Test Convergence from Cauchy Root Test
1.कोशी का मूल परीक्षण से अभिसरण की जाँच (Test Convergence from Cauchy Root Test),कोशी का मूल परीक्षण से श्रेणी के अभिसरण की जाँच (Checking Convergence of Series from Cauchy Root Test):
कोशी का मूल परीक्षण से अभिसरण की जाँच (Test Convergence from Cauchy Root Test) उन श्रेणियों के लिए उपयुक्त है जहाँ nवें पद में घात भी दी गई है।निम्नलिखित उदाहरणों से यह स्पष्ट रूप से समझ में आ जाएगा।
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2.कोशी का मूल परीक्षण से अभिसरण की जाँच के उदाहरण (Test Convergence from Cauchy Root Test Examples):
निम्न श्रेणियों के अभिसरण अथवा अपसरण का परीक्षण कीजिएः
(Test the convergence or divergence of the following series):
Example:1. \sum\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2} \\ \sum\left(\frac{n}{n+n}\right)^{n^2}
Solution: \sum\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2} \\ \sum\left(\frac{n}{n+n}\right)^{n^2}
यदि दी हुई श्रेणी \Sigma u_n से प्रदर्शित की जाये,तब
u_n =\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2} \\ \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}} =\left[\left(\frac{n}{n+1} \right)^{n^2}\right]^{\frac{1}{n}} \\ =\left(\frac{n}{n+1}\right)^n \\ =\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n} \\ \log (u_{n})^{\frac{1}{n}} =-n \log (1+\frac{1}{n}) \\ =-n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2}+\frac{1}{3 n^3}-\cdots\right) \\ =-n \times \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 n^2}-\cdots\right) \\ =-\left(1-\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 n^2}-\cdots\right) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \log \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=-\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 n^2}-\cdots\right) \\ =-1 \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=e^{-1} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{e}<1
अतः कोशी के मूल परीक्षण से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:2. \sum\left(\frac{n x}{n+1}\right)^n
Solution: \sum\left(\frac{n x}{n+1}\right)^n
यदि दी हुई श्रेणी से प्रदर्शित की जाये,तब
u_n=\left(\frac{n x}{n+1}\right)^n \\ \Rightarrow\left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\left[\left(\frac{n x}{n+1}\right)^n\right]^{\frac{1}{n}} \\ =\frac{n x}{n+1} \\ =\left(\frac{n+1}{n x}\right)^{-1} \\ =\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-1} x \\ \log (u_{n})^{\frac{1}{n}} =-1 \log (1+\frac{1}{n} )+\log x \\ =-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^{2}}+\frac{1}{3 n^3}-\cdots\right)+\log x \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \log \left( u_{n}\right)^{\frac{1}{n}}=-\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2}+\frac{1}{3 n^3}-\cdots\right)+ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \log x\\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \log \left( u_{n}\right)^{\frac{1}{n}}=0+\log x \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \log \left( u_{n}\right)^{\frac{1}{n}}=x
अतः कोशी के मूल परीक्षण से दी हुई श्रेणी x<1 के लिए अभिसारी तथा x>1 के लिए अपसारी है।
यदि x=1 हो,तो
\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \log \left( u_{n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} (1+\frac{1}{n})^{-1}\\ =1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः दी हुई श्रेणी x=1 के लिए अपसारी है।
अतः श्रेणी अभिसारी है यदि x<1 तथा अपसारी है यदि x \geq 1
Example:3. \sum\left(n^{\frac{1}{n}}-1\right)^n
Solution: \sum\left(n^{\frac{1}{n}}-1\right)^n
यदि दी हुई श्रेणी \Sigma u_n से प्रदर्शित की जाये,तब
u_n=\left(n^{\frac{1}{n}}-1\right)^n \\ \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\left[\left(n^{\frac{1}{n}}-1\right)^n \right]^{\frac{1}{n}} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(n^{\frac{1}{n}}-1\right) \\ =1-1 \quad\left[\because \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(n^{\frac{1}{n}}\right)=1\right] \\ =0<1 \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=0<1अतः कोशी के मूल परीक्षण से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:4. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(\log _n\right)^n}
Solution: \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(\log _n\right)^n}
यदि दी हुई श्रेणी \Sigma u_n से प्रदर्शित की जाये,तब
u_n=\frac{1}{(\log n)^n} \\ \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\left[\frac{1}{\left(\log n)^n\right.}\right]^{\frac{1}{n}} \\ \Rightarrow\left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{\log n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{1}{\log n}\right) \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=0<1अतः कोशी के मूल परीक्षण से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:5. \sum\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}-\frac{n+1}{n}\right\}^{-n}
Solution: \sum\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}-\frac{n+1}{n}\right\}^{-n}
यदि दी हुई श्रेणी \Sigma u_n से प्रदर्शित की जाये,तब
u_n=\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}\left(\frac{n+1}{n}\right)\right\}^{-n} \\ \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\left[\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}-\left(\frac{n+1}{n}\right)\right\}^{-n}\right]^{\frac{1}{n}} \\ =\left\{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}-\left(\frac{n+1}{n}\right)\right\}^{-1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u _n\right)^{\frac{1}{n}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\}^{-1} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-1}\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-1\right\}^{-1} \\ =(1+0)^{-1}[e-1]^{-1}\left[\because \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\right] \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{e-1}<1अतः कोशी के मूल परीक्षण से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:6. \sum \frac{(1+n x)^n}{n^n}
Solution: \sum \frac{(1+n x)^n}{n^n}
यदि दी हुई श्रेणी \Sigma u_n से प्रदर्शित की जाये,तब
u_n=\frac{(1+n x)^n}{n^n} \\ \Rightarrow \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\left[\left(\frac{1+n x}{n}\right)^n\right]^{\frac{1}{n}} \\ =\left(1+\frac{1}{n x}\right)x \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1+\frac{1}{n x}\right) x \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=xअतः कोशी के मूल परीक्षण से दी हुई श्रेणी x<1 के लिए अभिसारी तथा x>1 के लिए अपसारी है।
यदि x=1 हो,तो
\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} (1+\frac{1}{n})^n \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right) =e \neq 0
अतः दी हुई श्रेणी x=1 के लिए अपसारी है।
फलतः श्रेणी अभिसारी है यदि x<1 तथा अपसारी है यदि x \geq 1
Example:7. \sum\left(\frac{n+1}{2 n}\right)^n
Solution: \sum\left(\frac{n+1}{2 n}\right)^n
यदि दी हुई श्रेणी \Sigma u_n से प्रदर्शित की जाये,तब
u_n=\left(\frac{n+1}{2 n}\right)^n \\ \Rightarrow \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\left[\left(\frac{n+1}{2 n}\right)^n\right]^{\frac{1}{n}} \\ =\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n}) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{2}(1+\frac{1}{n}) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}<1अतः कोशी के मूल परीक्षण से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:8. \sum \frac{x^n}{n^n}
Solution: \sum \frac{x^n}{n^n}
यदि दी हुई श्रेणी \Sigma u_n से प्रदर्शित की जाये,तब
u_n=\frac{x^n}{n^n} \\ \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{x}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{x}{n}\right) \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=0<1अतः कोशी के मूल परीक्षण से दी हुई श्रेणी अभिसारी है। उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कोशी का मूल परीक्षण से अभिसरण की जाँच (Test Convergence from Cauchy Root Test),कोशी का मूल परीक्षण से श्रेणी के अभिसरण की जाँच (Checking Convergence of Series from Cauchy Root Test) को समझ सकते हैं।
3.कोशी का मूल परीक्षण से अभिसरण की जाँच पर आधारित सवाल (Questions Based on Test Convergence from Cauchy Root Test):
निम्न श्रेणियों के अभिसरण अथवा अपसरण का परीक्षण कीजिएः (Test the convergence or divergence of the following series):
(1.) 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{4^{4}}+\cdots+\frac{1}{n^n}+\cdots
(2.) 1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3^2}+\frac{x^3}{4^3}+\cdots
(3.) \frac{(n+1)^n x^n}{n^n+1}
उत्तर (Answers):(1.)अभिसारी (2.)अभिसारी (3.)श्रेणी अभिसारी है यदि x<1 तथा अपसारी है यदि x \geq 1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कोशी का मूल परीक्षण से अभिसरण की जाँच (Test Convergence from Cauchy Root Test),कोशी का मूल परीक्षण से श्रेणी के अभिसरण की जाँच (Checking Convergence of Series from Cauchy Root Test) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.कोशी का मूल परीक्षण से अभिसरण की जाँच (Frequently Asked Questions Related to Test Convergence from Cauchy Root Test),कोशी का मूल परीक्षण से श्रेणी के अभिसरण की जाँच (Checking Convergence of Series from Cauchy Root Test) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.श्रेणी के अभिसरण के लिए कोशी का मूल परीक्षण क्या है? (What is Cauchy Root Test for Series Convergence?):
उत्तर:यदि एक धनात्मक पदों वाली कोई श्रेणी इस प्रकार है कि (If be a series of positive terms such that): \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=l (एक वास्तविक संख्या) (a real number) तब (then)
(1)यदि (if) l<1; \Sigma u_n अभिसारी होगी (will be convergence)
(2)यदि (if) l>1; \Sigma u_n अपसारी होगी (will be divergent)
(3)यदि (if),l=1; \Sigma u_nअभिसारी अथवा अपसारी हो सकती है। (may converge or diverge)
प्रमाण (Proof):यहाँ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=l
किसी स्वेच्छ \varepsilon>0 के संगत एक ऐसी प्राकृत संख्या m विद्यमान है कि
| \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}-l |<\varepsilon \quad \forall n>m \\ \Rightarrow l-\varepsilon< \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}< l+\varepsilon \quad \forall n>m \\ \Rightarrow \left(l-\varepsilon\right)^{n} < u_{n}< \left(l+\varepsilon\right)^{n} \quad \forall n>m \cdots(1)
स्थिति:I.जबकि l<1:यदि हम \varepsilon का मान इस प्रकार चुनें कि l+\varepsilon<1 हो।पुनः l+\varepsilon=r यदि जिससे 0<r<1 तब (1) की दूसरी असमिका से
u_{n}< \left(l+\varepsilon\right)^{n}=r^{n} \forall n >m \\ \Rightarrow \Sigma u_{n} < \Sigma r^{n} \forall n > m
परन्तु श्रेणी \Sigma r^{n} अभिसारी है क्योंकि यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात r<1 है,अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_{n} भी अभिसारी होगी।
स्थिति:II.जबकि l>1:यदि \varepsilon का मान इस प्रकार चुनें कि l-\varepsilon>1 हो।पुनः यदि l-\varepsilon =\lambda जिससे \lambda>1 तब (1) की प्रथम असमिका सेः
\left(l-\varepsilon\right)^{n} <u_{n} , \forall n>m \\ \Rightarrow u_n< \left(l-\varepsilon\right)^{n}=\lambda^{n} , \forall n>m \\ \Rightarrow \Sigma u_n<\Sigma \lambda^n \forall n>m
परन्तु श्रेणी \Sigma \lambda^{n} अपसारी है क्योंकि यह एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका सार्व-अनुपात \lambda>1 है,अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_{n} भी अपसारी होगी।
स्थिति:III.जबकि l=1 यहाँ हम दो श्रेणियों \Sigma \frac{1}{n} तथा \Sigma \frac{1}{n^{2}} लें तब
\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}=1 (पहली श्रेणी के लिए)
तथा \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(u_n\right)^{\frac{1}{n}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=1 (दूसरी श्रेणी के लिए)
परन्तु प्रथम श्रेणी \Sigma u_{n}=\Sigma \left(\frac{1}{n}\right ) अपसारी है क्योंकि p=1
तथा द्वितीय श्रेणी \Sigma u_{n}=\Sigma \left(\frac{1}{n^{2}}\right ) अभिसारी है क्योंकि p>1
अतः जब l=1 हो तो श्रेणी अभिसारी या अपसारी हो सकती है।अतः इस स्थिति में परीक्षण विफल हो जाता है।
प्रश्न:2.अभिसारी श्रेणी से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Convergent Series?):
उत्तर:यदि श्रेणी \Sigma u_{n} से संबद्ध आंशिक योगफलों का अनुक्रम \{ \Sigma S_{n}\} अभिसारी है तथा इसकी सीमा कोई वास्तविक संख्या S है तो श्रेणी \Sigma u_{n} अभिसारी कहलाती है तथा S इस श्रेणी का योगफल कहलाता है अर्थात् \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} u_{n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_n=S
प्रश्न:3.अपसारी श्रेणी से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Divergent Series?):
उत्तर:वह श्रेणी जो अभिसारी नहीं है।वह अनन्त श्रेणी जिसका योगफल निश्चित संख्या न हो।जैसे,यदि श्रेणी के n पदों का योग हो या कोई अनिर्धाय संख्या हो तो श्रेणी क्रमशः पूर्णतया अपसारी,दोलायमान अपसारी कहलाती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कोशी का मूल परीक्षण से अभिसरण की जाँच (Test Convergence from Cauchy Root Test),कोशी का मूल परीक्षण से श्रेणी के अभिसरण की जाँच (Checking Convergence of Series from Cauchy Root Test) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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कोशी का मूल परीक्षण से अभिसरण की जाँच
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कोशी का मूल परीक्षण से अभिसरण की जाँच (Test Convergence from Cauchy Root Test)
उन श्रेणियों के लिए उपयुक्त है जहाँ nवें पद में घात भी दी गई है।निम्नलिखित उदाहरणों से यह
स्पष्ट रूप से समझ में आ जाएगा।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
