1.स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula):

Stirling Interpolation Formula

स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) समान अन्तराल के लिए अन्तर सारणी के मध्य के समीप चर के लिए अन्तर्वेशन हेतु गाॅस अग्रान्तर अन्तर्वेशन तथा गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र की तरह प्रयोग करने में सरल एवं सर्वोत्तम अनुकूल होता है।इस आर्टिकल में स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) की स्थापना और उस पर आधारित उदाहरणों के द्वारा इस सूत्र को समझेंगे।
स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula):

y_{u}= y_{0}+u \frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}+\frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1^{2} \right)}{3!}\frac{ \Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}}{2}+ \frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\cdots \cdot
जहाँ (Where) u=\frac{\left(x-x_{0}\right)}{h}
प्रमाण (Proof):गाॅस के अग्र एवं पश्च अन्तर्वेशन का औसत लेने पर:

f(u)=f(0)+u \frac{\Delta f(0)+\Delta f(-1)}{2}+\frac{1}{2}\left[\frac{u(u-1)+(u+1) u}{2 !}\right] \Delta^{2} f(-1)+ \frac{1}{2} \frac{(u+1) u(u-1) u}{3 !}\left[\Delta^{3} f(-1)+\Delta^{3} f(-2)\right]+\frac{1}{2}\left [ \frac{(u+1)(u)(u-1)(u-2)+(u+2)(u+1)u(u-1)}{2} \right ] +\Delta^{4} f(-2)+\ldots \\ \Rightarrow f(u)=f(0)+u\left[\frac{\Delta f(0)+\Delta f(-1)}{2}\right]+\frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} f(-1)+\frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right)}{3 !}\left[\frac{\Delta^{3} f(-1)+\Delta^{3}f(-2)}{2}\right] +\frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right)}{4 !} \Delta^{4} f(-2)+\cdots+\frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right) \left(u^{2}-2^{2}\right) \cdots-\left[u^{2}-(r-1)^{2}\right]}{(2r-1) !} \times \Delta^{2r-1} f(-r+1)+\Delta^{2r-1} f(-r)+\frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right)-\left[u^{2}-(r-1)^{2}\right]}{(2r) !} \Delta^{2r} f(-r)+\cdots
इस सूत्र को स्टर्लिंग सूत्र (Stirling Formula) कहते हैं।
स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) को निम्न प्रकार से भी लिखा जा सकता है:

y_{u}=y_{0}+u \frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}+\frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right) }{3 !}+\frac{\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}}{2} +\frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\cdots \cdot
जहाँ (Where) u=\frac{\left(x-x_{0}\right)}{h}
अथवा y_{u}=y_{0}+u \mu \delta y_{0} +\frac{u^{2}}{2 !} \delta^{2} y_{0}+^{u+1}C_{3} \mu \delta^{3} y_{0}+\frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right)\left(u^{2}-2^{2}\right)}{6 !} \delta^{6} y_{0}+\cdots

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2.स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र के उदाहरण (Stirling Interpolation Formula Examples):

Example:1.स्टर्लिंग के अन्तर्वेशन सूत्र द्वारा निम्नलिखित सारणी से y(1.4171) का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Stirling’s interpolation formula to compute y(1.4171) from the following table):

Solution:x_{0}=1.4 को मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=0.1,x=1.4171 के लिए u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{1.4171-1.4}{0.1}=0.171
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) से:

y_{u}=y_{0}+u\left[\frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{(-1)}}{2}\right]+\frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left( u^{2}-1^{2} \right)}{3 !}\left[\frac{\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}}{2}\right]+ \frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right)}{4!} \Delta^{4} y_{-2}+\frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right) \left(u^{2} -2^{2}\right)}{5 !} \times \frac{\Delta^{5} y_{-2}+\Delta^{5} y_{-3}}{2}+\frac{u^{2} \left(u^{2}-1^{2} \right) \left(u^{2}-2^{2}\right)}{6 !} \Delta^{6} y_{-3}+\frac{u\left(u^{2}-1^{2} \right) \left(u^{2}-2^{2} \right)\left(u^{2}-3^{2}\right)}{7 !} \frac{\Delta^{7} y_{-3}+\Delta^{7} y_{-4}}{2}+\frac{u^{2} \left(u^{2} -1^{2} \right)\left(u^{2}-2^{2}\right)\left(u^{2}-3^{2}\right)}{8 !} \Delta^{8} y_{-4}+\cdots \\ y_{0.171}= 1.9043+0.171\left[\frac{0.2250+0.2059}{2}\right]+\frac{(0.171)^{2}}{2} \times0.0191+\frac{(0.171 )\left(0.171^{2}-1 \right)}{6} \left[\frac{0.0022+0.0021}{2}\right]+\frac{\left.(0.171)^{2}((0.171)^{2} -1\right)}{24} \times 0.001 + \frac{(0.171)\left(0.171^{2}-1^{2}\right)\left(0.171^{2}-4\right)}{120} \times\left(\frac{-0.0004-0.0001}{2}\right)+(0.171)^{2}\frac{\left(0.171^{2}-1 \right)\left(0.171^{2} -4\right)}{720} \times(-0.0003)+(0.171)\left((0.171)^{2}-1\right) \left(0.171^{2}-4\right) \frac{\left( 0.171^{2}-9\right)}{5040} \times\left(\frac{0.0035-0.0001}{2}\right)+ \frac{\left(0.171^{2}\right) \left(0.171^{2}-1\right) \left(0.171^{2}-4\right)\left(0.171^{2}-9\right)}{40.320} \times 0.0036 \\ =1.9043+0.171 \times 0.21545+0.0146205 \times 0.0191+0.171 \times-0.970759 \times \frac{0.0043}{12}+\frac{0.029241 \times-0.970759 \times 0.001}{24}+\frac{0.171 \times-0.970759 \times-3.970759}{240} \times (-0.0005)+\frac{0.029241 \times-0.970759 \times-3.970759 \times-0.0003}{720}+(0.171) \times \frac{-0.970759 \times-3.970759 \times-8.970759 \times 0.0034}{10080}+0.029241 \times \frac{-3.970739 \times -8.970759 \times 0.0036}{40320} \\ =1.9043+0.03684195+0.000279251-0.000059483-0.000001182 \\=- 0.0000001373-0.000000046-0.000001994+0.000000092 \\ \Rightarrow y_{0.171}=1.941357215 \\ \Rightarrow y_{1.4171} \approx 1.94136
Example:2.स्टरलिंग के सूत्र द्वारा निम्न सारणी से f(1.22) का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Stirling’s formula to find f(1.22) from the following table):

Solution:x_{0}=1.2 को मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=0.1,x=1.22 के लिए u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{1.22-1.2}{0.1}=0.2
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) से:

10^{5} f(u)=10^{5} f(0)+u \cdot \frac{1}{2}\left[10^{5} \Delta f(0)+10^{5} \Delta f(-1)\right]+\frac{u^{2}}{2!} 10^{5} \Delta^{2} f(-1) +\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !} \frac{1}{2}\left[10^{5} \Delta^{3} f(-1)+10^{5} \Delta^{3} f(-2)\right]+ \frac{u^{2}\left(u^{2}-1\right)}{4 !} 10^{5} \Delta^{4}f(-2)+\cdots \\ =93204+(0.2) \cdot \frac{1}{2}[4083+3152]+ \frac{(0.2)^{2}}{2 !}(-931)+\frac{(0.2)\left[(0.2)^{2}-1\right]}{3!} \cdot \frac{1}{2}[-40-32]+\frac{(0.2)^{2} \left[(0.2)^{2} -1\right]}{4 !}(8)+\cdots \\ =93204+(0.1)(7235)-(0.02)(931)+(0.2)(0.16)(36)-(0.0128)+\cdots \\ \Rightarrow 10^{5} f(0.2)=93204+723.5-18.62+1.152-6.0128 \\ =93910 .02 \\ \Rightarrow f(0.2)=\frac{93910.02}{10^{5}} \approx 0.93910 \\ \Rightarrow f(1.22) \approx 0.93910

Example:3.स्टरलिंग सूत्र द्वारा निम्न आँकड़ों से y_{35} ज्ञात कीजिए:
(Use Stirling’s formula to find y_{35},given)

y_{20}=512, y_{30}=439, y_{40}=346, y_{50}=243
जहाँ वय सारणी में x वर्ष की आयु पर व्यक्तियों की संख्या को y_{x} निरूपित करता है।
(Where y_{x} represents the number of persons at the age x years in a life table):
Solution:x_{0}=40 को मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=10,x=35 के लिए u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{35-40}{10}=\frac{-5}{10}=-0.5
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) से:

y_{u}=y_{0}+u\left[\frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}\right]+ \frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2} -1\right)}{3 !}\left[\frac{\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}}{2}\right]+\cdots \\ = 346-0.5\left[\frac{-103-93}{2}\right]+\frac{(-0.5)^{2}}{2}(-10)+\cdots \\ =346+0.5 \times 98+0.25 \times-5 \\ \Rightarrow y_{(-0.5)}=346+49-1.25=393.75 \\ \Rightarrow y_{35} \approx 394 \text { (Appose) }

Stirling Interpolation Formula

Example:4.दिया है (Given)
स्टरलिंग सूत्र द्वारा का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Stirling formula to find the value of):

Solution:x_{0}=15 को मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=5°,x=16° के लिए u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{16-15}{5}=\frac{1}{5}=0.2
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) से:

10^{4} y_{u}=10^{4} y_{0}+10^{4} u\left[\frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}\right]+\frac{u^{2}}{2 !} 10^{4} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !}\left[\frac{10^{3} \Delta^{3} y_{-1}+10^{4} \Delta^{3} y_{-2}}{2}\right]+ \frac{u^{2} \left(u^{2}-1\right)}{4 !} 10^{4} \Delta^{4} y_{-2}+ \frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right)\left(u^{2}-2^{2}\right)}{5 !} \times\left( \frac{10^{4} \Delta^{5} y_{-2} +10^{4} \Delta^{5} y_{-3}}{2}\right) +\frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right) \left(u^{2}-2^{2} \right)}{6 !}10^{4} \Delta^{6} y_{-3}+\frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right) \left(u^{2}-2^{2}\right) \left(u^{2}- 3^{2} \right)}{7 !}\left(\frac{10^{4} \Delta^{7} y_{-3}+10^{4} \Delta^{7} y_{-4}}{2}\right)\\ =2679+(0.2)\left( \frac{961+916}{2}\right)+ \frac{(0.2)^{2}}{2} \times 45+\frac{0.2\left(0.2^{2}-1\right)}{6}\left[ \frac{17+17}{2}\right]+ \frac{(0.2)^{2}\left(0.2^{2} -1\right)}{24} \times 0+(0.2) \frac{\left(0.2^{2} -1\right)\left(0.2^{2}-4\right)}{120} \times\left[\frac{9-2}{2}\right]+(0.2)^{2}\left(0.2^{2} -1\right) \frac{\left(0.2^{2}-4\right)}{720} \times 11 \\ =2679+0.2 \times 938.5+0.04 \times 22.5+\frac{0.2 \times(0.04-1) \times 34}{12}+ \frac{(0.04)(0.04-1) \times 0}{24}+\frac{(0.2)(0.04-1)(0.04-4) \times 7}{240}+\frac{(0.04)(0.04-1)(0.04-4)}{720}\times 11 \\= 2679+187.7+0.9 -\frac{0.2 \times 0.96 \times 34}{12}+\frac{0.04 \times-0.96 \times 0}{24} +\frac{(0.2 \times -0.96 \times-3.96 \times 7)}{240}+ \frac{(0.04 \times-0.96 \times-3.96 \times 11)}{720} \\ =2679+187.7+0.9-0.544+0.22176 +0.0023232 \\ =2867.080499 \\ \Rightarrow y_{0.5}=\frac{2867.080499}{10^{4}}=0.286708049 \\ \Rightarrow \tan 16^{\circ} \approx 0.2867
Example:5.स्टरलिंग सूत्र से निम्न सारणी द्वारा u_{32} का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Stirling’s formula to find u_{32} the following table):

u_{20}=14.035, u_{25}=13.674, u_{30}=13.257, u_{35}=12.734, u_{40}=12.089, u_{45}=11.309
Solution:x_{0}=30 को मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=5,x=30 के लिए v=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{32-30}{5}=\frac{2}{5}=0.4
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) से:

u_{v}=u_{0}+v\left[\frac{\Delta u_{0}+\Delta u_{-1}}{2}\right]+\frac{v^{2}}{2 !} \Delta^{2} u_{-1}+ \frac{v\left(v^{2} -1 \right)}{3 !}\left[\frac{\Delta^{3} u_{-1}+\Delta^{3} u_{-2}}{2}\right]+\frac{v^{2} \left(v^{2}-1\right)}{4 !} \Delta^{2} v_{-2}+\cdots \\ u_{0.4} =13.257+0.4\left[\frac{-0.523-0.417}{2}\right]+\frac{(0.4)^{2}}{2}(-0.106)+ \frac{(0.4)\left( 0.4^{2}-1\right)}{6} \left[\frac{-0.016-0.05}{2}\right]+\frac{0.4^{2}\left(0.4^{2}-1\right) \times 0.34}{24}\\=13.257-(0.4)(0.47)+(0.08)(-0.106)+ \frac{(0.4)(-0.84)(-0.066)}{12}+\frac{(0.16)(-0.84)(0.34)}{24} \\=13.257-0.188-0.00848+0.001848-0.001904 \\ \Rightarrow u_{0.4}=13.060464 \\ \Rightarrow u_{32} \approx 13.060464
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

3.स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र की समस्याएं (Stirling Interpolation Formula Problems):

Stirling Interpolation Formula

(1.)स्टरलिंग के सूत्र द्वारा y_{28} ज्ञात कीजिए जबकि दिया हुआ है:
(Use Stirling’s formula to find y_{28} given):

y_{20}=49225, y_{25}=48316, y_{30}=47236, y_{35}=45926,y_{40}=44306
(2.)स्टरलिंग सूत्र द्वारा आँकड़ों से y_{11} ज्ञात कीजिए:
(Use Stirling formulae to find y_{11} from the following data):

y_{0}=3010, y_{5}=2710, y_{10}=2285, y_{15}=1860, y_{20}=1560, y_{25}=1510, y_{30}=1835
उत्तर (Answers):(1.) y_{28}=47692 लगभग (2) y_{11}=2196
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula) समान अन्तराल के लिए अन्तर सारणी के मध्य
के समीप चर के लिए अन्तर्वेशन हेतु गाॅस अग्रान्तर अन्तर्वेशन तथा गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र की तरह प्रयोग करने
में सरल एवं सर्वोत्तम अनुकूल होता है।