1.न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरण हल करना (Solving Equation by Newton-Raphson),न्यूटन-रेफसन विधि का प्रयोग करके समीकरण के मूल ज्ञात करना (Find Root of Equation Using Newton-Raphson Method):

Solving Equation by Newton-Raphson

न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरण हल करना (Solving Equation by Newton-Raphson) के इस आर्टिकल में बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों के मूल न्यूटन-रेफसन विधि से ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरण हल करना के उदाहरण (Solving Equation by Newton-Raphson Illustrations):

Illustration:11.न्यूटन-रेफसन विधि से का वास्तविक मूल छ: दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
(Find the real root of upto six decimal places by Newton-Raphson Method):
Solution:मानलो f(x)=2 x-3 \sin x-5 \\ f^{\prime}(x)=2-3 \cos x
पुनः f(2.75)=2 \times 2.75-3 \sin \left(2.75 \text { रेडियन }\right)-5 \\ =5.5-3 \sin \left(\frac{2.75 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)-5 \\ \approx 0.5-3 \sin \left(157.502864^{\circ}\right) \\ \approx 0.5-3 \times 0.382637 \\ \approx 0.5-1.147911 \\ \Rightarrow f(2.75) \approx -0.647911 \\ f(3)=2 \times 3-3 \sin (3 \text { रेडियन } )-5 \\ =1-3 \sin \left(\frac{3 \times 180}{3.1428} \text{ डिग्री }\right) \\ \approx 1-3 \sin \left(171.821306^{\circ}\right) \\ \approx 1-3 \times 0.142261 \\ \approx 1-0.426783 \\ \Rightarrow f(3) \approx 0.573217
अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल 2.75 तथा 3 के मध्य स्थित होगा।
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ \Rightarrow x_{n+1}=x_n-\frac{\left(2 x_n-3 \sin x_n-5\right)}{2-3 \cos x_n} \\ =\frac{2 x_n-3 x_n \cos x_n-2 x_n+3 \sin x_n+5}{2-3 \cos x_n} \\ \Rightarrow x_{n+1}=\frac{-3 x_n \cos x_n+3 \sin x_n+5}{2-3 \cos x_n} \cdots(1)
अब मूल का प्रारम्भिक मान x_{0}=2.75 लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकटन मान x_{1} होगाः
x_1=\frac{-3 x_0 \cos x_0+3 \sin x_0+5}{2-3 \cos x_0} \\ =\frac{-3 \times 2.75 \cos (2.75 \text { रेडियन })+3 \sin 2.75 \text { रेडियन }+5}{2-3 \cos (2.75 \text { रेडियन }) } \\ = \frac{-8.25 \cos \left(\frac{2.75 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)+ 3 \sin \left(\frac{2.75 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)+5}{2-3 \cos \left(\frac{2.75 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)} \\ \approx \frac{-8.25 \cos \left( 157.502864^{\circ}\right)+3 \sin \left(157.502864^{\circ}\right)+5}{2-3 \cos \left(157.582864^{\circ} \right)} \\ \approx \frac{-8.25 \times-0.923899+3 \times 0.382637+5}{2-3 \times -0.923899} \\ \approx \frac{7.622167+1.147911+5}{2+2.771697} \\ \approx \frac{13.770078}{4.771697} \\ \Rightarrow x_1 \approx 2.885782
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगाः
x_2= \frac{-3 x_1 \cos x_1+3 \sin x_1+5}{2-3 \cos x_1} \\ =\frac{-3 \times 2.885782 \cos (2.885782 \text { रेडियन })+3 \sin (2.885782 \text { रेडियन })+5}{2-3 \cos (2.885782 \text { रेडियन })} \\ =\frac{-8.657346 \cos \left(\frac{2.885782 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री } \right)+3 \sin \left(\frac{2.885782 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)+5}{2-3 \cos \left(\frac{2.885782 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)} \\ \approx \frac{-8.657346 \cos \left(165.279611^{\circ}\right)+3 \sin \left(165.279611^{\circ}\right)+5}{2-3 \cos \left(165.279611^{\circ}\right)} \\ \approx \frac{-8.657346 \times -0.967177+3 \times 0.254102+5}{2-3 \times-0.967177} \\ \approx \frac{8.373186+0.762306+5}{2+2.901531} \\ \approx \frac{14.135492}{4.901531} \\ \Rightarrow x_2 \approx 2.883893
इसी प्रकार (1) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन मान x_{3} होगाः
x_3=\frac{-3 x_2 \cos x_2+3 \sin x_2+5}{2-3 \cos x_2} \\ =\frac{-3 \times 2.883893 \cos (2.883893 \text { रेडियन })+3 \sin (2.883893 \text { रेडियन })+5}{2-3 \cos (2.883893 \text { रेडियन })} \\ =\frac{-8.651679 \cos \left(\frac{2.883893 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)+3 \sin \left(\frac{2.883893 \times 180}{3.1428} \text{ डिग्री }\right)+5}{2-3 \cos \left(\frac{2.883893 \times 180}{3.1428} \text{ डिग्री }\right)} \\ \approx \frac{-8.651679 \cos \left(165.171420^{\circ}\right)+3 \sin \left(165.171420^{\circ}\right)+5}{2-3 \cos \left(165.171420^{\circ}\right)} \\ \approx \frac{-8.651679 \times -0.966696+3 \times0.255928+5}{2-3 \times -0.966696 \text { }} \\ \approx \frac{8.363543+0.767784+5}{2+2.900088} \\ \approx \frac{14.131327}{4.900088} \\ \Rightarrow x_3 \approx 2.883892
यहाँ स्पष्ट है कि x_2 \approx x_3 \approx 2.883892 अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल 2.883892 होगा।

Solving Equation by Newton-Raphson

Illustration:12.न्यूटन-रेफसन विधि द्वारा e^{-x}-\sin x=0 का मूल न्यूनतम मूल चार दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
(Find to four decimal the smallest root of the equation e^{-x}-\sin x=0 using Newton-Raphson method.)
Solution:मानलो f(x)=e^{-x}-\sin x
तब f^{\prime}(x)=-e^{-x}-\cos x
पुनः f(0.5)=e^{-0.5}-\sin (0.5 \text { रेडियन } ) \\ =0.6065-\sin \left(\frac{0.5 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right) \\ \approx 0.6065-\sin \left(28.6369^{\circ}\right) \\ \approx 0.6065-0.4793 \\ \Rightarrow f(0.5) \approx 0.1272 \\ f(0.75)=e^{-0.75} \sin (0.75 \text { रेडियन }) \\ =0.4724-\sin \left(\frac{0.75 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री } \right) \\ \approx 0.4724-\sin \left(42.9553^{\circ}\right) \\ \approx 0.4724-0.6814 \\ \Rightarrow f(0.75) \approx-0.209
अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल 0.5 तथा 0.75 के मध्य स्थित होगा।
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ \Rightarrow x_{n+1}=x_n-\frac{\left(e^{-x_n}-\sin x_n\right)}{-e^{-x_n}-\cos x_n} \\ =\frac{-e^{-x_n} x_n-x_n \cos x_n-e^{-x_n}+\sin x_n}{-e^{-x_n}-\cos x_n} \\ \Rightarrow x_{n+1}=\frac{-\left(1+x_n\right) e^{-x_n}-x_n \cos x_n+\sin x_n}{-e^{-x_n}-\cos x_n}\cdots(1)
अब मूल का प्रारम्भिक मान x_{0}=0.5 लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकटन x_{1} मान होगाः
x_1=\frac{-\left(1+x_0\right) e^{-x_0}-x_0 \cos x_0+\sin x_0}{-e^{x_0}-\cos x_0} \\ =\frac{-(1+0.5) e^{-0.5}-0.5 \cos (0.5 \text { रेडियन } )+\sin (0.5 \text { रेडियन })}{-e^{0.5}-\cos (0.5 \text { रेडियन })} \\ =\frac{-1.5 \times 0.6065-0.5 \cos \left(\frac{0.5 \times 180}{3.1428} \text{ डिग्री }\right) +\sin \left(\frac{0.5 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)}{-0.6065-\cos \left(\frac{0.5 \times 180}{3.1428} \text{ डिग्री }\right)} \\ \approx \frac{-0.90975-0.5 \cos \left(28.6369^{\circ}\right) +\sin \left(28.6369^{\circ}\right)}{-0.6065-\cos \left(28.6369^{\circ}\right)} \\ \approx \frac{-0.90975-0.5 \times 0.8777+0.4793}{-0.6065-0.8777} \\ \approx \frac{-0.43045-0.43885}{-1.4842} \\ \approx \frac{0.8693}{1.4842} \\ \Rightarrow x_1 \approx 0.5857
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगाः
x_2=\frac{-\left(1+x_1\right) e^{-x_1}-x_1 \cos x_1+\sin x_1}{-e^{-x_1}-\cos x_1} \\ =\frac{-(1+0.5857) e^{-0.5857} -0.5857 \cos (0.5857 \text{रेडियन} )+\sin (0.5857 \text { रेडियन } )}{-e^{-0.5857}-\cos (0.5857 \text{ रेडियन } )} \\ =\frac{-1.5857 \times 0.5567-0.5857 \cos \left(\frac{0.5857 \times 180}{3.1428} \text{ डिग्री }\right)+\sin \left(\frac{0.5857 \times 180}{3.1428} \text{ डिग्री }\right)}{-0.5567-\cos \left(\frac{0.5857 \times 180}{3.1428} \text{ डिग्री }\right)}\\ \approx \frac{-0.8828-0.5857 \cos \left(33.5452^{\circ} \right) +\sin \left(33.5452^{\circ}\right)}{-0.5567-\cos \left(33.5452^{\circ}\right)} \\ \approx \frac{-0.8828-0.5857 \times 0.8335+0.5526}{-0.5567-0.8335} \\ \approx \frac{-0.8828-0.4882+0.5526}{-1.3902} \\ \approx \frac{-0.8184}{-1.3902} \\ \Rightarrow x_2 \approx 0.5887
इसी प्रकार (1) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन मान x_{3} होगाः
x_3=\frac{-\left(1+x_2\right) e^{-x_2}-x_2 \cos x_2+\sin x_2}{-e^{-x_2}-\cos x_2} \\ =\frac{-(1+0.5887) e^{-0.5887}-0.5887 \cos (0.5887 \text { रेडियन } )+\sin (0.5887 \text{ रेडियन })}{-e^{-0.5887}-\cos (0.5887 \text { रेडियन } )} \\ =\frac{-1.5887 \times 0.555-0.5887 \cos \left(\frac{0.5887 \times 180}{3.1428} \text{डिग्री}\right)+\sin \left(\frac{0.5887 \times 180}{3.1428} \text{ डिग्री }\right)}{-0.555-\cos \left(\frac{0.5887 \times 180}{3.1428} \text{डिग्री}\right)} \\ \approx \frac{-0.8817-0.5887 \cos \left(33.7774^{\circ}\right) +\sin \left(33.7171^{\circ}\right)}{-0.555-\cos (33.7171^{\circ})} \\ \approx \frac{-0.8817-0.5887 \times 0.8318+0.5551}{-0.555-0.8318} \\ \approx \frac{-0.8817-0.4897+0.5551}{-1.3868} \\ \approx \frac{-0.8163}{-1.3868} \\ \Rightarrow x_3 \approx 0.5886
यहाँ स्पष्ट है कि x_2 \approx x_3 \approx 0.5886 अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल 0.5886 होगा।
Illustration:14.मिथ्या-स्थिति तथा न्यूटन-रेफसन विधि द्वारा समीकरण 3 x-\cos x-1=0 को हल कीजिए।
(Solve 3 x-\cos x-1=0 by false position method and Newton-Raphson method.)
Solution:मानलो f(x)=3 x-\cos x-1\\ f^{\prime}(x)=3+\sin x
तब f(1.00)=3 \times 1.00-\cos (1.00 \text { रेडियन })-1 \\ =3.00-\cos \left(\frac{1.00 \times 180}{3.1428} \text{डिग्री}\right)-1 \\ \approx 2.00-\cos (57.27376^{\circ}) \\ \Rightarrow f(1.00) \approx 1.45937
पुनः f(0.5) =3 \times 0.5-\cos (0.5 \text{रेडियन})-1 \\ =1.5-\cos \left(\frac{0.5 \times 180}{3.1428} \text{डिग्री}\right)-1 \\ \approx 0.5-\cos \left(28.63688^{\circ}\right) \\ \approx 0.5-0.87767 \\ \Rightarrow f(0.5) \approx-0.37767
अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल 0.5 तथा 1 के मध्य स्थित होगा।
मिथ्या-स्थिति विधि का प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) हैः
x_{n+1}=x_n-\frac{\left(x_n-x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)}
जहाँ प्रत्येक चरण के लिए f\left(x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)<0 \\ \Rightarrow x_{n+1}=\frac{x_n f\left(x_n\right)-x_n f\left(x_n\right)+x_{n-1} f\left(x_n\right)-x_n f\left(x_{n-1}\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)} \\ \Rightarrow x_{n+1}=\frac{x_{n-1} f\left(x_n\right)-x_n f\left(x_{n-1}\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)} \cdots(1)
प्रथम सन्निकटनः
सूत्र (1) में n=2, x_1=0.5, f\left(x_1\right)=0.37767 , x_2=1, f\left(x_2\right)=1.45937 रखने परः
x_3=\frac{x_1 f\left(x_2\right)-x_2 f\left(x_1\right)}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)} \\ \approx \frac{0.5 \times 1.45937+1 \times 0.37767}{1.45937+0.37767} \\ \frac{0.729685+0.37767}{1.83704} \\ \Rightarrow x_3 \approx \frac{1.107355}{1.83704} \\ x_3 \approx 0.60279 \\ f\left(x_3\right)=3 \times 0.60279-\cos (0.60279 \text{रेडियन})-1 \\=1.80837-\cos \left(\frac{0.602759 \times 180}{3.1450} \text{डिग्री} \right)-1 \\ \approx 1.80837-\cos \left(34.52405^{\circ}\right)-1 \\ \approx 0.80837-0.82389 \\ \Rightarrow f\left(x_3\right) \approx -0.01552
अतः मूल अन्तराल [0.60279,1] में स्थित होगा।
द्वितीय सन्निकटनः
पुनः (1) मेंः n=3, x_2=0.60279 ,f\left(x_2\right)=-0.01552, x_3=1 , f\left(x_3\right)=1.45937 रखने परः
अब x_4=\frac{x_2 \cdot f\left(x_3\right)-x_3 \cdot f\left(x_2\right)}{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)} \\ =\frac{0.60279 \times 1.45937-1 \times-0.01552}{1.45937+0.01552} \\ \approx \frac{0.87969+0.01552}{1.47489} \\ \approx \frac{0.89521}{1.47489} \\ \Rightarrow x_4 \approx 0.60696
अब f(x_4)=3 \times 0.60696-\cos (0.60696 \text { रेडियन })-1 \\=1.82088-\cos \left(\frac{0.60696 \times 180}{3.1428} \text{डिग्री}\right)-1 \\ \approx 0.82088-\cos \left(34.76289^{\circ}\right) \\ \approx 0.824088-0.82152 \\ \Rightarrow f(x_4) \approx-0.00064
अतः मूल अन्तराल [0.60696,1] में स्थित होगा।
तृतीय सन्निकटनः
पुनः (1) में n=4, x_3=0.60696, f\left(x_3\right)=-0.00064 ,x_4=1, f\left(x_4\right)=1.45937 रखने परः
x_5 =\frac{x_3 f\left(x_4\right)-x_4 f\left(x_3\right)}{f\left(x_4\right)-f\left(x_3\right)} \\ =\frac{0.60696 \times 1.45937-1 \times-0.00064}{1.45937+0.00064} \\ \approx \frac{0.88578+0.00064}{1.46001} \\ \approx \frac{0.88642}{1.46001} \\ \Rightarrow x_5 \approx 0.60713
अतः पाँच दशमलव स्थानों तक वास्तविक मूल लगभग 0.60713 होगा।
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ =x_n-\frac{\left(3 x_n-\cos x_n-1\right)}{3+\sin x_n} \\ =\frac{3 x_n+x_n \sin x_n-3 x_n+\cos x_n+1}{3+\sin x_n} \\ \Rightarrow x_{n+1} =\frac{x_n \sin x_n+\cos x_n+1}{3+\sin x_n} \cdots(2)
अब मूल का प्रारम्भिक सन्निकट मान x_{0}=0.5 लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकटन मान x_{1} होगाः
x_1=\frac{x_0 \sin x_0+\cos x_0+1}{3+\sin x_0} \\ =\frac{0.5 \sin (0.5)+\cos (0.5)+1}{3+\sin (0.5)} \\ =\frac{0.5 \sin \left(\frac{0.5 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)+\cos \left(\frac{0.5 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री } \right)+1 }{3+\sin \left(\frac{0.5 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)} \\ =\frac{0.5 \sin \left(28.63688^{\circ}\right)+\cos \left(28.63688^{\circ}\right)+1}{3+\sin \left(28.63688^{\circ}\right)} \\ \approx \frac{0.5 \times 0.47926+0.87767+1}{3+0.47926} \\ \approx \frac{0.23963+0.87767+1}{3.47926} \\ \approx \frac{2.1173}{3.47926} \\ \Rightarrow x_1 \approx 0.60855
पुनः (2) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगाः
x_2=\frac{x_1 \sin x_1+\cos x_1+1}{3+\sin x_1} \\ =\frac{0.60855 \sin (0.60855 \text { रेडियन } )+\cos \left(0.60855 \text{रेडियन} \right)+1}{3+\sin (0.60855 \text { रेडियन })} \\=\frac{0.60855 \sin \left(\frac{0.60855 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री } \right)+\cos \left(\frac{0.60855 \times 180}{3.1428} \text{डिग्री}\right)+1}{3+\sin \left(\frac{0.60855 \times 180}{3.1428} \text {डिग्री }\right)} \\ \approx \frac{0.60855 \sin \left(34.85395^{\circ}\right)+\cos \left(34.85395^{\circ}\right)+1}{3+\sin \left(34.85395^{\circ}\right)} \\ \approx \frac{0.60855 \times 0.57149+0.82061+1}{3+0.57149} \\ \approx \frac{0.34778+1.82061}{3.57149} \\ \approx \frac{2.16839}{3.57149} \\ \Rightarrow x_2 \approx 0.60713
इसी प्रकार (2) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन मान x_{3} होगाः
x_{3} =\frac{x_2 \sin x_2+\cos x_2+1}{3+\sin x_2} \\ =\frac{0.60713 \sin (0.60713 \text { रेडियन })+\cos (0.60713 \text { रेडियन })+1}{3+\sin (0.60713 \text { रेडियन })} \\ =\frac{0.60713 \sin \left(\frac{0.60713 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)+\cos \left(\frac{0.60713 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)+1}{3+\sin \left(\frac{0.60713 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)} \\ \approx \frac{0.6073 \sin \left(34.77262^{\circ}\right)+\cos \left(34.77262^{\circ}\right)+1}{3+\sin \left(34.77262^{\circ}\right)} \\ \approx \frac{0.60713 \times 0.57032+0.82142+1}{3+\sin 0.57032} \\ \approx \frac{0.34626+1.82142}{3+0.57032} \\ \approx \frac{2.16768}{3.57032} \\ \Rightarrow x_3 \approx 0.60713
यहाँ स्पष्ट है कि x_2 \approx x_3 \approx 0.60713 अतः दिए हुए का एक मूल 0.60713 होगा।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरण हल करना (Solving Equation by Newton-Raphson),न्यूटन-रेफसन विधि का प्रयोग करके समीकरण के मूल ज्ञात करना (Find Root of Equation Using Newton-Raphson Method) को समझ सकते हैं।

3.न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरण हल करना की समस्याएँ (Solving Equation by Newton Raphson Problems):

Solving Equation by Newton-Raphson

(1.)न्यूटन-रेफसन विधि द्वारा समीकरण x^3+x^2+3 x+4=0 का न्यूनतम मूल चार दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
(Find the four places of decimal the smallest root of the equation x^3+x^2+3 x+4=0 using Newton-Raphson method.)
(2.)न्यूटन-रेफसन विधि द्वारा x^3-25=0 को दशमलव के तीन स्थानों तक हल कीजिए।
(Solve x^3-25=0 by Newton-Raphson’s method, correct to three places of decimal.)
उत्तर (Answers):(1.)-1.2225   (2.)2.924
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरण हल करना (Solving Equation by Newton-Raphson),न्यूटन-रेफसन विधि का प्रयोग करके समीकरण के मूल ज्ञात करना (Find Root of Equation Using Newton-Raphson Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरण हल करना (Frequently Asked Questions Related to Solving Equation by Newton-Raphson),न्यूटन-रेफसन विधि का प्रयोग करके समीकरण के मूल ज्ञात करना (Find Root of Equation Using Newton-Raphson Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरण हल करना (Solving Equation by Newton-Raphson)
के इस आर्टिकल में बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों के मूल न्यूटन-रेफसन विधि
से ज्ञात करना सीखेंगे।