1.बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (To Find Asymptotes of Algebraic Curves),बीजीय अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करें? (How to Find Asymptotes Algebraically?):

To Find Asymptotes of Algebraic Curves

बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने (To Find Asymptotes of Algebraic Curves) की कई विधियाँ हैं।यदि एक सरल रेखा जो मूलबिन्दु से परिमित (Finite) दूरी पर स्थित हो तथा जिसकी ओर वक्र की एक स्पर्श रेखा (Tangent) प्रवृत्त हो (approaches) जबकि सम्पर्क बिन्दु (point of contact) की दूरी मूलबिन्दु के अनन्त (infinity) की ओर अग्रसर होती हो,उस सरल रेखा को वक्र की अनन्तस्पर्शी कहते हैं।
वक्र y=f(x) की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना [To Find the Asymptotes of the Curves y=f(x)]
दिया हुआ वक्र का समीकरण y=f(x) है।
बिन्दु (x,y) पर स्पर्शरेखा का समीकरण होगा

Y-y=\frac{d y}{d x}(X-x) \\ \Rightarrow Y=\frac{d y}{d x} X+\left(y-x \frac{d y}{d x}\right) \ldots(1)
यदि हम यहाँ मान लें कि अनन्तस्पर्शियाँ जो y-अक्ष के समान्तर है उनको छोड़ दिया गया है अर्थात् जब x \rightarrow \infty तो \frac{d y}{d x} अनन्त की ओर प्रवृत्त नहीं होता है तो (1) को y=f(x) की अनन्तस्पर्शी होने के लिए जब x \rightarrow \infty तब \frac{d y}{d x}  तथा y-x\left(\frac{d y}{d x}\right) दोनों की सीमाएँ परिमित (Finite) होनी चाहिए।
मान लिया \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{d y}{d x}=m तथा \lim _{x \rightarrow \infty}\left(y-x \frac{d y}{d x}\right)=c
अतः यदि ये सीमाएँ विद्यमान (exist) होती हैं तो अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगाः
Y=mX+c  ….. (2)
पुनः \lim _{x \rightarrow \infty}\left(y-x \frac{d y}{d x}\right)=c \\ \lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{y}{x}-\frac{d y}{d x}\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{c}{x} \\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{y}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{d y}{d x}+c \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \\ =m+0=m
अतः अनन्तस्पर्शी का ढाल m=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{y}{x}
बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ (Asymptotes of Algebraic Curves)
व्यापक बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शी (The Asymptotes of the General Algebraic Curves):
माना कि वक्र का समीकरण निम्न हैः

a_0 y^n+a_1 y^{n-1} x+a_2 y^{n-2} x^2+\cdots+a_{n-1} y x^{n-1}+a_n x^n+b_1 \cdot y^{n-1}+b_2 y^{n-2} x+\cdots+b_{n-1} y^{n-2}+b_n x^{n-1} +c_2 y^{n-2}+c_3 y^{n-3} \cdot x+\cdots+\cdots=0 \cdots(1)
इस समीकरण को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैंः

x^n \phi_{n} \left(\frac{y}{x}\right)+x^{n-1} \phi_{n-1}\left(\frac{y}{x}\right)+x^{n-2} \phi_{n-2} \left(\frac{y}{x}\right)+\cdots=0 \cdots(2)
जहाँ \phi_{r}\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \frac{y}{x} में r कोटि का \frac{y}{x}  का व्यंजक है।
समीकरण (2) को x^n से भाग देने परः

\phi_n\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{x} \phi_{n-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{x^2} \phi_{n-2}\left(\frac{y}{ x}\right)+\cdots=0 \cdots(3)
अब उस स्थिति को छोड़कर जिसमें अनन्तस्पर्शी y-अक्ष के समान्तर है अर्थात् जिस स्थिति में \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow \infty,(3) की x \rightarrow \infty  सीमा लेने पर

\phi_{n}(m)=0 \cdots(4)
जहाँ m=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{y}{x}\right)
समीकरण (4),m में n घात का समीकरण है, अतः इससे m के n मान प्राप्त हो सकते हैं जो कि वास्तविक (Real),काल्पनिक (imaginary) या संपाती (coincident) हो सकते हैं।
अब (3) का x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\left[\phi_n^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{x} \phi^{\prime}_{n-1}\left(\frac{y}{x}\right)+ \cdots \right]\left[\frac{x \frac{d y}{d x}-y}{x^2}\right] -\frac{1}{x^2} \phi_{n-1} \cdot\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{x^3} \phi_{n-2}\left(\frac{y}{x}\right)-\cdots=0
दोनों पक्षों को x^{2} से गुणा कर सीमा x \rightarrow \infty लेने परः
\left\{\phi_n^{\prime}(m)+0\right\}(-c)-\phi_{n-1}(m)=0 \\ \left[\because \lim_{x \rightarrow \infty}=m \text { तथा } \lim _{x \rightarrow \infty}\left(y-x \frac{d y}{d x}\right)=c\right] \\ \Rightarrow c \phi_n^{\prime}(m)+\phi_{n-1}(m)=0 \\ \Rightarrow c=-\frac{\phi_{n-1}(m)}{\phi^{\prime}_n(m)} \ldots(5)
जिससे प्रत्येक m के मान के संगत c का मान प्राप्त होता है।
अतः (4) से m का तथा (5) से संगत c के प्राप्त मानों के लिए अनन्तस्पर्शी का समीकरण होगा
y=mx+c
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2.बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना के साधित उदाहरण (To Find Asymptotes of Algebraic Curves Solved Examples):

निम्न वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the asymptotes of the following curves):
Example:1. y^3-x^2 y+2 y^2+4 y+x=0
Solution: y^3-x^2 y+2 y^2+4 y+x=0 \ldots(1)
x के उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः
y=0
जो कि y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी है।
अब x=1 तथा y=m तृतीय घात के पदों में रखने परः

\phi_3(m)=m^3-m \\ \phi^{\prime}_3(m)=3m^{2}-1 \\ \phi^{\prime}_3(x)=0 रखने परः

m^{3}-m=0 \\ \Rightarrow m\left(m^{2}-1\right)=0 \\ m=0,1,-1
तीनों पृथक हैं।
पुनः (1) के द्वितीय घात के पदों में x=1 तथा y=m  रखने परः

\phi_2(m)=2 m^2
अब c का मान निम्न से प्राप्त होता हैः

जब m=0 तब c=-\frac{2 \times 0^2}{3(0)^2-1}=0
जब m=1 तब c=-\frac{2(1)^2}{3(1)^2-1}=-\frac{2}{3-1} \\ \Rightarrow c=-1
जब m=-1 तब c=-\frac{2 \times (-1)^2}{3(-1)^2-1}=-1
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ
y=0,y=x-1,y=-x-1
Example:2. x^3+3 x^2 y+x y^2-3 y^3+x^2-2 x y+3 y^2+4 x+7=0
Solution: x^3+3 x^2 y+x y^2-3 y^3+x^2-2 x y+3 y^2+4 x+7=0 \cdots(1)
अब x=1 तथा y=m तृतीय घात के पदों में रखने परः

\phi_3(m)=1+3 m-2 m^2-3 m^2 \\ \phi_3^{\prime}(m)=3-2 m-9 m^2 \\ \phi_3(m)=0 अब रखने परः

1+3 m-m^2-3 m^3=0 \\ \Rightarrow 3 m^3+m^2-3 m-1=0 \\ \Rightarrow 3 m^3-3 m^2+4 m^2-4 m+m-1=0 \\ \Rightarrow 3 m^2(m-1)+4 m(m-1)+1(m-1)=0 \\ \Rightarrow(m-1)\left(3 m^2+4 m+1\right)=0 \\ \Rightarrow(m-1)\left[3 m^2+3 m+m+1\right]=0 \\ \Rightarrow(m-1)[3 m(m+1)+1(m+1)]=0 \\ \Rightarrow(m-1)(m+1)(3 m+1)=0 \\ \Rightarrow m=-\frac{1}{3},-1,1
तीनों पृथक हैं।
पुनः (1) के द्वितीय घात के पदों में x=1 तथा y=m रखने परः

\phi_2(m)=1-2 m+3 m^2
अब c का मान निम्न से प्राप्त करते हैंः

c=-\frac{\phi_2(m)}{\phi_3^{\prime}(m)} \\ \Rightarrow C=-\frac{\left(1-2 m+3 m^2\right)}{3-2 m-9 m^2}
जब m=-\frac{1}{3} तब c=\frac{-\left[1-2 \times -\frac{1}{3}+3(-\frac{1}{3})^2\right]}{3-2 \times -\frac{1}{3}-9(-\frac{1}{3})^2} \\ =-\frac{\left(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{9}\right)}{\left(3+\frac{2}{3}-\frac{9}{9}\right)} \\ =\frac{-\left(\frac{9+6+3}{9}\right)}{\left(\frac{27+6-9}{9}\right)} \\=-\frac{18}{24} \\ \Rightarrow c=-\frac{3}{4}
जब m=-1 तब c =-\frac{\left(1-2 \times -1+3 \times(-1)^2\right)}{3-2 \times-1-9(-1)^2} \\ =-\frac{(1+2+3)}{3+2-9} \\ =-\frac{6}{(-4)} \\ \Rightarrow c =\frac{3}{2}
जब m=1 तब c=\frac{-\left(1-2 \times 1+3(1)^2\right)}{3+2 \times 1-9(1)^2} \\ =-\frac{(1-2+3)}{3-2-9} \\ =-\frac{2}{-8} \Rightarrow c=\frac{1}{4}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ होंगीः

y=-\frac{1}{3} x-\frac{3}{4} \Rightarrow 4 x+12 y+9=0 \\ y=-x+\frac{3}{2} \Rightarrow 2 x+2 y=3 \\ y=x+\frac{1}{4} \Rightarrow 4 x-4 y+1=0
Example:3. y^3=x^3+a x^2
Solution: y^3=x^3+a x^2 \\ y^3-x^3-4 x^2=0
दिए हुए वक्र के समीकरण में y=mx+c रखने परः

(m x+c)^3-x^3-a x^2=0 \\ \Rightarrow m^3 x^3+3 m^2 x^2 c+3 m x c^2+c^3-x^3-a x^2=0 \\ \Rightarrow x^3\left(m^3-1\right)+x^2\left(3 m^2c-a\right)+3 m x c^2+c^3=0 \\ x^{3} तथा x^{2} के गुणांकों को शून्य के बराबर रखने परः
m^3-1=0 तथा 3 m^2 c-a=0 \\ (m-1)\left(m^2+m+1\right)=0
m=1 तथा m=\frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4 \times 1 \times 1}}{2} \\ m=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} (जो कि काल्पनिक है)

3 m^2 c-a=0 \Rightarrow c=\frac{a}{3 m^2}
जब m=1 \Rightarrow c=\frac{a}{3(1)^2}=\frac{a}{3}
यह m और c का मान y=mx+c में रखने पर हमें अभीष्ट अनन्तस्पर्शी प्राप्त होती हैः

y=x+\frac{a}{3}
Example:4. 3 x^3+2 x^2 y^2-7 x y^2+2 y^3-14xy+7 y^2+4 x+5 y=0
Solution: 3 x^3+2 x^2 y^2-7 x y^2+2 y^3-14xy+7 y^2+4 x+5 y=0 \cdots(1)
यहाँ x तथा y की उच्चतम घात के गुणांक अचर है।अतः अक्षों के समान्तर कोई अनन्तस्पर्शियाँ नहीं है।
अब x=1 तथा y=m तृतीय घातों के पदों में रखने परः

\phi_3(m)=3+2 m-7 m^2+2 m^3 \\ \phi_3^{\prime}(m)=2-14 m+6 m^2
अब \phi_3(m)=0 रखने परः

3+2 m-7 m^2+2 m^3=0 \\ \Rightarrow 2 m^3-7 m^2+2 m+3=0 \Rightarrow 2 m^3-2 m^2-5 m^2+5 m-3 m+3=0 \\ \Rightarrow 2 m^2(m-1)-5 m(m-1)-3(m-1)=0 \\ \Rightarrow(m-1)\left(2 m^2-5 m-3\right)=0 \\ \Rightarrow(m-1)\left[2 m^2-6 m+m-3\right]=0 \\ \Rightarrow(m-1)[2 m(m-3)+1(m-3)]=0 \\ \Rightarrow(m-1)(m-3)(2 m+1)=0 \\ \Rightarrow m=-\frac{1}{2},1,3
तीनों पृथक हैं।
पुनः (1) के द्वितीय घात के पदों में x=1 तथा y=m रखने परः

\phi_2(m)=-14 m+7 m^2
अब c का मान निम्न से प्राप्त करते हैंः

c=-\frac{\phi_2(m)}{\phi_3^{\prime}(m)} \\ \Rightarrow c =-\frac{\left(7 m^2-14 m\right)}{\left(6 m^2-14 m+2\right)}
जब m=-\frac{1}{2} तब c=-\frac{\left(7 \times(-\frac{1}{2})^2-14 \times-\frac{1}{2}\right)}{\left(6 \times(-\frac{1}{2})^2-14 \times-\frac{1}{2}+2\right)} \\=\frac{-\left(\frac{7}{4}+7\right)}{\left(\frac{3}{2}+7+2\right)} \\ =\frac{-\frac{35}{4}}{frac{21}{2}} \\ =-\frac{35}{42} \\ \Rightarrow c=-\frac{5}{6}
जब m=1 तब c=-\frac{\left(7 \times 1^2-14 \times 1\right)}{\left(6 \times 1^2-14 \times 1+2\right)} \\=-\frac{(7-14)}{(6-14+2)} \\=\frac{7}{-6} \\ c=-\frac{7}{6}
जब m=3 तब c =-\frac{\left(7 \times 3^2-14 \times 3\right)}{\left(6 \times 3^2-14 \times 3+2\right)} \\ =-\frac{(63-42)}{(54-42+2)} \\ =-\frac{21}{14} \\ \Rightarrow c =-\frac{3}{2}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ y=mx+c में मान रखने पर प्राप्त होगीः

To Find Asymptotes of Algebraic Curves

Example:5. x^3-2 y^3+x y(2 x-y)+y(x-y)+1=0
Solution: x^3+2 y^3+x y(2 x-y)+y(x-y)+1=0 \\ \Rightarrow x^3-2 y^3+2 x^2 y-x y^2+x y-y^2+1=0
दिए हुए वक्र के समीकरण में y=mx+c रखने परः

x^3-2\left(m x+c\right)^3+2 x^2(m x+c)-x\left(m x+c\right)^2 +x(m x+c)-(m x+c)^2+1=0 \\ \Rightarrow x^3-2\left(m^3 x^2+3 m^2 x^2 c+3 m x^2+c^3\right) +2 m x^3+2 c x^2-x\left(m^2 x^2+2 m xc+c^2\right) +m x^2+c x-\left(m^2 x^2+2 m x c+c^2\right)+1=0 \\ \Rightarrow x^3-2 m^3 x^3-6 m^2 x^2 c-6 m x c^2-2 c^3 +2 m^3+2cx^2-m^2 x^3+2 m x^2-c^2 x +m x^2+c x-m^2 x^2-2 m x c-c^2+1=0 \\ \Rightarrow x^3\left(1-2 m^3+2 m-m^2\right)+x^2\left(-6 m^2 c+2 c-2 m c+m-m^2\right)+x\left(-6 m c^2-c^2+c-2m c\right)-2 c^3-c^2+1=0
तथा के गुणांकों को शून्य के बराबर रखने परः
1-2 m^3+2 m-m^2=0 तथा -6 m^2 c+2 c-2 m c +m-m^2=0 \\ \Rightarrow 2 m^3+m^2-2 m-1=0 \\ \Rightarrow 2 m^3-2 m^2+3 m^2-3 m+m-1=0 \\ \Rightarrow 2 m^2(m-1)+3 m(m-1)+1(m-1)=0 \\ \Rightarrow(m-1)\left(2 m^2+3 m+1\right)=0 \\ \Rightarrow(m-1)\left(2 m^2+2 m+m+1\right)=0 \\ \Rightarrow(m-1)[2 m(m+1)+1(m+1)]=0 \\ \Rightarrow(m-1)(m+1)(m+1)=0 \\ \Rightarrow m=-\frac{1}{2},-1,1
जो कि सब अलग-अलग हैं।

6 m^2 c+2 m c-2 c=-\left(m^2-m\right) \\ \Rightarrow c\left(6 m^2+2 m-2\right)=-\left(m^2-m\right) \\ \Rightarrow c=-\frac{\left(m^2-m\right)}{6 m^2+2 m-2}
जब m=-\frac{1}{2} तब c=-\frac{\left[(-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}\right]}{6(-\frac{1}{2})^2+2 \times-\frac{1}{2}-2} \\ =-\frac{(\frac{1}{4}+\frac{1}{2})}{\frac{6}{4}-1-2} \\ =\frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{6}{4}} \\ \Rightarrow c=\frac{1}{2}
जब m=-1 तब c=-\frac{\left[(-1)^2+1\right]}{6(-1)^2+2 \times-1-2} \\ \Rightarrow c=\frac{-2}{2}=-1
जब m=1 तब c=-\frac{\left[(1)^2-(1)\right]}{6\left(1\right)^2-2 \times 1-2} \\ \Rightarrow c=0
ये m तथा c के मान y=mx+c में रखने पर हमें निम्न अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ प्राप्त होती हैंः

y=-\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \Rightarrow x+2 y=1 \\ y=-x-1 \Rightarrow x+y+1=0 \\ y=x \Rightarrow x-y=0
Example:6. x^4-5 x^2 y^2+4 y^4+x^2-y^2+x+y+1=0
Solution: x^4-5 x^2 y^2+4 y^4+x^2-y^2+x+y+1=0 \cdots(1)
यहाँ x तथा y की उच्चतम घात के गुणांक अचर हैं।अतः अक्षों के समान्तर कोई अनन्तस्पर्शी नहीं है।
अब x=1 तथा y=m चतुर्थ घातों के पदों में रखने परः

\phi_{4}(m)=1-5 m^2+4 m^4 \\ \phi_4^{\prime}(m)=-10 m+16 m^3
अब \phi_{4}(m)=0 रखने परः

1-5 m^2+4 m^4=0 \\ \Rightarrow 4 m^4-4 m^2-m^2+1=0 \\ \Rightarrow 4 m^2\left(m^2-1\right)-1\left(m^2-1\right)=0 \\ \Rightarrow \left(4 m^2-1\right)\left(m^2-1\right)=0 \\ \Rightarrow m=\pm \frac{1}{2} , \pm 1
चारों पृथक हैं।
पुनः (1) के तृतीय घात पदों में x=1 तथा y=m रखने पर (अनुपस्थित है) अतः

\phi_{3}(m)=0
अब c का मान निम्न से प्राप्त करते हैः

c=-\frac{\phi_{3}(m)}{\phi^{\prime}_{4}(m)} \\ c=-\frac{0}{16 m^3-10 m} \\ \Rightarrow c=0
जब m=-\frac{1}{2} तब c=0
जब m=-1 तब c=0
जब m=\frac{1}{2} तब c=0
जब m=1 तब c=0
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ होंगी (y=mx+c में मान रखने पर)

y=-\frac{1}{2} x, y=\frac{1}{2} x \Rightarrow y=\pm \frac{1}{2} x \\ y=-x, y=x \Rightarrow y=\pm x
Example:7. x^3+3 x^2 y-4 y^3-x+y+3=0
Solution: x^3+3 x^2 y-4 y^3-x+y+3=0 \quad \cdots(1)
यहाँ x तथा y की उच्चतम घात के गुणांक अचर हैं। अतः अक्षों के समान्तर कोई अनन्तस्पर्शियाँ नहीं हैं।
अब x=1 तथा y=m तृतीय घातों के पदों में रखने परः

\phi_3(m)=1+3 m-4 m^3 \\ \phi_3^{\prime}(m)=3-12 m^2
अब \phi_3(m)=0 रखने परः

1+3 m-4 m^3=0 \Rightarrow 4 m^3-3 m-1=0 \\ \Rightarrow 4 m^3-4 m^2+4 m^2-4 m+m-1=0 \\ \Rightarrow 4 m^2(m-1)+4 m(m-1)+1(m-1)=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left(4 m^2+4 m+1\right)=0 \\ \Rightarrow (m-1)(2 m+1)^2=0 \\ \Rightarrow m=-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1
द्वितीय घात के पद अनुपस्थित हैं अतः

\phi_2(m)=0
अब प्रथम घात के पदों में x=1,y=m रखने परः

\phi_1(m)=m-1 \\ \phi_3^{\prime \prime}(m)=-24 m
जब m=1 तब c=-\frac{\phi_2(m)}{\phi^{\prime}_3(m)} \\ =-\frac{0}{3-12 m^2} \\ \Rightarrow c =0
जब m=-\frac{1}{2},-\frac{1}{2} तब

\frac{1}{2!} c^2 \phi_3^{\prime \prime}(m)+c \phi_2^{\prime}(m)+\phi_1(m)=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} c^2 \times(-24 m)+c(0)+m-1=0 \\ \Rightarrow -12 m c^2+m-1=0 \\ m=-\frac{1}{2} रखने परः

-12(-\frac{1}{2}) c^2-\frac{1}{2}-1=0 \\ \Rightarrow 6 c^2-\frac{3}{2}=0 \\ \Rightarrow 6 c^2=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow c^2=\frac{1}{4} \Rightarrow c=\pm \frac{1}{2}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ y=mx+c में मान रखने पर प्राप्त होंगीः

y=x \\ y=-\frac{1}{2} x \pm \frac{1}{2} \Rightarrow x+2 y=\pm 1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (To Find Asymptotes of Algebraic Curves),बीजीय अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करें? (How to Find Asymptotes Algebraically?) को समझ सकते हैं।

3.बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना पर आधारित सवाल (Questions Based on To Find Asymptotes of Algebraic Curves):

To Find Asymptotes of Algebraic Curves

निम्न वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the asymptotes of the following curves):

(1.)x^3+2 x^2 y-x y^2-2 y^3+x y-y^2-1=0
(2.)x^3+2 x^2 y-x y^2-2 y^3+2 x y+y-1=0
(3) y^3-6 x y^2+11 x^2 y-6 x^3+x+y=0
उत्तर (Answers):(1.) y=x, x+y+1=0, 2y+x+1=0
(2.)y=x+1,y=-x+1, x+2y=0
(3.)y=x, y=2x, y=3x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (To Find Asymptotes of Algebraic Curves),बीजीय अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करें? (How to Find Asymptotes Algebraically) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (Frequently Asked Questions Related to To Find Asymptotes of Algebraic Curves),बीजीय अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करें? (How to Find Asymptotes Algebraically?) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने (To Find Asymptotes of Algebraic Curves) की
कई विधियाँ हैं।यदि एक सरल रेखा जो मूलबिन्दु से परिमित (Finite) दूरी पर स्थित हो तथा