1.गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल (Solution Quadratic Equation by Factors),गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल कक्षा 10 (Solution of Quadratic Equation by Factorisation Class 10):

Solution Quadratic Equation by Factors

गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल (Solution Quadratic Equation by Factors) में द्विघात समीकरण के दो रैखिक गुणनखण्डों में गुणनखण्डित करके और प्रत्येक गुणनखण्ड को शून्य के बराबर रखकर मूल प्राप्त किए जाते हैं।
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2.गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल के साधित उदाहरण (Solution Quadratic Equation by Factors Solved Examples):

Example:1.गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(i)x^{2}-3 x-10=0
Solution: x^{2}-3 x-10=0 \\ \Rightarrow x^{2}-5 x+2 x-10=0 \\ \Rightarrow x(x-5)+2(x-5)=0 \\ \Rightarrow(x+2)(x-5)=0 \\ x+2=0, x-5=0 \\ \Rightarrow x=-2, x=5 \\ \Rightarrow x=-2,5
(ii)2 x^{2}+x-6=0
Solution: 2 x^{2}+x-6=0 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+4 x-3 x-6=0 \\ \Rightarrow 2 x(x+2)-3(x+2)=0 \\ \Rightarrow(x+2)(2 x-3)=0 \\ \Rightarrow x+2=0,2 x-3=0 \\ \Rightarrow x=-2,2 x =3 \\ x =\frac{3}{2} \\ \Rightarrow x=-2, \frac{3}{2}
(iii)\sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0
Solution: \sqrt{2} x^{2}+7 x+5 \sqrt{2}=0 \\ \Rightarrow \sqrt{2} x^{2}+5 x+2 x+5 \sqrt{2}=0 \\ \Rightarrow x(\sqrt{2} x+5)+\sqrt{2}(\sqrt{2} x+5)=0 \\ \Rightarrow(\sqrt{2} x+5)(x+\sqrt{2})=0 \\ \Rightarrow \sqrt{2} x+5=0, x+\sqrt{2}=0 \\ \Rightarrow \sqrt{2} x=-5, x=-\sqrt{2} \\ \Rightarrow x=-\frac{5}{\sqrt{2}},-\sqrt{2}
(iv) 2 x^{2}-x+\frac{1}{8}=0
Solution: 2 x^{2}-x+\frac{1}{8}=0 \\ \Rightarrow \frac{16 x^{2}-8 x+1}{8}=0 \\ \Rightarrow 16 x^{2}-8 x+1=0 \\ \Rightarrow 16 x^{2}-4 x-4 x+1=0 \\ \Rightarrow 4 x(4 x-1)-1(4 x-1)=0 \\ \Rightarrow (4 x-1)(4 x-1)=0 \\ \Rightarrow 4 x-1=0,4 x-1=0 \\ \Rightarrow x=\frac{1}{4}, x=\frac{1}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{4},\frac{1}{4}
(v)100 x^{2}-20 x+1=0
Solution:100 x^{2}-20 x+1=0 \\ \Rightarrow 100 x^{2}-10 x-10 x+1=0 \\ \Rightarrow 10 x(10 x-1)-1(10 x-1)=0 \\ \Rightarrow(10 x-1)(10 x-1)=0 \\ \Rightarrow 10 x-1=0,10 x-1=0 \\ \Rightarrow 10 x=1,10 x=1 \\ \Rightarrow x=\frac{1}{10}, x=\frac{1}{10} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{10}, \frac{1}{10}
Example:2.(i)जाॅन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं।दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है।प्रारम्भ में उनके पास कितने कंचे थे?
Solution:माना जाॅन के पास प्रारम्भ में कंचे थे=x
अतः जीवंती के पास प्रारम्भ में कंचे=45-x
जब दोनों 5-5 कंचे खो देते हैं तो:
जाॅन के पास शेष कंचे=x-5
जीवंती के पास शेष कंचे=45-x-5=40-x
प्रश्नानुसार:

(x-5)(40-x)=124 \\ \Rightarrow 40 x-x^{2}-200+5 x=124 \\ \Rightarrow -x^{2}+45 x-200-124=0 \\ \Rightarrow -x^{2}+45 x-324=0 \\ \Rightarrow -\left(x^{2}-45 x+324\right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}-45 x+324=0 \\ \Rightarrow x^{2}-36 x-9 x+324=0 \\ \Rightarrow x(x-36)-9(x-36)=0 \\ \Rightarrow (x-9)(x-36)=0 \\ \Rightarrow x-9=0, x-36=0 \\ \Rightarrow x=9, x=36 \\ \Rightarrow x=9,36
जब x=9 हो तो 45-x=45-9=36
जब x=36 हो तो 45-x=45-36=9
अतः जब जाॅन के पास 9 कंचे थे तो जीवंती के पास 36 कंचे थे।
अथवा जब जाॅन के पास 36 कंचे थे तो जीवंती के पास 9 कंचे थे।
(ii)एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है।प्रत्येक खिलौने का मूल्य (रुपयों में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है।किसी एक दिन,कुल निर्माण लागत 750 रुपए थी।उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना किसी दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या=x
प्रत्येक खिलौने का मूल्य=55-x
किसी दिन कुल निर्माण लागत=750 रुपए
प्रत्येक खिलौने की लागत=\frac{750}{x} \\ \\ \Rightarrow \frac{750}{x}=55-x \\ \Rightarrow 750=55 x-x^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-55 x+750=0 \\ \Rightarrow x^{2}-30 x-25 x+750=0 \\ \Rightarrow x(x-30)-25(x-30)=0 \\ \Rightarrow(x-30)(x-25)=0 \\ \Rightarrow x-30=0, x-25=0 \\ \Rightarrow x=30, x=25 \\ \Rightarrow x=30,25
Example:3.ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
Solution:माना प्रथम संख्या=x
दूसरी संख्या=27-x
प्रश्नानुसार:

x(27-x)=182 \\ \Rightarrow 27 x-x^{2}=182 \\ \Rightarrow 27 x-x^{2}-182=0 \\ \Rightarrow-\left(x^{2}-27 x+182\right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}-27 x+182=0 \\ \Rightarrow x^{2}-14 x-13 x+182=0 \\ \Rightarrow x(x-14)-13(x-14)=0 \\ \Rightarrow(x-14)(x-13)=0 \\ \Rightarrow x-14=0,x-13=0 \\ \Rightarrow x=14, x=13
यदि x=14 हो तो 27-x=27-14=13
यदि x=13 हो तो 27-x=27-13=14
अतः दो संख्याएँ 14 व 13 अथवा 13 व 14 हैं।

Solution Quadratic Equation by Factors

Example:4.दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
Solution:माना दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक= x,x+1
प्रश्नानुसार:

x^{2}+(x+1)^{2}=365 \\ \Rightarrow x^{2}+x^{2}+2 x+1=365 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+2 x+1-365=0 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+2 x-364=0 \\ \Rightarrow 2\left(x^{2}+x-182\right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}+x-182=0 \\ \Rightarrow x^{2}+14 x-13 x-182=0 \\ \Rightarrow x(x+14)-13(x+14)=0 \\ \Rightarrow(x-13)(x+14)=0 \\ \Rightarrow x-13=0, x+14=0 \\ \Rightarrow x=13, x=-14
x=-14 (असम्भव है क्योंकि यह धनात्मक पूर्णांक नहीं है)
अतः x=13
x+1=13+1=14
दो धनात्मक पूर्णांक 13 व 14 हैं।
Example:5.एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है।यदि कर्ण 13 cm का हो तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना समकोण त्रिभुज का आधार=x
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई=x-7
पाइथागोरस प्रमेय से:
{ ऊँचाई }^{2}+{ आधार }^{2}={ कर्ण }^{2} \\ \Rightarrow(x-7)^{2}+x^{2}=13^{2} [ऊँचाई=लम्ब]
\Rightarrow x^{2}-14 x+49+x^{2}=169 \\ \Rightarrow 2 x^{2}-14 x+49-169=0 \\ \Rightarrow 2 x^{2}-14 x-120=0 \\ \Rightarrow 2\left(x^{2}-7 x-60\right)=0 \\ \Rightarrow x^{2}-7 x-60=0 \\ \Rightarrow x^{2}-12 x+5 x-60=0 \\ \Rightarrow x(x-12)+5(x-12)=0 \\ \Rightarrow (x+5)(x-12)=0 \\ \Rightarrow x+5=0, x-12=0 \\ \Rightarrow x=-5 (असंभव है क्योंकि लम्बाई ऋणात्मक नहीं होती है)
x-12=0
x=12
ऊँचाई=x-7=12-7=5
अतः आधार=12 सेमी तथा ऊँचाई=5 सेमी
Example:6.एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है।एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी।यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रुपए थी तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
Solution:माना किसी विशेष दिन निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या=x
प्रत्येक नग की निर्माण लागत=2x+3
प्रश्नानुसार:
x(2 x+3)=90 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+3 x=90 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+3 x-90=0 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+15 x-12 x-90=0 \\ \Rightarrow x(2 x+15)-6(2 x+15)=0 \\ \Rightarrow(x-6)(2 x+15)=0 \\ \Rightarrow 2 x+15=0 \\ \Rightarrow 2 x=-15 \\ \Rightarrow x=-\frac{15}{2}  (असम्भव है क्योंकि बर्तनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती है)
x-6=0
x=6
प्रत्येक नग के निर्माण की लागत=2x+3
=2 × 6+3
=12+3
=15 रुपए
अतः बर्तनों की संख्या=6
तथा प्रत्येक नग की निर्माण लागत=15 रुपए
Example:7.गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए:
(i)4 x^{2}-4 a^{2} x+a^{4}-b^{4}=0
Solution: 4 x^{2}-4 a^{2} x+a^{4}-b^{4}=0 \\ \Rightarrow 4 x^{2}-2 a^{2} x-2 a^{2} x+2 b^{2} x-2 b^{2} x+\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)=0 \\ \Rightarrow 4 x^{2}-2\left(a^{2}-b^{2}\right) x-2\left(a^{2}+b^{2}\right) x+\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)=0 \\ \Rightarrow 2 x\left[2 x-\left(a^{2}-b^{2}\right)\right]-\left(a^{2}+b^{2}\right)\left[2 x-\left(a^{2}-b^{2}\right)\right] \\ \Rightarrow \left[2 x-\left(a^{2}-b^{2}\right)\right]\left[2 x-\left(a^{2}+b^{2}\right)\right]=0 \\ \Rightarrow 2 x-\left(a^{2}-b^{2}\right)=0,2 x-\left(a^{2}+b^{2}\right)=0 \\ \Rightarrow 2 x=a^{2}-b^{2}, 2 x=a^{2}+b^{2} \\ \Rightarrow x=\frac{a^{2}-b^{2}}{2}, x=\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{a^{2}-b^{2}}{2}, \frac{a^{2}+b^{2}}{2}
(ii)a b x^{2}+\left(b^{2}-a c\right) x-b c=0
Solution: a b x^{2}+\left(b^{2}-a c\right) x-b c=0 \\ \Rightarrow a b x^{2}+b^{2} x-a c x-b c=0 \\ \Rightarrow b x(a x+b)-c(a x+b)=0 \\ \Rightarrow(a x+b)(b x-c)=0 \\ \Rightarrow(a x+b)=0,(b x-c)=0 \\ \Rightarrow x=-\frac{b}{a}, \quad x=\frac{c}{b} \\ \Rightarrow x=-\frac{b}{a}, \frac{c}{b}
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल (Solution Quadratic Equation by Factors),गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल कक्षा 10 (Solution of Quadratic Equation by Factorisation Class 10) को समझ सकते हैं।

3.गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल पर आधारित सवाल (Questions Based on Solution Quadratic Equation by Factors):

Solution Quadratic Equation by Factors

गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए:

(1) \frac{1}{x-2}+\frac{2}{x-1}=\frac{6}{x} \\ (2) \frac{x+3}{x+2}=\frac{3 x-7}{2 x-3} \\ (3) 3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0
उत्तर (Answers):
(1.) x=3, \frac{4}{3} \\ (2) x=-1,5 \\ (3.) x=\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल (Solution Quadratic Equation by Factors),गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल कक्षा 10 (Solution of Quadratic Equation by Factorisation Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल (Solution Quadratic Equation by Factors),गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल कक्षा 10 (Solution of Quadratic Equation by Factorisation Class 10) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल (Solution Quadratic Equation by Factors) में
द्विघात समीकरण के दो रैखिक गुणनखण्डों में गुणनखण्डित करके और प्रत्येक गुणनखण्ड
को शून्य के बराबर रखकर मूल प्राप्त किए जाते हैं।