Straight Line Class 11th
1.सरल रेखा कक्षा 11 (Straight Line Class 11th),कक्षा 11 में सरल रेखा (Straight Line in Class 11):
सरल रेखा कक्षा 11 (Straight Line Class 11th) के इस आर्टिकल में रेखा के समीकरण के विभिन्न रूपों पर आधारित उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।साथ ही सरल रेखा की मुख्य बातों का अध्ययन भी करेंगे ताकि सरल रेखा की संक्षिप्त रूपरेखा मस्तिष्क में बन सके।
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2.सरल रेखा कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Straight Line Class 11th Solved Examples):
Example:19.यदि रेखाएँ y=3x+1 और 2y=x+3,रेखा y=mx+4 पर समान रूप से आनत हों तो m का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:y=3x+1 तथा y=mx+4 के बीच का कोण माना है तब
m_1=3, m_2=m \\ \tan \theta =\pm \frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \\ \Rightarrow \tan \theta =\pm \frac{m-3}{1+3 m} \ldots(1)
2y=x+3 तथा y=mx+4 के बीच का कोण भी \theta है अतः
m_1=\frac{1}{2}, \quad m_2=m \\ \tan \theta =\pm \frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \\ \Rightarrow \tan \theta =\pm \frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m} \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) सेः
\frac{m-3}{1+3 m}=\pm \frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m} \\ \Rightarrow \frac{m-3}{1+3 m}=\pm \frac{2 m-1}{2+m}
धनात्मक चिन्ह लेने परः
\Rightarrow 2 m-6+m^2-3 m=2 m-1+6 m^2-3 m \\ \Rightarrow 6 m^2-m^2=5 \\ \Rightarrow 5 m^2=-5 \\ \Rightarrow m^2-1 (असंभव है)
ऋणात्मक चिन्ह लेने परः
\frac{m-3}{1+3 m}=-\left(\frac{2 m-1}{2+m}\right) \\ \Rightarrow 2 m-6+m^2-3 m=-\left(2 m-1+6 m^2-3 m\right) \\ \Rightarrow-m^2-m-6=-6 m^2+m+1 \\ \Rightarrow 6 m^2+m^2-m-m-6-1=0 \\ \Rightarrow 7 m^2-2 m-7=0 \\ a=7, b=-2, c=-1 \\ m=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2- 4 \times 7 \times -7}}{2 \times 7} \\ =\frac{2 \pm \sqrt{4+196}}{14} \\ =\frac{2 \pm \sqrt{200}}{14} \\ =\frac{2 \pm 10 \sqrt{2}}{14} \\ =\frac{2(1 \pm 5\sqrt{2})}{14} \\ \Rightarrow m =\frac{1 \pm 5 \sqrt{2}}{7}
Example:20.यदि एक चर बिन्दु P(x,y) की रेखाओं x+y-5=0 और 3x-2y+7=0 से लाम्बिक दूरियों का योग सदैव 10 रहे तो दर्शाइए कि P अनिवार्य रूप से एक रेखा पर गमन करता है।
Solution:बिन्दु P(x,y) की रेखा x+y-5=0 से लाम्बिक दूरीः
P_1=\frac{x+y-5}{\sqrt{1^2+1^2}} \\ \Rightarrow P_1=\frac{x+y-5}{\sqrt{2}}
बिन्दु P(x,y) की रेखा 3x-2y+7=0 से लाम्बिक दूरीः
P_2=\frac{3 x-2 y+7}{\sqrt{(3)^2+(-2)^2}} \\ =\frac{3 x-2 y+7}{\sqrt{9+4}} \\ \Rightarrow P_2=\frac{3 x-2 y+7}{\sqrt{13}}
प्रश्नानुसारः P_1+P_2=10 \\ \frac{x+y-5}{\sqrt{2}}+\frac{3 x-2 y+7}{\sqrt{13}}=10 \\ \Rightarrow \sqrt{13} x+\sqrt{13} y-5 \sqrt{13}+3 \sqrt{2} x-2 \sqrt{2} y+7 \sqrt{2}=10 \sqrt{26} \\ \Rightarrow (\sqrt{13}+3 \sqrt{2}) x+(\sqrt{13}-2 \sqrt{2}) y=10 \sqrt{2} 6+5 \sqrt{3}+7 \sqrt{2}
जो कि एक रेखा का समीकरण है।
Example:21.समान्तर रेखाओं 9x+6y-7=0 और 3x+2y+6=0 से समदूरस्थ रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution: 9x+6y-7=0 \Rightarrow 3 x+2 y-\frac{7}{3}=0 \cdots(1)
3x+2y+6=0 ….. (2)
माना समान्तर रेखाओं (1) व (2) से समदूरस्थ रेखा का समीकरणः
3x+2y+c=0 ….. (3)
रेखा (1) पर स्थित बिन्दु \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3} \right) की रेखा (3) से दूरीः
=\pm \left| 3 \times \frac{1}{3}+\frac{2}{3} \times 2+c\right| \\ =\pm\left|1+\frac{4}{3}+c\right| \\=\pm\left|\frac{7}{3}+c\right|
रेखा (2) पर स्थित बिन्दु (2,-6) की रेखा (3) से दूरीः
=\pm|3 \times 2+2 \times -6+c| \\ =\pm|6-12+c| \\ =\pm|c-6|
प्रश्नानुसारः
रेखा (1) व (3) के बीच दूरी=रेखा (2) व (3) के बीच दूरी
\left|\frac{7}{3}+c\right|=\pm|c-6|
धनात्मक चिन्ह लेने परः
\frac{7}{3}+c=c-6
c का मान नहीं ज्ञात किया जा सकता है।
ऋणात्मक चिन्ह लेने परः
\frac{7}{3}+c=-\left(c-6\right)\\ \Rightarrow \frac{7}{3}+c=-c+6 \\ \Rightarrow c+c=6-\frac{7}{3} \\ \Rightarrow 2 c =\frac{18-7}{3} \\ \Rightarrow c=\frac{11}{6}
c का मान समीकरण (3) में रखने परः
Example:22.बिन्दु (1,2) से होकर जाने वाली एक प्रकाश किरण x-अक्ष के बिन्दु A से परावर्तित होती है और परावर्तित किरण बिन्दु (5,3) से होकर जाती है।A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Solution:x-अक्ष पर y=0 अतः माना A के निर्देशांक=(x,0)
अभिलम्ब की प्रवणता m_2=\infty
आपतित किरण जो (1,2) व (x,0) से गुजरती है, की प्रवणता m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ m_1=\frac{0-2}{x_1-1} \\ \Rightarrow m_1 =-\frac{2}{x_1-1}
आपतित किरण व अभिलम्ब के बीच कोण \theta हो तोः
\tan \theta =\pm \frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \\ =\pm \frac{\infty-\left(-\frac{2}{x_1-1}\right)}{1+\infty\left(-\frac{2}{x_1-1}\right)} \\ =\pm \frac{\infty\left[1+\frac{2}{\infty\left(x_1-1\right)}\right]}{\infty\left[\frac{1}{\infty}-\frac{2}{x_1-1}\right]} \\ =\pm \frac{1+0}{0-\frac{2}{x_1-1}} \\ \Rightarrow \tan \theta =\mp \frac{x_1-1}{2}
परावर्तित किरण जो (x,0) तथा (5,3) से गुजरती है,की प्रवणता m_1=\frac{3-0}{5-x_1} \\ \Rightarrow m_1=\frac{3}{5-x_1}
परावर्तित किरण व अभिलम्ब के बीच कोण \theta हो तोः
\tan \theta=\pm \frac{\infty-\frac{3}{5-x_1}}{1+\infty\left(\frac{3}{5-x_1}\right)} \\ =\pm \frac{\infty\left(1-\frac{3}{\infty\left(5-x_1\right)}\right)}{\infty\left( \frac{1}{\infty}+\frac{3}{5-x_1}\right)}\\ =\pm \frac{1-0}{0+\frac{3}{5-x_1}} \\ =\pm \frac{5-x_{1}}{3} \\ \Rightarrow \tan \theta =\mp \frac{x_1-5}{3}
आपतित किरण व अभिलम्ब के बीच कोण=अभिलम्ब व परावर्तित किरण के बीच कोण
\frac{x_1-1}{2}=\pm \frac{x_1-5}{3}
धनात्मक चिन्ह लेने परः
3x_1-3=2 x_1-10 \\ 3x_1-2 x_1=3-10 \\ \Rightarrow x_1=-7
अतः A(-7,0)
ऋणात्मक चिन्ह लेने परः
\frac{x_1-1}{2}=-\left(\frac{x_1-5}{3}\right) \\ \Rightarrow 3 x_1-3=-2 x_1+10 \\ \Rightarrow 3 x_1+2 x_1=10+3 \\ \Rightarrow 5 x_1=13 \\ \Rightarrow x_1=\frac{13}{5}
अतः A बिन्दु के निर्देशांक \left(\frac{13}{5}, 0\right) या (-7,0) होंगे।
Example:23.दिखाइए कि \left(\sqrt{a^2-b^2} , 0\right) और \left(-\sqrt{a^2-b^2} , 0\right) बिन्दुओं से रेखा \frac{x}{a} \cos \theta+\frac{y}{b} \sin \theta=1 पर खींचे गए लम्बों की लम्बाईयों का गुणनफल b^{2} है।
Solution: \left(\sqrt{a^2-b^{2}}, 0\right) से \frac{x}{a} \cos \theta+\frac{y}{b} \sin \theta-1=0 पर लम्ब की लम्बाई
P_{1}=\frac{\frac{\sqrt{a^2-b^2} \cos \theta}{a}+\frac{0(\sin \theta)}{b}-1}{\sqrt{\frac{\cos^2 \theta}{a^{2}}+\frac{\sin^2 \theta}{b^{2}}}} \\ \Rightarrow P_1=\frac{\frac{\left(\sqrt{a^2-b^2}\right) \cos \theta}{a}-1}{\sqrt{\frac{\cos^2 \theta}{a^{2}}+\frac{\sin^2 \theta}{b^{2}}}}=0 \\ \left(-\sqrt{a^2-b^2} , 0\right) से \frac{x}{a} \cos \theta+\frac{y}{b} \sin \theta-1=0 पर लम्ब की लम्बाई
P_{2}=\frac{-\frac{\sqrt{a^2-b^2} \cos \theta}{a}+\frac{0(\sin \theta)}{a}-1}{\sqrt{\frac{\cos^{2} \theta}{a^{2}}+\frac{\sin ^2 \theta}{b^{2}}}} \\ \Rightarrow P_{2}=\frac{-\frac{\sqrt{a^2-b^2} \cos \theta}{a}-1}{\sqrt{\frac{\cos^{2} \theta}{a^{2}}+\frac{\sin ^2 \theta}{b^{2}}}}
प्रश्नानुसारः P_1 P_2=\frac{\left(\frac{\sqrt{a^2-b^{2}}}{a}\right) \cos \theta-1}{\sqrt{\frac{\cos ^2 \theta}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta}{b^2}}} \times \frac{\left(-\frac{\sqrt{a^2-b^2} \cos \theta}{a}-1\right)}{\sqrt{\frac{\cos ^2 \theta}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta}{b^2}}} \\ =-\frac{\left[\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\cos \theta-1\right]\left[\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} \cos \theta+1\right]}{\left(\frac{\cos ^2 \theta}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta}{b^2}\right)} \\ =\frac{-\left[\frac{\left(a^2-b^2\right) \cos ^2 \theta}{a^2}-1 \right]}{\left(\frac{\cos ^2 \theta}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta}{b^2}\right)} \\ =\frac{1-\frac{\left(a^2-b^2 \right) \cos ^2 \theta}{a^2}}{\frac{ \cos^2 \theta}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta}{b^2}} \\ =\frac{1-\cos ^2 \theta+\frac{b^2}{a^2} \cos ^2 \theta}{\frac{\cos ^2 \theta}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta}{b^2}} \\ =\frac{\sin ^2 \theta+\frac{b^2}{a^2} \cos ^2 \theta}{\frac{\cos ^2 \theta}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta}{b^2}} \\ =\frac{b^2\left(\frac{\cos ^2 \theta}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta}{b^2}\right)}{\left(\frac{\cos ^2 \theta}{a^2}+\frac{\sin ^2 \theta}{b^2}\right)} \\ P_1 P_2=b^2
Example:24.एक व्यक्ति समीकरणों 2x-3y+4=0 और 3x+4y-5=0 से निरूपित सरल रेखीय पथों के संधि बिन्दु (junction/crossing) पर खड़ा है और समीकरण 6x-7y+8=0 से निरूपित पथ पर न्यूनतम समय में पहुँचना चाहता है।उसके द्वारा अनुसरित पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:2x-3y+4=0 … (1)
3x+4y-5=0 …… (2)
समीकरण (1) को 4 से तथा समीकरण (2) को 3 से गुणा करने परः
\begin{array}{l} 8 x-12 y+16=0 \cdots (3) \\ 9 x+12 y+15=0 \cdots(4)\text{ जोड़ने परः } \\ \hline \end{array} \\ 17 x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{17}
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
2 \times-\frac{1}{17}-3y+4=0 \\ \Rightarrow 3y=-\frac{1}{17}+4 \\ =\frac{-2+68}{17} \\ \Rightarrow y=\frac{66}{51} \\ \Rightarrow y=\frac{22}{17}
अतः व्यक्ति बिन्दु \left(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17}\right) पर खड़ा है।इस बिन्दु की रेखा 6x-7y+8=0 पर लम्बवत दूरी न्यूनतम होगी।
6x-7y+8=0 की प्रवणता m_2=\frac{6}{7}
लम्बवत दूरी की प्रवणता =m_1=m \\ m_1 m_2=-1 \\ \Rightarrow m_{1} \left(\frac{6}{7}\right)=-1 \Rightarrow m=-\frac{7}{6}
अतः व्यक्ति द्वारा अनुसरित पथ का समीकरणः
y-y_0=m\left(x-x_0\right) \\ \Rightarrow y-\frac{22}{17}=-\frac{7}{6}\left(x+\frac{1}{17}\right) \\ \Rightarrow \frac{17 y-22}{17}=-\frac{7}{6}\left(\frac{17 x+1}{17}\right) \\ \Rightarrow 102 y-132=-119 x-7 \\ \Rightarrow 119 x+102 y=132-7 \\ \Rightarrow 119 x+102 y=125
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सरल रेखा कक्षा 11 (Straight Line Class 11th),कक्षा 11 में सरल रेखा (Straight Line in Class 11) को समझ सकते हैं।
3.सरल रेखा कक्षा 11 की समस्याएँ (Straight Line Class 11th Problems):
(1.)सिद्ध कीजिए कि रेखाओं y=m_1 x+c_1 ,y=m_2 x+c_2 तथा x=0 से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल \frac{1}{2} \cdot \frac{\left(c_1-c_2\right)^2}{m_2-m_1} है।
(2.)रेखाओं y=x+7 तथा x+2y+5=0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से होकर जाने वाली तथा 5x-2y+1=0 के समान्तर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(3.)उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखाओं y-3x+5=0 और y-2x+2=0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से गुजरती है तथा मूलबिन्दु से \frac{7}{\sqrt{2}} इकाई दूरी पर है।
उत्तर (Answers):(2.)5x-2y+33=0
(3.)x+y=7,17x+31y=175
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्वारा सरल रेखा कक्षा 11 (Straight Line Class 11th),कक्षा 11 में सरल रेखा (Straight Line in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
4.सरल रेखा कक्षा 11 की मुख्य बातें (HIGHLIGHTS of Straight Line Class 11th):
(1.)\left(x_{1},y_{1} \right) और \left(x_{2},y_{2} \right) बिन्दुओं से जानेवाली उर्ध्वेतर रेखा की ढाल m इस प्रकार है
m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{x_{1}-x_{2}}{y_{1}-y_{2}} ,x_{1} \neq x_{2}
(2.)यदि एक रेखा x-अक्ष की धन दिशा से \alpha कोण बनाती है तो रेखा की ढाल m=\tan \alpha, \alpha \neq 90^{\circ} है।
(3.)क्षैतिज रेखा की ढाल शून्य है और उर्ध्वाधर रेखा की ढाल अपरिभाषित है।
(4.)m_1 और m_{2} ढालों वाली रेखाओं L_{1} और L_{2} के बीच का न्यून कोण \theta (मान लिया) हो तो
\tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right|, 1+m_{1} m_2 \neq 0
(5.)दो रेखाएँ समान्तर होती है यदि और केवल यदि उनके ढाल समान है।
(6.)दो रेखाएँ लम्ब होती है यदि और केवल यदि उनके ढालों का गुणनफल (-1) है।
(7.)तीन बिन्दु A,B और C संरेख होते हैं यदि और केवल यदि उनके AB की ढाल=BC की ढाल
(8.)x-अक्ष से a दूरी पर स्थित क्षैतिज रेखा का समीकरण या तो y=a या y=-a
(9.)y-अक्ष से b दूरी पर स्थित उर्ध्वाधर रेखा का समीकरण या तो x=b या x=-b
(10.)स्थिर बिन्दु \left(x_0,y_0\right) से जाने वाली और ढाल m वाली रेखा पर बिन्दु (x,y) स्थित होगा यदि और केवल इसके निर्देशांक समीकरण y-y_0=m\left(x-x_0\right) को सन्तुष्ट करते हैं।
(11.)बिन्दुओं \left(x_1,y_1\right) और \left(x_2,y_2\right) से जानेवाली रेखा का समीकरण इस प्रकार हैः
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)
(12.)ढाल m और y अन्तःखण्ड c वाली रेखा पर बिन्दु (x,y) होगा यदि और केवल यदि y=mx+c
(13.)यदि ढाल m वाली रेखा x-अन्तःखण्ड d बनाती है तो रेखा का समीकरण
y=m(x-d) है।
(14.)x- और y-अक्षों से क्रमशः a और b अन्तःखण्ड बनाने वाली रेखा का समीकरणः
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
(15.)मूलबिन्दु से लाम्बिक दूरी p और इस लम्ब तथा धन x-अक्ष के बीच w कोण बनाने वाली रेखा का समीकरणः
x \cos \omega+y \sin \omega=p
(16.)यदि A और B एक साथ शून्य न हों तो Ax+By+C=0 के रूप का कोई समीकरण रेखा का व्यापक रैखिक समीकरण या रेखा का व्यापक समीकरण कहलाता है।
(17.)एक बिन्दु \left(x_1,y_1\right) से रेखा Ax+By+C=0 की लाम्बिक दूरी (d) इस प्रकार हैः
d=\frac{\left|A x_1+B y_{1}+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}
(18.)समान्तर रेखाओं A x+B y+C_1=0 और A x+B y+C_2=0 के बीच दूरीः
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5.सरल रेखा कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Straight Line Class 11th),कक्षा 11 में सरल रेखा (Straight Line in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.सरल रेखा के व्यापक समीकरण से क्या तात्पर्य है? (What is Meant by General Equation of Straight Line?):
उत्तर:सरल रेखा का व्यापक समीकरण हैः
Ax+By+C=0
प्रश्न:2.रेखा का सममित रूप में समीकरण कैसे ज्ञात करते है? (How to Find the Equation of the Line in Symmetrical Form?):
उत्तर:उस सरल रेखा का सममित रूप में समीकरण जो दिए हुए बिन्दु \left(x_1,y_1 \right) से होकर जाती है तथा x-अक्ष के साथ कोण \theta बनाती है,निम्नलिखित रूप का हैः
\frac{x-x_1}{\cos \theta}=\frac{y-y_1}{\sin \theta}=r
जहाँ r रेखा पर स्थित किसी बिन्दु (x,y) की बिन्दु \left(x_1,y_1 \right) से दूरी है।यह रेखा का प्राचलिक समीकरण भी है।
प्रश्न:3.तीन रेखाओं के संगामी होने का प्रतिबन्ध क्या है? (What is the Condition of Concurrency of Three Straight Lines?):
उत्तरःयदि तीन रेखाएँ एक बिन्दु से गुजरती हैं तो वे तीनों रेखाएँ संगामी कहलाती हैं।किन्हीं दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु सदैव तीसरी रेखा पर स्थित होगा।माना कि तीन रेखाओं के समीकरण हैंः
a_1 x+b_1 y+c_{1}=0 \cdots(1) \\ a_2 x+b_2 y+c_{2}=0 \cdots(1) \\ a_{3} x+b_{3} y+c_{3}=0 \cdots(1)
संगामी होने का प्रतिबन्धः
a_1\left(b_2 c_3-b_3 c_2\right)+b_1\left(c_2 a_3-c_3 a_2\right)+c_1\left(a_2 b_3-a_3 b_2\right)=0
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सरल रेखा कक्षा 11 (Straight Line Class 11th),कक्षा 11 में सरल रेखा (Straight Line in Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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सरल रेखा कक्षा 11 (Straight Line Class 11th) के इस आर्टिकल में रेखा के समीकरण के
विभिन्न रूपों पर आधारित उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
