Theory of Simplex Method in LPP
1.रैखिक प्रोग्रामन समस्या में सिम्पलैक्स विधि सिद्धान्त (Theory of Simplex Method in LPP),सिम्पलैक्स विधि सिद्धान्त (Theory of Simplex Method):
रैखिक प्रोग्रामन समस्या में सिम्पलैक्स विधि सिद्धान्त (Theory of Simplex Method in LPP) के इस आर्टिकल में आधारी सुसंगत हल,समस्या का इष्टतम हल आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.रैखिक प्रोग्रामन समस्या में सिम्पलैक्स विधि सिद्धान्त के साधित उदाहरण (Theory of Simplex Method in LPP Solved Illustrations):
Illustration:1.यदि x_1=2, x_2=1, x_3=2, x_4=2, x_5=1 निम्न समीकरण निकाय का सुसंगत हल हो तो इस सुसंगत हल को दो भिन्न आधारी हलों में समानयन करिए।
2 x_1-3 x_2+4 x_3+6 x_4=21 \\ x_1+2 x_2+3 x_3-3 x_4+5 x_5=9
(If x_1=2, x_2=1, x_3=2, x_4=2, x_5=1 is a feasible solution of the system of equation. 2 x_1-3 x_2+4 x_3+6 x_4=21 \\ x_1+2 x_2+3 x_3-3 x_4+5 x_5=9 Reduce this feasible solution to two different basic feasible solution.)
Solution:यहाँ m=2 तथा n=5
अतः आधारी हल (n-m=5-2=3) चरों को बारी-बारी से शून्य रखने पर प्राप्त होंगे।हम सर्वप्रथम x_1=x_2 =x_3=0 लेते हैं:
B=\left[\begin{array}{cc} 6 & 0 \\ -3 & 5 \end{array}\right] \Rightarrow|B|=30 \neq 0 \\ \operatorname{adj} B=\left[\begin{array}{ll} 5 & 3 \\ 0 & 6 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 5 & 0 \\ 3 & 6 \end{array}\right] \\ B^{-1}=\frac{1}{|B|} \text { adj } B \\ \\ \Rightarrow B^{-1}=\frac{1}{30} \left[\begin{array}{ll} 5 & 0 \\ 3 & 6 \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{l} x_4 \\ x_5 \end{array}\right]=B^{-1} b \\=\frac{1}{30}\left[\begin{array}{ll} 5 & 0 \\ 3 & 6 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} 21 \\ 9 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{30}\left[\begin{array}{l} 105 \\ 63+54 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{30}\left[\begin{array}{l} 105 \\ 117 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll} \frac{105}{30} \\ \frac{117}{30} \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x_4 \\ x_5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \frac{7}{2} \\ \frac{39}{10} \end{array}\right] \\ x_4=\frac{7}{2}, x_5=\frac{39}{10}
अतः आधारी सुसंगत हल x_1=x_2=x_3=0, x_4=\frac{7}{2} ,x_5=\frac{39}{10}
अब x_1=x_2=x_5=0 लेते हैं
B=\left[\begin{array}{cc} 4 & 6 \\ 3 & -3 \end{array}\right],|B|=-12-18=-30 \\ \text { adj } B= \left[\begin{array}{cc} -3 & -3 \\ -6 & 4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -3 & -6 \\ -3 & 4 \end{array}\right] \\ B=\frac{1}{|B|} \text { adj } B \\ =\frac{1}{-30}\left[\begin{array}{cc} -3 & -6 \\ -3 & 4 \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{l} x_3 \\ x_4 \end{array}\right]=B^{-1} b \\ =\frac{1}{-30} \left[\begin{array}{ll} -3 & -6 \\ -3 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 21 \\ 9 \end{array}\right] \\=-\frac{1}{30} \left[\begin{array}{l} -63-54 \\ -63+36 \end{array}\right] \\ =-\frac{1}{30}\left[\begin{array}{l} -117 \\ -27 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{l} \frac{-117}{-30} \\ \frac{-27}{-30}\end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x_3 \\ x_4 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{l} \frac{39}{10} \\ \frac{9}{10} \end{array}\right] \\ x_3=\frac{39}{10}, x_4=\frac{9}{10}
अतः आधरी सुसंगत हल: x_1=x_2=x_5=0,x_3=\frac{39}{10}, x_4=\frac{9}{10}
Illustration:7.सिद्ध कीजिए कि निम्न रैखिक समस्या का अपरिबद्ध हल है
(Show that the following L. P. P. has unbounded solution) :
अधिकतम (max.) Z=2 x_1+x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) x_1+x_2+x_3=10 \\ 2 x_1-x_2+x_4=40
तथा (and) x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0
Solution:मैट्रिक्स रूप में इस समस्या को निम्न प्रकार लिख सकते हैं:
अधिकतम (max.) Z=CX
s.t. AX=b, X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4\right)
तथा b=\left[\begin{array}{l} 10 \\ 40 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right], c=\left(\begin{array}{llll} 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)
इस समस्या का एक आधारी हल ज्ञात करने हेतु माना कि B=\left(\alpha_3 \alpha_4\right)=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left(B_1 B_2\right) एक आधार है और इसके संगत आधारी हल X_B है तो
X_B=B^{-1} b \\ \Rightarrow |B|=1 \\ \text{adj } B=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \\ B^{-1}=\frac{1}{1}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l} X_{B1} \\ X_{B2} \end{array}\right] =\frac{1}{1} \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 10 \\ 40 \end{array}\right] \\= \left[\begin{array}{c} 10 \\ 40 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x_3 \\ x_4 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{l} 10 \\ 40 \end{array}\right] \\ \Rightarrow x_2 =10, x_4=40
तब y_2=B^{-1} \alpha_2 \\ =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{l} 1 \\ -1 \end{array}\right] \\ \therefore y_{12} =1, y_{22}=-1
(एक ऋणात्मक है)
पुनः Z_2 =C_{B 1} y_{12}+C_{B2} y_{22} \\ =C_3 y_{12}+C_4 y_{22} \\ =0(1)+(0)(-1)=0 \\ \therefore Z_2-C_2 =0-1=-1<0
अतः हम देखते हैं कि j=2 के लिए Z_j-C_j<0 तथा इस j=2 के लिए y_{ij}<0 \forall i
अतः प्रदत्त समस्या का हल अपरिबद्ध है।
Illustration:8.निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को मानक रूप में व्यक्त कीजिए।
(Write down the following L. P. P. in standard matrix form):
निम्नतम कीजिए (minimize) Z=x_1-2 x_2+x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) x_1+2x_2 \leq 5 \\ 2 x_1-x_2+x_1 \geq 4 \\ 3 x_1-5 x_2 \leq 10
तथा (and) x_1, x_2, x_3 \geq 0
Solution:समस्या के उद्देश्य फलन को अधिकतमीकरण में बदलने के लिए फलन में चरों के मूल्यों का चिन्ह बदलते हैं।प्रतिबन्ध निकाय को समीकरणों में परिवर्तित करने के लिए निकाय में दो न्यूनतापूरक चरों x_4, x_6 तथा एक आधिक्यपूरक चर x_5 का प्रवेश करते हैं तथा उद्देश्य फलन में इन्हीं चरों को शून्य मूल्य के साथ सम्मिलित करते हैं।अतः दी गई समस्या का मानक रूप निम्न प्रकार होगा:
अधिकतम करो Z^*=-x_1+2 x_2-x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6
प्रतिबन्ध (s.t.) x_1+2 x_2+0 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6=5 \\ 2 x_1-x_2+x_3+0 x_4-x_5+0 x_6=4 \\ 3 x_1-5 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5+x_6=10
तथा (and) x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्या में सिम्पलैक्स विधि सिद्धान्त (Theory of Simplex Method in LPP),सिम्पलैक्स विधि सिद्धान्त (Theory of Simplex Method) को समझ सकते हैं।
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3.रैखिक प्रोग्रामन समस्या में सिम्पलैक्स विधि सिद्धान्त (Frequently Asked Questions Related to Theory of Simplex Method in LPP),सिम्पलैक्स विधि सिद्धान्त (Theory of Simplex Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.रैखिक प्रोग्रामन समस्या के मानक रूप की विशेषताएँ लिखिए। (Write the Characteristics of the Standard Form of a Linear Programming Problem):
उत्तर:रैखिक प्रोग्रामन समस्या के मानक रूप की निम्न विशेषताएँ हैं:
(1)समस्या का उद्देश्य फलन अधिकतमीकरण (maximization) के रूप में होना चाहिए।
(2.)ऋणेत्तर प्रतिबन्धों (constraints) के रूप में होने चाहिए।
(3.)आवश्यकता सदिश (requirement vector) b के सभी घटक धनात्मक (Positive) होने चाहिए।
(4.)सभी चर ऋणेत्तर (non-negative) होने चाहिए।
यदि उद्देश्य फलन न्यूनतमीकरण (minimization) के रूप में हो,तो उसे अधिकतमीकरण रूप में बदल लेना चाहिए अर्थात् उद्देश्य फलन के सभी चरों के मूल्यों का चिन्ह बदल देना चाहिए क्योंकि
न्यूनतमीकरण f(x)=अधिकतमीकरण [-f(x)]
इसी प्रकार किसी प्रतिबन्ध के b का घटक ऋणात्मक हो,तो उस प्रतिबन्ध के दोनों पक्षों को -1 से गुणा कर धनात्मक बना लिया जाता है।
अन्त में ऋणेत्तर प्रतिबन्धों के अतिरिक्त निकाय में असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तन कर लेते हैं।
प्रश्न:2.आवश्यकता सदिश से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Requirement Vector?):
उत्तर: b=\left[\begin{array}{l} b_1 \\ b_2 \\ \cdot \\ \cdot \\ b_m \end{array}\right] को आवश्यकता सदिश (requirement vector) कहते हैं।
प्रश्न:3.मूल्य सदिश से क्या आशय है? (What Do You Mean by Price Vector?):
उत्तर: C=\left(C_1, C_2, \cdots \cdots , C_n\right) को मूल्य सदिश (price vector) कहा जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्या में सिम्पलैक्स विधि सिद्धान्त (Theory of Simplex Method in LPP),सिम्पलैक्स विधि सिद्धान्त (Theory of Simplex Method) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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रैखिक प्रोग्रामन समस्या में सिम्पलैक्स विधि सिद्धान्त (Theory of Simplex Method in LPP)
के इस आर्टिकल में आधारी सुसंगत हल,समस्या का इष्टतम हल आदि पर आधारित सवालों
को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
