1.विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल (Sum of n Terms of Special Series),विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल कक्षा 11 (Sum of n Terms of Special Series Class 11):

Sum of n Terms of Special Series

विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल (Sum of n Terms of Special Series) में प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग,प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग,प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का योग का अध्ययन करेंगे।
(1.)प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल (Sum of First n Natural Numbers):
माना कि S_n=1+2+3+\cdots+n
यहाँ a=1 तथा d=1

S_n =\frac{n}{2}\{2 a+(n-1) d\} \\ =\frac{n}{2}\{2 \cdot 1+(n-1) \cdot 1\} \\ \Rightarrow S_n =\frac{n(n+1)}{2}
योगफल के संकेत \Sigma (sigma) के रूप में n पदों का योगफल द्वारा व्यक्त किया जाता है जिसका nवाँ पद n है।
अतः \Sigma n=\frac{n(n+1)}{2}
(2.)प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योगफल (Sum of Squares of First n Natural Numbers):
माना कि S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^{2}=\Sigma n^2
सर्वसमिका (x+1)^3-x^3=3 x^2+3 x+1 में x=1,2,3,…,(n-1),n रखने पर:

2^3-1^{3}=3 \cdot 1^2+3 \cdot 1+1 \\ 3^2-2^3=3 \cdot 2^2+3 \cdot 2+1 \\ 4^3-3^3=3 \cdot 3^2+3 \cdot 3+1 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
तथा (n+1)^3-n^3=3 \cdot n^2+3 \cdot n+1
स्तम्भानुसार जोड़ने पर:
\Rightarrow(n+1)^3-1^{3}=3\left(1^2+2^{2}+3^2+\ldots \ldots+n^{2}\right)+3\left ( 1+2+3+\ldots+n \right)+\left ( 1+1+1\ldots+1 \text{, n पद} \right ) \\ \Rightarrow(n+1)^3-1^3=3 S_{n}+3 \Sigma n+n \\ \Rightarrow n^3+3 n^2+3 n=3 S_{n}+3 \frac{n(n+1)}{2}+n \\ \Rightarrow 3 S_{n}=n^3+3 n^2+3 n-\frac{\left(3 n^2+3 n\right)}{2}-n \\ =\frac{2 n^3+3 n^2+n}{2} \\ =\frac{n(n+1)(2 n+1)}{2} \\ \therefore S_n=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
(3.)प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का योगफल (Sum of Cubes of First n Natural Numbers):
माना कि S_n=1^{3}+2^2+2^3+\cdots+n^{3}=\Sigma n^{3}
सर्वसमिका (x+1)^4-x^4=4 x^3+6 x^2+4 x+1 में x=1,2,3,….,(n-1),n रखने पर:

2^4-1^4=4 \cdot 1^{3}+6 \cdot 2^2+4 \cdot 1+1 \\ 2^4-1^4=4 \cdot 2^{3}+6 \cdot 1^2+4 \cdot 1+1 \text {, }\\ 3^4-2^4=4 \cdot 2^3+6 \cdot 2^2+4 \cdot 2+1 \text {, } \\ 4^4-3^4=4 \cdot 3^3+6 \cdot 3^2+4 \cdot 3+1 \text {, }\\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1,
तथा (n+1)^4-n^4=4 \cdot n^3+6 \cdot n^2+4 \cdot n+1
स्तम्भानुसार जोड़ने पर:

(n+1)^4-1^4=4\left(1^3+2^3+3^3+\ldots \ldots+n^3 \right)+6 \left(1^2+2^2+3^2 +\cdots+ n^2 \right) +4(1+2+3+\cdots+n)+\left(1+1+1+\ldots \ldots +1, \text { n पद }\right) \\ \Rightarrow n^4+4 n^3+6 n^2+4 n=4 S_{n}+6 \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+4 \cdot \frac{n(n+1)}{2}+n \\ \Rightarrow 4 S_{n}= n^4+4 n^3+6 n^2+4 n-n(n+1)(2 n+1)-2 n(n+1)-n
सरल करने पर:

4 S_n=n^2\left(n^2+2 n+1\right) \\ \Rightarrow S_n=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \\ \Rightarrow S_n= \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
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2.विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल के साधित उदाहरण (Sum of n Terms of Special Series Solved Examples):

प्रश्न 1 से 7 तक प्रत्येक श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Example:1.1×2+2×3+3×4+4×5+…..
Solution:1×2+2×3+3×4+4×5+…..

a_n=n(n+1) \\ \Rightarrow a_n =n^2+n \\ S_n =\Sigma a_n \\ =\Sigma\left(n^2+n\right) \\ =\Sigma n^2+\Sigma n \\ =\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2} \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2 n+1}{3}+1 \right] \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2 n+1+3}{3}\right] \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2 n+4}{3}\right] \\ =\frac{n(n+1)}{2} \times \frac{2(n+2)}{3} \\ \Rightarrow S_n =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}
Example:2.1×2×3+2×3×4+3×4×5+…..
Solution:1×2×3+2×3×4+3×4×5+…..

a_n=n(n+1)(n+2) \\ =n\left(n^2+3 n+2\right) \\ \Rightarrow a_n=n^3+3 n^2+2 n \\ S_n=\Sigma a_n \\ =\Sigma \left(n^3+3 n^2+2 n\right) \\ =\Sigma n^3+3 \Sigma n^2+2 \Sigma n \\ =\left[ \frac{n(n+1)}{2}\right]^2+\frac{3 n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{2 n(n+1)}{2} \\ =\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{n(n+1)(2 n+1)}{2}+\frac{n(n+1)}{1} \\ =n(n+1)\left[\frac{n(n+1)}{4}+\frac{2 n+1}{2}+1\right] \\ =n(n+1)\left[\frac{n^2+n +4 n+2+4}{4}\right]\\ =n(n+1) \frac{\left(n^2+5 n+6\right)}{4}\\ =\frac{n(n+1)}{4}\left[n^2+3 n+2 n+6\right]\\ =\frac{n(n+1)}{4}[n(n+3)+2(n+3)]\\ =\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\\ \Rightarrow S_n=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}
Example:3. 3 \times 1^2+5 \times 2^2+7 \times 3^2+\cdots
Solution: 3 \times 1^2+5 \times 2^2+7 \times 3^2+ \ldots \ldots \\ a_n =(2 n+1) n^2 \\ =2 n^3+n^2 \\ S_n =\Sigma a_n \\ =\Sigma \left(2 n^3+n^2\right) \\ =2 \Sigma n^3+\Sigma n^2 \\ =2 \left[ \frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}+\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \\ =\frac{n^2(n+1)^2}{2}+\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[n(n+1)+\frac{2 n+1}{3}\right] \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3 n^2+3 n+2 n+1}{3}\right] \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3 n^2+5 n+1}{3}\right] \\ \Rightarrow S_n=\frac{n(n+1)\left(3 n^2+5 n+1\right)}{6}
Example:4. \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\cdots
Solution: \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\cdots \\ S_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \\ =1-\frac{1}{n+1} \\ =\frac{n+1-1}{n+1} \\ \Rightarrow S_n=\frac{n}{n+1}

Sum of n Terms of Special Series

Example:5. 5^2+6^2+7^2+\cdots+20^2
Solution: 5^2+6^2+7^2+\cdots+20^2\\ =1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+\cdots+20^2-\left(1^2+2^2+3^2+4^2\right)\\ S_n=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\\ =\frac{20(20+1)(2 \times 20+1)}{6}-\frac{4(4+1)(2 \times 4+1)}{6}\\ =\frac{20 \times 21 \times 41}{6}-\frac{4 \times 5 \times 9}{6}\\ =2870-30\\ =2840
Example:6. 3×8+6×11+9×14+….
Solution: 3×8+6×11+9×14+….

a_n =3 n(3 n+5) \\ =9 n^2+15 n \\ S_n =\Sigma a_n \\ =\Sigma \left(9 n^2+15 n\right) \\ = 9 \Sigma n^2+15 \Sigma n \\ =\frac{9 n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{15 n(n+1)}{2} \\ =\frac{3 n(n+1)(2 n+1)}{2}+\frac{15 n(n+1)}{2} \\ =\frac{3 n(n+1)}{2}[2 n+1+5] \\ \Rightarrow S_n =\frac{3 n(n+1)(2 n+6)}{2} \\ \Rightarrow S_n =3 n(n+1)(n+3)
Example:7. 1^2+\left(1^2+2^2\right)+\left(1^2+2^2+3^2\right)+\ldots \ldots
Solution: 1^2+\left(1^2+2^2\right)+\left(1^2+2^2+3^2\right)+\ldots \ldots \\ a_n=1^2+2^2 +3^2 +\cdots+n^2\\ =\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\\ a_{n}=\frac{2 n^3+3 n^2+n}{6}\\ S_n=\Sigma a_n\\ = \frac{\Sigma(2 n^3+3 n^2+n)}{6}\\ =\frac{1}{3} \Sigma n^3+\frac{1}{2}\Sigma n^2+\frac{1}{6} \Sigma n\\ =\frac{1}{3}\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2+\frac{1}{2} \times \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{1}{6} \times \frac{n(n+1)}{2} \\ =\frac{n(n+1)}{12}[n(n+1)+2 n+1+1] \\ =\frac{n(n+1)}{12}\left[n^2+n+2 n+2\right] \\ =\frac{n(n+1)}{12}\left(n^2+3 n+2\right) \\ =\frac{n(n+1)}{12}\left[n^2+2 n+n+2\right] \\ =\frac{n(n+1)}{12}[n(n+2)+1(n+2)] \\ =\frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{12}
प्रश्न 8 से 70 तक प्रत्येक श्रेणी के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका nवाँ पद दिया है:
Example:8.n(n+1)(n+4)
Solution: a_n=n(n+1)(n+4) \\ \Rightarrow a_{n}=n^3+5 n^2+4 n \\ S_n=\Sigma a_n \\ =\Sigma \left(n^3+5 n^2+4 n\right) \\ =\Sigma n^3+5 \Sigma n^2+4 \Sigma n \\ = {\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2+\frac{5 n(n+1)(2 n+1)}{6}}+\frac{4 n(n+1)}{2} \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n(n+1)}{2}+\frac{5(2 n+1)}{3}+2\right] \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n^2+n}{2}+\frac{10 n+5}{3}+\frac{2}{1}\right] \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3 n^2+3 n+20 n+10+12}{6}\right] \\ =\frac{n(n+1)}{12}\left[3 n^2+23 n+32\right] \\ \Rightarrow S_n=\frac{1}{12} n(n+1)\left(3 n^2+23 n+32\right)
Example:9. n^2+2^n
Solution: a_{n}=n^2+2^n \\ S_n =\Sigma a_n \\ =\Sigma \left(n^2+2^n\right) \\ =\Sigma n^2+2^n \\ =\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{2\left(2^n-1\right)}{2-1} \\ \Rightarrow S_n =\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+2\left(2^n-1\right)
Example:10. (2 n-1)^{2}
Solution: a_n=(2 n-1)^2 \\ \Rightarrow a_{n}=4 n^2-4 n+1 \\ S_n =\Sigma a_{n} \\ = \Sigma \left(4 n^2-4 n+1\right) \\ =4 \Sigma n^2-4 \Sigma n+\Sigma 1 \\ =4 \times \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-4 \times \frac{n(n+1)}{2}+n \\ =n\left[\frac{2(n+1)(2 n+1)}{3}-2(n+1)+1\right] \\ =n\left[\frac{2\left(2 n^2+3 n+1\right)}{3}-\frac{2 n+2}{1}+1\right] \\ =n\left[\frac{4 n^2+6 n+2}{3}-\frac{2 n+2}{1}+1\right] \\ =n\left[\frac{4 n^2+6 n+2-6 n-6+3}{3}\right] \\ =\frac{n}{3}\left[4 n^2-1\right] \\ \Rightarrow S_n =\frac{n}{3}(2 n+1)(2 n-1)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल (Sum of n Terms of Special Series),विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल कक्षा 11 (Sum of n Terms of Special Series Class 11) को समझ सकते हैं।

3.विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल पर आधारित सवाल (Questions Based on Sum of n Terms of Special Series):

Sum of n Terms of Special Series

(1.)निम्नलिखित अनुक्रमों के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए:

1 \cdot 2^{2}+2 \cdot 3^{2}+3 \cdot 4^{2}+\ldots \ldots
(2.)निम्नलिखित श्रेणी का nवाँ पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए:
1.2.4+2.3.7+3.4.10+….
(3.)निम्नलिखित श्रेणी का nवाँ पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए:
1+6+13+22+…..
उत्तर (Answers):(1.) \frac{n}{12}(n+1) \cdot(n+2) \cdot (3 n+5)
(2.) a_n=n(n+1)(3 n+1), S_n=\frac{1}{12} n(n+1)(n+2)(9 n+7)
(3.) a_n=n^2+2 n-2, S_n=\frac{n(n+1)(2 n+7)}{6}-2 n
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल (Sum of n Terms of Special Series),विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल कक्षा 11 (Sum of n Terms of Special Series Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल (Sum of n Terms of Special Series),विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल कक्षा 11 (Sum of n Terms of Special Series Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल (Sum of n Terms of Special Series) में प्रथम n प्राकृत
संख्याओं का योग,प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग,प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों
का योग का अध्ययन करेंगे।