1.वोगल सन्निकटन विधि से हल करें (Solve by Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि से परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by  Vogel Approximation Method):

Solve by Vogel Approximation Method

वोगल सन्निकटन विधि से हल करें (Solve by Vogel Approximation Method) के इस आर्टिकल में परिवहन समस्याओं का इष्टतम हल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वोगल सन्निकटन विधि से हल करें के उदाहरण (Solve by Vogel Approximation Method Illustrations):

निम्न परिवहन समस्यायें हल कीजिए
(Solve the following transportation problems):
Illustration:4.

Solution:वोगल सन्निकटन विधि या इकाई लागत विधि:
पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाला तृतीय स्तम्भ है जिसकी शास्ति 55 है।अतः तृतीय स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,3) है इसमें min(40,20)=20 का आवंटन करते हैं।इस प्रकार तृतीय स्तम्भ की सीमा पूरी हो जाती है इसलिए इसको निरस्त कर देते हैं।
अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाले द्वितीय स्तम्भ को चुनते हैं जिसकी शास्ति 30 है।द्वितीय  स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (1,2) में आवंटन min(20,10)=10 करते हैं।सीमा पूरी होने पर इसे निरस्त कर देते हैं।अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाली प्रथम पंक्ति,चतुर्थ व पंचम स्तम्भ हैं जिनकी शास्ति 10 है।इनमें से प्रथम पंक्ति को चुनते हैं।प्रथम पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,5) पर आवंटन min(10,15)=10 करते हैं।जिसकी सीमा पूरी होने पर इसे निरस्त कर देते हैं।अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाले पंचम स्तम्भ को चुनते हैं जिसकी शास्ति 30 है।पंचम स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,5) पर आवंटन min(40,5)=5 करते हैं।इसकी सीमा पूरी होने पर इसे निरस्त कर देते हैं।अब पुनः शास्ति की जाँच करते हैं।अधिकतम शास्ति वाली तृतीय पंक्ति व चतुर्थ स्तम्भ हैं जिनकी शास्ति 10 है।इनमें चतुर्थ स्तम्भ को चुनते हैं।चतुर्थ स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,4) पर आवंटन min(35,30)=30 करते हैं।इसकी सीमा पूरी होने पर इसे निरस्त कर देते हैं।अब पुनः शास्ति की जाँच करते हैं।अधिकतम शास्ति वाला प्रथम स्तम्भ है जिसकी शास्ति 20 है।प्रथम स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,1) पर आवंटन min(20,20)=20 करते हैं।इस प्रकार माँग व पूर्ति का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।

उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:

अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=10×30+20×40+10×40+20×35+5×40+30×35+5×30
=300+800+400+700+200+1050+150
=3600
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स [d_{ij}] ज्ञात करते हैं।
u_{i} तथा v_{j} के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली पंक्ति या स्तम्भ को चुनते हैं।यहाँ पहली व तीसरी पंक्ति ऐसी है।अतः प्रथम पंक्ति को चुन लेते हैं।अब u_{1} को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र C_{ij}=u_{i}+v_{j} का उपयोग करके u_{i} तथा v_{j} का मान ज्ञात करते हैं।
u_{i} तथा v_{j} के लिए सारणी

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स [d_{ij}]

चूँकि मैट्रिक्स [d_{ij}] का प्रत्येक अवयव ऋणेतर है अतः उपर्युक्त हल इष्टतम है।

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वोगल सन्निकटन विधि से हल करें (Solve by Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि से परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by  Vogel Approximation Method) को समझ सकते हैं।
Illustration:5.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & E & F & G & H & I & J & a_i \\ \hline A & 5 & 3 & 7 & 3 & 8 & 5 & 3 \\ \hline B & 5 & 6 & 12 & 5 & 7 & 11 & 4 \\ \hline C & 2 & 8 & 3 & 4 & 8 & 2 & 2 \\ \hline D & 9 & 6 & 10 & 5 & 10 & 9 & 8 \\ \hline b_j & 3 & 3 & 6 & 2 & 1 & 2 & 17 \\ \hline \end{array}
Solution:वोगल सन्निकटन विधि या इकाई लागत विधि:
पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाला तृतीय स्तम्भ है जिसकी शास्ति 4 है।अतः तृतीय स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (3,3) है इसमें min(2,6)=2 का आवंटन करते हैं।शेष इकाइयाँ 6-2=4 कोष्ठक (1,3) पर min(3,4)=3 तथा कोष्ठक (2,3) पर min(4,1)=1 आवंटन कर देते हैं।इस प्रकार तृतीय स्तम्भ की सीमा पूरी हो जाती है इसलिए इसको निरस्त कर देते हैं।
अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाले प्रथम,द्वितीय व षष्ठम स्तम्भ में से प्रथम स्तम्भ को चुनते हैं जिनकी शास्ति 3 है।प्रथम स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,1) पर आवंटन min(3,3)=3 करते हैं।सीमा पूरी होने पर इसे निरस्त कर देते हैं।अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाले द्वितीय व षष्ठम स्तम्भ में से द्वितीय स्तम्भ को चुनते हैं जिनकी शास्ति 3 है।द्वितीय स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (4,2) पर आवंटन min(8,3)=3 करते हैं।जिसकी सीमा पूरी होने पर इसे निरस्त कर देते हैं।अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाली चतुर्थ पंक्ति को चुनते हैं जिसकी शास्ति 4 है।चतुर्थ पंक्ति में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (4,4),(4,6),(4,5) पर क्रमशः आवंटन min(5,2)=2,min(3,2)=2,min(1,1)=1 करते हैं।इस प्रकार माँग व पूर्ति का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।

उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:

\begin{array}{|c|cccccc|c|} \hline & E & F & G & H & I & J & a_{i} \\ \hline A & & & 3(7)  & & & & 3 \\ B & 3(5) & & 1(12) & & & & 4 \\ C & & & 2(3) & & & & 2 \\ D & & 3(6) & & 2(5) & 1(10) & 2(9) & 8 \\ \hline b_{j} & 3 & 3 & 6 & 2 & 1 & 2 & \\ \hline \end{array}
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=3×7+3×5+1×12+2×3+3×6+2×5+1×10+2×9
=21+15+12+6+18+10+10+18
=110
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि स्वतन्त्र नियतन की संख्या 8 है जो m+n-1=4+6-1=9 से कम है अतः इष्टतम की शर्त को पूरा नहीं करती है।

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वोगल सन्निकटन विधि से हल करें (Solve by Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि से परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by  Vogel Approximation Method) को समझ सकते हैं।

Solve by Vogel Approximation Method

Illustration:6. 

\begin{array}{|c|cccc|c|} \hline & D_{1} & D_{2} & D_{3} & D_{4} & \text{Supply}\\ \hline W_{1} & 10 & 12 & 15 & 8 & 130 \\ W_{2} & 14 & 11 & 9 & 10 & 150 \\ W_{3} & 20 & 5 & 7 & 18 & 170 \\ \hline \text{Demand} & 90 & 100 & 140 & 120 & \\ \hline \end{array}
Solution:वोगल सन्निकटन विधि या इकाई लागत विधि:
पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाला द्वितीय स्तम्भ है जिसकी शास्ति 6 है।अतः द्वितीय स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (3,2) है इसमें min(170,100)=100 का आवंटन करते हैं।इस प्रकार द्वितीय स्तम्भ की सीमा पूरी हो जाती है इसलिए इसको निरस्त कर देते हैं।अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाली तृतीय पंक्ति को चुनते हैं जिसकी शास्ति 11 है।तृतीय पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,3) में आवंटन min(70,140)=70 करते हैं।सीमा पूरी होने पर इसे निरस्त कर देते हैं।अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाले तृतीय स्तम्भ को चुनते हैं जिसकी शास्ति 6 है।तृतीय स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (2,3) पर आवंटन min(180,70)=70 करते हैं।जिसकी सीमा पूरी होने पर इसे निरस्त कर देते हैं।अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाले प्रथम स्तम्भ को चुनते हैं जिसकी शास्ति 4 है।प्रथम स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (1,1) पर आवंटन min(130,90)=90 करते हैं।इसकी सीमा पूरी होने पर इसे निरस्त कर देते हैं।अब पुनः शास्ति की जाँच करते हैं।अधिकतम शास्ति वाले चतुर्थ स्तम्भ को चुनते हैं जिसकी शास्ति 2 है।चतुर्थ स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,4) पर आवंटन min(80,80)=80 करते हैं।इस प्रकार माँग व पूर्ति का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।

उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:

\begin{array}{|c|cccc|c|} \hline & D_{1} & D_{2} & D_{3} & D_{4} & \text{Supply}\\ \hline W_{1} & 90(10) & & & 40(8) & 130 \\ W_{2} & & & 70(9) & 80(10) & 150 \\ W_{3} & & 100(5) & 70(7) & & 170 \\ \hline \text{Demand} & 90 & 100 & 140 & 120 \\ \hline \end{array}
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=90×10+40×8+70×9+80×10+100×5+70×7
=900+320+630+800+500+490
=3640
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स [d_{ij}] ज्ञात करते हैं।

u_{i} तथा v_{j} के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली पंक्ति या स्तम्भ को चुनते हैं।यहाँ प्रत्येक स्तम्भ व पंक्ति में आवंटन 2 है।अतः इनमें से प्रथम पंक्ति को चुन लेते हैं।अब u_{1} को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र C_{ij}=u_{i}+v_{j} का उपयोग करके u_{i} तथा v_{j} का मान ज्ञात करते हैं।
u_{i} तथा v_{j} के लिए सारणी

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{cccc} * & 5 & 7 & * \\ 12 & 7 & * & * \\ 10 & * & * & 8 \end{array}\right]
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

[d_{ij}]=\left[\begin{array}{cccc} * & 12 & 15 & * \\ 14 & 11 & * & * \\ 20 & * & * & 18 \end{array}\right]
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स [d_{ij}]

\left[d_{ij}\right]=\left[c_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\=\left[\begin{array}{llll} * & 12 & 15 & * \\ 14 & 11 & * & * \\ 20 & * & * & 18 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{lll} * & 5 & 7 & * \\ 12 & 7 & * &* \\ 10 & * & * & 8 \end{array}\right] \\ \Rightarrow [d_{ij}]=\left[\begin{array}{llll} * & 7 & 8 & * \\ 2 & 4 & * & * \\ 10 & * & * & 10 \end{array}\right]
चूँकि मैट्रिक्स [d_{ij}] का प्रत्येक अवयव ऋणेतर है अतः उपर्युक्त हल इष्टतम है।
Illustration:7.

Solution:वोगल सन्निकटन विधि या इकाई लागत विधि:
पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाली द्वितीय व तृतीय पंक्ति तथा द्वितीय स्तम्भ हैं जिसमें द्वितीय पंक्ति को चुनते हैं जिनकी शास्ति 6 है।अतः द्वितीय पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (2,2) है इसमें min(16,15)=15 का आवंटन करते हैं।शेष इकाई 16-15=1 कोष्ठक (2,3) पर min(1,17)=1 आवंटन कर देते हैं।इस प्रकार द्वितीय पंक्ति की सीमा पूरी हो जाती है इसलिए इसको निरस्त कर देते हैं।
अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाली तृतीय पंक्ति को चुनते हैं जिसकी शास्ति 6 है।तृतीय पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,3) पर आवंटन min(12,16)=12 करते हैं।सीमा पूरी होने पर इसे निरस्त कर देते हैं।अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाली प्रथम पंक्ति को चुनते हैं जिसकी शास्ति 4 है।प्रथम पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,4) पर आवंटन min(14, 4)=4 करते हैं।शेष इकाईयाँ 14-4=10 कोष्ठक (1,1) पर आवंटन (10,10)=10 करते हैं।इस प्रकार माँग व पूर्ति का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।

उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:

\begin{array}{|c|ccc|c|} \hline  \text{From} \downarrow & \text{To} \to & & & \text{Available}\\ \hline & 10(16) & & 4(12) & 14 \\ && 15(13) & 1(19) & 16 \\ & & & 12(8) & 12 \\ \hline \text{Demand} & 10 & 15 & 17 & \\ \hline \end{array}
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=10×16+4×12+15×13+1×19+12×8
=160+48+195+19+95
=518
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स [d_{ij}] ज्ञात करते हैं।
u_{i} तथा v_{j} के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली पंक्ति या स्तम्भ को चुनते हैं।यहाँ तृतीय स्तम्भ में सबसे अधिक बार 3 बार आवंटन हुआ है।अतः v_{3} को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र C_{ij}=u_{i}+v_{j} का उपयोग करके तथा का मान ज्ञात करते हैं।
u_{i} तथा v_{j} के लिए सारणी

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccc} * & 6 & * \\ 23 & * & * \\ 12 & 2 & * \end{array}\right]
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

[C_{ij}]=\left[\begin{array}{ccc} * & 19 & * \\ 22 & * & * \\ 14 & 28 & * \end{array}\right]
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

\left[d_{ij}\right]=\left[C_{ij}\right]-\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccc} * & 19 & * \\ 22 & * & * \\ 14 & 28 & *\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc} * & 6 & * \\ 23 & * & * \\ 12 & 2 & * \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{i j}\right] =\left[\begin{array}{ccc} * & 13 & * \\ -1 & * & * \\ 2 & 26 & * \end{array}\right]
मैट्रिक्स [d_{ij}] में d_{21}=-1 के अतिरिक्त सभी रिक्त कोष्ठिकाओं से सम्बन्धित मूल्यांकन ऋणेतर है।अतः कोष्ठक (2,1) को आवंटन कर इस हल को सुधारते हैं।
चूँकि d_{21}=-1 न्यूनतम है इसलिए इस कोष्ठक की अधिकतम आवंटन किसी भरे हुए कोष्ठक से करते हैं।शेष आवंटन में परिवर्तन करते हुए जैसा कि नीचे सारणी में दर्शाया गया है।यहाँ अधिकतम आवंटन माना \theta है। \theta बन्दलूप के कोने पर –\theta वाले नियतन में से न्यूनतम को शून्य के बराबर रखकर \theta का मान ज्ञात करते हैं।

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \underset{-\theta}{10(16)} & \longrightarrow & \underset{4(12)}{+\theta} \\ \hline \uparrow & & \downarrow \\ \hline +\theta & \underset{15(13)}{\longleftarrow } & \underset{1(19) }{-\theta} \\\hline & & 12(8) \\ \hline \end{array} \\ \min(10-\theta, 1-\theta)=0 \Rightarrow 1-\theta=0 \Rightarrow \theta=1
इस प्रकार कोष्ठिका (2,3) में आवंटन शून्य हो जाता है अर्थात् यह खाली कोष्ठिका हो जाती है।नया आधारी हल निम्न सारणी में दर्शाया गया है।

\begin{array}{|ccc|} \hline 9(16) & & 5(12) \\ 1(22) & 15(13) & \\ & & 12(8) \\ \hline \end{array}
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत=9×16+5×12+1×22+15×13+12×8
=144+60+22+195+96
=517
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स [d_{ij}] ज्ञात करते हैं।
u_{i} तथा v_{j} के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली पंक्ति या स्तम्भ को चुनते हैं।यहाँ प्रथम व द्वितीय पंक्ति तथा प्रथम व तृतीय स्तम्भ में सबसे अधिक बार 2 बार आवंटन हुआ है।अतः u_{1} इनमें से प्रथम पंक्ति को चुनते हैं।अतः को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र C_{ij}=u_{i}+v_{j} का उपयोग करके u_{i} तथा v_{j} का मान ज्ञात करते हैं।
u_{i} तथा v_{j} के लिए सारणी

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccc} * & 7 & * \\ * & * & 18 \\ 12 & 3 & * \end{array}\right]
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

\left[c_{ij}\right]=\left[\begin{array}{lll} * & 19 & * \\ * & * & 19 \\ 14 & 28 & * \end{array}\right]
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक् \left[d_{ij}\right] \\  \left[d_{ij}\right]=\left[C_{ij}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\ =\left[\begin{array}{cccc} * & 19 & * \\ * & * & 19 \\ 14 & 28 & * \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc} * & 7 & * \\ * & * & 18 \\ 12 & 3 & * \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{ij}\right] =\left[\begin{array}{lll} * & 12 & * \\ * & * & 1 \\ 2 & 25 & * \end{array}\right]
चूँकि मैट्रिक्स [d_{ij}]  का प्रत्येक अवयव ऋणेतर है अतः उपर्युक्त हल इष्टतम है।
इस परिवहन समस्या की न्यूनतम लागत=517
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वोगल सन्निकटन विधि से हल करें (Solve by Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि से परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by  Vogel Approximation Method) को समझ सकते हैं।

Solve by Vogel Approximation Method

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3.वोगल सन्निकटन विधि से हल करें (Frequently Asked Questions Related to Solve by Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि से परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by  Vogel Approximation Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वोगल सन्निकटन विधि से हल करें (Solve by Vogel Approximation Method) के इस
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करके समझने का प्रयास करेंगे।