lllll} 4 & 9 & * & * & 3 \\ 11 & 2 & * & 1 & * \\ * & * & 10 & * & 2 \end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ के सभी अवयव धनात्मक है अतः उपर्युक्त आधारी इष्टतमत्व हल है तथा अद्वितीय है।
अतः इस हल से प्राप्त कुल लागत:
$x_{13}=25, x_{14}=25, x_{23}=10, x_{25}(dummy)=30 , x_{31}=30, x_{32}=25, x_{34}=15$
परिवहन लागत=1150 रुपए
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वोगल सन्निकटन विधि से हल करना (To Solve by Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि से परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) को समझ सकते हैं।

To Solve by Vogel Approximation Method

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4.वोगल सन्निकटन विधि से हल करना (Frequently Asked Questions Related to To Solve by Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि से परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वोगल सन्निकटन विधि से हल करना (To Solve by Vogel Approximation Method) के
इस आर्टिकल में परिवहन समस्या वाले सवालों को हल करके उनके आधारी सुसंगत हल
तथा इष्टतम हल ज्ञात करना सीखेंगे।