1.अन्तर विधि से श्रेणी का योगफल (Sum of Series by Difference Method)-

अन्तर विधि से श्रेणी का योगफल (Sum of Series by Difference Method) गुणोत्तर श्रेढ़ी के पद युग्मों के अंतर वाली श्रेणी में प्रयोग किया जाता है अर्थात् यदि किसी श्रेणी में क्रमागत युग्मों का अंतर गुणोत्तर श्रेढ़ी में हो ऐसी श्रेणी का योगफल ज्ञात करने के लिए दी हुई श्रेणी के पदों के नीचे उस श्रेणी के पदों को एक-एक पद आगे बढ़ाकर लिखा जाता है फिर घटाने पर प्राप्त श्रेणी के पद गुणोत्तर में होंगे।इससे श्रेणी का nवां पद प्राप्त किया जाता है तथा n=1,2,3,….रखकर प्रत्येक पद को प्राप्त कर उनका योग करने से श्रेणी का योगफल ज्ञात किया जाता है।
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2.अन्तर विधि से श्रेणी का योगफल के उदाहरण (Sum of Series by Difference Method Examples)-

निम्नलिखित श्रेणियों का n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए:
Example-1.1+1+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+\cdots \cdots
Solution–1+1+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+\cdots \cdots \\ 1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+\cdots
दी हुई श्रेढ़ी समान्तरीय-गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसकी संगत
समान्तर श्रेढ़ी
1,2,3,4,……
समान्तर श्रेढ़ी का n वां पद=a+(n-1)d
=1+(n-1)1
=n
गुणोत्तर श्रेढ़ी

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots
गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद=a r^{n-1} \\ =1\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \\ =\frac{1}{2^{n-1}}
अतः दी गई समान्तरीय-गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद-

=\frac{n}{2^{n-1}} \\ s_{n}=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+\cdots \cdot+\cdot \frac{n-1}{2^{n-2}}+\frac{n}{2^{n-1}}
दोनों पक्षों को \frac{1}{2}से गुणा करने पर-

\frac{1}{2} s_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+\frac{4}{2^{4}}+\cdots+\frac{n-1}{2^{n-1}}+\frac{n}{2^{n}} \cdots(2)
(1) में से (2) घटाने पर-

S_{n}-\frac{1}{2} s_{n}=1+\left(\frac{2}{2}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{3}{2^{2}}-\frac{2}{2^{2}}\right)+\left(\frac{4}{2^{3}}-\frac{3}{2^{3}}\right)+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^{n}} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} s_{n} =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^{n}} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} S_{n} =\frac{1\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right]}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^{n}} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} s_{n} =\frac{\left(1-\frac{1}{2 n}\right)}{\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^{n}} \\ \Rightarrow s_{n}=4\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)-\frac{n}{2^{n-1}} \\ \Rightarrow s_{n}=4-\frac{4}{2^{n}}-\frac{n}{2^{n-1}} \\ \Rightarrow s_{n}=4-\frac{2}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^{n-1}} \\ \Rightarrow s_{n}=4-\left(\frac{2}{2^{n-1}}+\frac{n}{2^{n-1}}\right) \\ \Rightarrow s_{n}=4-\left(\frac{2+n}{2^{n-1}}\right)
Example-2.1+3 x+5 x^{2}+7 x^{3}+\cdots
Solution–1+3 x+5 x^{2}+7 x^{3}+\cdots
दी हुई श्रेढ़ी समान्तरीय-गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसकी संगत
समान्तर श्रेढ़ी
1,3,5,7,……
समान्तर श्रेढ़ी का n वां पद=a+(n-1)d
=1+(n-1)2
=2n-1
गुणोत्तर श्रेढ़ी

1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots
गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद= a r^{n}-1 \\ =(1) x^{n-1} \\=x^{n-1}
अतः दी गई समान्तरीय-गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद-

=(2 n-1) x^{n-1} \\ s_{n}=1+3 x+5 x^{2}+7 x^{3}+\cdots-\cdot+(2 n-3) x^{n-2}+(2 n-1) x^{n-1}……(1)
दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर-

\Rightarrow x s_{n}=x+3 x^{2}+5 x^{3}+7 x^{4}+\cdots+(2 n+3) x^{x-1}+(2 n-1) x^{n}
(1) में से (2) घटाने पर-

S_{n}-x s_{n}=1+2 x+2 x^{2}+2 x^{3}+\cdots-+2 x^{n-1}-(2 n-1) x^{n} \\ \Rightarrow s_{n} (1-x)=1+2 x+2 x^{2}+2 x^{3}+\cdots+2 x^{n-1}-(2 n-1) x^{n} \\ \Rightarrow s_{n}(1-x)=1+\frac{2 x\left[1-(2 x)^{n-1}\right]-(2 n-1) x^{n}}{1-x} \\ \Rightarrow s_{n}(1-x)=1+(2 n-1) x^{n}+\frac{2 x\left(1-x^{n-1}\right)}{1-x} \\ \Rightarrow s_{n}=\frac{1-(2 n-1) x^{n}}{1-x}+\frac{2 x\left(1-x^{n}\right)}{(1-x)^{2}}
निम्नलिखित श्रेणियों का अनन्त पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए:
Example-3.\frac{3}{7}+\frac{5}{21}+\frac{7}{63}+\frac{9}{189}+\cdots
Solution-माना कि S_{\infty}=\frac{3}{7}+\frac{5}{21}+\frac{7}{63}+\frac{9}{189}+\cdots(1)
दोनों पक्षों को \frac{1}{3} से गुणा करने पर-

\Rightarrow \frac{1}{3} S_{\infty}=\frac{3}{21}+\frac{5}{63}+\frac{7}{189}+\frac{9}{567}+\cdots \cdots (2)
(1) में से (2) घटाने पर-

S_{\infty}-\frac{1}{3} S_{\infty}=\frac{3}{7}+\left(\frac{5}{21}-\frac{3}{21}\right)+\left(\frac{7}{63}-\frac{5}{63}\right) +\left(\frac{9}{189}-\frac{7}{189}\right)+\cdots \\ \Rightarrow S_{\infty} \left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{3}{7}+\frac{2}{21}+\frac{2}{63}+\frac{2}{189}+\cdots \\ \Rightarrow S_{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)=\frac{3}{7}+\frac{2}{21}+\frac{2}{63}+\frac{2}{189}+\cdots \\ \Rightarrow \frac{2}{3} S_{\infty}=\frac{3}{7}+\frac{2}{21}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots\right)
[सूत्र S_{\infty}=\frac{a}{1-r} के प्रयोग से]

\Rightarrow \frac{2}{3} S_{\infty}=\frac{3}{7}+\frac{2}{21}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\right) \\ \Rightarrow \frac{2}{3} S_{\infty}=\frac{3}{7}+\frac{2}{21} \times \frac{1}{\frac{2}{3}} \\ \Rightarrow \frac{2}{3} S_{\infty}=\frac{3}{7}+\frac{2}{21} \times \frac{3}{2} \\ \Rightarrow \frac{9}{3} S_{\infty}=\frac{3}{7}+\frac{1}{7} \\ \Rightarrow S_{\infty}=\frac{3}{2} \left(\frac{3+1}{7}\right) \\ \Rightarrow S_{\infty}=\frac{3}{2} \times \frac{4}{7} \\ \Rightarrow S_{\infty}=\frac{6}{7}
Example-4.\frac{1}{3}-\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+\frac{4}{3^{4}}+\cdots
Solution-माना कि S_{\infty}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}-\frac{4}{3^{4}}+\cdots \cdots (1)
दोनों पक्षों को \frac{1}{3} से गुणा करने पर-

\Rightarrow \frac{1}{3} S_{\infty}=\frac{1}{3^{2}}-\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}-\frac{4}{2}+\cdots \cdots \cdots(2)
(1) में (2) जोड़ने पर-

S_{\infty}+\frac{1}{3} S_{\infty}= \frac{1}{3}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}-\frac{1}{3^{4}}+\cdots \\ \Rightarrow S_{\infty} \left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}-\frac{1}{3^{4}}+\cdots
[सूत्र के प्रयोग से]

\Rightarrow S_{\infty} \cdot\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{\frac{1}{3}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)} \\ \Rightarrow S_{\infty} \left(\frac{4}{3}\right)=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}} \\ \Rightarrow S_{\infty} \left(\frac{4}{3}\right)=\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \\ \Rightarrow S_{\infty}=\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \\ \Rightarrow S_{\infty}=\frac{3}{16}
Example-5. 1-2 x+3 x^{2}-4 x^{3}+\cdots,|x|<1
Solution-माना कि S_{\infty}=1-2 x+3 x^{2}-4 x^{3}+\cdots \cdots(1)
दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर-

x S_{\infty}=x-2 x^{2}+3 x^{3}-4 x^{4}+\cdots \cdots \cdot \cdot(2)
(1) में (2) जोड़ने पर-

\Rightarrow S_{\infty}+x S_{\infty}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots \\ \Rightarrow S_{\infty}(1+x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots
[सूत्र S_{\infty}=\frac{a}{1-r} के प्रयोग से]

\Rightarrow S_{\infty} (1+x)=\frac{1}{1-(-x)} \\ \Rightarrow S_{\infty}=\frac{1}{(1+x)^{2}}
निम्नलिखित श्रेणियों का n वां पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए:
Example-6.2+5+14+41+122+……..
Solution-2+5+14+41+122+……..
दी हुई श्रेणी क्रमागत पद युग्मों का अन्तर 3,9,27,81,……गुणोत्तर श्रेढ़ी में है अतः इसके n पदों का योगफल का अन्तर विधि से ज्ञात करेंगे।माना कि श्रेणी का n वां पद T_{n} तथा n पदों का योग S_{n} है।तब

S_{n}=2+5+14+41+122+\cdots+T_{n} \cdots(1)
एक स्थान आगे बढ़ाकर आगे लिखने पर-

S_{n}=2+5+14+41+122+\cdots+T_{n-1}+T_{n} \cdots(2)
(1) में से (2) को घटाने पर-
0=2+[3+9+27+81+\cdots+(n-1) \text{पद} ]-T_{n} \\ \Rightarrow T_{n}=2+[3+9+27+81+\cdots+(n-1) \text{पद} ] \\ \Rightarrow T_{n}= 2+ \frac{3\left(3^{n-1}-1\right)}{3-1} \\ \Rightarrow T_{n}=2+\frac{3}{2}\left(3^{n-1}-1\right) \\ \Rightarrow T_{n}=\frac{1}{2} 3^{n}+\frac{1}{2} \\ \Rightarrow T_{n}=\frac{3^{n}+1}{2}
अब n=1,2,3,………रखने पर-

T_{1} =\frac{3+1}{2}, \quad T_{2}=\frac{3^{2}+1}{2}, T_{3}=\frac{3^{3}+1}{2}, \ldots . \\ S_{n} =T_{1}+T_{2} +T_{3}+ \cdots+T_{n} \\= \frac{3+1}{2}+\frac{3^{2}+1}{2}+\frac{3^{3}+1}{2}+\cdots+\frac{3^{n}+1}{2} \\ =\frac{3}{2}\left(1+3+3^{2}+\cdots+3^{n-1}\right)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots n \text{ पद } \\ =\frac{3}{2}\left(\frac{3^{n}-1}{3-1}\right)+\frac{1}{2} n \\ S_{n}=\frac{3}{2} \cdot\left(\frac{3^{n}-1}{2}\right)+\frac{n}{2} \\ \Rightarrow s_{n}=\frac{3^{n+1}-3+2 n}{2}, T_{n}=\frac{3^{n}+1}{2}
Example-7. 3 \cdot 2+5 \cdot 2^{2}+7 \cdot 2^{3}+\cdots \cdots
Solution–S_{n}=3 \cdot 2+5 \cdot 2^{2}+7 \cdot 2^{3}+\cdots \cdots
दी हुई श्रेढ़ी समान्तरीय-गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसकी संगत
समान्तर श्रेढ़ी
3,5,7,……
समान्तर श्रेढ़ी का n वां पद=a+(n-1)d
=3+(n-1)2
=2n+1
गुणोत्तर श्रेढ़ी

2+2^{2}+2^{3}+\cdots \cdots
गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद=a r^{n-1} \\ =2(2)^{n-1} \\ =2^{n}
अतः दी गई समान्तरीय-गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद-

=(2 n+1) 2^{n} \\ S_{n}=3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^{2}+7 . 2^{3}+\cdots+(2 n-1) 2^{n-1}+(2 n+1) 2^{n} \cdots(1)
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर-

2 S_{n}=3 \cdot 2^{2}+5.2^{3}+7 \cdot 2^{4}+\cdots+(2 n-1) 2^{n}+(2 n+1) 2^{n+1}.....(2)
(1) में से (2) घटाने पर-
-S_{n}=3 \cdot 2+\left(2 \cdot 2^{2}+2 \cdot 2^{3}+\cdots \cdot(n-1) \text{ पद } \right)-(2 n+1) 2^{n+1} \\ \Rightarrow -s_{n}=3.2+\left(2^{3}+2^{4}+\cdots n-1 \text{ पद }  \right)-(2 n+1) 2^{n+1} \\ \Rightarrow -s_{n}=6+ \frac{2^{3}\left(2^{n-1}-1\right)}{2-1}-(2 n+1) 2^{n+1} \\ \Rightarrow-s_{n}=6+2^{3}\left(2^{n-1}-1\right)-(2 n+1) 2^{n+1} \\ \Rightarrow s_{n}=(2 n+1) 2^{n+1}-6-\frac{3}{2}\left(2^{n-1}-1\right) \\ \Rightarrow s_{n}=(2 n+1)^{n+1}-2^{n+2}+8-6 \\ \Rightarrow s_{n}=(2 n+1-2) 2^{n+1}+2 \\ \Rightarrow s_{n}=(2 n-1) 2^{n+1}+2
Example-8.1+4 x+7 x^{2}+10 x^{3}+\cdots
Solution–1+4 x+7 x^{2}+10 x^{3}+\cdots
दी हुई श्रेढ़ी समान्तरीय-गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसकी संगत
समान्तर श्रेढ़ी
1,4,7,10,……
समान्तर श्रेढ़ी का n वां पद=a+(n-1)d
=1+(n-1)3
=3n-2
गुणोत्तर श्रेढ़ी

1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots
गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद=a r^{n-1} \\ =x^{n-1}
अतः दी गई समान्तरीय-गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद=(3 n-2) x^{n-1} \\ S_{n}=1+4 x+7 x^{2}+10 x^{3}+\cdots+(3 n-5) x^{n-2}+(3 n-2) x^{n-1} ......(1)
दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर-

s_{n}=x+4 x^{2}+7 x^{3}+10 x^{4}+.........+(3 n-5) x^{n-1}+(3 n-2) x^{n}.....(2)
(1) में से (2) घटाने पर-

S_{n}-x S_{n} =1+3 x+3 x^{2}+3 x^{3}+\cdots+3 x^{n-1}-(3 x-2)x^{n} \\ \Rightarrow S_{n}(1-x) =\frac{3 x[1-(x)^{n}]}{1-x}-(3 n-2) x^{n} \\ \Rightarrow S_{n}(1-x)=1+\frac{3 x\left(1-x^{n}\right)}{1-x}-(3 n-2) x^{n} \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{1}{1-x}+\frac{3 x\left(1-x^{n}\right)}{(1-x)^{2}}-\frac{(3 n-2) x^{2 n}}{1-x}
Example-9.\frac{1}{5}-\frac{2}{5^{2}}+\frac{3}{5^{3}}-\frac{4}{5^{4}}+\cdots
Solution–\frac{1}{5}-\frac{2}{5^{2}}+\frac{3}{5^{3}}-\frac{4}{5^{4}}+\cdots
दी हुई श्रेढ़ी समान्तरीय-गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसकी संगत
समान्तर श्रेढ़ी
1,2,3,4,……
समान्तर श्रेढ़ी का n वां पद=a+(n-1)d
=1+(n-1)1
=n
गुणोत्तर श्रेढ़ी

\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{5^{3}}-\frac{1}{5^{4}}+\cdots
गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद=a r^{n-1} \\ =\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}
अतः दी गई समान्तरीय-गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद-

=n \cdot \frac{1}{5}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1} \\ S_{n}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5^{2}}+\frac{3}{5^{3}}-\frac{4}{5^{4}}+\cdots+\frac{(-1)^{n-2}(n-1)}{5^{n-1}}+(-1)^{n-1} \cdot n\left(\frac{1}{5}\right)^{n}....(1)
दोनों पक्षों को \frac{1}{5} से गुणा करने पर-

\frac{1}{5} S_{n}=\frac{1}{5^{2}}-\frac{2}{5^{3}}+\frac{3}{5^{4}}-\frac{4}{5^{5}}+\cdots+\frac{(-1)^{n-2}(n-1)}{5^{n}}+(-1)^{n-1} n \frac{1}{5^{n+1}}....(2)
(1) में (2) जोड़ने पर-

S_{n}+\frac{1}{5} S_{n}=\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{5^{3}}-\frac{1}{5^{4}}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{5^{n}}+(-1)^{n-1} \frac{n}{5^{n+1}} \\ S_{n}(1+\frac{1}{5})=\frac{\frac{1}{5}\left[1+\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}\right]}{1-(-1 / 5)}+(-1)^{n-1 }  \frac{n}{5^{n+1}} \\ \Rightarrow S_{n}(\frac{6}{5})=\frac{1}{5} \frac{\left[1+(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\right]}{\frac{6}{5}}+(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{n+1}} \\ \Rightarrow 6 S_{n}=\frac{5}{6}\left[1+(1)^{n-1} \left(\frac{1}{5} \right)^{n-1}\right]+(-1)^{n-1} \frac{n}{5^{n}} \\ \Rightarrow s_{n}=\frac{5}{36}+(-1)^{n-1}\left(\frac{5+6 n}{6^{2} 5^{n}}\right)
Example-10.श्रेणी 2+5 x+8 x^{2}+11 x^{3}+\cdots का ‌n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए तथा इससे अनन्त श्रेणी के योगफल का निगमन कीजिए,यदि |x|<1
Solution–2+5 x+8 x^{2}+11 x^{3}+\cdots
दी हुई श्रेढ़ी समान्तरीय-गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसकी संगत
समान्तर श्रेढ़ी
2,5,8,11,……
समान्तर श्रेढ़ी का n वां पद=a+(n-1)d
=2+(n-1)3
=3n-1
गुणोत्तर श्रेढ़ी

2+x+x^{2}+x^{3}+\cdots
गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद=a r^{n-1} \\ =(1) x^{n-1} \\ =x^{n-1}
अतः दी गई समान्तरीय-गुणोत्तर श्रेढ़ी का nवां पद=(3 n-1) x^{7-1} \\ S_{n}=2+5 x+8 x^{2}+11 x^{3}+\cdots \cdots+(3 n-4) x^{n-2}+(3 n-1) x^{n-1}....(1)
दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर-

x s_{n}=2 x+5 x^{2}+8 x^{3}+11 x^{4}+\cdots+(3 x-4) x^{n-1}+(3 x-1) x^{n}.....(2)
(1) में से (2) घटाने पर-

S_{n}-x s_{n}=2+3 x+3 x^{2}+3 x^{3}+\cdots+3 x^{n-1}-(3 n-1) x^{n} \\ S_{n}(1-x)=2+3 x[1+x+x^{2}+\cdots(n-1) \text{ पद } ]-(3 n-1) x^{n} \\ \Rightarrow(1-x) s_{n}=2+3 x \frac{1-x^{n-1}}{1-x}-(3 n-1) x^{n-1} \\ \Rightarrow (1-x) S_{n}=2+3 x \frac{1-x^{n-1}}{1-x}-(3 n-1) x^{n-1} \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{2}{1-x}+\frac{3 x}{1-x^{n-1}}-\frac{(3 x-1) x^{n-1}}{1-x} \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{2}{1-x}+\frac{3 x}{(1-u)^{2}}-\frac{3 x^{n}}{(1-x)^{2}}-\frac{(3 n-1) x^{n}}{1-x} \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{2(1-x)+3 x}{(1-x)^{2}}-\frac{3 x^{n}}{(1-x)^{n}}-\frac{(3 n-1) x^{n}}{1-x} \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{2+x}{(1-x)^{2}}-\frac{3 x^{n}}{(1-x)^{n}}-\frac{(3 n-1) x^{n}}{1-x}
अनन्त गुणोत्तर श्रेणी का योगफल

S_{\infty} =2+5 x+8 x^{2}+11 x^{3}+\cdots \\ x S_{\infty}=2 x+5 x^{2}+8 x^{3}+11 x^{4}+\cdots \\ \Rightarrow S_{\infty}-x S_{\infty}=2+3 x+3 x^{2}+3 x^{3}+\cdots . \\ \Rightarrow S_{\infty}(1-x) =2+\frac{3 x}{1-x} \\ \Rightarrow S_{\infty}=\frac{2}{1-x}+\frac{3 x}{(1-x)^{2}} \\ \Rightarrow S_{\infty}=\frac{2-2 x+3 x}{(1-x)^{2}} \\ \Rightarrow S_{\infty}=\frac{2+x}{(1-x)^{2}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अन्तर विधि से श्रेणी का योगफल (Sum of Series by Difference Method) को समझ सकते हैं।

3.अन्तर विधि से श्रेणी का योगफल की समस्याएं (Sum of Series by Difference Method Problems)-

(1.)श्रेणी \frac{3}{4}+\frac{7}{4^{2}}+\frac{11}{4^{3}}+\cdots के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
(2.)श्रेणी 1+\frac{7}{4^{3}}+\frac{3}{4}+\frac{7}{4^{2}}+\frac{15}{4^{3}}+\cdots के अनन्त पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
(3.)श्रेणी 1+5+13+29+61+..........का n वां पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
(4.)श्रेणी \frac{1}{5}-\frac{2}{5^{2}}+\frac{3}{5^{3}}-\frac{4}{5^{4}}+..... का n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1) s_{n}=1+\frac{4}{9}\left(1-\frac{1}{4^{n-1}}\right)-\frac{4 n-1}{3 \cdot 4^{n}} \\ (2.) s_{\infty}=\frac{8}{3} \\ (3.) T_{n}=2^{n+1}-3, s_{n}=2^{n+2}+3 n-4 \\ (4.) \frac{5}{36}+(-1)^{n-1} \cdot \frac{5+6 n}{6^{2} \cdot 5^{n}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अन्तर विधि से श्रेणी का योगफल (Sum of Series by Difference Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.आप अंतर विधि कैसे करते हैं? (How do you do the difference method?)-

संख्याओं के रैखिक अनुक्रमों को इस तथ्य की विशेषता है कि एक पद से अगले तक हम हमेशा एक ही राशि जोड़ते हैं।हम जो राशि जोड़ते हैं उसे अंतर के रूप में जाना जाता है, जिसे अक्सर सार्व अंतर कहा जाता है।

5.आप किसी श्रृंखला के योग को कैसे ज्ञात करते हैं जिसका अन्तर एपी में हो? (How do you find the sum of a series whose difference in AP?)-

आपको बस यह करना है कि स्थिरांक को a, b, c जो आप अनुक्रम के पहले तीन शब्दों का उपयोग करके कर सकते हैं।इस क्रम के योगफल के लिए, ज्ञात योगों ∑n^k =1k और योगफल ∑n^k =1k^2 का उपयोग करें।जहां A B C और D निश्चित मान हैं।यह तब तक चलता रहेगा जब तक अंतर AP में नहीं होगा।

6.आपको दी गई श्रृंखला का योग कैसे ज्ञात करते है? (How do you find the sum of a given series?)-

सूत्र  \frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}) का उपयोग केवल n पदों के साथ अंकगणितीय श्रृंखला के योग को खोजने के लिए किया जा सकता है।यहाँ ध्यान दें कि a_{1} श्रृंखला का पहला पद है, और a_{n} अंतिम पद है।

7.वीएन विधि क्या है? (What is VN method?),अनुक्रम और श्रृंखला में vn विधि (VN method in sequence and series)-

(i) दी गई श्रृंखला का उपयोग करके व्यापक पद प्राप्त करते हैं।(ii) व्यापक पद में हेरफेर करके इसे लगातार दो पदों के अंतर के रूप में लिखें।व्यापक पद पर n पद तक का योग लागू करने से पहले पद और nth पद के अंतर के रूप में श्रृंखला का योग होगा।V_{n} विधि पर आधारित।

8.अन्तर सूत्र की विधि (Method of differences formula)-

(1) से (2) घटाना पर हमें मिलता है, a_{n} = a_{1} + [(a_{2} – a_{1}) + (a_{3} – a_{2}) +… + (a_{n}-a_{n-1})]।चूँकि कोष्ठक के भीतर के पद या तो A.P. या G.P. में हैं,हम a_{n}, nth पद का मान ज्ञात कर सकते हैं।

9.आगे गणित में अंतर की विधि (Method of differences further maths)-

अन्तर की विधि एक “डरपोक” चाल है जिसके तहत एक श्रृंखला का योग कुछ शर्तों के तहत स्थापित किया गया है, और शर्तों को “रद्द” करने का एक बड़ा सौदा एक बल्कि “चालाक” विधि में योगदान देता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर, उदाहरणों तथा सवालों को हल करके अन्तर विधि से श्रेणी का योगफल (Sum of Series by Difference Method) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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