Surface Area of Combination of Solids
1.ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Combination of Solids),ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 10 (Surface Area of a Combination of Solids Class 10):
ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Combination of Solids) के इस आर्टिकल में अपने दैनिक जीवन में हमें ऐसे अनेक ठोस देखने को मिलते हैं जो दो या अधिक आधारभूत ठोसों के संयोजन से (अर्थात् इनको मिलाकर) बनते हैं, का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
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2.ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Surface Area of Combination of Solids):
जब तक अन्यथा न कहा जाए,\pi=\frac{22}{7} लीजिए।
Example:1.दो घनों,जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 घनसेमी है,के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है।इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना घन की भुजा=x सेमी
घन का आयतन=\text{भुजा}^{3}=64
\Rightarrow x^3=64 \\ \Rightarrow x^3=4^3 \\ \Rightarrow x=4 सेमी
जब दो घनों को एकसाथ जोड़ा जाता है तो घनाभ की लम्बाई l=4+4=8 सेमी
चौड़ाई b=4 सेमी
ऊँचाई h=4 सेमी
नये घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 (lb+bh+lh)
=2 (8×4+4×4+8×4)
=2 (32+16+32)
=2×80=160 वर्गसेमी
Example:2.कोई बर्तन खोखले अर्द्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है।अर्द्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है।इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है।इस बर्तन का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:अर्द्धगोले की त्रिज्या=बेलन की त्रिज्या (r)=\frac{14}{2}=7 सेमी
बर्तन की ऊँचाई=13 सेमी
बेलनाकार भाग की ऊँचाई h=13-7=6 सेमी
बेलन का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r^2=2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7=308 वर्गसेमी
बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r h\\=2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 6=264 वर्गसेमी
बर्तन का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल=308+264
=572 वर्गसेमी
Example:3.एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है,जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले पर अध्यारोपित है।इस खिलौने की सम्पूर्ण ऊँचाई, 5.5 cm है।इस खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:अर्द्धगोले की त्रिज्या=शंकु की त्रिज्या=3.5 सेमी
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r^{2}\\=2 \times \frac{22}{2} \times 3.5 \times 3.5
=77 वर्गसेमी
शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई (l)=\sqrt{h^2+r^2} \\ =\sqrt{(12)^2+(3.5)^2} [शंकु की ऊँचाई=15.5-3.5=12]
=\sqrt{144+12.25} \\ =\sqrt{156.25} \\ \Rightarrow l=12.5
शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi r l \\=\frac{22}{7} \times 3.5 \times 12.5 \\ =137.5 वर्गसेमी
खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=77+137.5
=214.5 वर्गसेमी
Example:4.भुजा 7cm वाले एक घनाकार ब्लाॅक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है।अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:अर्धगोले का अधिकतम व्यास=घनाकार ब्लाॅक की भुजा=7 सेमी
अर्धगोले की त्रिज्या=r=\frac{7}{2}=3.5 सेमी
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}=77 वर्गसेमी
घनाकार ब्लाॅक का पृष्ठीय क्षेत्रफल=6 \times \text{ भुजा }^2=\pi r^2 \\ =6 \times 7^2-\frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \\ =294-38.5 \\ =255.5 वर्गसेमी
ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=77+255.5
=332.5 वर्गसेमी
Example:5.एक घनाकार ब्लाॅक के एक फलक को अन्दर की ओर से काटकर एक अर्द्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्द्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है।शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना घन की भुजा=a सेमी
अर्द्धगोलाकार गड्ढे की त्रिज्या=\frac{a}{2} सेमी
अर्द्धगोलाकार गड्ढे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi(a)^2=\frac{\pi a^2}{2}
घनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल=6 \times \text{भुजा}^2-\pi r^2 \\ =6 \times a^2-\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 \\ =6 a^2-\frac{\pi a^2}{4}
ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=6 a^2-\frac{\pi a^2}{4}+\frac{\pi a^{2}}{2} \\ =\frac{(24-\pi+2 \pi) a^2}{4} \\ =\frac{(24+\pi) a^2}{4} वर्गसेमी
Example:6.दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्द्धगोला लगा हुआ है (देखिए आकृति)।पूरे कैप्सूल की लम्बाई 14 mm है और उसका व्यास 5mm है।इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:अर्द्धगोले का व्यास=बेलन का व्यास=\frac{5}{2} mm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h)=14-\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=9 mm
बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r h \\=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{2} \times 9=\frac{990}{7}
दोनों समान अर्द्धगोलों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r^2+2 \pi r^2=4 \pi r^2 \\ =4 \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{2} \times \frac{5}{2}=\frac{550}{7} \mathrm{~mm}^2
कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल=\frac{990}{7}+\frac{550}{7} \\ =\frac{1540}{7}=220 \mathrm{~mm}^2
Example:7.कोई तम्बू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है।यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमशः 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तम्बू को बनाने में प्रयुक्त कैनवास (Canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।साथ ही,500 रु. प्रति वर्गमीटर की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवास की लागत ज्ञात कीजिए।(ध्यान दीजिए कि तम्बू के आधार को कैनवास से नहीं ढका जाता है।)
Solution:शंकु की त्रिज्या=बेलन की त्रिज्या=\frac{4}{2}=2 m
शंकु की ऊँचाई=2.8 m
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi r l \\ =\frac{22}{7} \times 2 \times 2.8=17.6 \mathrm{~m}^2
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r h \\ =2 \times \frac{22}{3} \times 2 \times 2.1=26.4 \mathrm{~m}^2
तम्बू का पृष्ठीय क्षेत्रफल=17.6+26.4=44 वर्गमीटर
तम्बू में प्रयुक्त कैनवास की लागत=44×500=22,000 रुपए
Example:8.ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है।शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेन्टीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन की ऊँचाई=शंकु की ऊँचाई= h=2.4 cm
बेलन की त्रिज्या=शंकु की त्रिज्या=r=\frac{1.4}{2}=0.7 cm
बेलनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r h+\pi r^2 \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.4+\frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7
=10.56+1.54
=12.1 वर्गसेमी
शंकु की तिर्यक ऊँचाई(l)=\sqrt{h^2+r^2} \\ \quad=\sqrt{(2.4)^2+(0.7)^2} \\ =\sqrt{5.76+0.49} \\ =\sqrt{6.25}=2.5 \mathrm{~cm}
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi rl \\ =\frac{22}{7} \times 0.7 \times 25=5.5 \mathrm{~cm}^2
शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल=12.1+5.5
=17.6 वर्गसेमी
=लगभग 18 वर्गसेमी
Example:9.लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्द्धगोला खोदकर निकालते हुए,एक वस्तु बनाई गई है,जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है।यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन की त्रिज्या=अर्द्धगोले की त्रिज्या (r)=3.5 सेमी
बेलन की ऊँचाई (h)=10 सेमी
बेलन का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=2 \pi r h \\=2 \times \frac{22}{7} \times 35 \times 10=220 \mathrm{~cm}^2
दोनों अर्द्धगोलों का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=2 \pi r^2+2 \pi r^2 \\ =4 \pi r^2 \\=4 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5
=154 वर्गसेमी
वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=220+154
=374 वर्गसेमी
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Combination of Solids),ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 10 (Surface Area of a Combination of Solids Class 10) को समझ सकते हैं।
3.ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल पर आधारित सवाल (Questions Based on Surface Area of Combination of Solids):
(1.)एक 8.25 मीटर ऊँचा तम्बू 30 मीटर व्यास वाले आधार और 5.5 मीटर ऊँचाई वाले बेलन पर समान आधार के शंकु को जोड़कर बनाया गया है।45 रुपए प्रति वर्गमीटर की दर से तम्बू में लगे कपड़े का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(2.)एक खिलौना,एक गौलार्द्ध पर उसी त्रिज्या का शंकु रखने से बना है।शंक्वाकार भाग के आधार का व्यास 6 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी खिलौने का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)तम्बू का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=1237.5 वर्गमीटर,तम्बू में लगे कपड़े का खर्च=55687.50 रुपए
(2.)103.62 वर्गसेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Combination of Solids),ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 10 (Surface Area of a Combination of Solids Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Frequently Asked Questions Related to Surface Area of Combination of Solids),ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 10 (Surface Area of a Combination of Solids Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.घनाभ किसे कहते हैं? (What is Called Cuboid?):
उत्तर:यदि समान्तर षट्फलक का प्रत्येक फलक आयत हो तो उसे घनाभ कहते हैं।घनाभ को आयतफलकी ठोस भी कहते हैं।जैसेःईंट,सन्दूक,कमरा आदि घनाभ हैं।घनाभ में छः पृष्ठ (फलक),8 शीर्ष व 12 कोरें होती हैं।
प्रश्न:2.घन किसे कहते हैं? (What is Called Cube?):
उत्तर:यदि घनाभ का प्रत्येक फलक वर्गाकार हो तो उसे घन कहते हैं अर्थात् घन की लम्बाई,चौड़ाई और ऊँचाई बराबर होती है।
प्रश्न:3.ठोसों के क्षेत्रफल के सूत्र लिखो। (Write the Formula for Area of Solids):
उत्तर:(1.)घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+lh)
(2.)घनाभ की चारों दीवारों का क्षेत्रफल=2×h(l+b)
(3.)घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=6 \text{(भुजा)}^{2}
(4.)घनाभ के विकर्ण की लम्बाई=\sqrt{(\text{लम्बाई})^2+(\text{चौड़ाई})^2+(\text{ऊँचाई})^2}
(5.)घन के विकर्ण की लम्बाई=\sqrt{3} भुजा
(6.)लम्ब्वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=2 \pi rh
(7.)लम्ब्वृत्तीय बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r(h+r)
(8.)खोखले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi\left(r_1+r_2\right)\left(h+r_1-r_2\right)
(9.)लम्ब्वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=\pi r l
(10.)लम्ब्वृत्तीय शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi r(l+r)
(11.)शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)=\sqrt{ h^2+r^2}
(12.)गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल=4 \pi r^2
(13.)अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r^2
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Combination of Solids),ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 10 (Surface Area of a Combination of Solids Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल
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About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
