1.समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग कक्षा 10 (Sum of First n Terms of an AP Class 10),गणित में समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10 (Sum of First n Terms of an AP in Class 10):

Sum of First n Terms of an AP Class 10

समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग कक्षा 10 (Sum of First n Terms of an AP Class 10) ज्ञात किया जा सकता है यदि समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद,सार्व अन्तर और पदों की संख्या दी हुई हो।इसके लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग किया जाता है:

S=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Arithmetic Progression Class 10

2.समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग कक्षा 10 के साधित उदाहरण (Sum of First n Terms of an AP Class 10 Solved Examples):

Example:1(i).2,7,12,….,10 पदों तक
Solution:2,7,12,….,10 पदों तक
a=2,d=7-2=5,n=10

S_n =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ S_{10} =\frac{10}{2}[2 \times 2+(10-1) \times 5] \\ =5[4+9 \times 5] \\ =5[4+45] \\ =5 \times 49 \\ \Rightarrow S_{10} =245
Example:1(ii).-37,-33,-29,…,12 पदों तक
Solution:-37,-33,-29,…,12 पदों तक
a=-37,d=-33-(-37)=-33+37=4,n=12

S_n =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ \Rightarrow S_{12} =\frac{12}{2}[2 \times-37+(12-1) \times 4] \\ =6[-74+11 \times 4] \\ =6[-74+44] \\ =6 \times(-30) \\ \Rightarrow S_{12} =-180
Example:1(iii).0.6,1.7,2.8,….,100 पदों तक
Solution:0.6,1.7,2.8,….,100 पदों तक
a=0.6,d=1.7-0.6=1.1,n=100

S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ S_{100}=\frac{100}{2}[2 \times 0.6+(100-1) \times 1.1] \\ =50[1.2+99 \times 1.1] \\ =50[1.2+108.9] \\ =50 \times 110.1 \\ \Rightarrow S_{100} =5505
Example:1(iv). \frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots, 11 पदों तक
Solution: \frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots, 11 पदों तक

a=\frac{1}{15}, d=\frac{1}{12}-\frac{1}{15}=\frac{5-4}{60}=\frac{1}{60}, n=11\\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]\\ S_{11}=\frac{11}{2}\left[2 \times \frac{1}{15}+(11-1) \times \frac{1}{60}\right]\\ =\frac{11}{2} \left[\frac{2}{15}+\frac{10}{60}\right]\\ =\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{1}{6}\right]\\ =\frac{11}{2} \times\left[\frac{4+5}{30}\right]\\ =\frac{11}{2} \times \frac{9}{30}\\ \Rightarrow S_{11}=\frac{33}{20}
Example:2(i). 7+10 \frac{1}{2}+14+………+84
Solution: 7+10 \frac{1}{2}+14+\cdots+84 \\ a=7, d=10 \frac{1}{2}-7=3 \frac{1}{2}=\frac{7}{2} \quad, l=a_n=84 \\ a_n=a+(n-1) d \\ 7+(n-1) \frac{7}{2}=84 \\ \Rightarrow(n-1) \frac{7}{2}=84-7 \\ \Rightarrow(n-1) \frac{7}{2}=77 \\ \Rightarrow n-1=77 \times \frac{2}{7} \\ \Rightarrow n-1=22 \\ \Rightarrow n=22+1 \\ \Rightarrow n=23 \\ S_n=\frac{n}{2}[a+l] \\ \Rightarrow S_{23}=\frac{23}{2}[7+84] \\ =\frac{23}{2} \times 91 \\ =\frac{2093}{2} \\ \Rightarrow S_{23}=1046 \frac{1}{2}
Example:2(ii).34+32+30+….+10
Solution:34+32+30+….+10
a=34, d=32-34=-2, a_n=10\\ a_n=a+(n-1) d\\ \Rightarrow 34+(n-1)(-2)=10\\ \Rightarrow(n-1)(-2)=10-34\\ \Rightarrow n-1=\frac{-24}{-2}\\ \Rightarrow n-1=12\\ \Rightarrow n=12+1\\ \Rightarrow n=13\\ S_n=\frac{n}{2} \left[a+l\right]\\ \Rightarrow S_{13}=\frac{13}{2}[34+10]\\ =\frac{13}{2} \times 44\\ \Rightarrow S_{13}=286
Example:2(iii).-5+(-8)+(-11)+…+(-230)
Solution:-5+(-8)+(-11)+…+(-230)
a=-5,d=-8-(-5)=-8+5=-3

Sum of First n Terms of an AP Class 10

Example:3.एक A.P. में
Example:3(i).a=5,d=3,a_n=50 और दिया है।n और S_n ज्ञात कीजिए।
Solution: a=5, d=3, a_n=50, n=?, S_n=?\\ a_n=a+(n-1) d\\ \Rightarrow 50=5+(n-1) \times 3\\ \Rightarrow 50-5=(n-1) 3\\ \Rightarrow(n-1)=\frac{45}{3}\\ \Rightarrow n-1=15\\ \Rightarrow n=16\\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]\\ S_{16}=\frac{16}{2}[2 \times 5+(16-1) \times 3]\\ =8[10+15 \times 3]\\ =8[10+45]\\ =8 \times 55\\ \Rightarrow S_{16}=440, n=16
Example:3(ii).a=7 और a_{13}=35 दिया है।d और S_{13} ज्ञात कीजिए।
Solution: a=7, a_{13}=35, d=?, S_{13}=?, n=13 \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 35=7+(13-1) d \\ \Rightarrow 35-7=12 d \\ \Rightarrow 12 d=28 \\ \Rightarrow d=\frac{28}{12} \\ \Rightarrow d=\frac{7}{3} \\ S_n =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ S_{13} =\frac{13}{2}\left[2 \times 7+(13-1) \times \frac{7}{3}\right] \\ =\frac{13}{2}\left[14+12 \times \frac{7}{3}\right] \\ =\frac{13}{2}[14+28] \\ =\frac{13}{2} \times 42 \\ \Rightarrow S_{13} =273, d=\frac{7}{3}
Example:3(iii). a_{12}=37 और d=3 दिया है।a और S_{12} ज्ञात कीजिए।
Solution: a_{12}=37, d=3, a=?, S_{12}=?, n=12 \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 37=a+(12-1) \times 3 \\ \Rightarrow 37=a+11 \times 3 \\ \Rightarrow a=37-33 \Rightarrow a=4 \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ S_{12}=\frac{12}{2}[2 \times 4+(12-1) \times 3] \\ =6[8+11 \times 3] \\ =6 \times 41 \\ \Rightarrow S_{12}=246, a=4
Example:3(iv). a_3=15 और S_{10}=125 दिया है।d और a_{10} ज्ञात कीजिए।
Solution: a_3=15, S_{10}=125, d=?, a_{10}=?, n=10\\ a_n=a+(n-1) d\\ \Rightarrow+5=a+(3-1) \times d\\ \Rightarrow a+4 d=15 \cdots(1)\\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]\\ \Rightarrow 125=\frac{10}{2}[2 a+(10-1) d]\\ \Rightarrow \frac{125}{5}=2 a+9 d\\ \Rightarrow 2 a+9 d=25 \cdots(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर:
\begin{matrix} 2 a+8 d=30 \cdots(3) \\ 2 a+9 d=25 \cdots(2) \\ - \quad \quad \quad - \quad \quad \quad - \text{ घटाने पर } \\ \hline \end{matrix} \\ -d=5\\ \Rightarrow d=-5
d का मान समीकरण (1) में रखने पर:
a+4 \times -5=15\\ \Rightarrow a-20=15\\ \Rightarrow a=20+15\\ \Rightarrow a=35, d=-5\\ a_{10}=35+(10-1) \times-5\\ =35+9 \times-5\\ =35-45\\ =-10\\ \Rightarrow a_{10}=-10, d=-5
Example:3(v).d=5 और S_{9}=75 दिया है।a और a_{9} ज्ञात कीजिए।
Solution: d=5, S_{9}=75, a=?,a_{9}=?, n=9 \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ \Rightarrow 75=\frac{9}{2}[2 \times a+(9-1) \times 5] \\ \Rightarrow 75 \times \frac{2}{9}=2 a+40 \\ \Rightarrow \frac{150}{9}-40=2 a \\ \Rightarrow \frac{50}{3}-40=2 a \\ \Rightarrow \frac{50-120}{3}=2 a \\ \Rightarrow \frac{-70}{3}=2 a \\ \Rightarrow a=\frac{-35}{3} \\ \Rightarrow a_{n}=a+(n-1) d \\ \Rightarrow a_{9}=\frac{-35}{3}+(9-1) \times 5 \\ \Rightarrow a_{9}=-\frac{35}{3}+40 \\ \Rightarrow a_{9}=\frac{-35+120}{3} \\ \Rightarrow a_{9}=\frac{85}{3}, a=-\frac{35}{3}
Example:3(vi).a=2,d=8 और S_n=90 दिया है।n और a_n ज्ञात कीजिए।
Solution: a=2, d=8, S_n=90, a_n= ? \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ \Rightarrow 90=\frac{n}{2}[2 \times 2+(n-1) \times 8] \\ \Rightarrow 180=n[4+8 n-8] \\ \Rightarrow 180=n[8 n-4] \\ \Rightarrow \frac{180}{4}=n(2 n-1) \\ \Rightarrow 45=2 n^2-n \\ \Rightarrow 2 n^2-n-45=0 \\ \Rightarrow 2 n^2-10 n+9 n-45=0 \\ \Rightarrow 2 n(n-5)+9(n-5)=0 \\ \Rightarrow (n-5)(2 n+9)=0 \\ \Rightarrow n-5=0 \Rightarrow n=5 \\ 2 n+9=0 \\ n=-\frac{9}{2}  (असंभव है क्योंकि n प्राकृत संख्या नहीं है)
अत: n=5
a_n =a+(n-1) d \\ a_5 =2+(5-1)(8) \\ =2+32 \\ \Rightarrow a_5 =34, \quad n=5
Example:3(vii).a=8 और दिया है।n और d ज्ञात कीजिए।
Solution: a=8, a_n=62, S_n=210, n=?, d=? \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 62=8+(n-1) d \\ \Rightarrow 54=n d-d \\ \Rightarrow n d-d=54 \cdots(1) \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ 210=\frac{n}{2}[2 \times 8+(n-1) d] \\ \Rightarrow 210=\frac{n}{2}[16+54] [(1) से]

\Rightarrow 420=n \times 70 \\ \Rightarrow n=\frac{420}{70} \\ \Rightarrow n=6
n का मान समीकरण (1) में रखने पर:
6 d-d=54 \\ \Rightarrow 5 d=54 \\ \Rightarrow d=\frac{54}{5}, n=6
Example:3(viii). a_n=4,d=2 और S_n=-14 दिया है।n और a ज्ञात कीजिए।
Solution: a_n=4, d=2, S_n=-14, n=?, d= ? \\ a_n =a+(n-1) d \\ \Rightarrow 4 =a+(n-1) \times 2 \\ \Rightarrow 4 =a+2 n-2 \\ \Rightarrow a+2 n =6 \ldots(1) \\ S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ -14 =\frac{n}{2}[a+a_{n}] \\ =\frac{n}{2}[a+4] \\ \Rightarrow-14 \times 2=n[6-2 n+4] [(1) से]
\Rightarrow-28=10 n-2 n^2 \\ \Rightarrow 2 n^2-10 n-28=0 \\ \Rightarrow 2\left(n^2-5 n-14\right)=0 \\ \Rightarrow n^2-5 n-14=0 \\ \Rightarrow n^2-7 n+2 n-14=0 \\ \Rightarrow n(n-7)+2(n-7)=0 \\ \Rightarrow(n+2)(n-7)=0\\ \Rightarrow n=-2  (असंभव है क्योंकि n का मान ऋणात्मक नहीं होता है)

n-7=0  \Rightarrow n=7
n का मान (1) में रखने पर:
\Rightarrow a+2 \times 7=6 \\ \Rightarrow a+14=6 \\ \Rightarrow a=6-14 \\ \Rightarrow a=-8, n=7
Example:3(ix).a=3,n=8 और S=192 दिया है।d ज्ञात कीजिए।
Solution:a=3,n=8,S=192,d=?

S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ 192=\frac{8}{2}[2 \times 3+(8-1) d] \\ \Rightarrow \frac{192}{4}=[6+7 d] \\ \Rightarrow 48-6=7 d \\ \Rightarrow d=\frac{42}{7} \\ \Rightarrow d=6
Example:3(x).l=28,S=144 और कुल 9 पद हैं।a ज्ञात कीजिए।
Solution:l=28,S=144,n=9,a=?

S_n=\frac{n}{2}[a+l] \\ \Rightarrow 144=\frac{9}{2}[a+28] \\ \Rightarrow 144 \times \frac{2}{9}=a+28 \\ \Rightarrow 32=a+28 \\ \Rightarrow a=4
Example:4.636 योग प्राप्त करने के लिए A.P.:9,17,25,…. के कितने पद लेने चाहिए?
Solution:  9,17,25, \ldots, S_{n}=636 \\ a=9, d=17-9=8, S_n=636, n=? \\ S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1) d] \\ \Rightarrow 636=\frac{n}{2}[2 \times 9+(n-1) \times 8] \\ \Rightarrow 1272=n[18+8 n-8] \\ \Rightarrow 1272=10 n+8 n^2 \\ \Rightarrow 1272=2\left(5 n+4 n^2\right) \\ \Rightarrow 636=5 n+4 n^2\\ \Rightarrow 4 n^2+5 n-636=0\\ \Rightarrow 4 n^2+53 n-48 n-636=0\\ \Rightarrow n(4 n+53)-12(4 n+53)=0\\ \Rightarrow(4 n+53)(n-12)=0\\ \Rightarrow 4 n+53=0\\ n=-\frac{53}{4} (असंभव है,n ऋणात्मक नहीं हो सकता है)
अतः n-12=0 \Rightarrow n=12
Example:5.किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है।पदों की संख्या और सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
Solution: a=5, l=a_{n}=45, S_n=400 \\ S_n=\frac{n}{2}[a+l] \\ \Rightarrow 400=\frac{n}{2}[5+45] \\ \Rightarrow 400 \times 2=50 n \\ \Rightarrow n=\frac{400 \times 2}{50} \\ \Rightarrow n=16 \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 45=5+(16-1) d \\ \Rightarrow 40=15 d \\ \Rightarrow d=\frac{40}{15} \\ \Rightarrow d=\frac{8}{3}, n=16
Example:6.किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं।यदि सार्वअन्तर 9 है तो इसमें कितने पद है और इनका योग क्या है?
Solution: a=17,l=a_{n}=350 ,d=9,n=?,S_{n}=? \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 350=17+(n-1) \times 9 \\ \Rightarrow \frac{350-17}{9}=n-1 \\ \Rightarrow n-1=\frac{333}{9} \\ \Rightarrow n=37+1 \\ \Rightarrow n=38 \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ S_{38}=\frac{38}{2}[2 \times 17+(38-1) \times 9] \\ S_{38}= 19[34+333]=6973
Example:7.उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसमें d=7 है और 22वाँ पद 149 है।
Solution: d=7, \quad a_{22}=149, n=22 \\ a_n =a+(n-1) d \\ \Rightarrow 149 =a+(22-1) \times 7 \\ \Rightarrow a =149-147 \\ \Rightarrow a =2 \\ S_n =\frac{n}{2}[2a+(n-1) d] \\ S_{22} =\frac{22}{2}[2 \times 2+(22-1) \times 7] \\ =11[4+147] \\ =11 \times 151 \\ \Rightarrow S_{22} =1661
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग कक्षा 10 (Sum of First n Terms of an AP Class 10),गणित में समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10 (Sum of First n Terms of an AP in Class 10) को समझ सकते हैं।

3.समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग कक्षा 10 पर आधारित सवाल (Questions Based on Sum of First n Terms of an AP Class 10):

Sum of First n Terms of an AP Class 10

(1.)यदि एक समान्तर श्रेणी का दूसरा पद 2 तथा सातवाँ पद 22 है तो उसके 30 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
(2.)2 से 100 के बीच उन सभी विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 3 से भाज्य है।
(3.)यदि एक समान्तर श्रेणी का तृतीय पद 7 है तथा सातवाँ पद तृतीय पद के तीन गुना से दो अधिक है तो उसके 20 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.) S_{30}=1680 (2.) 867 (3.)S_{20}=740

Also Read This Article:-General Term of Arithmetic Progression

4.समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग कक्षा 10 (Sum of First n Terms of an AP Class 10),गणित में समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10 (Sum of First n Terms of an AP in Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग कक्षा 10 (Sum of First n Terms of an AP
Class 10) ज्ञात किया जा सकता है यदि समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद,सार्व अन्तर और
पदों की संख्या दी हुई हो।