1.समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation):

Sub-division of Interval Interpolation

समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation) की आवश्यकता तब होती है जब किसी फलन के मान वृहत् अन्तरालों पर दिए हुए हों तब मध्यवर्ती मानों को ज्ञात करना (When values of a function are given at large intervals then calculation of intermediate values):
यदि फलन y=f(x) के मान वृहत्त अंतरालों पर दिए हुए हों जैसे:0,5,10,15 या 20 और मध्यवर्ती मान f(0),f(1),f(2),….ज्ञात करने हों तो ये मान हम सामान्य विधियों से अंतर्वेशन द्वारा ज्ञात कर सकते हैं लेकिन सामान्य विधियों में गणना बहुत कठिन होती है।गणना को सरल बनाने के लिए हम निम्न विधि का प्रयोग करते हैं जो अंतरालों का उपविभाजन कहलाती है।
मान लो \Delta f(x) उस अंतर को प्रदर्शित करता है
जिसमें अंतर का अंतराल h हो तथा \Delta_{0} f(x) उस अंतर को प्रदर्शित करता है जिसमें अंतर का अंतराल एक हो। यह भी माना कि E तथा E_{0} इनके संगत विस्थापन संकारक हैं।
अतः E \equiv 1+\Delta तथा E_{0}=1+\Delta_{0}
अर्थात् E f(x)=f(x+h),
तथा E_{0} f(x)=f(x+1) \\ \therefore E_{0}^{h} f(x)=f(x+h)
अतः E_{0}^{h} f(x)=E f(x)=f(x+h) \\ \therefore E \equiv E_{0}^{h} \quad \cdots(1) \\ \Rightarrow (1+\Delta) \equiv\left(1+\Delta_{0}\right)^{h} \\ \Rightarrow\left(1+\Delta_{0}\right) \equiv(1+\Delta)^{\frac{1}{h}} \ldots(2) \\ \Rightarrow 1+\Delta_{0}=1+\frac{1}{h} \Delta+\frac{\frac{1}{h}\left(\frac{1}{h}-1\right)}{2 !} \Delta^{2}+\cdots
[द्विपद प्रमेय के प्रयोग से]

\Rightarrow \Delta_{0}=\frac{1}{h} \Delta+\frac{\frac{1}{h} \left(\frac{1}{h}-1\right)}{2 !} \Delta^{2}+\ldots(3)
इससे हमें \Delta_{0} तथा \Delta में सम्बन्ध प्राप्त होता है जिसमें h अन्तराल अन्तर सारणी की सहायता से वांछित मान प्रतिस्थापित कर अभीष्ट परिणाम प्राप्त कर लेते हैं।
टिप्पणी:कभी-कभी \Delta_{0} के स्थान पर \delta^{*} तथा E^{*} के स्थान पर E_{0} संकारकों को भी लिया जाता है।
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2.समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन के उदाहरण (Sub-division of Interval Interpolation Examples):

Example:1.दिया हुआ है (Given)

\sum_{1}^{10} f(x)=500426, \sum_{4}^{10} f(x)=329240, \sum_{7}^{10} f(x)=175212
तथा (and) f(10)=40365,f(1) का मान ज्ञात कीजिए (Find the value of f(1)).
Solution:दिए हुए आंकड़ों के अनुसार

u_{1}= f(10)=40365,u_{4}=\sum_{7}^{10} f(x)=175212,u_{7}=\sum_{4}^{10} f(x)=329240, u_{10}=\sum_{1}^{10} f(x)=500426
यह ज्ञात करना है \delta u_{0} जबकि f(1)=u_{10}-u_{9}=\delta u_{9}
अन्तर सारणी निम्न प्रकार बनाते हैं:

उपर्युक्त में चार मान दिए गए हैं अतः तृतीय अन्तर अचर है:
सूत्र में h=3 रखने पर:

\delta u_{x} =\frac{1}{3} \Delta u_{x}-\frac{1}{9} \Delta^{2} u_{x}+\frac{5}{31} \Delta^{3} u_{x} \\ =\frac{1}{3}(134847)-\frac{1}{9}(19181)+\frac{5}{31}(-2023) \\ \Rightarrow S u_{x} =42692.90 \\ \delta^{2} u_{x} =\frac{1}{9} \Delta^{2} u_{x}-\frac{2}{27} \Delta^{3} u_{x}=2281.07 \\ \delta^{3} u_{x} =\frac{1}{27} \Delta^{3} u_{x}=-74.92
अब हम इकाई अन्तर की अन्तर सारणी का निर्माण करते हैं:

उपर्युक्त सारणी से:
f(1)=\delta u_{0}=58843.70
Example:2.निम्न सारणी से \tan 48^{\circ} 15^{\prime} के मान की गणना कीजिए (Calculate the value of \tan 48^{\circ} 15^{\prime} from the following table):

Solution:स्पषटत: उपर्युक्त मान अन्तराल 1 पर हैं।श्रेणी को उप-विभाजन से पूरा किया जा सकता है।अत: अन्तराल 1 अन्तराल सारणी निम्न होगी।

अब चूंकि 1+\Delta_{0} \equiv(1+\Delta)^{\frac{1}{4}} \\ \Delta_{0}=\frac{1}{4} \Delta+\frac{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-1\right)}{1.2} \Delta^{2}+\frac{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-1\right)\left(\frac{1}{4}-2\right)}{1.2 .3} \Delta^{3} +\frac{ \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-1\right)\left(\frac{4}{4}-2\right) \left(\frac{1}{4}-3\right)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \Delta^{4}+\cdots \\ \Rightarrow \Delta_{0} =\frac{1}{4} \Delta-\frac{3}{32} \Delta^{2}+\frac{21}{384} \Delta^{3}-\frac{231}{6144} \Delta^{4}+ \cdots \\ \Delta_{0} \tan 48^{\circ} =\frac{1}{4} \Delta \tan 48^{\circ}-\frac{3}{32} \Delta^{2} \tan 48^{\circ} \\ \Rightarrow \Delta_{0} \tan 48^{\circ}=\frac{1}{4} \times(0.03976)-\frac{3}{32} \times(0.00162) \\ \Rightarrow \Delta_{0} \tan 48^{\circ}=0.00994-0.000151875=0.009788125 \\ \tan 48^{\circ} 15^{\prime}=\tan 48^{\circ}+\Delta_{0} \tan 48^{\circ}=1.11061+0.009788125 \approx 1.12040

Sub-division of Interval Interpolation

Example:3.सामान्य बंटन के प्रायिकता बंटन फलनों के मान निम्न दिए गए हैं:

(Probability distribution function Values of a normal distribution are given as follows):
x=1.2 पर p(x) का मान ज्ञात कीजिए।
(Evaluate p(x) for x=1.2.)
Solution:उपर्युक्त आंकड़ों से निम्न अग्रान्तर सारणी प्राप्त होती है:

h=\frac{0.6}{0.2}=3 \\ \Delta_{0} =\frac{1}{3} \Delta+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{2}\right) \Delta^{2}+\frac{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{3}-2\right)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \Delta^{3}+\frac{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{3}-2\right)\left(\frac{1}{3} 3\right)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \Delta^{4}+\cdots \\ \Delta_{0} =\frac{1}{3} \Delta-\frac{1}{2} \Delta^{2}+\frac{7}{81} \Delta^{3}-\frac{14}{243} \cdot \Delta^{4}+\cdots \\ \Delta_{0}^{2}=\left(\frac{1}{3} \Delta-\frac{1}{9} \Delta^{2}+\frac{7}{81} \Delta^{3}-\frac{14}{243} \Delta^{4}+ \cdots\right)^{2} \\ =\frac{1}{9} \Delta^{2}-\frac{1}{27} \Delta^{3}+\frac{7}{243} \Delta^{4}-\frac{1}{27}^{3}+\frac{1}{81} \Delta^{4}+\frac{7}{243} \Delta^{4}+\cdots \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{2} =\frac{1}{9} \Delta^{2}-\frac{2}{27} \Delta^{3} + \frac{17}{243} \Delta^{4}+\cdots \\ \Delta_{0}^{3} =\frac{1}{27} \Delta^{3}-\frac{2}{81} \Delta^{4}-\frac{1}{81} \Delta^{4}+\cdots \\ \Delta_{0}^{4} =\frac{1}{81} \Delta^{4}+\cdots
चतुर्थ अन्तर के लिए:

\Delta_{0} P(1)=\frac{1}{3} \Delta P(1)-\frac{1}{9} \Delta^{2} P(1)+\frac{7}{81} \Delta^{3} P(1)-\frac{14}{243} \Delta^{4} P(1)+\cdots\\ =\frac{1}{3}(-0.05782)-\frac{1}{9} \times(-0.03343)^{24}+\frac{7}{81}(0.03244)-\frac{14}{243}(0.00999) \\ \Rightarrow \Delta_{0} P(1)=-0.019273+0.0037 .14+0.002803-0.000576=-0.013332 \\ \Delta^{2} P(1) =\frac{1}{5} \Delta^{2} \cdot P(1)-\frac{2}{27} \Delta^{3} P(1)+\frac{17}{243} \Delta^{4} P(1) \\ =\frac{1}{9} \times(-0.03343)-\frac{2}{27}(0.03244)+\frac{17}{243} \times(0.00999) \\ \Delta_{0}^{2} P(1)=-0.003714-0.002403+0.000699 \\ \Rightarrow \Delta^{2} D(1)=-0.005418 \\ \Delta_{0}^{3} P(1)=\frac{1}{27}  \Delta^{3} P(1)-\frac{1}{27} \Delta^{4} P(1) \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{3} P(1)=\frac{1}{27} \times(0.03244)-\frac{1}{27} \times(0.00999)= 0.001201-0.00037 \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{3} P(1)=0.000831 \\ \Delta_{0}^{4} P(1)=\frac{1}{81} \Delta^{4} P(1)=\frac{1}{81} \times(0.00999)=0.000123
तृतीय अन्तर के लिए:

\Delta_{0}^{4} P(1)=\Delta_{0}^{3} P(1.1)-\Delta_{0}^{3} P(1) \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{3} P(1.1)=\Delta^{4} P(1)+\Delta_{0}^{3} P(1) \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{3} P(1.1)=0.000123+0.000831 =0.000953 \\ \Delta_{0}^{3}  P(1 \cdot 2)=\Delta_{0}^{4} P(1.1)+\Delta_{0}^{3} P(1.1)=0.000123+ 0.000953 \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{3} P(1.2)=0.001076 \\ \Delta_{0}^{3} P(1.3)=\Delta_{0}^{4} P(1.2)+\Delta_{0}^{3} P(1.2)=0.000123+0.001076 \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{3} P(1.3)=0.00199
द्वितीय अन्तर के लिए:

\Delta_{0}^{3} P(1)=\Delta_{0}^{2} P(1 \cdot 1)-\Delta_{0}^{2} P(1) \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{2} P(1 \cdot 1)=\Delta_{0}^{3} P(1)+\Delta_{0}^{2} P(1)\\ \Rightarrow \Delta^{2} P(1.1)=\Delta_{0}^{3} P(1)+\Delta_{0}^{2} P(1)=0.000831+0.005418 \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{2} P(1.1)=-0.004587\\ \Delta_{0}^{2} P(1.2)=\Delta_{0}^{3} P(1.1)+\Delta_{0}^{2} P(1.1) \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{2} P(1.2)=0.000953-0.004587=-0.003634 \\ \Delta_{0}^{2} P(1.3)=\Delta_{0}^{3} P(1.2)+\Delta_{0}^{2} P(1.2)=0.001076-0.003634 \\ \Rightarrow \Delta_{0}^{2} P(1.3)=0.002558
प्रथम अन्तर के लिए:

\Delta_{0} P(1.1)=\Delta_{0} P(1)+\Delta_{0}^{2} P(1)=-0.013332-0.005418=-0.01875 \\ \Delta_{0} P(1.2)=\Delta_{0} P(1.1)+\Delta_{0}^{2} P(1.1)=-0.01875-0.004587=-0.023337 \\ \Delta_{0} P(1.3)=\Delta_{0} P(1.2)+\Delta_{0}^{2} P(1.2)=-0.023337-0.003634 -0.026971

x=1.2 पर p(x)=0.209888

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation) को समझ सकते हैं।

3.समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन की समस्याएं (Sub-division of Interval Interpolation Problems):

(1.)दिया हुआ है (Given)
x=11,12,13,………,19 के लिए f(x) के सारे मान ज्ञात कीजिए:
(Find all the values of f(x) for x=11,12,…..,19):

(2.)दिया हुआ है (Given)
f(0)=117.7,f(2)=110.5,f(4)=102.7,f(10)=75.4
0 से 10 तक के सभी पूर्णांक मानों के लिए f(x) के मान ज्ञात कीजिए:
(Find the values of f(x) for all integral values of x from 0 to 10):
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):

Sub-division of Interval Interpolation

(1.)मध्यवर्ती मानों को ज्ञात करने के लिए जब किसी फलन के मान वृहत् अन्तरालों पर दिए हुए हो तो अंतरालों का उप-विभाजन के लिए अंतर्वेशन विधि प्रयोग की जाती है।
(2.)हालांकि ये मान सामान्य विधियों से अंतर्वेशन द्वारा ज्ञात कर सकते हैं लेकिन सामान्य विधियों में गणना बहुत कठिन होती है।
(3.)गणना को सरल बनाने के लिए हम अंतरालों के उप-विभाजन विधि का प्रयोग करते हैं।

5.समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समान अन्तरालों का उप-विभाजन के लिए अन्तर्वेशन (Sub-division of Interval Interpolation) की आवश्यकता
तब होती है जब किसी फलन के मान वृहत् अन्तरालों पर दिए हुए हों तब मध्यवर्ती मानों को ज्ञात करना