Tangent to a Circle Class 10
1.वृत्त की स्पर्श रेखा कक्षा 10 (Tangent to a Circle Class 10),वृत्त कक्षा 10 (Circle Class 10):
वृत्त की स्पर्श रेखा कक्षा 10 (Tangent to a Circle Class 10) में किसी वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।हम वृत्त से सम्बन्धित अवधारणाएं जैसेःजीवा,वृत्तखण्ड,त्रिज्यखण्ड, चाप आदि के बारे में पढ़ चुके हैं।
स्थिति:I. अप्रतिच्छेदी रेखा (Non-intersecting Line):रेखा PQ वृत्त को स्पर्श नहीं करती है दर्शाया गया है अर्थात् रेखा और वृत्त के मध्य कोई सम्बन्ध नहीं होता है।इस स्थिति में रेखा PQ को वृत्त के सापेक्ष अप्रतिच्छेदी रेखा कहते हैं।(देखिए आकृति)
स्थितिःII.छेदक रेखा (Secant):रेखा PQ वृत्त को दो भिन्न बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करती है,यह रेखा वृत्त को अधिकतम दो बिन्दुओं पर ही प्रतिच्छेद कर सकती है क्योंकि वृत्त तीन या तीन से अधिक संरेखीय बिन्दुओं से नहीं गुजर सकता है,अतः एक ऐसी सरल रेखा जो एक वृत्त को दो भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है,छेदक रेखा (Secant) कहलाती है। (देखिए आकृति)
स्थिति:III. स्पर्श रेखा (Tangent):रेखा PQ वृत्त को दो सम्पाती बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है अर्थात् रेखा वृत्त को एक बिन्दु पर स्पर्श करती है, अतः एक सरल रेखा जो वृत्त को केवल एक बिन्दु पर स्पर्श करे,वृत्त की स्पर्श रेखा (Tangent) कहलाती है।वृत्त के समतल में स्पर्श रेखा और वृत्त में केवल एक बिन्दु उभयनिष्ठ होता है।यह उभयनिष्ठ बिन्दु स्पर्श बिन्दु (point of contact) कहलाता है।(देखिए आकृति)
छेदक रेखा के समान्तर स्पर्श रेखा (Tangents Parallel to a Secant):एक छेदक रेखा के समान्तर वृत्त की अधिकतम दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती है।चित्र में PQ तथा PQ के समान्तर अनेक छेदक रेखाएँ है।P’Q’ तथा P”Q” वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं जो वृत्त को केवल एक बिन्दु पर स्पर्श करती हैं।
प्रमेय (Theorem):10.1.वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
दिया है (Given):O केन्द्र वाले वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा XY है और बिन्दु P से जाने वाली त्रिज्या OP है।
सिद्ध करना है (To Prove): OP \perp XY
रचना (Construction):XY पर P के अतिरिक्त कोई बिन्दु Q लेकर, OQ को मिलाया।
उपपत्ति (Proof):बिन्दु O वृत्त के बाहर होना चाहिए (ध्यान दीजिये कि यदि Q वृत्त के अन्दर है तो XY वृत्त की एक छेदक रेखा हो जाएगी और वह वृत्त की स्पर्श रेखा नहीं होगी)।अतः OQ त्रिज्या OP से बड़ी है अर्थात्
OQ>OP
क्योंकि यह बिन्दु P के अतिरिक्त XY के प्रत्येक बिन्दु के लिए सत्य है, OP बिन्दु O से XY के अन्य बिन्दुओं की न्यूनतम दूरी है।
बिन्दु O को स्पर्श रेखा XY के बिन्दुओं से मिलाने पर जितने रेखाखण्ड प्राप्त होते हैं, उनमें सबसे छोटा रेखाखण्ड वह होता है जो कि O से XY पर लम्बवत हो।इसलिए OP, XY पर लम्ब है
अतः OP \perp XY
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2.वृत्त की स्पर्श रेखा कक्षा 10 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Tangent to a Circle Class 10):
Example:1.एक वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
Solution:एक वृत्त पर की परिधि पर स्थित प्रत्येक बिन्दु से एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।परन्तु वृत्त की परिधि पर अनन्त बिन्दु हैं।इसलिए वृत्त पर अनन्त स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
Example:2.रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिएः
Example:2(i).किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे…… बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
Solution:किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
Example:2(ii).वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को……. कहते हैं।
Solution:वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं।
Example:2(iii).एक वृत्त की……. समान्तर स्पर्श रेखाएँ हों सकती हैं।
Solution:एक वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हों सकती हैं।
Example:2(iv).वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को…… कहते हैं।
Solution:वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहते हैं।
Example:3.5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ=12 सेमी।PQ की लम्बाई हैः
(A) 12 सेमी (B) 13 सेमी (C) 8.5 सेमी (D)\sqrt{119} सेमी
Solution:OQ=12 सेमी, OP=5 सेमी
PQ एक स्पर्श रेखा है जो त्रिज्या OP पर लम्ब है।
समकोण \triangle POQ में पाइथागोरस प्रमेय सेः
OQ^2=P Q^2+O P^2 \\ \Rightarrow (12)^2=P Q^2+(5)^2 \\ \Rightarrow 144=P Q^2+25 \\ \Rightarrow P Q^2=144-25 \\ \Rightarrow P Q^2=119 \\ \Rightarrow P Q=\sqrt{119}
उत्तर (D) \sqrt{119} सेमी
Example:4.एक वृत्त खींचिए और एक दी हुई रेखा के समान्तर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।
Solution:माना O केन्द्र का एक वृत्त है और PQ एक दी हुई रेखा है।हमें PQ के समान्तर दो रेखाएँ (माना CD व AB) खींचनी हैं जिनमें CD स्पर्श रेखा और AB छेदक रेखा हो।
रचना विधि:(i).रेखा PQ पर केन्द्र-बिन्दु से लम्ब ON खींचा जो वृत्त को C पर काटे।
(ii) त्रिज्या OC के बिन्दु C पर लम्ब CD खींचा।CD स्पर्श रेखा है।
(iii)OC पर एक बिन्दु M से OC पर लम्ब AB खींचा।AB छेदक रेखा है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वृत्त की स्पर्श रेखा कक्षा 10 (Tangent to a Circle Class 10),वृत्त कक्षा 10 (Circle Class 10) को समझ सकते हैं।
3.वृत्त की स्पर्श रेखा कक्षा 10 के सवाल (Tangent to a Circle Class 10 Questions):
(1.)3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के बिन्दु A पर स्पर्श रेखा PA केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा को बिन्दु P पर इस प्रकार मिलती है कि OP=4 सेमी।PA की लम्बाई होगी।
(2.)एक बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई 12 सेमी है तथा वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी हो तो वृत्त के केन्द्र से उस बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए।
(3.)एक बिन्दु B वृत्त के केन्द्र से 25 सेमी की दूरी पर है।P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 सेमी है तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.) सेमी (2.)13 सेमी (3.)7 सेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वृत्त की स्पर्श रेखा कक्षा 10 (Tangent to a Circle Class 10),वृत्त कक्षा 10 (Circle Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।
4.वृत्त की स्पर्श रेखा कक्षा 10 की मुख्य बातें (HIGHLIGHTS of Tangent to a Circle Class 10):
(1.)वृत्त एक तल के उन बिन्दुओं का समुच्चय होता है जो एक नियत बिन्दु (केन्द्र) से अचर दूरी (त्रिज्या) पर होते हैं।
(2.)वृत्त के एक बिन्दु पर एक और केवल एक स्पर्श रेखा होती है।
(3.)किसी वृत्त की स्पर्श रेखा छेदक रेखा की एक विशिष्ट दशा है जब संगत जीवा के दोनों सिरे संपाती हो जाएं।
(4.)एक छेदक रेखा के समान्तर वृत्त की दो से अधिक स्पर्श रेखाएँ नहीं होती है।
(5.)स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहते हैं तथा स्पर्श रेखा को वृत्त की उभयनिष्ठ बिन्दु पर स्पर्श करना कहते हैं।
(6.)वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
(7.)रेखा तथा वृत्त में कोई उभयनिष्ठ बिन्दु नहीं है।इस दशा में वृत्त के सापेक्ष अप्रतिच्छेदी रेखा कहते हैं।
(8.)वृत्त के एक बाह्य बिन्दु से वृत्त पर अधिकतम दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(9.)वह रेखा जो वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती है छेदक रेखा कहलाती है।
उपर्युक्त विवरण के द्वारा वृत्त की स्पर्श रेखा कक्षा 10 (Tangent to a Circle Class 10),वृत्त कक्षा 10 (Circle Class 10) की मुख्य बातें जान सकते हैं।
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5.वृत्त की स्पर्श रेखा कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Tangent to a Circle Class 10),वृत्त कक्षा 10 (Circle Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.वृत्त का स्पर्श बिन्दु किसे कहते हैं? (What is Point of Contact of a Circle?):
उत्तर:स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहते हैं तथा स्पर्श रेखा को वृत्त के उभयनिष्ठ बिन्दु पर स्पर्श करना कहते हैं।
प्रश्न:2.वृत्त की स्पर्श रेखा की लम्बाई से क्या तात्पर्य है? (What is Meant by the Length of the Tangent of the Circle?):
उत्तर:बाह्य बिन्दु P से वृत्त के स्पर्श बिन्दु तक स्पर्श रेखाखण्ड की लम्बाई को बिन्दु P से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई कहते हैं।
प्रश्न:3.छेदक रेखा किसे कहते हैं? (What is a Secant of the Circle?):
उत्तर:वह रेखा जो वृत्तको दो बिन्दुओं पर काटती है छेदक रेखा कहलाती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वृत्त की स्पर्श रेखा कक्षा 10 (Tangent to a Circle Class 10),वृत्त कक्षा 10 (Circle Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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वृत्त की स्पर्श रेखा कक्षा 10
(Tangent to a Circle Class 10)
Tangent to a Circle Class 10
वृत्त की स्पर्श रेखा कक्षा 10 (Tangent to a Circle Class 10) में किसी वृत्त की स्पर्श रेखा वह
रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
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Satyam
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