1.न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें (Solve Equation by Newton-Raphson),न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरणों को हल करना (To Solve Equations by Newton-Raphson Method):

Solve Equation by Newton-Raphson

न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें (Solve Equation by Newton-Raphson) के इस आर्टिकल में बीजीय व अबीजीय समीकरणों के सवालों को न्यूटन-रेफसन विधि से हल करके मूल ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें के उदाहरण (Solve Equation by Newton-Raphson Examples):

Example:13.न्यूटन-रेफसन विधि द्वारा \log x-\cos x को दशमलव के पाँच स्थानों तक हल कीजिए।
(Solve the equation \log x-\cos x to five places of decimals by Newton-Raphson method):
Solution:मान लो f(x)=\log x-\cos x
तब f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}+\sin x
पुनः f(1.25)=\log 1.25-\cos (1.25 \text { रेडियन }) \\ =0.223143-\cos \left(\frac{1.25 \times 180}{3.1428} \text{ डिग्री } \right) \\ \approx 0.223143-\cos (71.592210 \text{ डिग्री }) \\ \approx 8.223143-0.315778 \\ \Rightarrow f(1.25) \approx -0.092635
तथा f(1.5)=\log 1.5-\cos (1.5 \text { रेडियन }) \\ =0.405465-\cos \left(\frac{1.5 \times 180 )}{3.1428} \text{ डिग्री } \right) \\ \approx 0.405465 -\cos ( 85.910652 \text{ डिग्री } ) \\ \approx 0.405465-0.071312 \\ \Rightarrow f(1.5) \approx 0.334153
अतः दिए हुए समीकरण का एक वास्तविक मूल 1.25 तथा 1.5 के मध्य स्थित होगा।
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ =x_n-\frac{\left(\log x_n-\cos x_n\right)}{\frac{1}{x_n}+\sin x_n} \\ =\frac{1+x_n \sin x_n-\log x_n+\cos x_n}{\frac{1}{x_n}+\sin x_n} \\ \Rightarrow x_{n+1} =\frac{1+x_n \sin x_n-\log x_n+\cos x_n}{\frac{1}{x_n}+\sin x_n} \cdots(1)
अब मूल का प्रारम्भिक सन्निकट मान x_0=1.25 लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकट मान x_{1} होगा:
x_1=\frac{1+x_0 \sin x_0+ \log x_0+\cos x_0}{\frac{1}{x_0}+\sin x_0} \\ =\frac{1+1.25 \sin (1.25 \text{ रेडियन })-\log 2.5+\cos (1.25 \text{ रेडियन })}{\frac{1}{1.25}+\sin ( 1.25 \text { रेडियन }) } \\ =\frac{1+1.25 \sin \left(\frac{1.25 \times 180}{3.1428} \text{डिग्री} \right)-\log 1.25+\cos \left( \frac{1.25 \times 180}{3.1428} \text{डिग्री} \right)}{0.8+\sin \left(\frac{1.25 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री } \right)} \\ \approx \frac{1+1.25 \sin (71.592210 \text { डिग्री })-0.223144+\cos (71.5922101555 \text{डिग्री})}{0.8+\sin (71.592210 \text { डिग्री })} \\ \approx \frac{1+1.25 \times 0.948833-0.223144+0.315778}{0.8+0.948833} \\ \approx \frac{1.092634+1.186041}{1.748833} \\ \approx \frac{2.278675}{1.748833} \\ \Rightarrow x_{1} \approx 1.302969
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगा:
x_2=\frac{1+x_1 \sin x_1-\log x_1+\cos x_1}{\frac{1}{x_1}+\sin x_1} \\ = \frac{1+1.302969 \sin (1.302969 \text { रेडियन })-\log (1.302969)+\cos (1.302969 \text { रेडियन })}{\frac{1}{1.302969}+\sin (1.302969 \text { रेडियन })} \\ =\frac{1+1.302969 \sin \left(\frac{1.302969 \times 180}{3.1428} \text{डिग्री} \right)-0.264646+\cos \left(\frac{1.302969 \times 180}{3.1428} \text{डिग्री}\right) }{0.767478+\sin \left(\frac{1.302969 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)} \\ \approx \frac{0.735354+1.302969 \sin (74.625945 \text{डिग्री})+\cos (74.625945 \text{ डिग्री })}{0.767478+\sin (74.625945 \text { डिग्री })} \\ \approx \frac{0.735354+1.302969 \times 0.964215+0.265120}{0.767478+0.964215} \\ \approx \frac{1.000474+1.256342}{1.731693} \\ \approx \frac{2.256816}{1.731693} \\ \Rightarrow x_2 \approx 1.303242
इसी प्रकार (1) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन मान x_{3} होगाः
x_3=\frac{1+x_2 \sin x_2-\log x_2+\cos x_2}{\frac{1}{x_2}+\sin x_2} \\ = \frac{1+1.303242 \sin (1.303242 \text { रेडियन })-\log (1.303242)+\cos (1.303242 \text { रेडियन })}{\frac{1}{1.303242}+\sin (1.303242 \text { रेडियन })} \\ =\frac{1+1.303242 \sin \left(\frac{1.303242 \times 180}{3.1428} \text{डिग्री} \right)-0.2648559+\cos \left(\frac{1.303242 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)}{0.767317+\sin \left(\frac{1.303242 \times 180}{3.1428} \text { डिग्री }\right)} \\ \approx \frac{0.735145+1.303242 \sin (74.641580 \text { डिग्री } )+\cos (74.641580 \text { डिग्री } )}{0.767317+\sin (74.641580 \text { डिग्री })} \\ \approx \frac{ 0.735145+1.303242 \times 0.964288+0.264856}{0.767317+0.964288} \\ \approx \frac{1.000001+1.256701}{1.731605} \\ \approx \frac{2.256702}{1.731605} \\ \Rightarrow x_3 \approx 1.3032429
यहाँ स्पष्ट है कि x_2 \approx x_3 \approx 1.303242 अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल 1.303242 होगा।
Example:17.न्यूटन-रेफसन विधि द्वारा समीकरण x^3+1.2 x^2-4 x-4.8=0 के वास्तविक मूल चार दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
(Find the real roots to four decimals of the equation x^3+1.2 x^2-4 x-4.8=0 by Newton-Raphson method.)
Solution:मान लो f(x)=x^3+1.2 x^2-4 x-4.8
तब f^{\prime}(x) =3 x^2+2.4 x-4
पुनः f(-1.3) =(-1.3)^3+1.2(-1.3)^2-4 x-1.3-4.8 \\ =-2.197+2.028+5.2-4.8 \\ \Rightarrow f(-1.3)=0.231
तथा f(-1.1) =(-1.1)^3+1.2(-1.1)^2-4 x-1.1-4.8 \\ =-1.331+1.452+4.4-4.8 \\ \Rightarrow f(-1.1) =-0.279
अतः दिए हुए समीकरण का एक वास्तविक मूल -1.3 तथा -1.1 के मध्य स्थित होगा।
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ =x_n-\frac{\left(x_n^3+1.2 x_n^2-4.2 x_n -4.8\right)}{3 x_n^2+2.4 x_n-4} \\ =\frac{3 x_n^3+2.4 x_n^2-4 x_n-x_n^3-1.2 x_n^2 +4.2 x_n+4.8}{3 x_n^2+2.4 x_n-4}\\ \Rightarrow x_{n+1}= \frac{2 x_n^3+1.2 x_n^2+4.8}{3 x_n^2+2.4 x_n-4} \cdots(1)
अब मूल का प्रारम्भिक सन्निकट मान x_{0}=-1.3 लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकट मान x_{1} होगा:
x_1=\frac{2 x_0^3+1.2 x_0^2+4.8}{3 x_0^2+2.4 x_0-4} \\ =\frac{2 \times(-1.3)^3+1.2 \times(-1.3)^2+4.8}{3 \times(-1.3)^2+2.4 \times -1.3-4} \\ =\frac{-4.394+2.028+4.8}{5.07-3.12-4} \\ =\frac{2.434}{(-2.05)} \\ \Rightarrow x_{1} \approx -1.1873
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगा:
x_2=\frac{2 x_1^3+1.2 x_1^2+4.8}{3 x_1^2+2.4 x_1-4} \\ \approx \frac{2(-1.1873)^3+1.2 \times(-1.1873)^2+4.8}{3 \times(-1.1873)^2+2.4 \times-1.183-4} \\ \approx \frac{-3.3474+1.6916+4.8}{4.2290-2.84952-4} \\ \approx \frac{3.1442}{(-2.62052)} \\ \Rightarrow x_2 \approx -1.1998
इसी प्रकार (1) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन मान x_{3} होगाः
x_3=\frac{2 x_2^3+1.2 x_2^2+4.8}{3 x_2^2+2.4 x_2-4} \\ \approx \frac{2 \times(-1.1998)^3+1.2 \times(-1.1998)^2+4.8}{3 \times(-1.1998)^2+2.4 \times -1.1998-4} \\ \approx \frac{-3.4543+1.7274+4.8}{4.3186-2.8795-4} \\ \approx \frac{3.0731}{(-2.5609)} \\ \Rightarrow x_3 \approx-1.2
पुनः (1) में n=3 रखने पर चतुर्थ सन्निकटन मान x_{4} होगा:
x_4 =\frac{2 x_3^3+1.2 x_3^2+4.8}{3 x_3^2+2.4 x_3-4} \\ \approx \frac{2 \times(-1.2)^3+1.2 \times(-1.2)^2+4.8}{3 \times(-1.2)^2+2.4 \times-1.2-4} \\ \approx \frac{-3.456+1.728+4.8}{4.32-2.88-4} \\ \approx \frac{3.072}{(-2.56)} \\ \Rightarrow x_4 \approx 1.2
यहाँ स्पष्ट है कि x_3 \approx x_4 \approx-1.2 अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल -1.2 होगा।

Solve Equation by Newton-Raphson

Example:19.न्यूटन-रेफसन विधि तथा संश्लिष्ट भाग विधि के प्रयोग से निम्न समीकरण का एक वास्तविक मूल सही छः दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
(Find a real root of the following equation correct to six decimal places by using Newton-Raphson method and the method of synthetic division):
f(x)=x^5-0.346284 x^4+x^3+3.768 x+10=0
Solution: f(x)=x^5-0.346284 x^4+x^3+3.768 x+10
तब f^{\prime}(x)=5 x^4-1.385136 x^3+3 x^2+3.768
पुनः f(-1.3)=(-1.3)^5-0.346284 \times(-1.3)^4+(-1.3)^3+3.768 \times-1.3+10 \\ \approx-3.71293-0.989022-2.197-4.8984+10 \\ \Rightarrow f(-1.3) \approx-1.797352
तथा f(-1.2)=(-1.2)^5-0.346284 \times(-1.2)^4+(-1.2)^3+3.768 \times-1.2+10 \\ \approx -2.48832-0.718055-1.728-4.5216+10 \\ \Rightarrow f(-1.2) \approx 0.544025
अतः दिए हुए समीकरण का एक वास्तविक मूल -1.3 तथा -1.2 के मध्य स्थित होगा।
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ =x_n-\frac{\left(x_n^5-0.346284 x_n^4+x_n^3+3.768 x_n+10\right)}{5 x_n^4-1.385136 x_n^3+3 x_n^2+3.768} \\ =\frac{5 x_n^5-1.385136 x_n^4+3 x_n^3+3.768 x_n-x_n^5 +0.346284 x_n^4-x_n^3-3.768 x_n-10}{5 x_n^4-1.385136 x_n^3+3 x_n^2+3.768} \\ \Rightarrow x_{n+1}=\frac{4 x_n^5-1.038852 x_n^4+2 x_n^3-10}{5 x_n^4-1.385136 x_n^3+3 x_n^2+3.768} \cdots(1)
अब मूल का प्रारम्भिक सन्निकट मान लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकट मान x_{1} होगा:
x_1= \frac{4 x_0^5-1.038852 x_0^4+2 x_0^3-10}{5 x_0^4-1.385136 x_0^3+3 x_0^2+3.768} \\ = \frac{4 \times(-1.3)^5-1.038852 \times(-1.3)^4+2 \times(-1.3)^3-10}{5 \times(-1.3)^4-1.385136 \times(-1.3)^3+3 \times(-1.3)^2+3.768} \\ \approx \frac{-14.85172-2.967065-4.394-10}{14.2805+3.043144+5.07+3.768} \\ \approx \frac{-32.212785}{26.161644} \\ \Rightarrow x_1 \approx-1.231298
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगा:
x_2=\frac{4 x_1^5-1.038852 x_1^4+2 x_1^3-10}{5 x_1^4-1.385136 x_1^3+3 x_1^2+3.768} \\ =\frac{4 \times(-1.231298)^5-1.038852 \times(-1.231298)^4+2 \times(-1.231298)^3-10}{5 \times(-1.231298)^4-1.385136 \times(-1.231298)^3+3 \times(-1.231298)^2+3.768} \\ \approx \frac{-11.320767-2.387846-3.733529-10}{11.492717+2.585723+4.548284+3.768} \\ \approx \frac{(-27.442142)}{(22.394724)} \\ \Rightarrow x_2 \approx-1.225384
इसी प्रकार (1) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन मान x_{3} होगाः
x_3=\frac{4 x_2^5-1.038852 x_2^4+2 x_2^3-10}{5 x_2^4-1.385136 x_2^3+3 x_2^2+3.768} \\ =\frac{4 \times(-1.225384)^5-1.038852 \times(-1.225884)^4+2 \times(-1.225384)^3-10}{5 \times(-1.225384)^4-1.385136 \times(-1.225384)^3+3 \times(-1.225384)^2+3.768} \\ \approx \frac{-11.051495-2.3423-3.67999-10}{11.273501+2.548643+4.504698+3.768} \\ \approx \frac{(-27.073785)}{22.094842} \\ \Rightarrow x_3 \approx-1.225344
पुनः (1) में n=3 रखने पर चतुर्थ सन्निकटन मान x_{4} होगा:
x_4=\frac{4 x_3^5-1.038852 x_3^4+2 x_3^3-10}{5 x_3^4-1.385136 x_3^3+3 x_3^2+3.768} \\ =\frac{4 \times(-1.225344)^3-1.038852 \times(-1.225344)^4+2 \times(-1.225344)^3-10}{5 \times(-1.225344)^4-1.385136 \times(-1.225344)^3+3 \times(-1.225344)^2+3.768} \\ \approx \frac{-11.049691-2.341994-3.679629-10}{11.272030+2.548394+4.504404+3.768} \\ \approx \frac{(-27.071314)}{22.092828} \\ \Rightarrow x_4 \approx-1.2253439 \approx-1.225344
यहाँ स्पष्ट है कि x_3 \approx x_4 \approx-1.225344 अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल -1.225344 होगा।
संश्लिष्ट भाग विधि (Synthetic Division):

सर्वप्रथम f(-1),f(-2) का मान संश्लिष्ट भाग विधि से ज्ञात करेंगे:
f(-1) तथा f(-2) विपरीत चिन्ह के हैं अतः मूल (-1,-2) के मध्य स्थित है। x_0=-1से प्रारम्भ करने परः
x_1=-1-\frac{f(-1)}{f^{\prime}(-1)} \\ \approx-1-\frac{3.885716}{13.153136} \\ \Rightarrow x_1 \approx-1-0.295 \approx-1.295
[जहाँ f'(-1)=13.153136 तथा f^{\prime}(x)=5 x^4-1.385136 x^3+3 x^2+3.768 ]
पुनः संश्लिष्ट भाग द्वारा

f'(-1.295) का मान संश्लिष्ट भाग द्वारा:

f(-1.231),f'(-1.231) का मान संश्लिष्ट भाग द्वारा:

संश्लिष्ट भाग से f'(-1.231) का मानः

संश्लिष्ट भाग द्वारा f(-1.22539) तथा f'(-1.22539) का मानः

संश्लिष्ट भाग द्वारा f'(-1.22539) का मानः

न्यूटन-रेफसन विधि सेः
x_4=x_3-\frac{f\left(x_3\right)}{f^{\prime}(x(3)} \\ \approx-1.22539-\frac{f(-1.22539)}{f^{\prime}(-1.22539)} \\ \approx-1.22539+\frac{0.00057}{22.09512} \\ \approx-1.22539+0.000043 \\ \Rightarrow x_4 \approx-1.225347
Example:21.न्यूटन-रेफसन विधि द्वारा समीकरण x \log _{10} x-1-2=0 के वास्तविक मूल सही पाँच दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
(Using Newton-Raphson method to find the root of the equation x \log _{10} x-1-2=0 correct to five decimal places.)
Solution:मान लो f(x)=x \log _{10} x-1-2=0 \\ \Rightarrow f(x)=\frac{x \log _e x}{\log_e 10}-1.2 \\ \Rightarrow f(x)=0.43424 x \log _e x-1.2
तब f^{\prime}(x)=0.43424+0.43424 \log_e x
पुनः f(2.5)=0.43424 \times 2.5 \log_e 2.5-1.2 \\ \approx 0.99473-1.2 \\ \Rightarrow f(2.5) \approx -0.20527
तथा f(2.75)=0.43424 \times 2.75 \log _e 2.75-1.2 \\ \approx 1.20801-1.2 \\ \Rightarrow f(2.75) \approx 0.00801
अतः दिए हुए समीकरण का एक वास्तविक मूल 2.5 तथा 2.75 के मध्य स्थित होगा।
न्यूटन-रेफसन के प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ =x_n-\frac{\left(0.43424 x_n \log _e x_n-1.2\right)}{0.43424+0.43424 \log _e x_n} \\ =\frac{0.43424 x_n+0.43424 x_n \log _e x_n-0.43424 x_n \log_e x_n+1.2}{0.43424+0.43424 \log _e x_n} \\ \Rightarrow x_{n+1}=\frac{0.43424 x_n+1.2}{0.43424+0.43424 \log _e x_n}
अब मूल का प्रारम्भिक सन्निकट मान लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकट मान x_{1} होगा:
x_1 =\frac{0.43424 x_0+1.2}{0.43424+0.43424 \log _e x_0} \\ =\frac{0.43424 \times 2.5+1.2}{0.43424+0.43424 \times \log_e 2.5} \\ \Rightarrow x_1 \approx \frac{2.2856}{0.83213} \approx 2.74668
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन मान x_{2} होगा:
x_2=\frac{0.43424 x_1+1.2}{0.43424+0.43424 \log_e x_1} \\ =\frac{0.43424 \times 2.74668+1.2}{0.43424+0.43424 \log_e 2.74668} \\ \approx \frac{2.39272}{0.87299} \\ \Rightarrow x_2 \approx 2.74083
इसी प्रकार (1) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन मान x_{3} होगाः
x_3=\frac{0.43424 x_2+1.2}{0.43424+0.43424 \log _e x_{2}} \\ \approx \frac{0.43424 \times 2.74083+1.2}{0.43424+0.43424 \log _e 2.74083} \\ \Rightarrow x_3 \approx \frac{2.390128}{0.872067} \approx 2.74082
यहाँ स्पष्ट है कि x_2 \approx x_3 \approx 2.74082 अतः दिए हुए समीकरण का एक मूल 2.74082 होगा।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें (Solve Equation by Newton-Raphson),न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरणों को हल करना (To Solve Equations by Newton-Raphson Method) को समझ सकते हैं।

3.न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Solve Equation by Newton-Raphson):

Solve Equation by Newton-Raphson

(1.) x^5+5 x+1=0 का एक वास्तविक मूल न्यूटन-रेफसन विधि से ज्ञात करो।
(Find the one real root of x^5+5 x+1=0  by Newton-Raphson method.)
(2.)समीकरण x=2 \sin x  का एक धनात्मक मूल 1.5 और 2 रेडियन के बीच ज्ञात करो।
(Find a positive root of x=2 \sin x by the equation lying between 1.5 and 2 radians.)
उत्तर (Answers):(1.)-0.1999 (2.)1.896
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें (Solve Equation by Newton-Raphson),न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरणों को हल करना (To Solve Equations by Newton-Raphson Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें (Frequently Asked Questions Related to Solve Equation by Newton-Raphson),न्यूटन-रेफसन विधि से समीकरणों को हल करना (To Solve Equations by Newton-Raphson Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

न्यूटन-रेफसन से समीकरणों को हल करें (Solve Equation by Newton-Raphson) के इस
आर्टिकल में बीजीय व अबीजीय समीकरणों के सवालों को न्यूटन-रेफसन विधि से हल करके
मूल ज्ञात करना सीखेंगे।