1.गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics),उपसमुच्चय कक्षा 11 (Subsets Class 11):

Subsets in Mathematics

गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics) समुच्चय का एक प्रकार है जिसकी परिभाषा निम्न प्रकार से है:
उपसमुच्चय की परिभाषा (Definition of Subsets):यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव, समुच्चय B का भी एक अवयव है तो A,B का उपसमुच्चय कहलाता है.
दूसरे शब्दों में A \subset B यदि जब कभी a \in A तो a \in B बहुधा प्रतीक ' \Rightarrow ' जिसका अर्थ ‘तात्पर्य है’ होता है,का प्रयोग सुविधाजनक होता है.इस प्रतीक का प्रयोग करके, हम उपसमुच्चय की परिभाषा इस प्रकार लिख सकते हैं: A \subset B यदि a \in A \Rightarrow a \in B
हम उपर्युक्त कथन को इस प्रकार पढ़ते हैं,”A,B का एक उपसमुच्चय है यदि इस तथ्य का कि a,A का एक अवयव है तात्पर्य है कि a,B का भी एक अवयव है”.यदि A,B का एक उपसमुच्चय नहीं है तो हम लिखते हैं कि A \not \subset B .
हमें ध्यान देना चाहिए कि A को B का समुच्चय होने के लिए केवल मात्र यह आवश्यक है कि A का प्रत्येक अवयव B में है.यह संभव है कि B का प्रत्येक अवयव A में हो या न हो.यदि ऐसा होता है कि B का प्रत्येक अवयव A में भी है तो B \subset A. इस दशा में A और B समान समुच्चय हैं और इस प्रकार A \subset B और B \subset A \Leftrightarrow A=B जहाँ '\Leftrightarrow' द्विधा तात्पर्य (Two way implication) के लिए प्रतीक है और जिसे प्रायः ‘यदि और केवल यदि’ पढ़ते हैं तथा संक्षेप में ‘iff’ लिखते हैं.
परिभाषा से निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक समुच्चय स्वयम् का उपसमुच्चय है अर्थात् A \subset A. चूँकि रिक्त समुच्चय \phi में कोई अवयव नहीं होता है अतः हम इस बात से सहमत हैं कि \phi प्रत्येक समुच्चय का एक उपसमुच्चय है.
परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q,वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि Q \subset R
मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं.यदि A \subset B तथा A \neq B तो A,B का उचित उपसमुच्चय (Proper Subset) कहलाता है और B,A का अधिसमुच्चय कहलाता है.
उपसमुच्चय की परिभाषा से स्पष्ट है कि:
(i)प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है.
(ii)रिक्त समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उप-समुच्चय होता है.
(iii) A \subseteq B तथा B \subseteq A \Leftrightarrow A=B
(iv)A \subseteq B तथा B \subseteq A \Leftrightarrow A \subseteq C
(v)x \in A \Rightarrow x \in B तथा A \neq B \Rightarrow A \subset B
(vi) x \in A \Leftrightarrow x \in B तथा A=B \Rightarrow A \subseteq B
(2.)वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चय:
R के बहुत से महत्त्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं.जैसे:
प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N={1,2,3,4,5,…}
पूर्णांकों का समुच्चय Z={…-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q={x : x=\frac{p}{q}, p, q \in z तथा q \neq 0 } जिनको इस प्रकार पढ़ते हैं:
“Q उन सभी संख्याओं x का समुच्चय इस प्रकार है कि x भागफल \frac{p}{q} ,के बराबर है जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य नहीं है.”Q के अवयवों में -5 जिसे –\frac{5}{1} से भी प्रदर्शित किया जा सकता है। 3\frac{1}{2} जिसे \frac{7}{2} से भी प्रदर्शित किया जा सकता है और –\frac{11}{3} आदि सम्मिलित हैं.
अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय जिसे T से निरूपित करते हैं,शेष अन्य वास्तविक संख्याओं (परिमेय संख्याओं को छोड़कर) से मिलकर बनता है.
अतः T={ x : x \in R  और x \notin Q}=R-Q अर्थात् वह सभी वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय नहीं है। T के सदस्यों में \sqrt{2},\sqrt{5} और \pi आदि सम्मिलित हैं।
इन समुच्चयों के मध्य कुछ स्पष्ट सम्बन्ध इस प्रकार हैं:

N \subset Z \subset Q ; Q \subset R, T \subset R, N \not \subset T
(3.)अन्तराल R के उपसमुच्चय के रूप में (Interval as Subset of R):
मान लीजिए कि a, b \in R और a<b तब वास्तविक संख्याओं का समुच्चय {y:a<y<b} एक विवृत अन्तराल कहलाता है और प्रतीक (a,b) द्वारा निरूपित होता है.a और b के बीच स्थित सभी बिन्दु इस अन्तराल में होते हैं परन्तु a और b स्वयं इस अन्तराल में नहीं होते हैं.
वह अन्तराल जिसमें अंत्य बिन्दु होते हैं,संवृत (बंद) अन्तराल कहलाता है और प्रतीक [a,b] द्वारा निरूपित होता है.अतः [a, b]=\{x: a \leq x \leq b\}
 ऐसे अन्तराल भी हैं जो एक अंत्य बिन्दु पर बंद और दूसरे पर खुले होते हैं:
[a, b)=\{x: a \leq x < b\},a से b तक एक खुला अन्तराल है जिसमें a अन्तर्विष्ट है किन्तु b अपवर्जित है.बायीं ओर से संवृत और दायीं ओर से विवृत (a, b]=\{x: a < x \leq b\}, a से b तक एक खुला अन्तराल है जिसमें b सम्मिलित है किन्तु a अपवर्जित है.दायीं ओर संवृत और बायीं ओर से विवृत.
इन संकेतों द्वारा वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चयों के उल्लेख करने की एक वैकल्पिक विधि मिलती है.उदाहरण के लिए यदि A=(-3,5) और B=[-7,9] तो A \subset B. समुच्चय ऋणेतर [0,∞) वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है जबकि (-∞,0)  ऋण वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है. (-∞,∞),-∞ से ∞ तक विस्तृत रेखा सम्बन्धित वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को प्रदर्शित करता है.
(4.)घात समुच्चय (Power Set):
समुच्चय A के उपसमुच्चयों के संग्रह को A का घात समुच्चय कहते हैं.इसे P(A) से निरूपित करते हैं.P(A) का प्रत्येक अवयव एक समुच्चय होता है.
व्यापकरूप से यदि A एक ऐसा समुच्चय है कि n(A)=m तो यह सिद्ध किया जा सकता है कि n[P(A)]=2^{m}
यदि A={1,2} तो

P(A)={\phi,{1},{2},{1,2}},n[P(A)]=2^{2}=4
(5.)सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set):
सामान्यतः किसी विशेष सन्दर्भ में हमें आधारभूत समुच्चय के अवयवों और उपसमुच्चयों पर विचार करना पड़ता है जो कि उस विशेष सन्दर्भ में प्रासंगिक होते हैं.उदाहरण के लिए संख्या प्रणाली का अध्ययन करते समय हमें प्राकृत संख्याओं के समुच्चय और उसके उपसमुच्चयों में रुचि होती है.
जैसे:अभाज्य संख्याओं का समुच्चय,सम संख्याओं का समुच्चय इत्यादि.यह आधारभूत समुच्चय ‘सार्वत्रिक समुच्चय’ कहलाता है.सार्वत्रिक समुच्चय को सामान्यतः प्रतीक U से निरूपित करते हैं और इसके उपसमुच्चयों को अक्षर A,B,C आदि द्वारा.
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2.गणित में उपसमुच्चय के साधित उदाहरण (Subsets in Mathematics Solved Examples):

Example:1.रिक्त स्थानों में प्रतीक या को भरकर सही कथन बनाइए:
(i){2,3,4}…{1,2,3,4,5}
(ii){a,b,c}…{b,c,d}
(iii){x:x आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी}…{x:x आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है}
(iv){x:x किसी समतल में स्थित एक वृत है}…{x:x एक समान समतल में वृत है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है।}
(v){x:x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है}…{x:x किसी समतल में स्थित एक आयत है}
(vi){x:x किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है}…{x:x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है}
(vii){x:x एक सम प्राकृत संख्या है}…{x:x एक पूर्णांक है}
Solution:(i){2,3,4} \subset {1,2,3,4,5}
(ii){a,b,c} \not \subset {b,c,d}
(iii){x:x आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी} \subset {x:x आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है}
(iv){x:x किसी समतल में स्थित एक वृत है} \not \subset {x:x एक समान समतल में वृत है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है।}
(v){x:x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है} \not \subset {x:x किसी समतल में स्थित एक आयत है}
(vi){x:x किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है} \subset {x:x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है}
(vii){x:x एक सम प्राकृत संख्या है} \subset {x:x एक पूर्णांक है}
Example:2.जाँचिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है अथवा असत्य हैं:

(i){a,b} \not \subset {b,c,a}
(ii){a,e} \subset {x:x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है}

(iii){1,2,3} \subset {1,3,5}

(iv){a} \subset {a,b,c}

(v){a} \in {a,b,c}
(vi){x:x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है} \subset {x:x एक प्राकृत संख्या है,जो संख्या 36 को विभाजित करती है}

Solution:(i)असत्य
(ii)सत्य
(iii)असत्य
(iv)सत्य
(v)असत्य
(vi)सत्य
Example:3.मान लीजिए कि A={1,2,{3,4},5}।निम्नलिखित में से कौनसा कथन सही नहीं है और क्यों?

(i){3,4} \subset A (ii) {3,4} \in A (iii) {{3,4}} \subset A 

(iv) 1 \in A (v) 1 \subset A (vi) {1,2,5} \subset A

(Vii) {1,2,5} \in A (viii) {1,2,3} \subset A

(ix) \phi \in A (x) \phi \subset A 

(xi){ \phi } \subset A 
Solution:(i)सही नहीं है क्योंकि 3,4 समुच्चय A के अवयव नहीं हैं.
(v)सही नहीं है क्योंकि समुच्चय या उपसमुच्चय के अवयवों को कोष्ठक में दर्शाया जाता है.
(vii)सही नहीं है क्योंकि {1,2,5} समुच्चय A का अवयव नहीं है.
(viii)सही नहीं है क्योंकि 3 समुच्चय A का अवयव नहीं है इसलिए {1,2,3} समुच्चय A का उपसमुच्चय नहीं हो सकता.
(ix)सही नहीं है.क्योंकि \phi  समुच्चय A का अवयव नहीं है.
(xi)सही नहीं है क्योंकि {\phi}समुच्चय A का उपसमुच्चय नहीं है.

Subsets in Mathematics

Example:4.निम्नलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए:
(i){a}
Solution:{a}
 \{\phi\},{a}
(ii){a,b}
Solution:{a,b}

\{\phi\},{a},{b},{a,b}
(iii){1,2,3}
Solution:{1,2,3}
\{\phi\},{1},{2},{3},{1,2},{2,3{,{1,3},{1,2,3}
(iv)\{\phi\}
Solution:\{\phi\}
Example:5.P(A) के कितने अवयव हैं यदि A=\{\phi\}

Solution:-2^{m} \\ m=0 \\ \Rightarrow 2^{0}=1
Example:6.निम्नलिखित को अन्तराल रूप में लिखिए:
(i) \{x : x \in R,-4<x \leq 6\}

Solution: \{x : x \in R,-4<x \leq 6\}

(-4,6]
(ii)\{x : x \in R,-12<x <-10\}
Solution:\{x : x \in R,-12<x <-10\}

(-12,-10)
(iii) \{x : x \in R,0 \leq x < 7  \}
Solution: \{x : x \in R,0 \leq x < 7  \}
[0,7)
(iv) \{x : x \in R,3 \leq x \leq 4  \}
Solution: \{x : x \in R,3 \leq x \leq 4  \}
[3,4]
Example:7.निम्नलिखित अन्तरालों को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए:
(i)(-3,0)
Solution:(-3,0)

\{x : x \in R,-3 < x <0  \}
(ii)[6,12]
Solution:[6,12]

\{x : x \in R,6 \leq x \leq 12  \}
(iii)(6,12]
Solution:(6,12]

\{x : x \in R,6 < x \leq 12  \}
(iv)[-23,5)
Solution:[-23,5)

\{x : x \in R,-23 \leq x < 5  \}
Example:8.निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए आप कौन-सा सार्वत्रिक समुच्चय प्रस्तावित करेंगे?
(i)समकोण त्रिभुजों का समुच्चय।
Solution:समकोण त्रिभुजों का समुच्चय.
U={x:x किसी समतल में स्थित त्रिभुज}
(ii)समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय.
Solution:समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय.
U={x:x किसी समतल में स्थित त्रिभुज}
Example:9.समुच्चय A={1,3,5},B={2,4,6} और C={0,2,4,6,8} प्रदत्त हैं.इन तीनों समुच्चय A,B और C के लिए निम्नलिखित में से कौन सा (से) सार्वत्रिक समुच्चय लिए जा सकते हैं?
(i){0,1,2,3,4,5,6} (ii) \{\phi\}
(iii){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
(iv){1,2,3,4,5,6,7,8}
Solution:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics),उपसमुच्चय कक्षा 11 (Subsets Class 11) को समझ सकते हैं।

3.गणित में उपसमुच्चय के सवाल (Subsets in Mathematics Questions):

Subsets in Mathematics

(i)निम्नलिखित समुच्चयों के लिए उपयुक्त सार्वत्रिक समुच्चय ज्ञात कीजिए:
(i){g,h,i},{p,q,r},{x,y,z}
(ii){0,1,3},{5,6,7},{1,2,3}
(2.)समुच्चय A={a,b,c} के सभी उपसमुच्चय लिखो।
उत्तर (Answers):(1.)(i)U={g,h,i,p,q,r,x,y,z}
(1.)(ii)U={0,1,2,3,5,6,7}
(2.) \{\phi\},{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics),उपसमुच्चय कक्षा 11 (Subsets Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics),उपसमुच्चय कक्षा 11 (Subsets Class 11) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics) समुच्चय का एक प्रकार है जिसकी परिभाषा निम्न
प्रकार से है:उपसमुच्चय की परिभाषा (Definition of Subsets):यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव,
समुच्चय B का भी एक अवयव है