1.नियतन समस्या हल करना (To Solve Assignment Problems),इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन (अधिन्यासन) समस्याएँ (Assignment Problems in Optimization Theory):

To Solve Assignment Problems

नियतन समस्या हल करना (To Solve Assignment Problems) के इस आर्टिकल में व्यक्तियों द्वारा अलग-अलग कार्य क्षेत्र से आई न्यूनतम लागत,विक्रेताओं द्वारा अलग-अलग क्षेत्र में इस प्रकार बिक्री करना की अधिकतम आदि पर आधारित समस्याओं को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.नियतन समस्या हल करना पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on To Solve Assignment Problems):

Illustration:16.एक कम्पनी के पास पाँच भिन्न-भिन्न कार्यों को 6 विभिन्न मशीनों को देने की समस्या है।उनकी लागत का अनुमान (सौ रुपयों में) निम्न प्रकार दर्शायी गई है।न्यूनतम लागत हेतु समस्या को हल कीजिए।
(A company is faced with the problem of assigning six different machines to five different jobs.The costs are estimated as follows (in hundreds of rupees) solve the problem assuming that the objective is to minimize the total cost):
मशीन (Machines) कार्य (Jobs)
 
Solution:पद (step):I.समस्या को सन्तुलित करने पर:
सारणी 1

पद (step):II.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर उपर्युक्त मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
पद (step):III.सारणी के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):IV.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ तीसरी पंक्ति ऐसी है।इस पंक्ति के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा पहला और दूसरा स्तम्भ हैं।इन स्तम्भों की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्तियों की अन्य शून्य को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 3 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 3

\begin{array}{c|cccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{Dummy}\\ \hline 1 & 0.5 & \fbox{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} \\ 2 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 0.5 & 1 & 2 & \xcancel{0} \\ 3 &1 & 1.5 & 1 & 2 & 2 & \fbox{0} \\ 4 & 1.5 & 2 & 1 & 3 & 3.5 & \xcancel{0} \\ 5 &2 & 2 & 2 & 3 & 5 & \xcancel{0} \\ 6 &4 & 4 & 4 & 4 & 5 & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):V.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|cccccc|c} & & & & & & (4) & \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{Dummy} \\ \hline 1 & 0.5 \cdots & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots\\ & & & & & & \\ 2 & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 0.5 \cdots & 1 \cdots & 2 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \\ & & & & & & \\ 3 &1 & 1.5 & 1 & 2 & 2 & \fbox{0} & (5) \\ & & & & & & \\ 4 & 1.5 & 2 & 1 & 3 & 3.5 & \xcancel{0} & (1)\\ & & & & & & \\ 5 &2 & 2 & 2 & 3 & 5 & \xcancel{0} & (2) \\ & & & & & & \\ 6 &4 & 4 & 4 & 4 & 5 & \xcancel{0} & (3) \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 3 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 4,5 व 6 को चिन्हित \checkmark कीजिए क्योंकि इनमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 4,5 व 6 के Dummy स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए Dummy स्तम्भ को चिन्हित \checkmark कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ \checkmark Dummy  की पंक्ति 3 में वर्ग (\square) अंकित है,को चिन्हित \checkmark कीजिए।
पद (step):V.अब हम सभी चिन्हित स्तम्भ Dummy  से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 1,2 जिनमें शून्य हैं परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 6×6 है परन्तु रेखाओं की संख्या 3 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VII.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 1 है।इस अवयव (अर्थात् 1) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 5 प्राप्त होती है।अब स्टेप IV के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 5

\begin{array}{c|cccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{Dummy}\\ \hline 1 & 0.5 & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & 1 \\ 2 & \xcancel{0} & \fbox{0} & 0.5 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & \fbox{0} & 0.5 & \xcancel{0} & 1 & 1 & \xcancel{0} \\ 4 & 0.5 & 1 & \fbox{0} & 2 & 2.5 & \xcancel{0} \\ 5 & 1 & 1 & 1 & 2 & 4 & \fbox{0} \\ 6 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):VIII.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप V के अनुसार हंगेरियन विधि से रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 6

\begin{array}{c|cccccc|c} & & & & & & (2) & \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{Dummy} \\ \hline 1 & 0.5 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 1 \\ & & & & & & \vdots \\ 2 & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & 0.5 \cdots & 1 \cdots & 2 \cdots& 1 & \\ & & & & & & \vdots \\ 3 & \fbox{0} \cdots & 0.5 \cdots & \xcancel{0} \cdots & 1 \cdots & 1 \cdots & \xcancel{0} & \\ & & & & & & \vdots \\ 4 & 0.5 \cdots & 1 \cdots & \fbox{0} \cdots & 2 \cdots & 2.5 \cdots & \xcancel{0} & \\ & & & & & & \vdots \\ 5 & 1 & 1 & 1 & 2 & 4 & \fbox{0} & (3) \\ & & & & & & \vdots \\ 6 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & \xcancel{0} & (1) \\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 6×6 है परन्तु रेखाओं की संख्या 5 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता
पद (Step):IX.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 1 है।इस अवयव (अर्थात् 1) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 7 प्राप्त होती है।अब स्टेप IV के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 7

\begin{array}{c|cccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{Dummy}\\ \hline 1 & 0.5 & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & 2 \\ 2 & \xcancel{0} & \fbox{0} & 0.5 & 1 & 2 & 2 \\ 3 & \fbox{0} & 0.5 & \xcancel{0} & 1 & 1 & 1 \\ 4 &0.5 & 1 & \fbox{0} & 2 & 2.5 & 1 \\ 5 & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & 1 & 3 & \xcancel{0} \\ 6 & 2 & 2 & 2 & 2 & 3 & \fbox{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):X.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप V के अनुसार हंगेरियन विधि से रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 8

\begin{array}{c|cccccc|c} & (2) & (3) & (4) & & & (8) & \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{Dummy} \\ \hline 1 & 0.5 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 2 \cdots & \\ & \vdots & \vdots & \vdots & & & \vdots \\ 2 & \xcancel{0} & \fbox{0} & 0.5 & 1 & 2 & 2 & (7) \\ & \vdots & \vdots & \vdots& & & \vdots \\ 3 & \fbox{0} & 0.5 & \xcancel{0} & 1 & 1 & 1 & (6) \\ & \vdots & \vdots & \vdots & & & \vdots \\ 4 &0.5 & 1 & \fbox{0} & 2 & 2.5 & 1 & (8) \\ & \vdots & \vdots & \vdots & & & \vdots \\ 5 & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & 1 & 3 & \xcancel{0} & (1) \\ & \vdots & \vdots & \vdots & & & \vdots \\ 6 & 2 & 2 & 2 & 2 & 3 & \fbox{0} & (9) \\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 6×6 है परन्तु रेखाओं की संख्या 5 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता
पद (Step):XI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 1 है।इस अवयव (अर्थात् 1) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 9 प्राप्त होती है।अब स्टेप IV के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 9

\begin{array}{c|cccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{Dummy}\\ \hline 1 & 1.5 & 0 & \xcancel{0} & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 0 & 0.5 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 0.5 & \xcancel{0} & 0 & 0 & 1 \\ 4 & 0.5 & 1 & \fbox{0} & 1 & 1.5 & 1 \\ 5 & 0 & 0 & \xcancel{0} & 0 & 2 & \xcancel{0} \\ 6 & 2 & 1 & 1 & 1 & 2 & \fbox{0} \\ \hline \end{array}
XII:अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप V के अनुसार हंगेरियन विधि से रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 10

\begin{array}{c|cccccc|c} & (9) & (5) & (6) & (7) & (8) & (10) & \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{Dummy} \\ \hline 1 & 1.5 & 0 & \xcancel{0} & 0 & 0 & 3 & (1) \\ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 2 & 0 & 0 & 0.5 & 0 & 1 & 2 & (2) \\ & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots \\ 3 & 0 & 0.5 & \xcancel{0} & 0 & 0 & 1 & (3) \\ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 4 & 0.5 & 1 & \fbox{0} & 1 & 1.5 & 1 & (11) \\ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 5 & 0 & 0 & \xcancel{0} & 0 & 2 & \xcancel{0} & (4) \\ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 6 & 2 & 1 & 1 & 1 & 2 & \fbox{0} & \\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 6×6 है तथा रेखाओं की संख्या भी 6 है अतः इससे इष्टतम हल प्राप्त होगा।सारणी 10 का शून्य निर्दिष्टीकरण trial and error विधि से निम्न दो प्रकार से कर सकते हैं।
सारणी 11

\begin{array}{c|cccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{Dummy}\\ \hline 1 & 1.5 & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & 3 \\2 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 0.5 & \xcancel{0} & 1 & 2 \\3 & \xcancel{0} & 0.5 & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \fbox{0} & 1 \\ 4 & 0.5 & 1 & \fbox{0} & 1 & 1.5 & 1 \\ 5 & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & 2 & \xcancel{0} \\ 6 & 2 & 1 & 1 & 1 & 2 & \fbox{0} \\ \hline \end{array}
सारणी 12

\begin{array}{c|cccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{Dummy}\\ \hline 1 & 1.5 & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & 3 \\ 2 & \xcancel{0} & \fbox{0} & 0.5 & \xcancel{0} & 1 & 2 \\ 3 & \xcancel{0} & 0.5 & \xcancel{0} & \xcancel{0} & 0 & 1 \\ 4 & 0.5 & 1 & \fbox{0} & 1 & 1.5 & 1 \\ 5 & \fbox{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 1 & 1 & 1 & 2 & \fbox{0} \\ \hline \end{array}
अतः सारणी 11 व 12 से निम्न इष्टतम हल प्राप्त होता है:
(i) 1 \rightarrow 4,2 \rightarrow 1,3 \rightarrow 5,4 \rightarrow 3,5 \rightarrow 2,6 \rightarrow Dummy तथा
(ii) 1 \rightarrow 4,2 \rightarrow 2,3 \rightarrow 5, 4 \rightarrow 3,5 \rightarrow 1,6 \rightarrow Dummy
न्यूनतम लागत (Min. Cost):(i).6×100+2×100+3×100+2×100+7×100=2000 रुपये
(ii).6×100+5×100+3×100+2×100+4×100=2000 रुपये

To Solve Assignment Problems

Illustration:17.एक कम्पनी के पास पाँच कार्य सम्पन्न करने हेतु हैं।iवीं मशीन (i=1,2,….,5) को jवाँ कार्य (j=1,….,5) निर्दिष्ट करने पर राजस्व की मैट्रिक्स निम्नानुसार है।पाँचों मशीनों को पाँच कार्य निर्दिष्ट कीजिए कि कुल राजस्व अधिकतम हो।
(A company has 5 jobs to be done.The following matrix shows the return in Rs. of assigning ith (i=1,…,5) machine to the jth job (j=1,….,5) assign the five jobs to the five machines so as to maximize the total return.)
 
Solution:समस्या को अधिकतम करने को,न्यूनतम में परिवर्तित करने के लिए मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव को -1 से गुणा करने पर
सारणी 1

पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर पंक्ति समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):II.सारणी के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 3

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली और चौथी पंक्ति ऐसी है।इन पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square)  से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा दूसरा स्तम्भ हैं।इस स्तम्भ की शून्य को वर्ग (\square)  से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्ति की अन्य शून्यों को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 4 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|ccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline A & 3 & 1 & 2 & \fbox{0} & 7 \\ B & \fbox{0} & 2 & \xcancel{0} & 3 & \xcancel{0} \\ C& 7 & 2 & 9 & \xcancel{0} & 7 \\ D & 4 & \fbox{0} & 10 & 3 & 6 \\ E &1 & 3 & 4 & \xcancel{0} & 6 \\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 5

\begin{array}{c|ccccc|c} & & (6) & & (5) & & \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \\ \hline A & 3 & 1 & 2 & \fbox{0} & 7 & (7) \\ & & \vdots & & \vdots & & \\ B & \fbox{0} \cdots & 2 \cdots & \xcancel{0} \cdots & 3 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \\ & & \vdots & & \vdots & & \\ C& 7 & 2 & 9 & \xcancel{0} & 7 &(1) \\ & & \vdots & & \vdots & & \\ D & 4 & \fbox{0} & 10 & 3 & 6 & (2)\\ & & \vdots & & \vdots & & \\ E & 1 & 3 & 4 & \xcancel{0} & 6 &(3) \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 4 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 3,4,5 को चिन्हित \checkmark कीजिए क्योंकि इसमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 3,4,5 के 2,4वें स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए स्तम्भ 2,4 को चिन्हित \checkmark कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ \checkmark 4 की पंक्ति 1 में वर्ग (\square)  अंकित है,को चिन्हित \checkmark कीजिए।
पद (step):V.अब हम सभी चिन्हित स्तम्भ 2,4 से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 2 जिसमें शून्य है परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 5×5 है परन्तु रेखाओं की संख्या 3 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है का न्यूनतम अवयव 1 है।इस अवयव (अर्थात् 1) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 6 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 6

\begin{array}{c|ccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline A & 2 & 1 & 1 & \fbox{0} & 6 \\ B & \xcancel{0} & 3 & \fbox{0} & 4 & \xcancel{0} \\ C & 6 & 2 & 8 & \xcancel{0} & 6 \\ D & 3 & \fbox{0} & 9 & 3 & 5 \\ E & \fbox{0} & 3 & 3 & \xcancel{0} & 5 \\ \hline \end{array}
पद (step):VII.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप IV के अनुसार हंगेरियन विधि से रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 7

\begin{array}{c|ccccc|c} & & & & (2) & & \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \\ \hline A & 2 & 1 & 1 & \fbox{0} & 6 & (3) \\ & & & & \vdots & & \\ B & \xcancel{0} \cdots & 3 \cdots & \fbox{0} \cdots & 4 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \\ & & & & \vdots & & \\ C & 6 & 2 & 8 & \xcancel{0} & 6 &(1) \\ & & & & \vdots & & \\ D & 3 \cdots & \fbox{0} \cdots & 9\cdots & 3 \cdots & 5 \cdots & \\ & & & & \vdots & & \\ E & \fbox{0} \cdots & 3 \cdots & 3 \cdots & \xcancel{0} \cdots & 5 \cdots & \\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 5×5 है परन्तु रेखाओं की संख्या 4 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता
पद (step):VIII.अब उन सभी अवयवों को जो रेखाओं से ढके नहीं हैं,का न्यूनतम अवयव 1 है।इस अवयव (अर्थात् 1) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 8 प्राप्त होती है।
अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए:
सारणी 8

\begin{array}{c|ccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline A & 1 & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & 5 \\ B & \xcancel{0} & 3 & \xcancel{0} & 5 & \fbox{0} \\ C & 5 & 1 & 7 & \fbox{0} & 5 \\ D & 3 & \fbox{0} & 9 & 4 & 5 \\ E & \fbox{0} & 3 & 3 & 1 & 5 \\ \hline \end{array}
सारणी 8 में प्रत्येक पंक्ति तथा प्रत्येक स्तम्भ में नियतन है।अर्थात् पूर्ण शून्य निर्दिष्टीकरण निम्न अनुसार प्राप्त होता है:

A \rightarrow 3, B \rightarrow 5, C \rightarrow 4, D \rightarrow 2, E \rightarrow 1
कुल लाभ=10+5+14+14+7=50
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा नियतन समस्या हल करना (To Solve Assignment Problems),इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन (अधिन्यासन) समस्याएँ (Assignment Problems in Optimization Theory) को समझ सकते हैं।

To Solve Assignment Problems

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3.नियतन समस्या हल करना (Frequently Asked Questions Related To Solve Assignment Problems),इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन (अधिन्यासन) समस्याएँ (Assignment Problems in Optimization Theory) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

नियतन समस्या हल करना (To Solve Assignment Problems) के इस आर्टिकल में व्यक्तियों
द्वारा अलग-अलग कार्य क्षेत्र से आई न्यूनतम लागत,विक्रेताओं द्वारा अलग-अलग क्षेत्र में इस प्रकार
बिक्री करना की अधिकतम आदि पर आधारित समस्याओं को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।