1.द्विपद प्रमेय से श्रेणी का योगफल (Sum of Series by Binomial Theorem)-

Sum of Series by Binomial Theorem

द्विपद प्रमेय से श्रेणी का योगफल (Sum of Series by Binomial Theorem) ज्ञात करने के लिए उसके पदों की तुलना मानक द्विपद श्रेणी के संगत पदों से करते हैं।

(1+x)^{n}=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!} x^{3}+ ....
सर्वप्रथम दी गई श्रेणी को मानक द्विपद प्रसार में व्यवस्थित करने के लिए द्विपद का प्रथम पद 1 तथा द्वितीय पद x, जहां होना चाहिए तथा दी गई श्रेणी द्विपद x की आरोही घातों में व्यवस्थित होनी चाहिए।
इस प्रकार दी गई श्रेणी के द्वितीय तथा तृतीय पदों की मानक द्विपद प्रसार के संगत पदों से तुलना की कर n तथा x में दो समीकरण ज्ञात कर कीजिए।इन समीकरणों को हल कर n तथा x के मान ज्ञात कर इन मानों को मानक द्विपद में रखकर योगफल प्राप्त कर लीजिए।

Sum of Series by Binomial Theorem

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2.द्विपद प्रमेय से श्रेणी का योगफल के उदाहरण (Sum of Series by Binomial Theorem Examples)-

निम्नलिखित अनन्त श्रेणियों का योग ज्ञात कीजिए:
Example-1.1+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}+\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} \cdot \frac{1}{2^{2}}+\cdots
Solution-1+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}+\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} \cdot \frac{1}{2^{2}}+\cdots
मानक श्रेणी (1+x)^{n}=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!} x^{3}+ ....
श्रेणी के पदों की तुलना करने पर-

x=\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \quad \cdots(1) \\ \frac{n(x-1)}{2 !} x^{2}=\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} \cdot \frac{1}{2^{2}}....(2)
समीकरण (1) का वर्ग करके समीकरण (2) में भाग देने पर-

\frac{n(n-1) x^{2}}{2 ! n^{2} x^{2}}=\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} \cdot \frac{1}{2^{2}} \times \frac{3^{2}}{2^{2}}. \frac{2^{2}}{1} \\ \frac{n(n-1)}{2 n^{2}}=\frac{5}{12}.\frac{3}{1} \\ \Rightarrow \frac{n-1}{n}=\frac{15}{6} \\ \Rightarrow 6n-6=15n \\ \Rightarrow 6n-15n=6 \\ \Rightarrow-9n=6 \Rightarrow n=-\frac{2}{3}
n का मान समीकरण (1) में रखने पर-

-\frac{2 x}{3}=\frac{1}{3} \\ x=\left(-\frac{1}{2}\right)
अतः श्रेणी का योग=(1+x)^{n} \\ =\left(1-\frac{1}{2}\right)^{\frac{-2}{3}} \\=( \frac{1}{2})^\frac{-2}{3} \\ =(2)^\frac{2}{3} \\ =(4)^\frac{1}{3}

Example-2.1+\frac{1}{10}+\frac{1.4}{10.20}+\frac{1.4 \cdot 7}{10.20 .30}+.....
Solution-1+\frac{1}{10}+\frac{1.4}{10.20}+\frac{1.4 \cdot 7}{10.20 .30}+.....
मानक श्रेणी (1+x)^{n}=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!} x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} x^{3}+\cdots
श्रेणी के पदों की तुलना करने पर-

nx=\frac{1}{10}--(1) \\ \frac{n(n-1)}{2 !} x^{2}=\frac{1 \cdot 4}{10 \cdot 20}......(2)
समीकरण (1) का वर्ग करके समीकरण (2) में भाग देने पर-

\frac{n(n-1) x^{2}}{2 ! n^{2} x^{2}}=\frac{1 \cdot 4}{10 \cdot 20} \cdot \frac{10^{2}}{1} \\ \Rightarrow \frac{n-1}{2 n}=2 \\ \Rightarrow 4n=n-1 \\ \Rightarrow 4n-n=-1 \\ \Rightarrow 3n=-1 \\ \Rightarrow n=-\frac{1}{3}
n का मान समीकरण (1) में रखने पर-

-\frac{1}{3} x=\frac{1}{10} \\ x=-\frac{3}{10}
अतः श्रेणी का योग=(1+x)^{n} \\ \left(1-\frac{3}{10}\right)^\frac{-1}{3} \\=\left(\frac{7}{10}\right)^\frac{-1}{3} \\ =\left(\frac{10}{7}\right)^\frac{1}{3}
Example-3.1-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{1 \cdot 3}{2.4}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\cdots
Solution-1-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{1 \cdot 3}{2.4}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\cdots
मानक श्रेणी (1+x)^{n}=1+nx+\frac{n(n-1)}{2 !} x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!} x^{3}+\cdots
श्रेणी के पदों की तुलना करने पर-

nx=-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \quad \cdots \cdot(1)\\ \frac{n(n-1) x^{2}}{2 !}=\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}.....(2)
समीकरण (1) का वर्ग करके समीकरण (2) में भाग देने पर-

\frac{n(n-1) x^{2}}{2!n^{2}x^{2}}=\frac{1 \cdot 3}{2.4}\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \cdot \frac{2^{2}}{1} \cdot \frac{2^{2}}{1} \\ \Rightarrow \frac{(n-1)}{2 n}=\frac{3}{2}
\Rightarrow n-1=3n \\ \Rightarrow 3n-n=-1 \\ \Rightarrow 2n=-1 \\ \Rightarrow n=-\frac{1}{2}
n का मान समीकरण (1) में रखने पर-

\left(-\frac{1}{2}\right) x=-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ x=\frac{1}{2}
अतः श्रेणी का योग=(1+x)^{n} \\ =\left(1+\frac{1}{2}\right)^{-1 / 2} \\ =\left(\frac{3}{2}\right)^{-1 / 2} \\ ={\left(\frac{2}{3}\right)^{1 / 2}} \\ ={\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)}}
Example-4.\sqrt{2}=\frac{7}{5}\left[1+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{10^{4}}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3}.\frac{1}{10^{6}}+\cdots\right]
Solution-\sqrt{2}=\frac{7}{5}\left[1+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{10^{4}}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3}.\frac{1}{10^{6}}+\cdots\right] \\ R.H.S=\frac{7}{5}\left[1+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{10^{4}}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 3 \cdot 3} \cdot \frac{1}{10^{6}}+...\right] \\ \Rightarrow 1+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{10^{4}}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \frac{1}{10^{6}}+\cdots
मानक श्रेणी  (1+x)^{n}=1+nx+\frac{n(n-1)}{2 !} x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{3}+....
श्रेणी के पदों की तुलना करने पर-

nx=\frac{1}{10^{2}}....(2) \\ \frac{n(n-1)}{2 !} x^{2}=\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{10^{4}}\cdots(3)
समीकरण (2) का वर्ग करके समीकरण (3) में भाग देने पर-

\frac{n(n-1) x^{2}}{2 ! n^{2} x^{2}}=\frac{1 \cdot 3}{1.2} \cdot \frac{1}{10^{4}} \cdot \frac{10^{4}}{1} \\ \Rightarrow \frac{n-1}{2 n}=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow n-1=3n \\ \Rightarrow 3n-n=-1 \\ \Rightarrow 2n=-1 \\ \Rightarrow n=-1 / 2
n का मान समीकरण (2) में रखने पर-

\left(-\frac{1}{2}\right) x=\frac{1}{100} \\ \Rightarrow x=-\frac{1}{100} \times 2 \\ \Rightarrow x=-\frac{1}{50}
अतः श्रेणी का योग=(1+x)^{n} \\ =\left(1-\frac{1}{50}\right)^{-\frac{1}{2}} \\ =\left(\frac{49}{50}\right)^\frac{1}{2} \ldots \cdot(4)
समीकरण (1) व (4) से-

R.H.S.=\left(\frac{7}{5}\right)\left(\frac{49}{50}\right)^{-\frac{1}{2}} \\ =\left(\frac{7}{5}\right)\left(\frac{50}{49}\right)^{\frac{1}{2}} \\ =\left(\frac{7}{5}\right)\left(\frac{25 \times 2}{7 \times 7}\right)^{\frac{1}{2}} \\ =\sqrt{2} \times \frac{7}{5} \times \frac{5}{7} \\ =\sqrt{2}=L.H.S.

Sum of Series by Binomial Theorem

Example-5.\left(\frac{3}{2}\right)^{1 / 3}=1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{3^{4}}+\frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \frac{1}{3^{6}}+\cdots
Solution-\left(\frac{3}{2}\right)^{1 / 3}=1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{3^{4}}+\frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \frac{1}{3^{6}}+\cdots \\ R.H.S =1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{3^{4}}+\frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \frac{1}{3^{6}}+\cdots
मानक श्रेणी (1+x)^{n}=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!} x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!} x^{3}+\cdots
श्रेणी के पदों की तुलना करने पर-

nx=\frac{1}{3^{2}}\cdots(1) \\ \frac{n(n-1)}{2 !} x^{2}=\frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{3^{4}}\cdots(2)
समीकरण (1) का वर्ग करके समीकरण (2) में भाग देने पर-

\frac{n(n-1) x^{2}}{2 ! n^{2} x^{2}}=\frac{1.4}{1.2} \cdot \frac{1}{3^{4}} \cdot \frac{3^{4}}{1} \\ \Rightarrow \frac{n-1}{2 n}=\frac{4}{2} \\ \Rightarrow n-1=4 n \\ \Rightarrow 4n-n=-1 \\ \Rightarrow 3n=-1 \\ \Rightarrow n=-\frac{1}{3}
n का मान समीकरण (1) में रखने पर-

\left(-\frac{1}{3}\right)x=\frac{1}{9} \\ \Rightarrow x=-\frac{1}{3}
अतः श्रेणी का योग=(1+x)^{n} \\ =\left(1-\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{3}} \\ =\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{3}} \\ =\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}}=L.H.S
Example-6.यदि y=\frac{1}{3}+\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9}+\cdots \cdot \infty ,तो सिद्ध कीजिए y^{2}+2 y-2=0
Solution-y=\frac{1}{3}+\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9}+\cdots \cdot \infty \\ 1+y=1+\frac{1}{3}+\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot6 \cdot 9}+\cdots \cdot \infty \\ =1+\frac{1}{3}+\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9}+\cdots
मानक श्रेणी (1+x)^{n}=1+n x+\frac{n(n-1)}{2 !} x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!} x^{3}+........
श्रेणी के पदों की तुलना करने पर-

nx=\frac{1}{3} \cdots(1) \\ \frac{n(n-1)}{2 !} x^{2}=\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} \cdots \cdot(2)
समीकरण (1) का वर्ग करके समीकरण (2) में भाग देने पर-

\frac{n(n-1) x^{2}}{2 ! n^{2} x^{2}}=\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} \cdot \frac{9}{1} \\ \Rightarrow \frac{(n-1)}{2 n}=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow 3n=n-1 \\ \Rightarrow 3n-n=-1 \\ \Rightarrow 2n=-1 \\ \Rightarrow n=-\frac{1}{2}
n का मान समीकरण (1) में रखने पर-

\left(-\frac{1}{2}\right) x=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow x=-\frac{2}{3}
अतः श्रेणी का योग=(1+x)^{n} =\left(1-\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} \\ =\left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} \\ =(3)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}
अतः 1+y=\sqrt{3} \\ \Rightarrow(1+y)^{2}=3 \\ \Rightarrow 1+2 y+y^{2}=3 \\ \Rightarrow y^{2}+2 y-2=0
Example-7. सिद्ध कीजिए:\quad(1+x)^{n}=2^{n}\left[1-\frac{n(1-x)}{(1+x)}+\frac{n(n+1)}{2 !}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}-\cdots \cdot\right]
Solution-(1+x)^{n}=2^{n}\left[1-\frac{n(1-x)}{(1+x)}+\frac{n(n+1)}{2 !}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}-\cdots \cdot\right] \\ R.H.S.=2^{n}\left[1-\frac{n(1-x)}{(1+x)}+\frac{n(n+1)}{2!}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}-\cdots\right]...(1) \\ \Rightarrow 1-x\left(\frac{1-x}{1+x}\right)+\frac{n(n+1)}{2!}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2} \ldots
मानक श्रेणी (1+y)^{2}=1+t y+\frac{t(t-1)}{2!} \cdot y^{2}+\frac{t(t-1)(t-2)}{3!} y^{3}+.....
श्रेणी के पदों की तुलना करने पर-

ty=-\frac{n(1-x)}{(1+x)}\cdots(2) \\ \frac{t(t-1) y^{2}}{2!}=\frac{n(n+1)}{2 !}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2} \cdots(3)
समीकरण (2) का वर्ग करके समीकरण (3) में भाग देने पर-

\frac{t(t-1) y^{2}}{2 ! t^{2} y^{2}}=\frac{n(n+1)}{2!}(\frac{1-x}{1+x})^{2}(\frac{1+x}{1-x})^{2} \frac{1}{n^{2}} \\ \Rightarrow \frac{(t-1)}{2 t}=\frac{(n+1)}{2! n} \\ nt-n=nt+t \\  \Rightarrow t=-n

n का मान समीकरण (2) में रखने पर-

(-n y)=-n\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \\ y=\frac{1-x}{1+x}
अतः श्रेणी का योग=\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{-n} \\ =\left(\frac{1+x+1-x}{1+x}\right)^{-n} \\ =\left(\frac{2}{1+x}\right)^{-n} \\(1+y)^{t} =\left(\frac{1+x}{2}\right)^{n}\cdots(4)
समीकरण (1) व (4) से-

R.H.S=2^{n}\left(\frac{1+x}{2}\right)^{n} \\ =(1+x)^{n}=L.H.S
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विपद प्रमेय से श्रेणी का योगफल (Sum of Series by Binomial Theorem) को समझ सकते हैं।

3.द्विपद प्रमेय से श्रेणी का योगफल की समस्याएं (Sum of Series by Binomial Theorem Problems),द्विपद प्रमेय में श्रेणी का योग की समस्याएं (Sum of Series in Binomial Theorem)-

निम्नलिखित अनन्त श्रेणियों का योग ज्ञात कीजिए:

(1.) 1+\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}+\frac{1.4}{3.6} \cdot \frac{1}{4^{2}}+\cdots \\ (2.) 1+\frac{1}{4}+\frac{1.4}{4.8}+\frac{1.4 .7}{4.8 \cdot 12}+\cdots . . \\ (3.) 1+\frac{1}{4}+\frac{1.3}{4.8}+\frac{1.3 .5}{4.8 \cdot 12}+\cdots \\ (4) 1+\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 2}+\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} \cdot \frac{1}{(2) 2}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{3 \cdot 6 \cdot 9} \cdot \frac{1}{(2)^{3}}+\cdots
(5.) सिद्ध कीजिए: \sqrt{2}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1 \cdot 3}{2 ! \cdot 2^{4}}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 ! \cdot 2^{6}}+\cdots
(6.)यदि  x=\frac{1}{3}+\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}+\cdots \cdot  तो सिद्ध कीजिए: x^{2}+2 x-2=0
उत्तर (Answer): (1)\left(\frac{4}{3}\right)^{1 / 3} \\ (2)(4)^{1 / 3} \\ (3.)\sqrt{2} \\ (4) (4)^{1 / 3}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विपद प्रमेय से श्रेणी का योगफल (Sum of Series by Binomial Theorem) को ठीक से समझ सकते हैं।

Sum of Series by Binomial Theorem

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