1.कक्षा 12 में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangents and Normals in Class 12),वर्धमान और ह्रासमान फलन कक्षा 12 (Increasing and Decreasing Functions Class 12):

Tangents and Normals in Class 12

कक्षा 12 में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangents and Normals in Class 12) के इस आर्टिकल में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब,वर्धमान और ह्रासमान फलन,सन्निकटन तथा उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ का अध्ययन करेंगे।
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2.कक्षा 12 में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Tangents and Normals in Class 12):

Example:1.अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिएः
Example:1(a). \left(\frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}}
Solution: y=\left(\frac{x}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \cdots(1)

जहाँ x=16 और \Delta x=1 \\ \frac{d y}{d x} =\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{1}{12} x^{-\frac{3}{4}} \\ =\frac{1}{12}\left(16\right)^{-\frac{3}{4}} \\ =\frac{1}{12} \times 2^{\left(4 \times \frac{-3}{4}\right)} \\ =\frac{1}{12} \times 2^{-3} \\ =\frac{1}{12} \times \frac{1}{8} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{1}{96} \cdots(2) \\ y+\Delta y=\left(\frac{x+\Delta x}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \cdots(3) [(1) से]
(3) में से (1) घटाने परः
\Delta y=\left(\frac{x+\Delta x}{81}\right)^{\frac{1}{4}}-\left(\frac{x}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \\ \Rightarrow \left(\frac{x+\Delta x}{81}\right)^{\frac{1}{4}}=\Delta y+\left(\frac{x}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \\ \Rightarrow \left(\frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}}=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x+\left(\frac{x}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \\ \left[\because \Delta y=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x\right] \\ \Rightarrow \left(\frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{96} \times 1+\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{1}{4}} [(2) से]

=\frac{1}{96}+\frac{2}{3} \\ =\frac{1+64}{96} \\ =\frac{65}{96} \\ =0.67708 \\ \Rightarrow \left( \frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \approx 0.677
Example:1(b). (33)^{-\frac{1}{5}}
Solution: (33)^{-\frac{1}{5}} \\ y=(x)^{-\frac{1}{5}} \cdots(1)
जहाँ x=32 और \Delta x=1 \\ \frac{d y}{d x} =-\frac{1}{5} x^{-\frac{6}{5}} \\ =-\frac{1}{5}(32)^{-\frac{6}{5}} \\ =-\frac{1}{5}\left(2^5\right)^{-\frac{6}{5}} \\=-\frac{1}{5}\left(2^{-6}\right) \\ =-\frac{1}{5} \times \frac{1}{64} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-1}{320} \\ \Delta y =\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\ =-\frac{1}{320}(1) \\ \Delta y=-\frac{1}{320} \cdots(2)
समीकरण (1) सेः

y+\Delta y=(x+\Delta x)^{-\frac{1}{5}} \cdots(3)
समीकरण (3) में से (1) घटाने परः
\Delta y=(x+\Delta x)^{-\frac{1}{5}}-(x)^{-\frac{1}{5}} \\ \Rightarrow(x+\Delta x)^{-\frac{1}{5}} =\Delta y+x^{-\frac{1}{5}} \\ \Rightarrow(33)^{-\frac{1}{5}} =-\frac{1}{320}+(32)^{-\frac{1}{5}} [(2) से]

=-\frac{1}{320}+2^{-1} \\ =-\frac{1}{320}+\frac{1}{2} \\ =\frac{-1+160}{320} \\ =\frac{159}{320} \\ =0.4968 \\ \Rightarrow(33)^{-\frac{1}{5}} \approx 0.497
Example:2.सिद्ध कीजिए कि f(x)=\frac{\log x}{x} द्वारा प्रदत्त फलन x=e पर उच्चतम है।
Solution: f(x)=\frac{\log x}{x}
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

f^{\prime}(x)=\frac{x \cdot \frac{1}{x}-\log x \cdot 1}{x^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1-\log x}{x^2}
उच्चतम के लिए f'(x)=0 सेः

\Rightarrow \frac{1-\log x}{x^2}=0 \\ \Rightarrow 1-\log x=0 \\ \Rightarrow \log x=1 \\ \Rightarrow x=e
समीकरण (1) का पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने परः

x=e पर

f^{\prime \prime}(e) =-\frac{3 e+2 e \log_e e}{e^4} \\ =-\frac{3 e+2 e(1)}{e^4} \\ =-\frac{e}{e^4} \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(e) =-\frac{1}{e^3}<0
अतः x=e पर फलन उच्चतम है।
Example:3.किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 cm/s की दर से घट रही है।उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं,उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है।

Tangents and Normals in Class 12

Solution:माना \triangle ABC समद्विबाहु त्रिभुज है।
जिसमें AB=AC=x, BC=b (दिया है)

S=\frac{a+b+c}{2} \\ S=\frac{a+x+x}{2} \\ S=\frac{b+2 x}{2}
हीरोन के सूत्र से त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल

A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{\left(\frac{b+2 x}{2}\right)\left(\frac{b+2 x}{2}-b\right)\left( \frac{b+2 x}{2}-x\right) \left(\frac{b+2x}{2}-x\right)} \\ =\sqrt{\left(\frac{b+2 x}{2}\right)\left(\frac{2 x-b}{2}\right) \left(\frac{b}{2}\right)\left(\frac{b}{2}\right)} \\ A=\frac{b}{4} \sqrt{4 x^2-b^2}
t के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d A}{d t}=\frac{b}{4} \times \frac{8 x}{2 \sqrt{4 x^2-b^2}} \frac{d x}{d t} \\ \Rightarrow \frac{d A}{d t} =\frac{x}{\sqrt{4 x^2-b^2}} \cdot\left(\frac{d x}{d t}\right) \\ \frac{d x}{d t} =-3 cm/s तथा t=b रखने परः

\Rightarrow \frac{d A}{d t} =\frac{b}{\sqrt{4 b^2-b^2}}(-3) \\ \Rightarrow \frac{d A}{d t} =-\frac{3 b}{\sqrt{3 b^2}} \\ \Rightarrow \frac{d A}{d t} =-\sqrt{3}b \mathrm{~cm}^2 / \mathrm{s}
अतः का क्षेत्रफल की दर से घट रहा है।
Example:4.वक्र x^2=4 y के बिन्दु (1,2) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution: x^2=4 y \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{4} \cdot 2 x \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,2)}=\frac{1}{2}(1) \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,2)}=\frac{1}{2}
बिन्दु (1,2) पर अभिलम्ब का समीकरणः

\left(y-y_0\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}+\left(x-x_0\right)=0 \\ \Rightarrow (y-2)\left(\frac{1}{2}\right)+(x-1)=0 \\ \Rightarrow(y-2)+2 x-2=0 \\ \Rightarrow 2 x+y-4=0
Example:5.सिद्ध कीजिए कि वक्र x=a \cos \theta+a \theta \sin \theta, y=a \sin \theta-a \theta \cos \theta  के किसी बिन्दु \theta पर अभिलम्ब मूलबिन्दु से अचर दूरी पर है।
Solution: x=a \cos \theta+a \theta \sin \theta तथा y=a \sin \theta-a \theta \cos \theta \\ \theta के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d x}{d \theta} =-a \sin \theta+a \sin \theta+a \theta \cos \theta=a \theta \cos \theta \\ \frac{d y}{d \theta} =a \cos \theta-a \cos \theta+a \theta \sin \theta=a \theta \sin \theta \\ \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} \\ =\frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right) =\frac{\sin \theta}{\cos \theta}
अभिलम्ब की समीकरणः

\left(y-y_0\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(x-x_0\right)=0 \\ \Rightarrow (y-a \sin \theta+a \theta \cos \theta)\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)+(x-a \cos \theta-a \theta \sin \theta)=0 \\ \Rightarrow y \sin \theta-a \sin ^2 \theta+a \theta \cos \theta \sin \theta+x \cos \theta -a \cos ^2 \theta-a \theta \sin \theta \cos \theta=0 \\ \Rightarrow x \cos \theta+y \sin \theta-a\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta\right) =0 \\ \Rightarrow x \cos \theta+y \sin \theta-a=0
मूलबिन्दु से अभिलम्ब की दूरी
=\left|\frac{0(\cos \theta)+0(\sin \theta)-a}{\sqrt{\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta}}\right| \\ =\left|\frac{a}{\sqrt{1}}\right| \\ =a  (अचर संख्या)
अतः वक्र पर अभिलम्ब मूलबिन्दु से अचर दूरी a पर है।

Tangents and Normals in Class 12

Example:6.अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर f(x)=\frac{4 \sin x-2 x-x \cos x}{2+\cos x}
से प्रदत्त फलन f (i) वर्धमान (ii) ह्रासमान है।
Solution: f(x)=\frac{4 \sin x-2 x-x \cos x}{2+\cos x}
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

f^{\prime}(x)= \frac{(2+\cos x)(4 \cos x-2-\cos x+x \sin x)-(4 \sin x-2 x-x \cos x)(-\sin x)}{(2+\cos x)^2} \\ = \frac{(2+\cos x)(3 \cos x-2+x \sin x)+\sin x(4 \sin x-2 x-x \cos x)}{(2+\cos x)^2} \\ =\frac{6 \cos x-4+2 x \sin x+3 \cos ^2 x -2 \cos x+x \sin x \cos x+4 \sin ^2 x-2 x \sin x-x \cos x \sin x}{(2+\cos x)^2} \\ =\frac{4 \cos x-4+4 \cos ^2 x+4 \sin^2 x-\cos^{2} x}{(2+\cos x)^2} \\ = \frac{4 \cos x-4+4\left(\cos ^2 x+\sin ^2 x\right)-\cos ^2 x}{(2+\cos x)^2} \\ =\frac{4 \cos x-4+4-\cos ^2 x}{\left(2+\cos ^2 x\right)^2} \\ =\frac{4 \cos x-\cos ^2 x}{(2+\cos x)^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =\frac{\cos x(4-\cos x)}{(2+\cos x)^2}
f'(x)=0 सेः \frac{\cos x(4-\cos x)}{(2+\cos x)^2}=0 \\ 4-\cos x=0, \cos x=0 \\ \cos x=4  (असम्भव है)
अतः \cos x=0 \Rightarrow \cos x=\cos \frac{\pi}{2},\cos \frac{3 \pi}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2} \\ x=\frac{\pi}{2} और x=\frac{3 \pi}{2} वास्तविक रेखा को तीन असंयुक अन्तरालों (0,\frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2},\frac{3 \pi}{2}),(\frac{3 \pi}{2},2 \pi) में विभक्त करता है।

Tangents and Normals in Class 12

अन्तराल (0, \frac{\pi}{2}) के लिए
माना x=\frac{\pi}{3} \\ f^{\prime}(x)=\frac{\cos x(4-\cos x)}{(2+\cos x)^2} \\ f^{\prime}(\frac{\pi}{3}) =\frac{\cos (\frac{\pi}{3})(4-\cos \frac{\pi}{3})}{(2+\cos \frac{\pi}{3})^2} \\ =\frac{\frac{1}{2}(4-\frac{1}{2})}{(2+\frac{1}{2})^2}=\frac{\frac{7}{4}}{\frac{25}{4}}=\frac{7}{25} > 0
अतः \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) में फलन वर्धमान है।
अन्तराल \left( \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \right) के लिए
माना x=\frac{2\pi}{3} \\ f^{\prime}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{\cos \frac{2 \pi}{3}\left(4-\cos \frac{2 \pi}{3}\right)}{(2+\cos \frac{2 \pi}{3})^2} \\ =\frac{(-\frac{1}{2})[4-(-\frac{1}{2})]}{(2-\frac{1}{2})^2} \\ =\frac{(-\frac{1}{2})(4+\frac{1}{2})}{(\frac{3}{2})^2} \\ =\frac{-\frac{9}{4}}{\frac{9}{4}} \\ \Rightarrow f^{\prime} \left(\frac{2\pi}{3}\right)=-1<0
अतः f'(x)<0 फलतः \left( \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \right)  में फलन ह्रासमान है। अन्तराल \left( \frac{3\pi}{2} ,2 \pi \right) के लिए

माना x=\frac{5 \pi}{3} \\ f^{\prime}\left(\frac{5 \pi}{3}\right)=\frac{\cos \left(\frac{5 \pi}{3}\right) \left(4-\cos \frac{5 \pi}{3}\right)}{(2+\cos \frac{5 \pi}{3})^2} \\ =\frac{(\frac{1}{2})(4-\frac{1}{2})}{(2+\frac{1}{2})^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}\left(\frac{5 \pi}{3}\right)=\frac{7}{25}>0 

अतः f'(x)>0
फलतः \left(\frac{3 \pi}{2},2 \pi\right)  में फलन वर्धमान है।
x \in \left(0,\frac{\pi}{2} \right) \cup\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right) में f(x) वर्धमान है।
x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right) में फलन f(x) ह्रासमान है।
Example:7.अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन f(x)=x^3+\frac{1}{x^3}, x \neq 0 पर से प्रदत्त फलन (i) वर्धमान (ii) ह्रासमान है।
Solution: f(x)=x^3+\frac{1}{x^3}
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

f^{\prime}(x)=3 x^2-\frac{3}{x^4}
f'(x)=0 सेः

3 x^2-\frac{3}{x^4}=0 \Rightarrow x^6-1=0 \\ \left(x^2-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)=0 \\ \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1
x=-1 और x=1 वास्तविक रेखा को चार असंयुक्त अन्तरालों (-\infty,-1),(-1,0), (0,1) और (1,\infty) में विभक्त करता है।

Tangents and Normals in Class 12

अन्तराल (-\infty,-1) के लिए
माना x=-2

f^{\prime}(x)=3 x^2-\frac{3}{x^4} \\ f^{\prime}(-2) =3(-2)^2-\frac{3}{(-2)^4} \\ =12-\frac{3}{16} \\=\frac{192-3}{16} \\ \Rightarrow f^{\prime}(-2) =\frac{189}{16}>0
अतः f'(x)>0
फलतः x \in(-\infty,-1) में फलन f(x) वर्धमान है।
अन्तराल (-1,0) के लिए
माना x =-\frac{1}{2} \\ f^{\prime}\left(-\frac{1}{2}\right) =3\left(-\frac{1}{2}\right) ^2-\frac{3}{\left(-\frac{1}{2}\right) ^4} \\ =\frac{3}{4}-48 \\ =\frac{3-192}{4} \\ =-\frac{189}{4}<0 \\ f^{\prime}\left(-\frac{1}{2}\right)<0
अतः f'(x)<0

फलतः x \in (-1, 0) में फलन f(x) ह्रासमान है। अन्तराल (0,1) के लिए

माना x=\frac{1}{2} \\ f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=3\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{\left(\frac{1}{2}\right)^4}=\frac{3}{4}-48 \\ \Rightarrow f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{189}{4}<0

फलतः x \in (0,1) के लिए फलन f(x) ह्रासमान है। अन्तराल (1, \infty) के लिए

माना x=\frac{3}{2} \\ f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)=3\left(\frac{3}{2}\right)^2-\frac{3}{\left(\frac{3}{2}\right)^4} \\ =\frac{27}{4}-\frac{16}{27} \\ =\frac{729-64}{108} \\ =\frac{665}{108}>0 \\ \Rightarrow f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) >0

अतः f'(x)>0
फलतः x \in (1, \infty) के लिए फलन f(x) वर्धमान है।
अतः फलन अन्तराल x \in(-\infty,-1) \cup(1, \infty) में वर्धमान है।
फलन x \in (-1,0) \cup(0,1) अन्तराल में ह्रासमान है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12 में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangents and Normals in Class 12),वर्धमान और ह्रासमान फलन कक्षा 12 (Increasing and Decreasing Functions Class 12) को समझ सकते हैं।

3.उच्चतम और निम्नतम कक्षा 12 के उदाहरण (Maxima and Minima Class 12 Examples):

Example:8.दीर्घवृत्त \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 के अन्तर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।

Tangents and Normals in Class 12

Solution:माना दीर्घवृत्त पर एक बिन्दु P(a \cos \theta,b \sin \theta) है तथा APQ समद्विबाहु त्रिभुज है जिस पर एक शीर्ष दीर्घअक्ष का एक सिरा A है।
\triangle APQ की भुजा PQ दीर्घ अक्ष को बिन्दु M पर काटती है।

\text{PM}=b \sin \theta, \text{MQ}=-b \sin \theta \\ \text{PQ}=\sqrt{(a \cos \theta-a \cos \theta )^2+(b \sin \theta+b \sin \theta)^2} \\ =\sqrt{(2 b \sin \theta)^2} \\ \Rightarrow \text{PQ}=2 b \sin \theta
A(a,0) तथा M(a \cos \theta, 0) \\ \text{AM}=\sqrt{(a-a \cos \theta)^2+(0-0)^2} \\ =\sqrt{(a-a \cos \theta)^2} \\ \Rightarrow \text{AM}=a-a \cos \theta \\ \triangle APQ का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times \text{PQ} \times \text{AM} \\ =\frac{1}{2} \times 2 b \sin \theta \times(a-a \cos \theta) \\ A=a b(\sin \theta-\sin \theta \cos \theta) \cdots(1) \\ \theta के सापेक्ष अवकलन करने परः

A महत्तम होगा यदि  \frac{d A}{d \theta}=0 \\ a b\left(\cos \theta-\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right) =0 \\ \Rightarrow \cos \theta-\cos ^2 \theta+1-\cos ^2 \theta=0 \\ \Rightarrow 1+\cos \theta-2 \cos ^2 \theta=0 \\ \Rightarrow 1+2 \cos \theta-\cos \theta-2 \cos ^2 \theta=0 \\ \Rightarrow 1(1+2 \cos \theta)-\cos \theta(1+2 \cos \theta)=0 \\ \Rightarrow(1-\cos \theta)(1+2 \cos \theta)=0 \\ \Rightarrow 1-\cos \theta=0 \Rightarrow \cos \theta=1 \Rightarrow \cos \theta=\cos 0 \\ \theta=0 \\ 1+2 \cos \theta=0 \Rightarrow \cos \theta=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{2 \pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=\frac{2 \pi}{3}
समीकरण (2) का पुनः अवकलन करने परः

\frac{d^2 A}{d \theta^2}=a b(-\sin \theta+2 \cos \theta \sin \theta+2 \sin \theta \cos \theta) \\ \theta= \frac{2 \pi}{3} \\ \left(\frac{d^{2} A}{d \theta^{2}}\right)_{\theta=\frac{2 \pi}{3}}=a b\left(-\sin \frac{2 \pi}{3}+4 \cos \frac{2 \pi}{3} \sin \frac{2 \pi}{3}\right) \\ =a b\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}+4\left(-\frac{1}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] \\ =a b\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\right] \\ \left(\frac{d^2 A}{d \theta^2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3} a b}{2}<0
A अधिकतम है जब \theta= \frac{2 \pi}{3} 
A का महत्तम मान (1) सेः

A=a b\left(\sin \frac{2 \pi}{3}-\sin \frac{2 \pi}{3} \cos \frac{2 \pi}{3}\right) \\ =a b\left[\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{-1}{2}\right)\right] \\ =a b\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \\ A=\frac{3 \sqrt{3}}{4} a b
Example:9.आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2m गहरी और 8 घनमीटर आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है।यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs. 70 प्रति वर्गमीटर और दीवारों पर Rs. 45 प्रति वर्गमीटर व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?

Tangents and Normals in Class 12

Solution:माना आयताकार टंकी की लम्बाई x मीटर तथा चौड़ाई y मीटर है।
टंकी की गहराई=2 मीटर
टंकी का आयतन=2 × x × y=8 (दिया है)

x y=4 \Rightarrow y=\frac{4}{x} \cdots(1)
आधार का क्षेत्रफल=xy
आधार पर खर्च की दर=Rs.70 प्रति वर्गमीटर
आधार के लिए किया गया खर्च=70xy
=70 x \times \frac{4}{x} [(1) से]
=280 रुपए
चारों दीवारों का क्षेत्रफल=2×गहराई (लम्बाई+चौड़ाई)
=2×2 (x+y)
=4(x+y)
दीवारों पर खर्च की दर=45 रुपए प्रति वर्गमीटर
दीवारों पर कुल खर्च=45×4(x+y)

=180\left(x+\frac{4}{x}\right)
आधार तथा दीवारों पर कुल खर्च E=280+180\left(x+\frac{4}{x}\right) \cdots(2)
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d E}{d x}=180\left(1-\frac{4}{x^2}\right) \cdots(3)
न्यून खर्च E के लिए \frac{dE}{dx}=0 सेः
180\left(1-\frac{4}{x^{2}}\right)=0 \Rightarrow 1-\frac{4}{x^2}=0 \\ \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2 \\ x=2 (x \neq -2 भुजा ऋणात्मक नहीं होती है)
समीकरण (3) का पुनः अवकलन करने परः

\frac{d^2 E}{d x^2}=180 \times \frac{8}{x^3} \\ =\frac{1440}{x^3} \\ \left(\frac{d^2 E}{d x^2} \right)_{(x=2)}=\frac{1440}{2^3} \\ \Rightarrow \left(\frac{d^2 E}{d x^2}\right)_{(x=2)}=180>0
अतः x=2 पर खर्च न्यूनतम है।
x=2 पर न्यूनतम खर्च (2) सेः

4.कक्षा 12 में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब के सवाल (Tangents and Normals in Class 12 Questions):

Tangents and Normals in Class 12

(1.)यदि y=7 x-x^3 तथा x में 4 इकाई प्रति सेकण्ड की दर से वृद्धि हो रही है तो किस गति से वक्र का ढाल परिवर्तित हो रहा है, जबकि x=2 हो।
(2.)वक्र x=\theta+\sin \theta, y=1-\cos \theta के लिए बिन्दु \theta=\frac{\pi}{2} पर स्पर्शरेखा एवं अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
(3.)सिद्ध कीजिए कि f(x)=\tan^{-1}(\sin x+\cos x) अन्तराल \left( 0,\frac{\pi}{4} \right) में वर्धमान फलन है।
उत्तर (Answers):(1.)-48 इकाई/सेकण्ड
(2.)स्पर्श रेखाः 2x+2y-\pi-4 ,अभिलम्बः 2x-2y-\pi=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12 में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangents and Normals in Class 12),वर्धमान और ह्रासमान फलन कक्षा 12 (Increasing and Decreasing Functions Class 12) को समझ सकते हैं।

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5.कक्षा 12 में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Frequently Asked Questions Related to Tangents and Normals in Class 12),वर्धमान और ह्रासमान फलन कक्षा 12 (Increasing and Decreasing Functions Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

कक्षा 12 में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangents and Normals in Class 12) के इस
आर्टिकल में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब,वर्धमान और ह्रासमान फलन,सन्निकटन तथा
उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ का अध्ययन करेंगे।