1.न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें (Solve Equations by Newton-Raphson),न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरणों को हल करना (To Solve Equations by Newton-Raphson Method):

Solve Equations by Newton-Raphson

न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें (Solve Equations by Newton-Raphson) के इस आर्टिकल में समीकरणों के मूल ज्ञात करने के लिए न्यूटन-रेफसन विधि का प्रयोग करेंगे और उन्हें समझने का प्रयास करेंगे।
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2.न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें के उदाहरण (Solve Equations by Newton-Raphson Illustrations):

Illustration:9.न्यूटन-रेफसन विधि द्वारा निम्न समीकरणों का हल सही तीन दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए:
(Use Newton-Raphson method to solve the following equations correct to three decimal places):
Illustration:9(i). 2 x-5=3 \sin x
Solution:मानलो f(x)=2 x-5-3 \sin x
तब f^{\prime}(x)=2-3 \cos x \\ f(2)=2 \times 2-5-3 \sin \left( \text{रेडियन} \right)\\ =4-5-3 \sin \left(\frac{2 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right) \\ =4-5-3 \sin \left(114.5475^{\circ}\right) \\ =-1-3 \times 0.9096 \\ =-1-2.7288 \\ \Rightarrow f(2)=-3.7288 \\ f(3)=2 \times 3-5-3 \sin (3 \text { रेडियन }) \\ =6-5-3 \sin \left(\frac{3 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right) \\ =1-3 \sin \left(171.8213^{\circ} \right) \\ =1-3 \times 0.1423=1-0.4269 \\ \Rightarrow f(3)=0.5731
अतः दिए हुए समीकरण का एक वास्तविक मूल 2 तथा 3 के मध्य स्थित होगा।
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
\Rightarrow x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ \Rightarrow x_{n+1}=x_n-\frac{\left(2 x_n-5-3 \sin x_n\right)}{2-3 \cos x_n} \cdots(1)
अब मूल का प्रारम्भिक मान x_0=2 लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकटन मान x_{1} होगाः
x_1=x_0-\frac{\left(2 x_0-5-3 \sin x_0\right)}{2-3 \cos x_0} \\ =\frac{2 x_0-3 x_0 \cos x_0-2 x_0+5+3 \sin x_0}{2-3 \cos x_0} \\ \Rightarrow x_1=\frac{-3 x_0 \cos x_0+5+3 \sin x_0}{2-3 \cos x_0} \\ =\frac{-3 \times 2 \cos (2 \text { रेडियन })+5+3 \sin (2 \text { रेडियन })}{2-3 \cos (2 \text{ रेडियन })} \\ =\frac{-6 \cos \left(\frac{2 \times 180^{\circ}}{3.1428}(\text { डिग्री} )\right)+5+3 \sin \left(\frac{2 \times 180}{3.1428} (\text { डिग्री} ) \right)}{2-3 \cos \left(\frac{2 \times 180^{\circ}}{3.1428} \text { डिग्री }\right)} \\ =\frac{-6 \cos 114.5475^{\circ}+5+3 \sin (114.5475^{\circ})}{2-3 \cos 114.5475^{\circ}} \\ =\frac{-6 \times(-0.4154)+5+3 \times 0.9096}{2-3 \times(-0.4154)} \\ =\frac{2.4924+5+2.7288}{2+1.2462} \\ \Rightarrow x_{1} \approx \frac{10.2212}{3.2462}=3.1487
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगाः
x_2=\frac{-3 x_1 \cos x_1+5+3 \sin x_1}{2-3 \cos x_1} \\ =\frac{-3 \times 3.1487 \cos 3.1487+5+3 \sin 3.1487}{2-3 \cos 3.1487} \\ =\frac{-9.4461 \cos \left(\frac{3.1487 \times 180}{3.1428} (\text { डिग्री} )\right)+5+3 \sin \left(\frac{3.1487 \times 180}{3.1428} (\text { डिग्री} )\right)}{2-3 \cos \left(\frac{3.1487 \times 180}{3.1428} (\text { डिग्री} )\right)} \\ =\frac{-9.4461 \cos 180.3379^{\circ}+5 +3 \sin 180.3319^{\circ}}{2-3 \cos \left(180.3379^{\circ}\right)} \\ =\frac{-9.4461 \times(-0.9999)+5+3 \times(-0.0059)}{2-3 \times(-0.9999)} \\ =\frac{9.4452+5-0.0177}{2+2.9997} \\ =\frac{14.4275}{4.9997} \\ \Rightarrow x_2 \approx 2.8856
इसी प्रकार (1) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन x_{3} मान होगा:
x_3=\frac{-3 x_2 \cos x_2+5+3 \sin x_2}{2-3 \cos x_2} \\ =\frac{-3 \times 2.8856 \cos (2.8856 \text { रेडियन })+5+3 \sin \left(2.8856 \text { रेडियन } \right)}{2-3 \sin (2.8856 \text { रेडियन })} \\ =\frac{-8.6568 \cos \left(\frac{2.8856 \times 180}{3.1425} \text { डिग्री } \right)+5+ 3 \sin \left(\frac{2.8856 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)}{2-3 \cos \left(\frac{2.8856 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)} \\ =\frac{-8.6568 \cos 165.2692^{\circ}+5+3 \sin 165.2692^{\circ}}{2-3 \cos 165.2692^{\circ}} \\ =\frac{-8.6568 \times(-0.9671)+5+3 \times 0.2543}{2-3 \times(-0.9671)} \\ =\frac{8.3720+5+0.7629}{2+2.9013} \\ =\frac{14.1349}{4.9013} \\ \Rightarrow x_3 \approx 2.8839
पुनः (1) में n=3 रखने पर चतुर्थ सन्निकटन x_{4} मान होगाः
x_4=\frac{-3 x_3 \cdot \cos x_3+5+3 \sin x_3}{2-3 \cos x_3} \\ =\frac{-3 \times 2.8 .839 \cos (2.8839 \text { रेडियन })+5+3 \sin (2.8839 \text { रेडियन })}{2-3 \cos (2.8839 \text { रेडियन })} \\ =\frac{-8.6517 \cos \left(\frac{2.8839 \times 180 }{3.1428}\text { डिग्री }\right)+5+3 \sin \left(\frac{2.8839 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)}{2-3 \cos \left(\frac{2.8839 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)} \\ =\frac{-8.6517 \cos \left(165.1718^{\circ}\right)+5+3 \sin \left(165.1718^{\circ}\right)}{2-3 \cos \left(165.1718^{\circ} \right)} \\=\frac{-8.6517 \times-0.9667+5+3 \times 0.2559}{2-3 \times-0.9667} \\ =\frac{8.363598+ 5+0.7677}{2+2.9001} \\ =\frac{14.131298}{4.9001} \\ \Rightarrow x_4 \approx 2.883879
यह स्पष्ट है कि x_{3} व x_{4} का तीन दशमलव स्थान तक मान समान है।अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल 2.883879 है।
Illustration:9(ii). 2(x-3)=\log _{10} x , taking x_0=3.2
Solution: 2(x-3)=\log _{10} x
मानलो f(x)=2(x-3)-\log _{10} x \\ \Rightarrow f(x)=2 x-6-\log _{10} x
तब f^{\prime}(x)=2-\frac{1}{x \log _e 10} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=2-\frac{1}{2.302585 x}
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ \Rightarrow x_{n+1}=x_n-\frac{\left(2 x_n-6 -\log _{10} x_n\right)}{2-\frac{1}{2.302585 x}} \cdots(1)
अब मूल का प्रारम्भिक मान x_{0}=3.2 लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकटन x_{1} मान होगाः
x_1=x_0-\frac{\left(2 x_0-6-\log _{10} x_0\right)}{2-\frac{1}{2.302585 x_0}} \\ =x_0-\frac{\left(2 x_0-6+\log_{10} x_0\right) 2.302585 x_0}{4.60517 x_0-1} \\= \frac{4.60517 x_0^2-x_0-4.60517 x_0^2+13.81551 x_0+2.302585 x_0 \log _{10} x_0}{4.60517 x_0-1} \\ \Rightarrow x_1= \frac{-x_0+13.81551 x_0+2.302585 x_0 \log_{10} x_{0}}{4.60517 x_0-1} \\ =\frac{-3.2+13.81551 \times 3.2+2.302585 \times 3.2 \log _{10} 3.2}{4.60517 \times 3.2-1} \\ =\frac{-3.2+44.209632+7.368272 \times 0.5051}{14.736544-1} \\ =\frac{41 .009632+3.7217}{13.736544} \\ \Rightarrow x_1 \approx \frac{44.7313}{13.736544} \approx 3.2563
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगाः
x_2= \frac{-3.2563+13.81551 \times 3.2563+2.302585 \times 3.2563 \log _{10}3.2563}{4.60517 \times 3.2563-1} \\= \frac{-3.2563+44.9874+7.4979 \times 0.5127}{14.9958-1} \\=\frac{41.7331+3.8442}{13.9958} \\ \approx \frac{45.5773}{13.9958} \\ x_2 \approx 3.2564
यह स्पष्ट है कि x_1 \approx x_2 का तीन दशमलव स्थान तक मान समान है।अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल 3.256 है।
Illustration:9(iii). x^3-x-2=0
Solution: x^3-x-2=0
मानलो f(x)=x^3-x-2=0
तब  f^{\prime}(x)=3 x^2-1 \\ f(1.5)=1.5^{3}-1.5-2=-0.125 \\ f(1.75)=1.75^3-1.75-2=1.609375
अतः दिए हुए समीकरण का एक वास्तविक मूल 1.5 तथा 1.75 के मध्य स्थित होगा।
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ =x_n-\frac{\left(x_n^3-x_n-2\right)}{\left(3 x_n^2-1\right)} \\ =\frac{3 x_n^3-x_n^3+x_n+2-x_n}{3 x_n^2-1} \\ \Rightarrow x_{n+1} =\frac{2x_n^3+2}{3 x_n^2-1} \cdots(1)
अब मूल का प्रारम्भिक मान x_{0}=1.5 लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकटन मान x_{1} होगाः
x_1 =\frac{2 x_0^3+2}{3 x_0^2-1} \\ =\frac{2(1.5)^3+2}{3 \times(1.5)^2-1} \\ =\frac{2 \times 3.375+2}{3 \times 2.25-1} \\ =\frac{6.75+2}{6.75-1} \\ =\frac{8.75}{5.75} \\ \Rightarrow x_1 \approx 1.5217
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगाः
x_2=\frac{2 x_1^3+2}{3 x_1^2-1} \\ =\frac{2 \times(1.5217)^3+2}{3 \times(1.5217)^2-1} \\ =\frac{2 \times 3.5236+2}{3 \times 2.3155-1} \\ \approx \frac{7.0472+2}{6.9465-1} \\ \approx \frac{9.0472}{5.9465} \\ \Rightarrow x_2 \approx 1.5214
यह स्पष्ट है कि का तीन दशमलव स्थान तक मान समान है।अतः दिए हुए समीकरण का एक 1.521 मूल है।

Solve Equations by Newton-Raphson

Illustration:10.न्यूटन-रेफसन विधि द्वारा निम्न समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए:
(By Newton-Raphson method,find the solution of the following equations):
Illustration:10(i). x^3-3 x+4=0
Solution: x^3-3 x+4=0
मानलो f(x)=x^3-3 x+4=0
तब f^{\prime}(x)=3 x^2-3 \\ f(-2.25)=(-2.25)^3-3 x-2.25+4 \\ \Rightarrow f(-2.25) \approx-0.6406 \\ f(-2)=(-2)^3-3 x-2+4=2
अतः दिए हुए समीकरण का एक वास्तविक मूल -2.25 तथा -2 के मध्य स्थित होगा।
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ =x_n-\frac{\left(x_n^3-3 x_n+4\right)}{\left(3 x_n^2-3\right)} \\ =\frac{3 x_n^3-3 x_n-x_n^3+3 x_n-4}{3 x_n^2-3} \\ \Rightarrow x_{n+1} =\frac{2 x_n^3-4}{3 x_n^2-3} \cdots(1)
अब मूल का प्रारम्भिक मान x_{0}=-2.25 लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकटन मान x_{1} होगाः
x_1=\frac{2 x_{0}^3-4}{3 x_0^2-3} \\ =\frac{2 \times(-2.25)^3-4}{3 \times(-2.25)^2-3} \\ \approx \frac{2 \times-11.390 .62-4}{3 \times 5.0625-3} \\ \approx \frac{-22.78124-4}{15.1875-3} \\ \approx \frac{-26.78124}{12.1875} \\ \Rightarrow x_1 \approx-2.19743
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगाः
x_2 =\frac{2 x_1^3-4}{3 x_1^2-3} \\ =\frac{2(-2.19743)^3-4}{3(-2.19743)^2-3} \\ \approx \frac{2 \times-10.61072-4}{3 \times 4.82869-3} \\ \approx \frac{-21.22144-4}{14.48607-3} \\ \approx-\frac{25.22144}{11.48607} \\ \Rightarrow x_2 \approx-2.19582
इसी प्रकार (1) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन मान x_{3} होगा:
x_3=\frac{2 x_2^3-4}{3 x_2^2-3} \\ =\frac{2(-2.19582)^3-4}{3(-2.19582)^2-3} \\ \approx \frac{2 \times-10.58742-4}{3 \times 4.82162-3} \\ \approx \frac{-21.17484-4}{14.46486-3} \\ \approx-\frac{25.17484}{11.46486} \\ \Rightarrow x_3 \approx-2.19582
यह स्पष्ट है कि x_2 \approx x_3 का पाँच दशमलव स्थान तक मान समान है।अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल -2.19582 है।
Illustration:10(ii). x^3-x^2-x-1=0
Solution: x^3-x^2-x-1=0
मानलो f(x)=x^3-x^2-x-1=0
तब f'(x)=3 x^2-2x-1 \\ f(1.75)=1.75^3-1.75^2-1.75-1 \\ =5.359375-3.0625-1.75-1 \\ \Rightarrow f(1.75)=-0.453125 \\ f(2)=2^2-2^2-2-1 \\ =8-4-2-1=1
अतः दिए हुए समीकरण का एक वास्तविक मूल 1.75 तथा 2 के मध्य स्थित होगा।
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ =x_n-\frac{\left(x_n^3-x_n^2-x_n-1\right)}{3 x_n^2-2 x_n-1} \\ =\frac{3 x_n^3-2 x_n^2-x_n-x_n^3+x_n^2+x_n+1}{3 x_n^2-2 x_n-1} \\ \Rightarrow x_{n+1} =\frac{2 x_n^3-x_n^2+1}{3 x_n^2-2 x_n-1} \cdots(1)
अब मूल का प्रारम्भिक मान x_{0}=1.75 लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकटन मान x_{1} होगाः
x_1=\frac{2 x_0^3-x_0^2+1}{3 x_0^2-2 x_0-1} \\ =\frac{2(1.75)^3-(1.75)^2+1}{3(175)^2-2 \times 1.75-1} \\ =\frac{2 \times 5.359375-3.0625+1}{3 \times 3.0625-3.5-1} \\ =\frac{10.71875-9.0625}{9.1875-4.5} \\ =\frac{8.65625}{4.6875} \\ \Rightarrow x_1 \approx 1.84667
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगाः
x_2=\frac{2 x_1^3-x_1^2+1}{3 x_1^2-2 x_1-1} \\ =\frac{2(1.84667)^3-(1.84667)^2+1}{3 \times(1.84667)^2-2 \times 1.84667-1} \\ \approx \frac{2 \times 6.29749-3.41019+1}{3 \times 3.41019-3.69334-1} \\ \approx \frac{12.59498-2.41019}{10.23057-4.69334} \\ \approx \frac{10.18479}{5.53723} \\ \Rightarrow x_2 \approx 1.83932
इसी प्रकार (1) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन मान x_{3} होगा:
x_3=\frac{2 x_2^3-x_2^2+1}{3 x_2^2-2 x_2-1} \\ =\frac{2(1.83932)^3-(1.83932)^2+1}{3(1.83932)^2-2 \times 1.83932-1} \\ \approx \frac{2 \times 6.22259-3.38309+1}{3 \times 3.38309-3.67864-1} \\ \approx \frac{12.44518-2.38309}{10.14927-4.67864} \\ \approx \frac{10.06209}{5.47063} \\ \Rightarrow x_3 \approx 1.83929
यह स्पष्ट है कि का x_2 \approx x_3 \approx 1.8393 मान चार दशमलव स्थान तक समान है।अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल 1.8393 है।
Illustration:10(iii). x^3-25=0
Solution: x^3-25=0
मानलो f(x)=x^3-25=0
तब f^{\prime}(x)=3 x^2 \\ f(2.5)=(2.5)^3-25=15.625-25=-9.375 \\ f(3)=3^3-25=27-25=2
अतः दिए हुए समीकरण का एक वास्तविक मूल 2.5 तथा 3 के मध्य स्थित होगा।
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ =x_n-\frac{x_n^3-25}{3 x_n^2} \\ =\frac{3 x_n^3-x_n^3+25}{3 x_n^2} \\ \Rightarrow x_{n+1} =\frac{2 x_n^3+25}{3 x_n^2}  \cdots(1)
अब मूल का प्रारम्भिक मान x_{0}=2.5 लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकटन मान x_{1} होगाः
x_1=\frac{2 x_0^3+25}{3 x_0^2} \\ =\frac{2(2.5)^3+25}{3 \times(2.5)^2} \\ =\frac{2 \times 15.625+25}{3 \times 6.25} \\ =\frac{31.25+25}{18.75} \\ =\frac{56.25}{18.75} \\ \Rightarrow x_1 \approx 3
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगाः
x_2=\frac{2 x_1^3+25}{3 x_1^2} \\ =\frac{2 \times(3)^3+25}{3 \times(3)^2}=\frac{54+25}{27} \\ \Rightarrow x_2 =\frac{79}{27} \approx 2.9259
इसी प्रकार (1) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन मान x_3 होगा:
x_3=\frac{2 x_2^3+25}{3x_{2}^2} \\ x_3=\frac{2 \times(2.9259)^3+25}{3 \times(2.9259)^2} \\ \approx \frac{2 \times 25.0483+25}{3 \times 8.5608} \\ \approx \frac{50.0966+25}{25.6824} \\ \approx \frac{75.0966}{25.6824} \\ \Rightarrow x_3 \approx 2.9240
पुनः (1) में n=3 रखने पर चतुर्थ सन्निकटन मान x_{4} होगाः
x_4=\frac{2 x_3^3+25}{3 x_3^2} \\ =\frac{2 \times(2.924)^3+25}{3 \times(2.924)^2} \\ \approx \frac{2 \times 24.9995+25}{3 \times 8.5497} \\ \approx \frac{49.999+25}{25.6491} \\ \approx \frac{74.999}{25.6491}\\ \approx 2.9240
यह स्पष्ट है कि x_3 \approx x_4 \approx 2.924 का मान चार दशमलव स्थान तक समान है।अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल 2.924 है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें (Solve Equations by Newton-Raphson),न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरणों को हल करना (To Solve Equations by Newton-Raphson Method) को समझ सकते हैं।

3.न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें की समस्याएँ (Solve Equations by Newton-Raphson Problems):

Solve Equations by Newton-Raphson

न्यूटन-रेफसन विधि द्वारा निम्न समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए:
(By Newton-Raphson method,find the solution of the following equations):
(1.) x^6-x^4-x^3-1=0
(2.) x^2+4 \sin x=0
उत्तर (Answers):(1.)1.4036 (2.)2.7984
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें (Solve Equations by Newton-Raphson),न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरणों को हल करना (To Solve Equations by Newton-Raphson Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें (Frequently Asked Questions Related to Solve Equations by Newton-Raphson),न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरणों को हल करना (To Solve Equations by Newton-Raphson Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें (Solve Equations by Newton-Raphson) के इस
आर्टिकल में समीकरणों के मूल ज्ञात करने के लिए न्यूटन-रेफसन विधि का प्रयोग करेंगे
और उन्हें समझने का प्रयास करेंगे।