1.वर्ग एवं वर्गमूल (Square and Square Root),अंकगणित में वर्ग एवं वर्गमूल (Square and Square Root in Arithmetic):

Square and Square Root

वर्ग एवं वर्गमूल (Square and Square Root) के इस आर्टिकल में गुणक विधि,बीजगणितीय विधि द्वारा वर्ग एवं गुणनखण्ड विधि,भाग विधि द्वारा वर्गमूल ज्ञात करने पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।

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2.वर्ग एवं वर्गमूल के उदाहरण (Square and Square Root Illustrations):

Illustration:1. \sqrt{147}+\sqrt{27}=? \sqrt{3} में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) 10 (b) 7 (c) 2 \sqrt{3} (d) 2 \sqrt{7}
Solution: \sqrt{147}+\sqrt{27}= ? \sqrt{3} \\ \text { L.H.S. } \sqrt{147}+\sqrt{27} \\ =\sqrt{49 \times 3}+\sqrt{9 \times 3} \\ =7 \sqrt{3}+3 \sqrt{3}=10 \sqrt{3}
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:2.वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है,जिसको 13218 में से घटाने पर यह एक पूर्ण वर्ग बन जाती है?

(a) 11 (b) 222 (c) 333 (d) 444
Solution: \begin{array}{r|l} & 11 \\ \hline 1 & 13218 \\ +1 & 1 \\ \hline 21 & 32 \\ +1 &21 \\ \hline 224 & 1118 \\ +4 & 896 \\ \hline & 222 \end{array}
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:3. \sqrt{?}+22=\sqrt{2601} में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) \sqrt{841} (b) (841)^2 (c) \sqrt{22} (d) 22 (e) इनमें से कोई नहीं
Solution: \sqrt{\text { ? }}=x \Rightarrow ? =x^2 \\ \sqrt{x^2}+22 =\sqrt{2601} \\ \Rightarrow x+22 =51 \Rightarrow x=51-22=25 \\ \Rightarrow x^2 =29^2 \Rightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{841}
(e)इनमें से कोई नहीं
अतः विकल्प (e) सही है।
Illustration:4. \sqrt{?}-11=\sqrt{1521} में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) \sqrt{2500} (b) (28)^2 (c) \sqrt{28} (d) 50 (e)इनमें से कोई नहीं
Solution:माना ?=x \\ \sqrt{x}-11=\sqrt{1521} \\ \Rightarrow \sqrt{x}=11+\sqrt{1521} \\ \Rightarrow \sqrt{x}=11+39=50 \\ \Rightarrow x=(50)^2=2500
अतः विकल्प (e) सही है।
Illustration:5.यदि  \sqrt{6084}=78 हो तो (\sqrt{60.84}+\sqrt{0.6084}+\sqrt{0.006084} +\sqrt{0.00006084} ) का मान है:

a) 8.9668 (b) 8.6658 (c) 9.1678 (d) 8.7898
Solution: (\sqrt{60.84}+\sqrt{0.6084}+ \sqrt{0.006084}+\sqrt{0.00006084}) \\= 7.8+0.78+0.078+0.0078 \\= 8.6658
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:6. \sqrt{176+\sqrt{2401}} बराबर है:

(a) 12 (b) 15 (c) 14 (d) 10
Solution: \sqrt{176+\sqrt{2401}} \\ =\sqrt{176+49}=\sqrt{225}=15
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:7.निम्नलिखित में से वह संख्या कौन-सी है,जिसमें उसके वर्ग को जोड़ने पर परिणाम 240 है?

(a) 15 (b) 16 (c) 18 (d)20
Solution:माना संख्या x है

x^2+x=240 \\ \Rightarrow x^2+x-240=0 \\ \Rightarrow x^2+16 x-15 x-240=0 \\ \Rightarrow x(x+16)-15(x+16)=0 \\ \Rightarrow (x-15)(x+16)=0 \\ \Rightarrow x-15=0 \Rightarrow x=15
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:8.यदि a=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\cdots}}} तो निम्न में से कौन-सा सही है?

(a) 3<a<4 (b) a=3 (c) 2<a<3 (b) a>3
Solution: a=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\cdots}}} \\ \Rightarrow a =\sqrt{3+a} \\ \Rightarrow a^2 =3+a \Rightarrow a^2-a-3=0 \\ \Rightarrow a =\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4 \times 1 \times-3}}{2 \times 1} \\ =\frac{1 \pm \sqrt{1+12}}{2} \\ =\frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} \\ =\frac{1 \pm 3.6}{2}(\sqrt{13} \approx 3.6055) \\ =\frac{1+3.6}{2}=2.3
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:9.वह छोटी-से-छोटी कौन-सी संख्या होगी,जिसे 269 में जोड़ देने पर परिणाम एक पूर्ण वर्ग बन जाए?

(a) 31 (b) 16 (c) 07 (d) 20
Solution: 16<\sqrt{269}<17 \\ \Rightarrow 289-269=20
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:10. 14+6 \sqrt{5} का वर्गमूल कितना है?

(a) 2+\sqrt{5} (b) 3+\sqrt{5} (c) 3+\sqrt{3} (d) 3+2 \sqrt{5}
Solution: \sqrt{14+6 \sqrt{5}} \\=\sqrt{9+5+6 \sqrt{5}} \\ =\sqrt{(3)^2+2 \times 3 \times \sqrt{5}+(\sqrt{5})^2} \\ =\sqrt{(3+\sqrt{5})^2} \\ =3+\sqrt{5}
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:11.दो संख्याओं का गुणनफल 120 तथा उनके वर्गों का योग 289 है,तब दोनों संख्याओं का योग होगा

(a) 23 (b) 7 (c) 13 (d) 169
Solution:माना दो संख्याएँ x व y है

x y=120, x^2+y^2=289 \\ \Rightarrow(x+y)^2 =x^2+y^2+2 x y \\ =289+2 \times 120 \\ =289+240 \\ =529 \\ \Rightarrow x+y =\sqrt{529} \\ \Rightarrow x+y =23
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:12.निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-सी संख्या किसी भी प्राकृतिक संख्या का वर्ग नहीं है?

(a) 17956 (b) 18225 (c)63592 (d) 53361
Solution:किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या का इकाई का अंक 2 नहीं होता है।
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:13.120 और 300 के बीच कितनी पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं?

(a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8
Solution:120 तथा 300 के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ:121,144,169,196,225,256,289 कुल सात
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:14.एक बाग की प्रत्येक पंक्ति में पेड़ों की संख्या उतनी ही है,जितनी कि उसमें पंक्तियां हैं।एक तूफान में 111 पेड़ों के उखड़ जाने के उपरान्त बाग में पेड़ों की संख्या 10914 रह जाती है।बाग में पेड़ों की पंक्तियों की संख्या है:

(a) 100 (b) 105 (c) 115 (d) 125
Solution:शेष पेड़ों की संख्या=10914
कुल पेड़ों की संख्या=10914+111=11025
पंक्तियों की संख्या=\sqrt{11025}=105
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:15.यदि 8^{x+2}=64 हो,तो का मान होगा:

(a) 1 (b) 9 (c) 27 (d) 81
Solution: 8^{x+2}=64 \Rightarrow 8^{x+2}=8^2 \\ \Rightarrow x+2=2 \Rightarrow x=0 \\ 3^{2(x+1)}=3^{2(0+1)}=3^2=9
अतः विकल्प (b) सही है।

Square and Square Root

Illustration:16. \frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+ \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{95}} का मान किसके बराबर है?
(a) 9 (b) 10 (c) 11 (d)इनमें से कोई नहीं
Solution: \frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}} \\ =\frac{1 \times(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})} +\cdots+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{(\sqrt{100}+\sqrt{99})(\sqrt{100}-\sqrt{99})} \\ =\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{100}-\sqrt{99} \\ =-1+\sqrt{100}=-1+10=9
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:17.निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या इकाई के स्थान पर न होगी जबकि किसी संख्या का वर्ग किया जाए?

(a) 9 (b) 0 (c) 2 (d) 1
Solution:किसी संख्या का वर्ग करने पर इकाई का अंक 2 नहीं हो सकता है।
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:18. \frac{\sqrt{80}-\sqrt{112}}{\sqrt{45}-\sqrt{63}} का मान है।

(a) \frac{3}{4} (b) 1 \frac{3}{4} (c) 1 \frac{1}{3} (d) 1 \frac{7}{9}
Solution: \frac{\sqrt{80}-\sqrt{112}}{\sqrt{45}-\sqrt{63}} \\ =\frac{\sqrt{16 \times 5}-\sqrt{16 \times 7}}{\sqrt{9 \times 5}-\sqrt{9 \times 7}} \\ =\frac{4 \sqrt{5}-4 \sqrt{7}}{3 \sqrt{5}-9 \sqrt{7}} \\ =\frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{7})}{3(\sqrt{5}-\sqrt{7})}=\frac{4}{3}
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:19. \sqrt{1716} बराबर है:

(a)129 (b)119 (c) 121 (d) इनमें से कोई नहीं
Solution: \sqrt{1716} \approx 41.4246
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:20. \sqrt{0.04} बराबर है

(a) 0.002 (b) 0.02 (c) 0.2 (d) इनमें से कोई नहीं
Solution: \sqrt{0.04}=0.2
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:21. \frac{\sqrt{0.441}}{\sqrt{0.625}} में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) 0.048 (b) 0.084 (c) 0.48 (d) 0.84
Solution: \frac{\sqrt{0.441}}{\sqrt{0.625}}=\frac{21}{25}=0.84
माना ?=x
उपर्युक्त में से कोई नहीं
Illustration:22. 3905 \times \sqrt{7}=284 \times 22 में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) (256)^2 (b) 16 (c) \sqrt{16} (d) 256
Solution: 3905 \times \sqrt{\text { ? }}=284 \times 22
माना  ?=x \\ 3905 \times \sqrt{x}=284 \times 22 \\ \Rightarrow \sqrt{x}=\frac{284 \times 22}{3905}=\frac{4 \times 2}{5} \\ \Rightarrow x=(1.6)^2=2.56
अतः विकल्प (d) सही है।

Illustration:23. \sqrt{16.81} \div 625 \times 15=? \div 50 में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) 134 (b) 143 (c) 132 (d) 123
Solution: \sqrt{16.81} \div \sqrt{625} \times 15=x \div 50
(माना  ?=x)
\Rightarrow \sqrt{16.81} \div 25 \times 15=\frac{x}{50} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{16.81}}{25} \times 15 \times 50=x \Rightarrow x=4.1 \times 30 \\ \Rightarrow x=?=123
Illustration:24. 5^{2^4} का वर्गमूल है :-

(a) 5^{2^2} (b) 5^{2^3} (c) 5^2 (d) 5^3
Solution:  5^{2^4}=5^{16}=5^{4 \times 4} \\ =5^{8 \times 2}=\left(5^8\right)^2
वर्गमूल=5^8=5^{2^3}
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:25. (5+\sqrt{3})^2=(\text { ? })^2+ \sqrt{144}+\sqrt{300}  में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) 6 (b) 4 (c) 2 (d) -6
Solution: (5+\sqrt{3})^2=(?)^2+\sqrt{144}+\sqrt{300}
माना  ?=x \\ (5+\sqrt{3})^2=x^2+\sqrt{144}+\sqrt{300} \\ \Rightarrow 25+10 \sqrt{3}+3 =x^2+12+\sqrt{100 \times 3} \\ \Rightarrow 28+10 \sqrt{3}-12=x^2+10 \sqrt{3} \\ \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=4
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:26. \sqrt{2809} \times 24 \div 8=?^2-66 में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) 15 (b) 25 (c) 5 (d) 0.25
Solution: माना  ?= x \\ \sqrt{2809} \times 24 \div 8=x^2-66 \\ \Rightarrow 53 \times 24 \times \frac{1}{8}=x^2-66 \\ \Rightarrow 159+66=x^2 \Rightarrow x^2=225 \\ \Rightarrow x=15
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:27. \sqrt{?}-7=\sqrt{1936} में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) \sqrt{51} (b) (51)^2 (c) 51 (d) \sqrt{2601}
Solution:माना  ?=x \\ \sqrt{?}-7=\sqrt{1936} \\ \Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{1936}+7 \\ \Rightarrow \sqrt{x}=44+7 \\ \Rightarrow x=(51)^2
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:28. \sqrt{?}+15=\sqrt{2304} में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) \sqrt{1089} (b) (33)^2 (c) \sqrt{33} (d) 33
Solution:माना  ?=x \\ \sqrt{x}+15=\sqrt{2304} \Rightarrow \sqrt{x}=48-15 \\ \Rightarrow \sqrt{x}=33 \Rightarrow x=(33)^2
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:29. \sqrt{324}+\sqrt{1296} बराबर है :-

(a) 52 (b) 44 (c) 54 (d) 42
Solution: \sqrt{324}+\sqrt{1296} \\ =18+36=54
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:30. \sqrt{841}+729 बराबर है

(a) 758 (b) 763 (c) 741 (d) 751
Solution: \sqrt{841}+729 \\ =29+729=758
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:31. \sqrt{8649} बराबर है

(a) 89 (b) 97 (c) 93 (d) 91
Solution:\sqrt{8649}=93
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:32. \sqrt{576}+\sqrt{84} बराबर है

(a) 53 (b) 41 (c) 51 (d) 43
Solution: \sqrt{576}+\sqrt{841} \\ \Rightarrow 24+29=53
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:33. \sqrt{1089}+3=(?)^2 में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) 5 (b) 6 (c) 3 (d) 8
Solution:माना  ?=x \\ \sqrt{1089}+3=x^2 \Rightarrow x^2=33+3=36 \\ \Rightarrow x=6
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:34. \sqrt{8281} बराबर है:

(a) 89 (b) 97 (c) 93 (d) 91
Solution: \sqrt{8281}=91
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:35. (63)^2-(12)^2 बराबर है:

(a) 3528 (b) 3285 (c) 3852 (d) 3825
Solution: (63)^2-(12)^2=(63-12)(63+12) \\ =51 \times 75=3825
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:36. (11)^2+(9)^2-(14)^2+?=3^2  में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) 6 (b) 3 (c) 4 (d) 1
Solution:माना ?=x \\ (11)^2+(9)^2-(14)^2+x=3^2 \Rightarrow x=121+81-196+9 \\ \Rightarrow x=3
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:37. (47)^2-(15)^2 बराबर है:

(a) 1849( b) 1894 (c) 1984 (d) 1948
Solution: (47)^2-(15)^2=(47-15)(47+15) \\ =32 \times 62=1984
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:38. \left(\frac{17}{119} \times \frac{38}{14}\right)^2 बराबर है:

(a)5 (b) 7 (c) 1 (d) 99
Solution: \left(\frac{17}{119} \times \frac{38}{14}\right)^2=\left(\frac{1}{7} \times 7\right)^2=1
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:39. (16)^2+(21)^2-(13)^2+?=(25)^2 में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) 67 (b) 32 (c) 81 (d) 97
Solution:माना ?=x \\ (6)^2+(21)^2-(13)^2+x=(25)^2 \\ \Rightarrow 256+441-169+x=625 \\ \Rightarrow x=625-528 \\ \Rightarrow x=97
अतः विकल्प (d) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वर्ग एवं वर्गमूल (Square and Square Root),अंकगणित में वर्ग एवं वर्गमूल (Square and Square Root in Arithmetic) को समझ सकते हैं।

3.वर्ग एवं वर्गमूल पर आधारित सवाल (Questions Based on Square and Square Root):

Square and Square Root

(1.) 0 .\overline{4} का वर्गमूल है

(a) 0 . \overline{8} (b) 0. \overline{6} (c) 0. \overline{7} ( (d) 0. \overline{9}
(2.) \sqrt{3}+\sqrt{2} से \sqrt{12}+\sqrt{18} कितना बड़ा है?

(a) 3(\sqrt{3}-\sqrt{2}) (b) 2(\sqrt{3}-\sqrt{2}) (c) \sqrt{3}+2 \sqrt{2} (d) \sqrt{2}+4 \sqrt{3}
उत्तर (Answers):(1.)(b) (2.)(c)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वर्ग एवं वर्गमूल (Square and Square Root),अंकगणित में वर्ग एवं वर्गमूल (Square and Square Root in Arithmetic) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वर्ग एवं वर्गमूल (Square and Square Root),अंकगणित में वर्ग एवं वर्गमूल (Square and Square Root in Arithmetic) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वर्ग एवं वर्गमूल (Square and Square Root) के इस आर्टिकल में गुणक विधि,बीजगणितीय
विधि द्वारा वर्ग एवं गुणनखण्ड विधि,भाग विधि द्वारा वर्गमूल ज्ञात करने पर आधारित सवालों
को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।