1.समतल का गोले को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध (Tangency Condition of Plane to Sphere),गोले के स्पर्श समतल की समीकरण (Equation of Tangent Plane to Sphere)-

Tangency Condition of Plane to Sphere

समतल का गोले को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध (Tangency Condition of Plane to Sphere)।एक समतल किसी दिए गए गोले को स्पर्श करता है यदि गोले के केंद्र से समतल पर लम्ब की लम्बाई गोले की त्रिज्या के बराबर हो।
(1.)स्पर्शता का प्रतिबन्ध (Condition of Tengency)-
समतल का गोले को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध (Tangency Condition of Plane to Sphere) ज्ञात करना (To find the condition that the plane may touch the sphere.)
माना समतल का समीकरण lx+my+nz=p तथा गोले का समीकरण x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0 है।
दिए हुए गोले का केन्द्र (-u,-v,-w) तथा इसकी त्रिज्या \sqrt{\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}-d\right)} है।
हमें l,m,n,p तथा u,v,w,d में वह सम्बन्ध ज्ञात करना है जिसके सत्य होने पर समतल lx+my+nz=p दिए हुए गोले को स्पर्श करे।
समतल lx+my+nz=p दिए हुए गोले को स्पर्श करेगा यदि गोले के केन्द्र (-u,-v,-w) से समतल पर डाले गए लम्ब की लम्बाई गोले की त्रिज्या के बराबर हो।अतः

\frac{-ul-v m-w n-p}{\sqrt{\left(1^{2}+m^{2}+ n^{2}\right)}} =\sqrt{\left(u^{2} +v^{2}+w^{2}-d\right)} \\ \Rightarrow\left(u^{2} +vm+wn+p\right)^{2} =\left(l^{2} +m^{2} +n^{2}\right)\left(u^{2} +v^{2}+w^{2}-d\right)
जो कि स्पर्शता का अभीष्ट प्रतिबन्ध है।
(2.)सम्पर्क तल (स्पर्श बिन्दु तल)[Plane of Contact]-
परिभाषा (Definition)-किसी दिए हुए बिन्दु से गोले पर खींचे गए स्पर्श समतलों के स्पर्श बिन्दु जिस समतल पर विद्यमान है उसे दिए हुए बिन्दु का गोले  के सापेक्ष सम्पर्क तल (Plane of Contact) कहते हैं।
बिन्दु A(\alpha,\beta,\gamma) का गोले x^{2}+y^{2} +z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0 के सम्पर्क तल का समीकरण ज्ञात करना।
(To find the equation of the plane of contact of the point A(\alpha,\beta,\gamma) with respect to the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 u x+2 v y+2 w z+d=0.)
मान लो P(f,g,h) दिए हुए गोले पर स्थित कोई बिन्दु है तो P पर स्पर्श समतल का समीकरण होगा

xf+yg+zh+u(x+f)+v(y+g)+w(z+h)+d=0 \cdots(1)
यदि यह स्पर्शतल बिन्दु से गुजरता है तब

\alpha f+\beta g+\gamma h+u(\alpha+f)+v(\beta+g) +\omega (\gamma+h) +d=0 \cdots(2)
समीकरण (2),बिन्दु (f,g,h) का समतल

x \alpha+y \beta+z \gamma+u(x+\alpha)+v(y+\beta)+w(z+\gamma)+d=0 \cdots(3)
पर होने का प्रतिबन्ध है।
अतः समतल ( 3) पर वे सभी बिन्दु विद्यमान होंगे जिनके स्पर्श समतल बिन्दु से गुजरते हैं।अतः समीकरण (3) दिए हुए बिन्दु का गोले के सापेक्ष अभीष्ट सम्पर्क तल (स्पर्श बिन्दु तल) का समीकरण है।
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2.समतल का गोले को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध के उदाहरण (Tangency Condition of Plane to Sphere Examples)-

Example-1.उस गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र (1,2,3) है तथा जो 3x+2y+z+4=0 समतल को स्पर्श करता है।उस वृत्त की त्रिज्या भी ज्ञात कीजिए जिसमें यह गोला तल x+y+z=0 के द्वारा काटा जाता है।
(Find the equation of the sphere whose centre is the point (1,2,3) and which touches the plane 3x+2y+z+4=0.Find also the radius of the circle in which the sphere is cut by the plane x+y+z=0.)
Solution– गोले के केन्द्र (1,2,3) से स्पर्श समतल 3x+2y+z+4=0 पर लम्ब की लम्बाई=गोले की त्रिज्या

\Rightarrow r=\frac{3(1)+2(2)+3+4}{\sqrt{(3)^{2}+(2)^{2}+(1)^{2}}} \\=\frac{3+4+3+4}{\sqrt{9+4+1}} \\=\frac{14}{\sqrt{14}} \\ \Rightarrow r =\sqrt{14}
अतः गोले का समीकरण-

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2} \\ \Rightarrow(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=(\sqrt{14})^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-2 x+1+y^{2}-4 y+4+z^{2}-6 z+9=14 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y-6 z=0
गोले के केन्द्र (1,2,3) से समतल x+y+z=0 पर लम्ब की लम्बाई

P=\frac{1+2+3}{\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}}} \\ \Rightarrow P=\frac{6}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow P=2 \sqrt{3}
वृत्त की त्रिज्या=\sqrt{r^{2}-p^{2}} \\ =\sqrt{(\sqrt{14})^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}} \\ =\sqrt{14-12} \\ =\sqrt{2}
Example-2.वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए ताकि समतल Ax+By+Cz+D=0 गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}+24 x+2 v y+2 w z+d=0 का स्पर्श समतल हो।
(Find the condition so that the plane Ax+By+Cz+D=0 may be tangent to the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}+24 x+2 v y+2 w z+d=0.)
Solution– गोले का समीकरण 

x^{2}+y^{2}+z^{2}+24 x+2 v y+2 w z+d=0
गोले का केन्द्र=(-u,-v-w)
गोले की त्रिज्या=sqrt{\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}-d\right)}
गोले के केन्द्र (-u,-v,-w) से समतल Ax+By+Cz+D=0 पर लम्ब की लम्बाई=गोले की त्रिज्या

\Rightarrow -\frac{Au-Bv-Cw+D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} =\sqrt{u^{2}+ v^{2} +w^{2}-d} \\ \Rightarrow  (A u+Bv+Cw-D)^{2} =\left(A^{2}+B^{2}+ C^{2}\right)\left(u^{2}+v^{2} +\omega^{2} -d\right)
Example-3.सिद्ध करो कि समतल 2x-2y+z+12=0,गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y+2 z=3 को स्पर्श करता है तथा स्पर्श बिन्दु ज्ञात करो।
(Show that the plane 2x-2y+z+12=0 touches the sphere x^{2}+y^{2} +z^{2}-2 x-4 y+2 z=3 and find the point of contact.)
Solution– माना गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y+2 z=3
के स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक x_{1},y_{1},z_{1} हैं।
स्पर्श समतल का समीकरण-

x x_{1}+y y_{1}+z  z_{1}+u\left(x+x_{1}\right)+v\left(y+y_{1}\right) +w\left(z+z_{1}\right)+d=0 \\ \Rightarrow x x_{1}+y y_{1}+z z_{1}-1\left(x +x_{1}\right)-2\left(y+y_{1}\right) +1\left(z+z_{1}\right)-3=0 \\ \Rightarrow \left(x_{1}-1\right) x+\left(y_{1}- 2\right) y +\left(z_{1}+1\right) z-x_{1}-2 y_{1}+z_{1}-3=0
दिया हुआ समतल है-
2x-2y+z+12=0
यदि ये दोनों एक ही समतल हैं तो गुणांकों की तुलना करने पर-

\frac{x_{1}-1}{2}=\frac{y_{1}-2}{-2}=\frac{z_{1}+1}{1}=\frac{-x_{1}-2 y_{1}+z_{1}-3}{12}
प्रथम दो अनुपातों से-

\frac{x_{1}-1}{2}=\frac{y_{1}-2}{-2} \\ \Rightarrow x_{1}-1=-y_{1}+2 \\ \Rightarrow x_{1}+y_{1}=3 \cdots(1)
प्रथम तथा तृतीय अनुपात से-

\Rightarrow \frac{x_{1}-1}{2}=\frac{z_{1}+1}{1} \\ \Rightarrow x_{1}-1=2 z_{1}+2 \\ \Rightarrow x_{1}-2 z_{1}=3 \cdots \cdot(2)
प्रथम व अन्तिम अनुपात से-

\frac{x_{1}-1}{2}=\frac{-x_{1}-2 y_{1}+z_{1}-3}{12} \\ \Rightarrow x_{1}-1=\frac{-x_{1}-2 y_{1}+z_{1} -3}{6} \\ \Rightarrow 6 x_{1}-6+x_{1}+2 y_{1}-z_{1}=-3 \\ \Rightarrow 7 x_{1}+2 y_{1}-z_{1}=+3 \cdots(3)
समीकरण (3) को 2 से गुणा करने पर-

14 x_{1}+4 y_{1}-2 z_{1}=+6 \cdots(4) \\ x_{1} \quad \quad -2 z_{1}=3 \cdots(2) \\ - \quad \quad \quad + \quad \quad \quad - \quad \\............................. ....................\\  13 x_{1}+4 y_{1}=+3 \cdots(5)
समीकरण (1) को 4 से गुणा करके समीकरण (5) में से घटाने पर-

13 x_{1}+4 y_{1}=+3 \cdots(5) \\ 4x_{1}-4y_{1} =12 \cdots(6) \\ - \quad \quad \quad - \quad \quad \quad - \\ ............................................................ \\ 9 x_{1}=-9  \\ \Rightarrow x_{1}= -1
समीकरण (1) व (2) में रखने पर-

-1+y_{1}=3,-1-2 z_{1}=3 \\ \Rightarrow y_{1}=4, \quad z_{1}=-2
अतः x^{2}+y^{2}+2^{2}-2 x-4 y+2z=3 \\ \Rightarrow (-1)^{2}+(4)^{2}+(-2)^{2}-2(-1)-4(4)+2(-2)=3 \\ \Rightarrow 1+16+4+2-16-4=3 \\ \Rightarrow 3=3
यदि ये स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक हैं तो गोले के समीकरण को सन्तुष्ट करेंगे-
Example-4.वृत्त x^{2}+y^{2}+z^{2}+5 x-7 y+2 z-8=0 ,3x-2y+4z+3=0
के बिन्दु (-3,5,4) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the equations of the tangent line to the circle x^{2}+y^{2}+z^{2}+5 x-7 y+2 z-8=0 ,3x-2y+4z+3=0 at the point (-3,5,4).)
Solution– दिए हुए वृत्त का समीकरण है-

x^{2}+y^{2}+z^{2}+5 x-7 y+2 z-8=0....(1)
3x-2y+4z+3=0 ………(2)
वृत्त के दिए हुए बिन्दु (-3,5,4) पर स्पर्श रेखा,गोले (1) के बिन्दु (-3,5,4) पर स्पर्श समतल तथा वृत्त के दिए हुए समतल (2) की प्रतिच्छेदन रेखा होती है।
अब गोले (1) के बिन्दु (-3,5,4) पर स्पर्श समतल का समीकरण होगा-

x(-3)+y(5)+z(4)+\frac{5}{2}(x-3)-\frac{7}{2}(y+5)+1(z+4)-8=0 \\ \Rightarrow-3 x+5 y+4 z+\frac{5 x}{2}-\frac{15}{2}-\frac{7 y}{2}-\frac{35}{2}+z+4-8=0 \\ \Rightarrow-\frac{x}{2}+\frac{3}{2} y+5 z-\frac{58}{2}=0 \\ \Rightarrow -x+3 y+10 z-58=0 \\ \Rightarrow x-3 y-10 z+58=0
अतः अभीष्ट रेखा का समीकरण होगा-
3x-2y+4z+3=0,x-3y-10z+58=0
यदि रेखा के दिक् अनुपात l,m,n है तो
3l-2m+4n=0 …..(3)
l-3m-10n=0 ……(4)

\frac{l}{20+12}=\frac{m}{4+30}=\frac{n}{-9+2} \\ \Rightarrow \frac{l}{32}=\frac{m}{34}=\frac{n}{-7}
अतः रेखा का सममित रूप होगा-

\frac{x+3}{32}=\frac{y-5}{34}=\frac{z-4}{-7}
Example-5. उन गोलों के समीकरण ज्ञात करो जो वृत्त x^{2}+y^{2}+z^{2} =5,x+2y+3z=3 से होकर गुजरते हैं तथा समतल 4x+3y=15 को स्पर्श करते हैं।
(Find the equation to the sphere which pass through the circle x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 ,x+2y+3z=3 and touch the plane 4x+3y=15.)
Solution– वृत्त का समीकरण x^{2}+y^{2}+z^{2}=5,x+2y+3z=3
माना गोले का समीकरण 

x^{2}+y^{2}+z^{2}-5+\lambda (x+2 y+3 z-3)=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2} +z^{2}+\lambda x+2 \lambda y+3 \lambda z-5-3 \lambda=0....(1)
गोले के केन्द्र के निर्देशांक \left(-\frac{\lambda}{2},-\lambda,-\frac{3}{2} \lambda\right)
गोले के केन्द्र से समतल 4x+3y=15 पर लम्ब की लम्बाई=गोले की त्रिज्या

\frac{4\left(-\frac{\lambda}{2}\right)+3(-\lambda)-15}{\sqrt{(4)^{2}+(3)^{2}}}=\sqrt{\left(\frac{\lambda}{2}\right)^{2}+(-\lambda)^{2}+\left(-\frac{3}{2} \lambda\right)^{2}+5+3 \lambda} \\ \Rightarrow \frac{-2 \lambda-3 \lambda- 15}{\sqrt{16+9}} =\sqrt{\frac{\lambda^{2}}{4}+\frac{\lambda^{2}}{1}+\frac{9 \lambda^{2}}{4}+5+3 \lambda} \\ \Rightarrow \frac{-5 \lambda-15}{5}=\sqrt{\left(\frac{4 \lambda^{2}+12 \lambda+20}{4}\right)} \\ \Rightarrow (\lambda-3)=\frac{\sqrt{14 \lambda^{2}+12 \lambda+20}}{2} \\ \Rightarrow(-2 \lambda-6)=\sqrt{14 \lambda^{2}+12 \lambda+20} \\ \Rightarrow 4 \lambda^{2}+36+24 \lambda=14 \lambda^{2}+12 \lambda+20 \\ \Rightarrow 10 \lambda^{2}-12 \lambda-16=0 \\ \Rightarrow 5 \lambda^{2} - 6 \lambda-8=0 \\ \Rightarrow 5 x^{2}-10 \lambda+4 \lambda-8=0 \\ \Rightarrow 5 \lambda(\lambda-2)+4(\lambda-2)=0 \\ \Rightarrow (\lambda-2)(5 \lambda+4)=0 \\ \Rightarrow \lambda=2,-\frac{4}{5}
\lambda का मान समीकरण (1) में रखने पर-

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+4 y+6 z-11=0
तथा 5\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-4 x-8 y-12 z-13=0

Tangency Condition of Plane to Sphere

Example-6.(1,-1,0) बिन्दु से गुजरने वाले उस गोले का समीकरण ज्ञात करो जो कि गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-6 y+1=0 को (1,2,-2) बिन्दु पर स्पर्श करता है।
(Find the equation of the sphere which touches the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-6 y+1=0 at (1,2,-2) through (1,-1,0).)
Solution– गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-6 y+1=0 के बिन्दु (1,2,-2) पर स्पर्श समतल का समीकरण-
x (1)+y (2)+z (-2)+1 (x+1)-3 (y+2)+0 (z-2)+1=0 \\ \Rightarrow x+2y-2z+x+1-3y-6+1=0 \\ \Rightarrow 2x-y-2z-4=0 \\ \Rightarrow 2x-y-2z-4=0
अतः माना गोले का समीकरण

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-6 y+1+\lambda(2 x-y-2 z-x)=0 ....(1)
यह बिन्दु (1,-1,0) से गुजरता है अतः-

(1)2+(-1)^{2}+0^{2}+2(1)-6(-1)+1+\lambda(24+1-0-4)=0 \\ 1+1+2+6+1 +\lambda(2+1-4)=0 \\ \Rightarrow 11-\lambda=0 \\ \Rightarrow \lambda=11
का मान समीकरण (1) में रखने पर-

x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-6 y+1+11(2 x-y-2 z-4)=0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-6 y+1+22 x-11 y-22 z-44 z =0 \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+24 x-17 y-22 z-43=0
Example-7. उस गोले का समीकरण ज्ञात करो जिसका केन्द्र मूलबिन्दु है तथा जो रेखा 2(x+1)=2-y=z+3 को स्पर्श करता है।
(Find the equation to a sphere which has its centre at the origin and touches the line 2(x+1)=2-y=z+3.)
Solution– माना मूलबिन्दु हे गुजरने वाले गोले का समीकरण है-

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \cdots (1)
गोला रेखा 2(x+1)=2-y=z+3 को स्पर्श करता है
\Rightarrow \frac{x+1}{\frac{1}{2}}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{1}=k (माना)

x=\frac{1}{2} k+1, y=-k+2, z=k-3
अतः माना गोले के स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक=(\frac{1}{2} k+1, -k+2, k-3)
रेखा पर लम्ब अर्थात् त्रिज्या के दिक् अनुपात

=\frac{1}{2} k-1-0,-k+2-0, k-3-0 \\ =\frac{1}{2} k-1,-k+2, k-3
रेखा के दिक् अनुपात=\frac{1}{2},-1,1
त्रिज्या रेखा पर लम्ब है अतः l_{1} l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=0 सूत्र से-

\left(\frac{1}{2} k-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)+(-1)(-k+2)+1(k-3)=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{4} k-\frac{1}{2}+k-2+k-3=0 \\ \Rightarrow \frac{k-2+4 k-8+4 k-12}{4}=0 \\ \Rightarrow 9 k-22=0 \\ \Rightarrow k=\frac{22}{9}
अतः स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक= \left(\frac{1}{2} k-1,-k+2, k-3\right) \\ =\left(\frac{1}{2} \times \frac{22}{9}-1,-\frac{22}{9}+2, \frac{22}{9}-3\right) \\ =\left (\frac{11}{9}-1,-\frac{22}{9}+2, \frac{24}{9}-3\right) \\ =\left(\frac{2}{9},-\frac{4}{9},-\frac{5}{9}\right)
त्रिज्या r=\sqrt{\left(\frac{2}{9}-0\right)^{2}+\left(-\frac{4}{9}-0\right)^{2}+\left(-\frac{5}{9}-0\right)^{2}} \\ =\sqrt{\frac{4}{81}+\frac{16}{81}+\frac{25}{81}} \\ =\sqrt{\frac{45}{81}} \\ =\sqrt{\frac{5}{9}} \\ \Rightarrow r^{2} =\frac{5}{9}
अतः गोले का समीकरण 

x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{5}{9} \\ 9\left(x^{2}+y^{2}+ z^{2}\right) =5
Example-8. गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} के किसी बिन्दु पर खींचा गया स्पर्श समतल निर्देशाक्षों को A,B,C पर काटता है। सिद्ध करो कि A,B,C से निर्देशी समतलों के प्रतिच्छेदन बिन्दु का बिन्दुपथ होगा।
(Tangent Plane at any point of the sphere x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} meets the co-ordinate axes at A,B,C.Show that the locus of the point of intersection of the planes drawn parallel to the co-ordinate planes through A,B,C is the surface.)

x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}=r^{-2}
Solution– गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} के किसी बिन्दु पर स्पर्श समतल का समीकरण-

x x_{1}+y y_{1}+z z_{1}=r^{2}
यदि यह समतल निर्देशी अक्षों को A,B,C पर काटता है तो
अतः x_{1}=\frac{r^{2}}{x}, y_{1}=\frac{r^{2}}{y}, z_{1}=\frac{r^{2}}{z}
गोले पर स्थित है अतः ये निर्देशांक गोले के समीकरण को सन्तुष्ट करेंगे-

x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}=z^{2} \\ \Rightarrow \left(\frac{r^{2}}{x}\right)^{2}+\left(\frac{r^{2}}{y}\right)^{2}+ \left(\frac{r^{2}}{z}\right)^{2} =r^{2} \\ \Rightarrow \frac{r^{4}}{x^{2}}+\frac{r^{4}}{y^{2}}+\frac{r^{4}}{z^{2}}=r^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{-2}+z^{-2}=r^{-2}
Example-9. सिद्ध कीजिए कि निम्न गोला बाह्य स्पर्श करते हैं।उनके उभयनिष्ठ बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करो।
(Prove that the following spheres touch externally.Find the co-ordinates of their common point):
x^{2}+y^{2}+z^{2}=25 \text { तथा } x^{2}+y+z^{2}-18 x-24 y-40 z+225=0
Solution–x^{2}+y^{2}+z^{2}=25 \cdots (1) \\ x^{2}+ y^{2}+z^{2}-18 x-24 y-40 z+225=0 \cdots (2)
माना स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक=(x_{1},y_{1},z_{1})
अतः गोले (1) व (2) के स्पर्श समतल के समीकरण-

x x_{1}+y y_{1}+z_{1}=25 \cdots(3) \\ xx_{1}+y y_{1}+zz_{1}-9\left(x+x_{1} \right) -12\left(y+y_{1}\right) -20 \left(z+z_{1}\right) +225=0 \\ \left(x_{1}- 9\right) x+\left(y_{1}-12\right) y+(z-20) z-9 x_{1}-12 y_{1}-90 z_{1}+225=0 \cdots (4)
समतल (3) व (4) एक ही समतल के समीकरण हैं अतः गुणांकों की तुलना करने पर-

\frac{x_{1}-9}{x_{1}}=\frac{y_{1}-12}{y_{1}}=\frac{z_{1}-20}{z_{1}}=\frac{-9 x_{1}-12 y_{1}-26_{1}+22}{25} \\ \Rightarrow \frac{x_{1}-9}{x_{1}}= \frac{y_{1}-12}{y_{1}}=\frac{z_{1}-20}{z_{1}}=\frac{-9 x_{1}-12 y_{1}-20 z_{1}+225}{25}=k (माना)

\Rightarrow x_{1}-9=k x_{1} \Rightarrow x_{1}=\frac{9}{1-k} \\ \frac{y_{1}-12}{y_{1}}=k \Rightarrow y_{1}-12=k y_{1} \Rightarrow y_{1}=\frac{12}{1-k} \\ \frac{z_{1}-20}{z_{1}}=k \Rightarrow z_{1}-20=k z_{1} \Rightarrow z_{1}=\frac{20}{1-k}
निर्देशांक गोले (1) व (2) पर स्थित है अतः गोले के समीकरण को सन्तुष्ट करेंगे-

x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}=25 \\ \left(\frac{9}{1-k}\right)^{2}+ \left(\frac{12}{1-k}\right)^{2}+\left(\frac{2 c}{1-k}\right)^{2} =25 \\ \Rightarrow 81+144+400=25(1-k)^{2} \\ \Rightarrow 8+625=25\left(1-2 k+k^{2}\right) \\ \Rightarrow 25 k^{2}-50 k-600=0 \\ \Rightarrow k^{2}-2 k-24=0 \\ \Rightarrow k^{2}-6 k+4 k-24=0 \\ \Rightarrow k(k-6)+4(k-6)=0 \\ \Rightarrow(k+4)(k-6)=0 \\ k=-4,6
अतः स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक=\left(\frac{9}{5} , \frac{12}{5}, \frac{20}{5}\right), \left(-\frac{9}{5} ,-\frac{12}{51},-\frac{20}{5}\right)
गोले (1) की त्रिज्या r_{1}=5
गोले (2) की त्रिज्या r_{2}=\sqrt{9^{2}+12^{2}+20^{2}-225} \\ =\sqrt{81+144+400-225} \\ =\sqrt{400}=20

दोनों गोलों के बीच की दूरी =\sqrt{(-9-0)^{2}+(-12-0)^{2}+(-20-0)^{2}} \\ =\sqrt{81 +144+400}=\sqrt{625}=25
अतः‌ r_{1}+r_{2}=दोनों गोलों के बीच की दूरी
फलत: दोनों गोले बाह्य स्पर्श करते हैं।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समतल का गोले को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध (Tangency Condition of Plane to Sphere) को समझ सकते हैं।

3.समतल का गोले को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध की समस्याएं (Tangency Condition of Plane to Sphere Problems)-

Tangency Condition of Plane to Sphere

(1.) (-1,0,0) से जाने वाले उस गोले का समीकरण ज्ञात करो जो निम्न गोले को (1,2,-2) पर स्पर्श करता है:
(Find the equation of the sphere passing through (-1,0,0) and touching the following spheres at (1,2,-2) ):

4(x^{2}+y^{2}+z^{2})+10x-25y-2z=0

(2.) सिद्ध कीजिए कि निम्न गोले बाह्य स्पर्श करते हैं।उनके उभयनिष्ठ बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करो।
(Prove that the following spheres touch externally.Find the co-ordinates of their common point.):
x^{2}+y^{2}+z^{2} =25 \text{ तथा } x^{2}+y^{2}+z^{2}-24x-40y-18z+225=0
(3.) प्रदर्शित कीजिए कि गोले x^{2}+y^{2}+z^{2} =64 तथा x^{2}+y^{2}+z^{2} -12x+4y-6z+48=0 अन्त: स्पर्श करते हैं तथा इनका स्पर्श बिन्दु ज्ञात कीजिए।
(Show that the spheres x^{2}+y^{2}+z^{2} =64 and x^{2}+y^{2}+z^{2} -12x+4y-6z+48=0  touch internally and find the point of contact.)
उत्तर (Answers): (1.) x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x-6 y+1=0 \\ (2.) \left(\frac{12}{5}, 4, \frac{9}{5}\right) \\ (3) \left(\frac{48}{7},-\frac{16}{7}, \frac{24}{7}\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करके समतल का गोले को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध (Tangency Condition of Plane to Sphere) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.एक गोले का स्पर्श समतल (Tangent plane of a sphere)-

Tangency Condition of Plane to Sphere

स्पर्श समतल का समीकरण है – 3x – 4z – 52 = 0. इसलिए, दिए गए गोले में स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात करने के लिए,समतल में किसी भी वेक्टर के साथ त्रिज्या वेक्टर को सेट करें,इसे शून्य के बराबर सेट करें।

5.उस गोले का समीकरण ज्ञात करें जो समतल को स्पर्श करता है (Find the equation of the sphere which touches the plane)-

Tangency Condition of Plane to Sphere

चूँकि गोला xy-plane को स्पर्श करता है, इसकी त्रिज्या इसके केंद्र (3, -3,5) से xy-plane के बीच की दूरी के बराबर अर्थात् 5. इसलिए r = 5 और गोले का समीकरण है (x - 3)^ 2 + (y + 3) ^2 + (z - 5)^ 2 = 5^2 = 25।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर, उदाहरणों तथा सवालों को हल करके समतल का गोले को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध (Tangency Condition of Plane to Sphere),गोले के स्पर्श समतल की समीकरण (Equation of Tangent Plane to Sphere) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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