The Calculus of Finite Differences
1.परिमित अन्तर कलन (The Calculus of Finite Differences),अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators):
परिमित अन्तर कलन (The Calculus of Finite Differences) के इस आर्टिकल में परिमित अन्तर पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।ये विशिष्ट उदाहरण निम्नांकित हैं:
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2.परिमित अन्तर कलन के उदाहरण (The Calculus of Finite Differences Examples):
Example:28. \left(1^n+2^n x+3^n x^2+\ldots\right) =\frac{1}{(1-x)^2}\left[\Delta 0^n+\left(\frac{x}{1-x}\right) \Delta^2 0^n+\left(\frac{x}{1-x}\right)^2 \Delta^3 0^n+\ldots\right]
Solution: \left(1^n+2^n x+3^n x^2+\ldots\right)= \left(\frac{1}{1-x}\right)^2\left[\Delta 0^n+\left(\frac{x}{1-x}\right) 0^n+\left(\frac{x}{1-x}\right)^2 \Delta^3 0^n+\ldots\right] \\ \text { R.H.S. }\left(\frac{1}{1-x}\right)^2\left[\Delta 0^n+\left(\frac{x}{1-x}\right) \Delta^2+\left(\frac{x}{1-x}\right)^2 \Delta^3 0^n+\ldots\right] \\ =\frac{1}{x(1-x)} \cdot \frac{x}{1-x}\left[\Delta+\left(\frac{x}{1-x}\right) \Delta^2 +\left(\frac{x}{1-x}\right)^2 \Delta^3+\ldots\right] 0^n \\ =\frac{1}{x(1-x)}\left[\frac{x}{1-x} \Delta+ \left(\frac{x}{1-x}\right)^2 \Delta^2+\left(\frac{x}{1-x}\right)^3 \Delta^3+ \ldots \right] 0^n \\ =\frac{1}{x(1-x)}\left[1+\left(\frac{x}{1-x}\right) \Delta+\left(\frac{x}{1-x}\right)^2 \Delta^2+ \left(\frac{x}{1-2}\right)^3 \Delta^3+\ldots -1 \right]0^n \\ =\frac{1}{x(1-x)}\left[\left(1-\frac{x}{1-x} \Delta\right)^{-1} -1\right] 0^n \\ =\frac{1}{x(1-x)}\left[\left(\frac{1-x-x \Delta}{1-x}\right )^{-1}-1\right] 0^n \\ =\frac{1}{x(1-x)}\left[\left(\frac{1-x(1+\Delta)}{1-x}\right)^{-1}-1\right] 0^n \\ =\frac{1}{x(1-x)}\left[\frac{(1-x E)^{-1}}{(1-x)^{-1}}-1\right] 0^n \\ =\left[\left(\frac{1}{x}(1-x E)^{-1}-\frac{1}{x (1-x)}\right) z^n\right]_{z=0} \\=\left[\left(\frac{1}{x}\left(1+x E+x^2 E^2+\ldots\right)-\frac{1}{x}(1-x)^{-1}\right) z^n\right]_{z=0} \\ =\left[\left(\frac{1}{x}+E+x E^2+\cdots-\frac{1}{x}\left(1+x+x^2+\cdots\right)\right) z^n\right]_{z=0} \\ =\left[\left(\frac{1}{x}+E+x E^2+\cdots-\frac{1}{x}-1-x \ldots\right) z^n\right]_{z=0} \\ =\left[\left(E+x E^2+\ldots\right)z^n-z^n-x z^n \ldots\right]_{z=0} \\ =\left[\left(E+x E^2+x^2 E^3\right) z^n \right]_{z=0} \\ =\left[E z^n+\left(E^2 z^n\right) x+\left(E^3 z^n\right) x^2+\ldots\right]_{z=0} \\ =\left[(z+1)^n+(z+2)^n x+(z+3)^n x^2+\ldots\right]_{z=0} \\ \Rightarrow 1^n+2^n x+3^n x^2+\ldots=\text { L.H.S. }
Example:29.प्रदर्शित कीजिए कि (Show that):
(x E)^m=(x+m-1)^{(m)} E^m
Solution: (x E)^m=(x+m-1)^{(m)} E^m \ldots(1)
जब m=1
(x E)^{1}=(x+1-1)^{(1)} E^{1} \\ \Rightarrow x E=x E
अतः उक्त कथन m=1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।
माना उक्त कथन m के लिए सत्य है।
अब हमें उक्त कथन m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:
(x E)^{m+1} =(x+m)^{(m+1)} E^{m+1} \\ \text { R.H.S } =(x+m)^{(m+1)} E^{m+1} \\ =E^m x^{(m+1)} E^{m+1} \\ =E^m x(x-1)^{(m)} E^{m+1} \\ =x(x+m-1)^{(m)} E^{m+1} \\ =(x E)(x+m-1)^{(m)} E^m \\ =(x E)(x E)^m [(1) के प्रयोग से ]
=(x E)^{m+1}=\text { R.H.S }
अतः उक्त कथन m+1 के लिए सत्य सिद्ध हुआ।फलतः उक्त कथन सत्य सिद्ध हुआ।
Example:30.प्रदर्शित कीजिए कि (Show that):
(x \Delta)(x E)^m=(x E)^m(x \Delta+m)
Solution: (x \Delta)(x E)^m=(x E)^m(x \Delta+m) \\ \text { R.H.S. }(x E)^m(x \Delta+m) \\ =(x E)^m \cdot(x(E-1)+m) \\ =(x E)^m(X E-x+m) \\ =(x+m-1)^{(m)} E^m(x E-x+m)
[प्रश्न 29 का प्रयोग करने पर]
=(x+m)^{(m+1)} E^{m+1}-(x+m)(x+m-1)^{(m)} E^m +m(x+m-1)^{(m)} E^m \\ =(x+m)^{(m+1)}-x(x+m-1)^{(m)} E^m -m(x+m-1)^{(m)} E^m+m(x+m-1)^{(m)} E^m \\=(x+m)^{(m+1)}-x(m+m-1)^{(m)} E^m \\ =(x E)^{m+1}-x(\text { xE })^m
[प्रश्न 29 का प्रयोग करने पर]
=(x E-x)(x E)^m \\ =x \Delta(x E)^m=\text{L.H.S.}
Example:31. \Delta^{25}[(x-a)(x-b)=-(x-y)(x-2)] का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ संकार्य (operand) 25 गुणनखण्ड रखता है और (x-x) प्रकार का कोई गुणनखण्ड नहीं है।
Solution: \Delta^{25}[(x-a)(x-b) \cdots(x-y)(x-z)] \\ \Delta^{25} x^{25}=25!
[ \Delta^n 0^n=n! सूत्र से]
\Delta^{25} x^{24}(-a-b-c-\ldots=0 \\ \Delta^{25} x^{23}(-a-b-c-\ldots)=0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ \Delta^{25} x=0 \\ \Delta^{25}(-a-b-c)=0
अतः \Delta^{25}[(x-a)(x-b) \cdots(x-y)(x-z)]=25 !
Example:33.सिद्ध कीजिए (Prove that):
u_4= u_3+\Delta u_2+\Delta^2 u_1+\Delta 3 u_0
Solution: u_4= u_3+\Delta u_2+\Delta^2 u_1+\Delta^3 u_0 \\ \text{R.H.S. } u_3+\Delta u_2+\Delta^2 u_1+\Delta^3 u_0 \\ =u_3+(E-1) u_2+(E-1)^2 u_1+(E-1)^3 u_0 \\ =u_3+E u_2-u_2+\left(E^2-2 E+1\right) u_1+\left(E^3-3 E^2+3 E-1\right) u_0 \\ = u_3+u_3-u_2+E^2 u_1-2 E u_1+u_1 +E^3 u_0-3 E^2 u_0+3 E u_0-u_0 \\ =2 u_3-u_2+u_3-2 u_2+u_1+u_3-3 u_2 +3 u_1-u_0 \\ = 4 u_3-6 u_2+4 u_1-u_0 \\ = -u_4+4 u_3-6 u_2+4 u_1-u_0+u_4 \\ =-\left(u_4-4 u_3+6 u_2-4 u_1+u_0\right)+u_4 \\= -\left(E^4 u_0-4 E^3 u_0+6 E^2 u_0-4 E u_0+u_0\right)+u_4 \\ =-\left(E^4-4 E^3+6 E^2-4 E+1\right) u_0+u_4 \\ =-(E-1)^4 u_0+u_4 \\ =-\Delta^4 u_0+u_4
तृतीय अन्तर अचर है अतः \triangle^4 u_0=0 \\ =u_4 \\ =\text{L.H.S.}
Example:34.यदि तीसरे अन्तर अचर है,तो सिद्ध कीजिए (If the third differences are constant, prove that):
y_4=y_0+4 \Delta y_0+6 \Delta^2 y_{-1}+10 \Delta^2 y_{-1}+5 \Delta^4 y_{-1} +\Delta^5 y_{-1}
Solution: y_4=y_0+4 \Delta y_0+6 \Delta^2 y_{-1}+10 \Delta^2 y_{-1}+5 \Delta^4 y_{-1} +\Delta^5 y_{-1}
तीसरे अन्तर अचर हैं अतः
\Delta^4 y_0=0 \\ \Rightarrow(E-1)^4 y_0=0 \\ \Rightarrow\left(E^4-4 E^3+6 E^2-4 E+1\right) y_0=0 \\ \Rightarrow E^4 y_0-4 E^3 y_0+6 E^2 y_0-4 E y_0+y_0=0 \\ =4(1+\Delta)^4-6(1+\Delta)^3 y_{-1}+4 (1+\Delta) \\ y_4=4 E^3 y_0+6 E^2 y_0+4 E y_0-y_0 \\ =4 E^3 y_0-6 E^2 y_0+4(1+\Delta) y_0-y_0 \\ =4 E^3 y_0-6 E^2 y_0+4 y_0+4 \Delta y_0-y_0 \\ =y_0+4 \Delta y_0+4 E^4 E^{-1} y_0-6 E^3 E^{-1} y_0+2 y_0 \\ =y_0+4 \Delta y_0+4(1+\Delta)^4 E^{-1} y_0-6(1+\Delta)^3 y_{-1} +2 E E^{-1} y_0 \\ = y_0+4 \Delta y_0+4\left(1+4 \Delta+6 \Delta^2+4 \Delta^3+\Delta^4 \right)y_{-1}-6\left(1+3 \Delta+3 \Delta^2 +\Delta^3\right) y_{-1}+2(1+\Delta) y_{-1} \\ =y_0+4 \Delta y_0+4 y_{-1}+16 \Delta y_{-1}+24 \Delta^2 y_{-1} +16 \Delta^3 y_{-1}+14 \Delta^4 y_{-1}-6 y_{-1}-8 \Delta y_{-1} -18 \Delta^2 y_{-1}-6 \Delta^3 y_{-1}+2 y_{-1}+2 \Delta y_{-1} \\ =y_0+4 \Delta y_0+6 \Delta^2 y_{-1}+10 \Delta^3 y_{-1}+4 \Delta ^4 y_{-1} \\ =y_0+4 \Delta y_0+6 \Delta^2 y_{-1}+10 \Delta^3 y_{-1}+4 \Delta^4 y_{-1}+0 \\ =y_0+4 \Delta y_0+6 \Delta^2 y_{-1}+10 \Delta^3 y_{-1}+4 \Delta^4 y_{-1} +\Delta^4 y_0 \quad\left(\therefore \Delta^4 y_0=0\right) \\=y_0+4 \Delta y_0+6 \Delta^2 y-10 \Delta^3 y_{-1}+4 \Delta^4 y_{-1}+\Delta^4 \frac{(1+ \Delta)}{(1+\Delta)} y_0 \\=y_0+4 \Delta y_0+6 \Delta^2 y_{-1}+10 \Delta^3 y_{-1}+4 \Delta^4 y_{-1} +\frac{\Delta^4(1+\Delta) y_0}{E} \\ =y_0+4 \Delta y_0+6 \Delta^2 y_{-1}+10 \Delta^3 y_{-1}+4 \Delta^4 y_{-1} +\Delta^4(1+\Delta) E^{-1} y_0 \\ =y_0+4 \Delta y_0+6 \Delta^2 y_{-1}+10 \Delta^3 y_{-1}+4 \Delta^4 y_{-1}+\left(\Delta^4+\Delta^5\right) y_{-1} \\ =y_0+4 \Delta y_0+6 \Delta^2 y_{-1}+10 \Delta^3 y_{-1}+4 \Delta^4 y_{-1} +\Delta^4 y_{-1}+\Delta^5 y_{-1} \\ \Rightarrow y_y= y_0+4 \Delta y_0+6 \Delta^2 y_{-1}+10 \Delta^3 y+5 \Delta^4 y_{-1} +\Delta^5 y_{-1}
Example:35.प्रदर्शित कीजिए (Show that):
\Delta^P y_k=\nabla^P y_{k+p}
Solution: \Delta^p y_k=\nabla^P y_{k+p} \\ \text { R.H.S } \nabla^p y_{k+p} \\ =(1-E^{-1})^p y_{k+p} \quad\left[\because \nabla \equiv 1-E^{-1}\right] \\ =\left(1-\frac{1}{E}\right)^p y_{k+p} \\=\left(\frac{E-1}{E}\right)^p y_{k+p} \\ =(E-1)^p \cdot E^{-p} y_{k+p} \\ =(E-1)^p \left(E^{-p}y_{k+p}\right) \\ =(E-1)^p y_{k+p-p} \\ =(E-1)^p y_k \\ =\Delta^p y_k=\text { L.H.S }
Example:37.Prove that
\sum_{r=0}^{n-1} u_r x^r=\frac{u_0-x^n u_n}{1-x}+\frac{x}{(1-x)^2}\left(\Delta u_0-x^2 \Delta u_{n}\right) +\frac{x^2}{\left(1-x\right)^3}\left(\Delta^2 u_0-x^n \cdot \Delta^2 u_n\right)+\ldots
Solution: \sum_{r=0}^{n-1} u_r x^r=\frac{u_0-x^n u_n}{1-x}+\frac{x}{(1-x)^2}\left(\Delta u_0-x^2 \Delta u_{n}\right) +\frac{x^2}{\left(1-x\right)^3}\left(\Delta^2 u_0-x^n \cdot \Delta^2 u_n\right)+\ldots \\ \text{R.H.S. } \frac{u_0-x^n u_n}{1-x}+\frac{x}{(1-x)^2}\left(\Delta u_0-x^n \Delta u_n\right) +\frac{x^2}{(1-x)^3}\left(\Delta^2 u_0-x^x \Delta^2 u_n\right)+\ldots \\ =\frac{u_0}{1-x}+\frac{x \Delta u_0}{(1-x)^2}+\frac{x^2}{(1-x)^3} \Delta^2 u_0+\ldots \ldots -\left(\frac{x^n u_n}{1-x}+\frac{x^{n+1}\Delta u_n}{(1-x)^2}+\frac{x^{n+2} \Delta^2 u_n}{(1-x)^3}+\ldots \ldots \right. \\ =\frac{1}{1-x}\left(1+\frac{x \Delta}{1-x}+\frac{x^2 \Delta^2}{(1-x)^2}+\cdots\right)u_0-\frac{x^n}{1-x}\left(1+\frac{x \Delta}{1-x}+\frac{x^2 \Delta^2}{(1-2)^2}+\cdots\right) u_n \\ =\frac{1}{1-x}\left(1-\frac{x \Delta}{1-x}\right)^{-1} u_0-\frac{x^n}{1-x}\left(1-\frac{x \Delta}{1-x}\right)^{-1} E^n u_0 \\ =\frac{1}{1-x} \frac{\left(1-x-x \Delta\right)}{(1-x)^{-1}}^{-1} u_0-\frac{x^n}{1-x} \frac{(1-x-x\Delta)^{-1}}{(1-x)^{-1}} E^n u_0 \\=(1-x(1+\Delta))^{-1} u_0-x^n\left(1-x(1+\Delta\right)^{-1} E^n u_0 \\ =(1-x E)^{-1} u_0-x^n(1-x E)^{-1} E^n u_0 \\ =\left[(1-x E)^{-1}- x^n(1-x E)^{-1} E^n\right] u_0 \\ =\left[1+x E+x^2 E^2+x^3 E^3+\cdots+x^{n-1} E^{n-1} +x^n E^n+\cdots-x^n\left(1+x E+x^2 E^2+x^3 E^2 \ldots \ldots \quad \right) E^n\right] u_0 \\ =\left(1+x E+x^2 \cdot E^2+x^3 E^3+\cdots+x^{n-1} E^{n-1}\right) u_0 \\=u_0+x E u_0+x^2 E^2 u_0+x^3 E^3 u_0+1+x^{n-1} E^{n-1} u_0 \\=u_0+x u_1+x^2 u_2+x^3 u_3+\cdots +x^{n-1} u_{n-1} \\ =\sum_{r=0}^{n-1} u_r x^2=\text{L.H.S.}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिमित अन्तर कलन (The Calculus of Finite Differences),अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators) को समझ सकते हैं।
3.परिमित अन्तर कलन के सवाल (The Calculus of Finite Differences Questions):
Use the method of separation of symbols to prove the following identities
(1.) u_x=u_{x-1}+\Delta u_{x-2}+\Delta^3 u_{x-3}+\cdots+\Delta^x u_{x-n}+\Delta^n u_{x-n}
(2.) u_0+{}^x C_1 \cdot \Delta u_1+{}^x C_2 \Delta^2 u_2+\cdots+ \Delta^x u_x=u_x+{}^x C_1 \Delta^2 u_{x-1}+{}^x C_2 \Delta^4 u_{x-2}+\cdots +\Delta^x u_x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर परिमित अन्तर कलन (The Calculus of Finite Differences),अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.परिमित अन्तर कलन (Frequently Asked Questions Related to The Calculus of Finite Differences),अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.संकेतों को पृथक करने से क्या आशय है? (What Do You Mean by Separation of Symbols?):
उत्तर:ऐसी विधियाँ जिनमें दो संकारकों E तथा के मध्य सम्बन्ध अर्थात् E=1+\Delta का प्रयोग कुछ सर्वसमिकाओं (identities) को सिद्ध करने में होता है संकेतों को पृथक करने की विधियाँ कहलाती है।
प्रश्न:2.व्युत्क्रम क्रमगुणित के कुछ महत्त्वपूर्ण सूत्र लिखो। (Write Some Important Formulae of Reciprocal Factorial):
उत्तर:व्युत्क्रम क्रमगुणित
x^{(-1)}=\frac{1}{(x+h)}, x^{(-2)}=\frac{1}{(x+h)(x+2 h)} \\ \left(x^{-n}\right) =\frac{1}{(x+h)(x+2 h) \ldots(x+n h)} \\ \left(x^{-n}\right)=\frac{1}{(x+n h)^{(n)}}
यदि h=1
\left(x^{-n}\right)=\frac{1}{(x+n)^{(n)}}
प्रश्न:3.शून्य के अन्तर को समझाइए। (Explain the Differences of Zero):
उत्तर:यदि n तथा m धनात्मक पूर्णांक हो तो
\Delta^n x^m(E-1)^n x^m[\because E=1+\Delta)] \\ =\left[E^n-{}^n C_1 \cdot E^{n-1}+\ldots+(-1)^{n-1} {}^n C_{n-1} +E+(-1)^n\right] x^m \\ =(x+n)^m-{}^n C_1 (x+n-1)^m+{}^n C_2 (x+n-2)^m -\ldots \ldots+(-1)^{n-1} \cdot {}^n C_{n-1} (x+1)^m+(-1)^n x^m
[अन्तराल का अन्तर 1 है]
x=0 रखने पर:
\left[D^n x^m\right]{x=0}=n^m-{}^n C_1 (n-1)^m+ {}^n C_2 (n-2)^m+\ldots \ldots+ {}^n C{n-1} (-1)^{n-1}
परिभाषा (Definition):उपर्युक्त व्यंजक \left[\Delta^n x^m\right]_{x=0} को \Delta^n 0^m लिखा जाता है। \Delta^n 0^m राशियों को शून्य अन्तर कहते हैं क्योंकि अग्रग पद (leading term) हमेशा शून्य होता है।
n तथा m के विभिन्न मानों \Delta^n 0^m के के मान निम्न प्रकार प्राप्त किये जा सकते हैं:जैसे
जब n=1,m=2 तब \Delta 0^2=1^2=1
जब n=2,m=4 तब \Delta^2 0^4=2^4-{^2} C_1 (1)^4=14
जब n=3,m=4 तब \Delta^3 0^4=3^4-{}^3 C_1 2^4+ {}^3 C_2 (1)^4 =36 ,\Delta^n 0^n=m !
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा परिमित अन्तर कलन (The Calculus of Finite Differences),अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Operators) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
