1.स्पर्श रेखाएं और अभिलम्ब (Tangents and Normals)-

Tangents and Normals

स्पर्श रेखाएं और अभिलम्ब में स्पर्शरेखा(Tangents and Normals) वह सरल रेखा है जो किसी दिए गए बिंदु पर वक्र को स्पर्श करती है। अभिलम्ब ऐसी सरल रेखा है जो स्पर्शरेखा के लंबवत है।
यहां हम अवकलन के प्रयोग से किसु दिए गए वक्र के किसी बिन्दु पर स्पर्शरेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात करेंगे।
वक्र y=f(x) के किसी बिन्दु \left(x_{1}, y_{1}\right) पर स्पर्शरेखा की प्रवणता या ढाल \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x_{1}, y_{1})} होती है।अतः वक्र के बिन्दु \left(x_{1}, y_{1}\right) पर स्पर्शरेखा का समीकरण निम्न होगा-

y-y_{1}=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x_{1}, y_{1})}\left(x-x_{1}\right)

Tangents and Normals

चूंकि वक्र के किसी बिन्दु पर अभिलम्ब,उस बिन्दु पर स्पर्शरेखा के लम्बवत् होता है, अतः वक्र के स्पर्श बिन्दु \left(x_{1}, y_{1}\right) पर अभिलम्ब की प्रवणता -\frac{1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x_{1}, y_{1})}} है।
अतः वक्र y=f(x) के बिन्दु पर अभिलम्ब के समीकरण निम्न हैं-

y-y_{1}=-\frac{1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x_{1}, y_{1})}}\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow\left(y-y_{1}\right) \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x_{1} y_{1})} +\left(x-x_{1}\right)=0
टिप्पणी:यदि वक्र y=f(x) की कोई स्पर्शरेखा x-अक्ष की धन दिशा से \psi कोण बनाए तब \frac{d y}{d x}=स्पर्शरेखा की प्रवणता=\tan \psi
विशेष स्थितियां
(i)यदि \psi=0 अर्थात् स्पर्शरेखा x-अक्ष के समान्तर हो तब \frac{d y}{d x}=\tan 0=0 होगा।इस स्थिति में बिन्दु पर स्पर्शरेखा x-अक्ष के समान्तर होती है।
(ii)यदि \psi=90^{\circ} अर्थात् स्पर्शरेखा x-अक्ष के लम्बवत् हो तब \frac{d y}{d x}=\tan 0=\infty होगा।इस स्थिति में बिन्दु \left(x_{1}, y_{1}\right) पर स्पर्शरेखा x-अक्ष के लम्बवत् होती है।
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2.स्पर्श रेखाएं और अभिलम्ब के उदाहरण (Tangents and Normals Examples),स्पर्शरेखा और अभिलम्ब की समस्याएं हल सहित (Tangent and Normal Lines Problems with Solutions)-

Example-1.वक्र y =x^{3}-x बिन्दु x=2 पर स्पर्शरेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Solution–y =x^{3}-x \\ (\frac{d y}{d x})=3 x^{2}-1 \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=2)}=3(2)^{2}-1 \\ =12-1 \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=2)}=11
Example-2.वक्र y=\frac{x-1}{x-2}, x \neq 2 के बिन्दु x=10 पर स्पर्शरेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Solution–y=\frac{x-1}{x-2} \\\Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{(x-2)(1)-(x-1)(1)}{(x-2)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x-2-x+1}{(x-2)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-1}{(x-2)^{2}} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=10)}=-\frac{1}{(10-2)^{2}} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=10)}=-\frac{1}{64}
Example-3.वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जहां वक्र y=\sqrt{(4 x-3)} की स्पर्शरेखा की प्रवणता \frac{2}{3} है।
Solution–y =\sqrt{(4 x-3)} \cdots(1) \\ \frac{d y}{d x} =\frac{1}{2 \sqrt{(4 x-3)}} \cdots (4) \\\Rightarrow\left(\frac{d y}{x}\right) =\frac{2}{\sqrt{(4 x-3)}} \\ \left(\frac{d y}{d x}\right) =\frac{2}{3} (दिया है)
अतः \frac{2}{3} =\frac{2}{\sqrt{(4 x-3)}} \\ \Rightarrow \sqrt{(4 x-3)}=3 \\ \Rightarrow 4 x-3=9 \\ \Rightarrow 4 x=12 \\ \Rightarrow x=3
x का मान समीकरण (1) में रखने पर-

y=\sqrt{4 \times 3-3} \\ \Rightarrow y=\sqrt{12-3} \\ \Rightarrow y=\sqrt{9} \\ \Rightarrow y=\pm 3
अतः उस बिन्दु के निर्देशांक हैं (3,3);(3,-3)
Example-4.उन सभी रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y+\frac{2}{x-3}=0 की स्पर्शरेखाएं हैं तथा जिनकी प्रवणता 2 है।
Solution–y+\frac{2}{x-3}=0 \\ \Rightarrow y=-\frac{2}{x-3} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{2}{(x-3)^{2}} \\ \frac{d y}{d x}=2 (दिया है)

2=\frac{2}{(x-3)^{2}}\\ \Rightarrow(x-3)^{2}=1 \Rightarrow x-3=\pm 1\\ \Rightarrow x-3=1 \Rightarrow x=4\\ x-3=-1 \Rightarrow x=2
यदि x=4 तो y=-\frac{2}{x-3} \\ \Rightarrow y=-\frac{2}{4-3} \\ \Rightarrow y=-2
यदि x=2 तो y=-\frac{2}{2-3} \\ \Rightarrow y=2
अतः बिन्दु (4,-2) तथा (2,2) व प्रवणता वाली स्पर्शरेखाओं के समीकरण-

y-y_{1}=\frac{d y}{d x}\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow y+2=2(x-4) \Rightarrow 2 x-y=10 \\ y-2=2(x-2) \Rightarrow 2 x-y=2
Example-5.वक्र \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25} =1 पर वे बिन्दु ज्ञात कीजिए जहां स्पर्शरेखा
(i)x-अक्ष के समान्तर (ii)y-अक्ष के समान्तर
Solution–\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25} =1....(1) \\ \frac{2 x}{4}+\frac{2 y}{25} \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{2 x}{4} \times \frac{25}{2 y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{25 x}{4 y}
(i)x-अक्ष के समान्तर \frac{d y}{d x}=0 \\ \frac{-25 x}{4 y}=0 \\ \Rightarrow x=0
समीकरण (1) में रखने पर-

\frac{y^{2}}{25}=1 \\ \Rightarrow y^{2}=25 \\ \Rightarrow y=\pm 5
अतः बिन्दु के निर्देशांक (0,5);(0,-5)
(ii)y-अक्ष के समान्तर \frac{d y}{d x}=\infty \\ \Rightarrow -\frac{25 x}{4 y}=\infty \\ -\frac{25 x}{4 y}=\frac{1}{0} \Rightarrow 4 y=0 \\ \Rightarrow y=0
समीकरण (1) में रखने पर-

\frac{x^{2}}{4}=0 \\ \Rightarrow x^{2}=4 \\ \Rightarrow x=\pm 2
अतः यदि स्पर्शरेखा y-अक्ष के समान्तर है तो बिन्दु के निर्देशांक (2,0);(-2,0)

Tangents and Normals

Example-6.वक्र x=a \sin ^{3} t, y=b \cos ^{3} t की t= \frac{\pi}{2} पर स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution–x=a \sin ^{3} t, y=b \cos ^{3} t \\ \frac{d x}{d t}=3 a \sin ^{2} t \cos t, \quad \frac{d y}{d t}=-3 b \cos ^{2} t \sin t \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} \\ =-\frac{3 b \cos ^{2}+\sin t}{3 a \sin ^{2}+\cos t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{-b \cos t}{a \sin t} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(\frac{\pi}{2})}=-\frac{b \cos \frac{\pi}{2}}{a \sin \frac{\pi}{2}} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(\frac{\pi}{2})}=0 \\ x=a \sin ^{3} t \\ \Rightarrow x=a \sin ^{3} \frac{\pi}{2} \Rightarrow x=a \\ \Rightarrow y=b \cos ^{3} t \Rightarrow y=b \cos ^{3} \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow y=0
अतः (a,0) पर स्पर्शरेखा का समीकरण-

y-y_{1}=\left(\frac{dy}{d x}\right)\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow y-0=0(x-a) \\ \Rightarrow y=0
Example-7.वक्र y=\sin ^{2} x के बिन्दु (\frac{\pi}{3}, \frac{3}{4}) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution–y=\sin ^{2} x \\ \frac{d y}{d x}=2 \sin x \cos x \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(\frac{\pi}{3}, \frac{3}{4})} =2 \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{3} \\ =2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right) _{(\frac{\pi}{3}, \frac{3}{4})}=\frac{\sqrt{3}}{2}
अतः बिन्दु (\frac{\pi}{3}, \frac{3}{4}) पर अभिलम्ब की समीकरण-

(y-y_{1})\left(\frac {d y} {d x}\right)+\left(x-x_{1}\right)=0 \\ \Rightarrow \left(y-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+(x-\frac{\pi}{3})=0 \\ \Rightarrow \frac{(4 y-3) \sqrt{3}}{8}+\frac{3 x-\pi}{3}=0 \\ \Rightarrow (12 y-9) \sqrt{3}+24 x-8 \pi=0 \\ \Rightarrow 24 x+12 \sqrt{3} y=9 \sqrt{3}+8 \pi
निम्नलिखित वक्रों के लिए उनके सम्मुख अंकित बिन्दु पर स्पर्शरेखा एवम् अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए
Example-8. y=x^{2}+4 x+1, x=3 पर
Solution–y=x^{2}+4 x+1 \quad....(1) \\ \frac{d y}{d x}=2 x+4 \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=3)}=2(3)+4 \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=3)}=10
x=3 समीकरण (1) में रखने पर-

y=x^{2}+4 x+1 \\ \Rightarrow y=3^{2}+4(3)+1 \\ \Rightarrow y=9+12+1 \\ \Rightarrow y=22
अतः बिन्दु (3,22) पर स्पर्शरेखा का समीकरण-

y-y_{1}=\left(\frac{d y}{d x}\right)\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow y-22=10(x-3) \\ \Rightarrow 40 x-y=8
बिन्दु (3,22) पर अभिलम्ब का समीकरण-

\left(y-y_{1}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(x-x_{1}\right)=0 \\ \Rightarrow(y-22)(10)+(x-3)=0 \\ \Rightarrow 10 y-220+x-3=0 \\ \Rightarrow x+10 y=223
स्पर्शरेखा 10x-y=8
अभिलम्ब x+10y=223
Example-9.y^{2}=4 a x,x=a पर

Solution:-y^{2}=4a x \cdots (1)
x=a रखने पर-

y^{2}=4a(a) \\ y^{2}=4 a^{2} \\ y=\pm 2 a
अतः बिन्दु (a,2a),(a,-2a)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

2 y\left(\frac{d y}{dx}\right)=4 a \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 a}{y} \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(a, 2a\right)}=\frac{2 a}{2 a} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, 2a)}=1 \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, 2a)}=\frac{2 a}{-2a} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a,-4 a)}=-1
अतः (a,2a) तथा (a,-2a) पर स्पर्शरेखा का समीकरण-

y-y_{1}=\left(\frac{d y}{dx}\right)\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow y-2a=1(x-a) \\ \Rightarrow y-2 a=x-a \\ \Rightarrow x-y+a=0 \\ y +2 a=-1(x-a) \\ \Rightarrow x+2a=-x+a \\ \Rightarrow x+y+a=0
बिन्दु (a,2a) तथा (a,-2a) पर अभिलम्ब का समीकरण-

\left(y-y_{1}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(x-x_{1}\right)=0 \\ \Rightarrow (y-2 a)(1)+(x-2 a)=0 \\ \Rightarrow x+y-3 a=0 \\ (y+2 a)(-1)+(x-a)=0 \\ \Rightarrow x-y-3 a=0
अतः स्पर्शरेखा x+y+a=0,x-y+a=0
अभिलम्ब x-y-3a=0, x+y-3a=0
Example-10.x y=a^{2},\left(a t, \frac{a}{t}\right) पर
Solution–x y=a^{2} \\ x \frac{ d y}{d x}+y=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)=-\frac{y}{x} \\ \Rightarrow \left( \frac{d y}{d x}\right)_{(a t, \frac{a}{t})}=\frac{-y}{x} \\ =\frac{-\frac{a}{t}}{a t} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{x}\right)_{(a t, \frac{a}{t})}=-\frac{1}{t^{2}}
अतः बिन्दु (a t, \frac{a}{t}) पर स्पर्शरेखा का समीकरण-

y-y_{1}=\frac{d y}{dx}(x-x_{1}) \\ \Rightarrow y-\frac{a}{t}=\left(\frac{-1}{t^{2}}\right)(x-a t) \\ \Rightarrow y t^{2}-a t=-x+a t \\ \Rightarrow x+y t^{2}-2 a t=0
बिन्दु (a t, \frac{a}{t}) पर अभिलम्ब का समीकरण-

(y-y_{1})\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(x-x_{1}\right)=0 \\ \Rightarrow \left(y-\frac{a}{t}\right)\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)+(x-a t)=0 \\ \Rightarrow \frac{(yt-a)}{t}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right) +(x-a t)=0 \\ \Rightarrow x t^{3}-y t+a-a t^{4}=0 \\ \Rightarrow x t^{3}-y t=a t^{4}-a
स्पर्शरेखा x+y t^{2}-2 a t=0
अभिलम्ब x t^{3}-y t=a t^{4}-a
Example-11. y^{2}=4a x,\left(\frac{a}{m^{2}}, \frac{2 a}{m}\right) पर
Solution–y^{2}=4 a x \\ 2 y \frac{d y}{d x}=4 a \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{2 a}{y} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(\frac{a}{m^{2}}, \frac{2 a}{m})}=\frac{2a}{\left(\frac{2 a}{m}\right)} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(\frac{a}{m^{2}}, \frac{2 a}{m})}=m
अतः बिन्दु (\frac{a}{m^{2}}, \frac{2 a}{m}) पर स्पर्शरेखा का समीकरण-

y-y_{1}=\left(\frac{d y}{d x}\right)\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow y-\frac{2 a}{m}=m\left(x-\frac{a}{m^{2}}\right) \\ \Rightarrow m y-2 a=m^{2}\left(x-\frac{a}{m^{2}}\right) \\ \Rightarrow m y-2 a=m^{2} x-a \\ \Rightarrow y-m x=\frac{a}{m}
बिन्दु पर अभिलम्ब का समीकरण-

\left(y-y_{1}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(x-x_{1}\right)=0 \\ \Rightarrow\left(y-\frac{2 a}{m}\right)(m)+\left(x-\frac{a}{m^{2}}\right)=0 \\ \Rightarrow m y-2 a+x-\frac{a}{m^{2}}=0 \\ \Rightarrow x+m y=2 a+\frac{a}{m^{2}}
अतः स्पर्शरेखा y-m x=\frac{a}{m}
अभिलम्ब  x+m y=2 a+\frac{a}{m^{2}}

Tangents and Normals

Example-12. \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a \sec \theta, b \tan \theta) पर
Solution–\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ \frac{2 x}{a^{2}}-\frac{2 y}{b^{2}} \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{a^{2}} \times \frac{b^{2}}{2 y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{b^{2} x}{a^{2} y} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a \sec \theta, b \tan \theta)}=\frac{b^{2} \cdot a \sec \theta}{a^{2} \cdot b \tan \theta} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a \sec \theta, b \tan \theta)}=\frac{b}{a \sin \theta}
अतः बिन्दु (a \sec \theta, b \tan \theta) पर स्पर्शरेखा का समीकरण-

y-y_{1}=\frac{d y}{d x}\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow y-b \tan \theta=\left(\frac{b}{a \sin \theta}\right)(x-a \sec \theta) \\ \Rightarrow \frac{y}{b}-\tan \theta=\frac{x}{a \sin \theta}-\frac{\sec \theta}{\sin \theta} \\ \Rightarrow \frac{x}{a \sin \theta}-\frac{y}{b}=\frac{\sec \theta}{\sin \theta}-\tan \theta \\ \Rightarrow \frac{x}{a \sin \theta}-\frac{y}{b}=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\ \Rightarrow \frac{x}{a \sin \theta}-\frac{y}{b}=\frac{1}{\cos \theta}\left(\frac{1}{\sin \theta}-\sin \theta\right) \\ \Rightarrow \frac{x}{a \sin \theta}-\frac{y}{b}=\frac{1}{\cos \theta \sin \theta}\left(1-\sin ^{2} \theta\right) \\ \Rightarrow \frac{x}{a \sin \theta}- \frac{y}{b}=\frac{\cos ^{2} \theta}{\cos \theta \sin \theta} \\ \Rightarrow \frac{x}{a \sin \theta} -\frac{y}{b}=\cot \theta \\ \Rightarrow \frac{x}{a} \sec \theta-\frac{y}{b} \tan \theta=1
बिन्दु (a \sec \theta, b \tan \theta) पर अभिलम्ब का समीकरण-

y-y_{1}(\frac{d y}{dx})+\left(x-x_{1}\right)=0 \\ \Rightarrow (y-b \tan \theta)\left(\frac{b}{a \sin \theta}\right)+(x-a \sec \theta)=0\\ \Rightarrow \frac{b^{2} y}{\sin \theta}-\frac{b^{2}}{\cos \theta}+a x-a^{2} \sec \theta=0 \\ \Rightarrow \frac{b y}{\sin \theta}+a x=\frac{b^{2}}{\cos \theta}+a^{2} \sec \theta \\ \Rightarrow a x+\frac{b y}{\sin \theta} =\frac{a^{2} +b^{2}}{\cos \theta} \\ \Rightarrow a x \cos \theta+b y \cot \theta=a^{2}+b^{2}
Example-13.y=2 x^{2}-3 x-1,(1,-2) पर
Solution–y=2 x^{2}-3 x-1 \\ \frac{d y}{d x}=4 x-3 \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,-2)}=4(1)-3=1
अतः (1,-2) पर स्पर्शरेखा का समीकरण-

y-y_{1}=\frac{d y}{d x}\left(x-x_{1}\right) \\ y+2=1(x-1) \\ \Rightarrow x-y=3
बिन्दु (1,-2) पर अभिलम्ब का समीकरण-

\left(y-y_{1}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)+\left(x-x_{1}\right)=0 \\ \Rightarrow(y+2)(1)+(x-1)=0 \\ \Rightarrow x+y+1=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा स्पर्श रेखाएं और अभिलम्ब (Tangents and Normals) को समझ सकते हैं।

3.स्पर्श रेखाएं और अभिलम्ब की समस्याएं (Tangents and Normals Problems),स्पर्शरेखा और अभिलम्ब के सवाल (Tangents and Normals Questions)-

निम्नलिखित वक्रों के लिए उनके सम्मुख अंकित बिन्दु पर स्पर्शरेखा एवम् अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
(1.) x=a t^{2}, y=2 a t,t=1
(2.) x=\theta+\sin \theta, y=1-\cos \theta, \theta=\frac{\pi}{2} पर
(3.)वक्र x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2 के बिन्दु (1,1) पर स्पर्शरेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
(4.)वक्र y=x^{3}-11x+5 पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्शरेखा y=x-11 है।
(5.)वक्र 2x^{2}-y^{2}=14 पर सरल रेखा x+3y=6 के समान्तर अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
(6.) सिद्ध कीजिए कि x के प्रत्येक मान के लिए सरल रेखा \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2 वक्र \left(\frac{x}{a}\right)^{n}+\left(\frac{y}{b}\right)^{n}=1 को बिन्दु (a,b) पर स्पर्श करती है।
उत्तर (Andwers):
(1.)स्पर्शरेखा x-y+a=0 अभिलम्ब x+y-3a=0
(2.)स्पर्शरेखा 2x-2y-\pi=0 , अभिलम्ब 2x-2y-\pi-4=0
(3.)स्पर्शरेखा x+y-2=0, अभिलम्ब y-x=0
(4.)(-2,9)
(5.)x+3y=9, x+3y+9=0
उपर्युक्त सवालों को हल करके स्पर्श रेखाएं और अभिलम्ब (Tangents and Normals) को ठीक से समझ सकते हैं।

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Tangents and Normals

स्पर्श रेखाएं और अभिलम्ब (Tangents and Normals) में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-