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Solution of Linear Recurrence Relation

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1 1.रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का हल (Solution of Linear Recurrence Relation),रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का विशेष हल ज्ञात करना (Finding Particular Solution of Linear Recurrence Relation)-

1.रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का हल (Solution of Linear Recurrence Relation),रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का विशेष हल ज्ञात करना (Finding Particular Solution of Linear Recurrence Relation)-

रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का हल (Solution of Linear Recurrence Relation),रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का विशेष हल ज्ञात करने (Finding Particular Solution of Linear Recurrence Relation) के लिए समीकरण में उपस्थित फलन f(r) के विभिन्न रूपों पर निर्भर करती है।
स्थिति-1.जब f(r),r में m कोटि का एक बहुपद है तथा अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है तब पुनरावृत्ति सम्बन्ध का विशेष हल (P.S.) होगा,

ar=A0rm+A1rm1+A2rm2++Am1r+Ama_{r}=A_{0} r^{m}+A_{1} r^{m-1}+A_{2} r^{m-2}+\cdots+A_{m-1} r+A_{m}
परन्तु यदि अभिलक्षणिक समीकरण का n कोटि का मूल है तब विशेष हल (P.S.) होगा

arp=rn(A0rm+A1rm1++Am)a_{r}^{p}=r^{n}(A_{0} r^{m}+A_{1} r^{m-1}+\cdots+A_{m})
जहां A0,A1,A2....AmA_{0},A_{1},A_{2}....A_{m} स्थिरांक हैं।
स्थिति-2. जब f(r)=Ar(p0rm+p1rm1++pm1r+pm)f(r)=A^{r}(p_{0} r^{m}+p_{1} r^{m-1}+\cdots+p_{m-1}r+p_{m}) तथा यदि A अभिलक्षणिक मूल नहीं है।तब विशेष हल (P.S.) होगा

arp=Ar(A0rm+A1rm1++Am1r+Am)rma_{r}^{p}=A^{r}(A_{0} r^{m}+A_{1} r^{m-1}+\cdots+A_{m-1}r+A_{m})r^{m}
स्थिति-3.जब f(r)=kαrf(r)=k \alpha^{r},तब समीकरण का विशेष हल (P.S.) होगा
(i)arp=Aαra_{r}^{p}=A \alpha^{r}, जहां A स्थिरांक है αr\alpha^{r}तथा पूरक फलन उपस्थित नहीं है।
(ii)arp=Arαra_{r}^{p}=A r \alpha^{r},यदि αr\alpha^{r} पूरक फलन में उपस्थित है तथा
(iii) arp=Ar2αra_{r}^{p}=A r^{2} \alpha^{r} यदि अभिलक्षिक समीकरण में α\alpha की दो बार पुनरावृत्ति (Repetition) है।
स्थिति-4.जब f(r)=cosβrf(r)=\cos \beta r   या sinβr \sin \beta r तब विशेष हल (P.S.) होगा arp=Acosβr+Bsinβr जहां βa_{r}^{p}=A \cos \beta r +B \sin \beta r \text { जहां } \beta,A और B स्थिरांक हैं।
स्थिति-5.जब f(r)=αrcosβrf(r)=\alpha^{r} \cos \beta r या αrsinβr \alpha^{r} \sin \beta r तब विशेष हल (P.S.) होगा

arp=αr(Acosβr+Bsinβr)a_{r}^{p}=\alpha^{r}(A \cos \beta r+B \sin \beta r)
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Also Read This Article:-Inclusion-Exclusion Principle

2.रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का हल के उदाहरण (Solution of Linear Recurrence Relation Examples),रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का विशेष हल ज्ञात करना के उदाहरण (Finding Particular Solution of Linear Recurrence Relation Examples)-
हल कीजिए (Solve):

Example-1.ar5ar1+6ar2=7r,r2a_{r}-5 a_{r-1}+6 a_{r-2}=7^{r},r \geq 2
Solution- ar5ar1+6ar2=7r  पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है α25α+6=0α23α2α+6=0α(α3)2(α3)=6(α2)(α3)=0α=2,3 अतः पूरक फलन (C.F.) =c12r+c23r  विशिष्ट हल (P.S.) के लिए माना arp=A7r तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से A7r5A7r1+6A7r2=7r(49A35A+6A)7r2=497r220A=49A=4920 अतः विशिष्ट हल arP=49207r अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: ar=c12r+c23r+49207ra_{r}-5 a_{r-1}+6 a_{r-2}=7^{r}  \\ \text { पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है } \\ \alpha^{2}-5 \alpha+6=0 \\ \Rightarrow \alpha^{2}-3 \alpha-2 \alpha+6=0 \\ \Rightarrow \alpha(\alpha-3)-2(\alpha-3)=-6 \\ \Rightarrow (\alpha-2)(\alpha-3)=0 \\ \Rightarrow \alpha=2,3 \\ \text { अतः पूरक फलन (C.F.) } =c_{1} 2^{r}+c_{2} 3^{r} \\  \text { विशिष्ट हल (P.S.) के लिए माना }a_{r}^{p}=A \cdot 7^{r} \\ \text { तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से } \\ A \cdot 7^{r}-5 A 7^{r-1}+6 A 7^{r-2}=7^{r} \\ (49 A-35 A+6 A) 7^{r-2}=49 \cdot 7^{r-2} \\ \Rightarrow 20A=49 \Rightarrow A=\frac{49}{20} \\ \text { अतः विशिष्ट हल } \therefore a_{r}^{P}=\frac{49}{20} \cdot 7^{r} \\ \text { अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: } \\ a_{r}=c_{1} \cdot 2^{r}+c_{2} \cdot 3^{r}+\frac{49}{20} \cdot 7^{r}
Example-2.ar7ar1+10ar=2=73r+4ra_{r}-7 a_{r-1}+10 a_{r=2}=7 \cdot 3^{r}+4^{r}
Solution-ar7ar1+10ar=2=73r+4r पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है α2α+10=0α25α2α+10=0α(α5)2(α5)=0(α2)(α5)=0α=2,5  अतः पूरक फलन (C.F.) =c12r+c25r विशिष्ट हल (P.S.) के लिए माना arP=A3r+B4r तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से A3r+B4r7(A3r1+B4r1)+10(A3r2+B4r2)=73r+4r9A3r221A3r2+10A3r2+16B4r228B4r2+10B4r2=73r+4r(9A21A+10A)3r2+(16B28B+10B)4r2=633r2+164r22A3r22B4r2=63(3r2)+16(4r2)2A=63A=6322B=16B=8  अतः विशिष्ट हल arP=6323r8(4r)  अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: ar=C12r+C25r6323r84ra_{r}-7 a_{r-1}+10 a_{r=2}=7 \cdot 3^{r}+4^{r} \\ \text { पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है } \\ \alpha^{2}-\alpha+10=0 \\ \Rightarrow \alpha^{2}-5 \alpha-2 \alpha+10=0 \\ \Rightarrow \alpha(\alpha-5)-2(\alpha-5)=0 \\ \Rightarrow (\alpha-2)(\alpha-5)=0 \\ \Rightarrow \alpha=2,5 \\  \text { अतः पूरक फलन (C.F.) } =c_{1} \cdot 2^{r}+c_{2} \cdot 5^{r} \\ \text { विशिष्ट हल (P.S.) के लिए माना } a_{r}^{P}=A \cdot 3^{r}+B \cdot 4^{r} \\ \text { तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से } \\ A \cdot 3^{r}+B 4^{r}-7\left(A \cdot 3^{r-1}+B \cdot 4^{r-1}\right)+10\left(A \cdot 3^{r-2}+B \cdot 4^{r-2}\right)=7 \cdot 3^{r}+4^{r} \\ \Rightarrow 9 A 3^{r-2}-21 A 3^{r-2}+10 A 3^{r-2}+16 B 4^{r-2}-28 B 4^{r-2}+10 B 4^{r-2}=7 \cdot 3^{r}+4^{r} \\ \Rightarrow (9 A-21 A+10 A) 3^{r-2}+( 16 B-28 B+10 B) 4^{r-2}=63 \cdot 3^{r-2} + 16 \cdot 4^{r-2} \\ \Rightarrow -2 A \cdot 3^{r-2}-2 B \cdot 4^{r-2}=63 \cdot\left(3^{r-2}\right)+16\left(4^{r-2}\right) \\ \Rightarrow -2A=63 \\ \Rightarrow A=-\frac{63}{2} \\ \Rightarrow -2 B=16 \\ \Rightarrow B=-8 \\ \text {  अतः विशिष्ट हल } a_{r}^{P}=\frac{-63}{2} \cdot 3^{r}-8 \left(4^{r}\right) \\ \text {  अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: } \\ a_{r}=C_{1} \cdot 2^{r}+C_{2} \cdot 5^{r}-\frac{63}{2} \cdot 3^{r}-8-4^{r}
Example-3.ar5ar1+6ar2=r24r,x2a_{r}-5a_{r-1}+6a_{r-2}=r^{2} \cdot 4^{r},x \geq 2
Solution-ar5ar1+6ar2=r24r पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है α25α+6=0α23α2α+6=0α(α3)2(α3)=0(α2)(α3)=0α=2,3 अतः पूरक फलन (C.F.) =C12r+C23r  विशिष्ट हल (P.S.) के लिए माना arP=(A0r2+A1r+A2)4r  तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से (A0r2+A1r+A2)4r5[A0(r1)2+A1(r1)+A2]4r1+6[A2(r2)2+A1(r2)+A2]4r2=r24r16(A0r2+A1r+A2)4r220[A0(r22r+1)+A1rA1+A2]4r2+6[A0(r24r+4)+A1r2A1+A2]4r2=r24r(16A020A0+6A0)r24r2+(16A1+40A0+20A124A0+6A1)r4r2+(16A220A0+20A120A2+24A012A1+6A2)4r2=r24r2A0r2.4r2+(2A1+16A0)r4r2+(4A0+8A1+2A2)4r2=16r24r22A0=16A0=82A1+16A0=02A1+16(8)=02A1=128A1=644A0+8A1+2A2=04(8)+8(64)+2A2=032512+2A2=0480+2A2=02A2=480A2=240   अतः विशिष्ट हल arp=(8r264r+240)4rarp=8(r28r+30)4r अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: ar=C12r+C23r+8(r28r+30)4ra_{r}-5a_{r-1}+6a_{r-2}=r^{2} \cdot 4^{r} \\ \text { पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है } \\ \alpha^{2}-5 \alpha+6=0 \\ \Rightarrow \alpha^{2}-3 \alpha-2 \alpha+6=0 \\ \Rightarrow \alpha(\alpha-3)-2(\alpha-3)=0 \\ \Rightarrow(\alpha-2)(\alpha-3)=0 \\ \Rightarrow \alpha=2,3 \\ \text { अतः पूरक फलन (C.F.) } =C_{1} \cdot 2^{r}+C_{2} \cdot 3^{r}  \\ \text { विशिष्ट हल (P.S.) के लिए माना } a_{r}^{P}=\left(A_{0} r^{2}+A_{1} r+A_{2}\right) \cdot 4^{r} \\ \text {  तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से }\\ \left(A_{0} r^{2}+A_{1} r+A_{2}\right) \cdot 4^{r}-5 \left[A_{0}(r-1)^{2}+A_{1}(r-1)+A_{2}\right] {4}^{r-1} +6 \left[A_{2} (r-2)^{2}+A_{1}(r-2)+A_{2}\right]{4}^{r-2} =r^{2} \cdot 4^{r} \\ \Rightarrow 16 \left(A_{0} r^{2}+A_{1} r+A_{2}\right) \cdot 4^{r-2}-20 \left[A_{0}\left(r^{2}-2 r+1\right)+A_{1} r-A_{1}+A_{2}\right] 4^{r-2}+6 \left[A_{0}\left(r^{2}-4 r+4\right)+A_{1} r-2 A_{1}+A_{2}\right] 4^{r-2}=r^{2} 4^{r} \\ \Rightarrow \left(16 A_{0}-20 A_{0}+6 A_{0}\right) r^{2} \cdot 4^{r-2}+\left(16 A_{1}+40 A_{0}+20 A_{1}-24 A_{0}+6 A_{1}\right) r-4^{r-2}+\left(16 A_{2}-20 A_{0}+20 A_{1}-20 A_{2}+24 A_{0}-12 A_{1}+6 A_{2}\right) 4^{r-2}=r^{2} 4^{r} \\ \Rightarrow 2 A_{0} r^{2}.4^{r-2}+\left(2 A_{1}+16 A_{0}\right) r \cdot 4^{r-2}+\left(4 A_{0}+8 A_{1}+2 A_{2}\right) 4^{r-2} =16 r^{2} \cdot 4^{r-2} \\ \Rightarrow 2 A_{0}=16 \Rightarrow A_{0}=8 \\ \Rightarrow 2A_{1}+16 A_{0}=0 \\ \Rightarrow 2 A_{1}+16(8)=0 \\ \Rightarrow 2 A_{1}=-128 \\ \Rightarrow A_{1}=-64 \\ 4 A_{0}+8 A_{1}+2 A_{2}=0 \\ \Rightarrow 4(8)+8(-64)+2 A_{2}=0 \\ \Rightarrow 32-512+2 A_{2}=0 \\ \Rightarrow-480+2 A_{2}=0 \\ \Rightarrow 2 A_{2}=480 \\ \Rightarrow A_{2}=240 \\  \text {  अतः विशिष्ट हल } a_{r}^{p}=\left(8 r^{2}-64 r+240\right) \cdot 4^{r} \\ \Rightarrow a_{r}^{p} =8\left(r^{2} -8r+30\right) \cdot 4^{r} \\ \text { अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: } \\ a_{r}=C_{1} \cdot 2^{r}+C_{2} \cdot 3^{r}+8\left(r^{2}-8r+30\right) \cdot 4^{r}
Example-4.ar6ar1+8ar2=r4r,r2a_{r}-6 a_{r-1}+8 a_{r-2}=r \cdot 4^{r}, r \geq 2
Solution-ar6ar1+8ar2=r4r  पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है α26α+8=0α24α2α+8=0α(α4)2(α4)=0(α2)(α4)=0α=2,4  अतः पूरक फलन (C.F.) =C12r+C24r  विशिष्ट हल (P.S.) के लिए माना arP=r(A0r+A1).4r तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से r(A0r+A1)4r6(r1)[A0(r1)+A1]4r1+8(r2)[A0(r2)+A1]4r2=r4r16(A0r2+A1r)4r224(r1)(A0rA0+A1)4r2+8(r2)(A0r2A0+A1)4r2=r4r(16A0r2+16A1r)4r2(24A0r224A0r+24A1r24A0r+24A024A1)4r2+(8A0r216A0r+8A1r16A0r+16A016A1).4r2=16r.4r2(16A0r2+16A1r)4r2(24A0r248A0r+24A0+24A1r24A1)4r2+(8A0r232A0r+8A1r+16A016A1)4r2=16r4r2(16A024A0+8A0)r24r2+(16A1+48A032A0+8A124A1)r4r2(24A016A016A1+24A1)4r2=16r4r216A0r4r2+(8A0+8A1)4r2=16r4r216A0=16A0=18A0+8A1=0A1=A0A1=1 अतः विशिष्ट हल arp=r(r+1)4r अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: ar=C12r+C24r+r(r+1)4ra_{r}-6 a_{r-1}+8 a_{r-2}=r \cdot 4^{r} \\ \text {  पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है } \\ \alpha^{2}-6 \alpha+8=0 \\ \Rightarrow \alpha^{2}-4 \alpha-2 \alpha+8=0 \\ \Rightarrow \alpha(\alpha-4)-2(\alpha-4)=0 \\ \Rightarrow (\alpha-2)(\alpha-4)=0 \\ \Rightarrow \alpha=2,4 \\ \text {  अतः पूरक फलन (C.F.) } =C_{1} \cdot 2^{r}+C_{2}-4^{r} \\ \text {  विशिष्ट हल (P.S.) के लिए माना } a_{r}^{P}=r\left(A_{0} r+A_{1}\right).4^{r} \\ \text { तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से } \\ r \left(A_{0} r+A_{1}\right) \cdot 4^{r}-6(r-1)\left[A_{0}(r-1)+A_{1}\right] \cdot 4^{r-1}+8(r-2)\left[A_{0}(r-2) + A_{1}\right]{4^{r-2}=r \cdot 4^{r}} \\ \Rightarrow 16\left(A_{0} r^{2}+A_{1} r\right) \cdot 4^{r-2}-24(r-1)\left(A_{0}^{r}-A_{0}+A_{1}\right)4^{r-2}+8(r-2)\left(A_{0} r-2 A_{0}+A_{1} \right){4^{r-2}=r \cdot 4^{r}} \\ \Rightarrow\left(16 A _{0} r^{2}+16 A _{1} r\right) 4^{r-2}-\left(24 A _{0} r^{2}-24 A_{0} r+24 A _{1}r-24 A _{0}r+24 A _{0}-24 A _{1} \right)4^{r-2}+\left(8 A_{0} r^{2}-16 A_{0} r+8 A_{1} r-16 A_{0} r+16 A_{0}-16A _{1} \right).4^{r-2}=16r.4^{r-2} \\ \Rightarrow\left(16 A_{0} r^{2}+16 A_{1} r\right) \cdot 4^{r-2}-\left(24 A_{0} r^{2}-48 A_{0} r+24 A_{0}+24 A_{1} r-24 A_{1}\right) \cdot 4^{r-2}+\left(8 A_{0} r^{2}-32 A_{0} r+8 A_{1} r+16 A_{0}-16 A_{1}\right) 4^{r- 2}=16 r \cdot 4^{r-2} \\ \Rightarrow\left(16 A_{0}-24 A_{0}+8 A_{0}\right)r^{2} \cdot 4^{r-2}+\left(16 A_{1}+48 A_{0}-32 A_{0}+8A_{1}-24A_{1}\right)r \cdot 4^{r-2}-\left(-24 A_{0}-16A_{0}-16 A_{1}+24 A_{1}\right) \cdot4^{r-2}=16r \cdot 4^{r-2} \\ \Rightarrow 16 A_{0}r \cdot 4^{r-2} +\left(-8 A_{0}+8 A_{1}\right) 4^{r-2}=16r \cdot 4^{r-2} \\ \Rightarrow 16 A_{0}=16 \Rightarrow A_{0}=1 \\ -8 A_{0}+ 8 A_{1}=0 \Rightarrow A_{1}=A_{0} \\ \Rightarrow A_{1}=1 \\ \text { अतः विशिष्ट हल } a_{r}^{p}=r(r+1) \cdot 4^{r} \\ \text { अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: } \\ a_{r}=C_{1} \cdot 2^{r}+C_{2} \cdot 4^{r}+r(r+1) \cdot 4^{r}

Example-5.ar+5ar1+6ar2=2r23r+1a_{r}+5 a_{r-1}+6 a_{r-2}=2 r^{2}-3 r+1
Solution-ar+5ar1+6ar2=2r23r+1 पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है α2+5α+6=0α2+3α+2α+6=0α(α+3)+2(α+3)=0(α+2)(α+3)=0α=2,3 अतः पूरक फलन (C.F.) =C1(2)r+C2(3)r विशिष्ट हल (P.S.) के लिए माना arp=Ar2+Br+c तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से (Ar2+Br+C)+5[A(r1)2+B(r1)+C]+6[A(r2)2+B(r2)+C]=2r23r+1 समान घातों के गुणांकों की तुलना करने पर - 12A=2A=1612B34A=312B=34A3B=112(34×163)B=112(34186)B=2929A17B+12C=112C=129A+17BC=112(129A+17B)c=112[129×16+17×25]c=112[11296+349]c=112[1887+6818]c=112(118)c=1216 अतः विशिष्ट हल arp=1ar2+25r1216  अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: ar=C1(2)r+C2(3)r+14r2+29r1216a_{r}+5 a_{r-1}+6 a_{r-2}=2 r^{2}-3 r+1 \\ \text { पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है } \\ \alpha^{2}+5 \alpha+6 =0 \\ \Rightarrow \alpha^{2}+3 \alpha+2 \alpha+6=0 \\ \Rightarrow \alpha(\alpha+3) +2(\alpha+3)=0 \\ \Rightarrow(\alpha+2)(\alpha+3)=0 \\ \Rightarrow \alpha=-2,-3 \\ \text { अतः पूरक फलन (C.F.) }=C_{1}(-2)^{r}+C_{2}(-3)^{r} \\ \text { विशिष्ट हल (P.S.) के लिए माना } a_{r}^{p}=A r^{2}+B r+c \\ \text { तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से } \\ \left(A r^{2}+Br+C\right)+5\left[A(r-1)^{2}+B(r-1)+ C\right]+6\left[A(r-2)^{2}+B(r-2)+C\right]=2r^{2}-3 r+1 \\ \text { समान घातों के गुणांकों की तुलना करने पर -}  \\ 12 A=2 \Rightarrow A=\frac{1}{6} \\ 12 B-34 A=-3 \\ \Rightarrow 12B=34 A-3 \\ \Rightarrow B=\frac{1}{12}\left(34 \times \frac{1}{6}-3\right) \\ \Rightarrow B=\frac{1}{12}\left(\frac{34-18}{6}\right) \\ \Rightarrow B=\frac{2}{9} \\ 29 A-17 B+12 C=1 \\ \Rightarrow 12 C=1-29 A+17 B \\ \Rightarrow C=\frac{1}{12}(1-29 A+17 B) \\ \Rightarrow c=\frac{1}{12}\left[1-29 \times \frac{1}{6}+17 \times \frac{2}{5}\right] \\ \Rightarrow c=\frac{1}{12}\left[\frac{1}{1}-\frac{29}{6}+\frac{34}{9}\right] \\ \Rightarrow c=\frac{1}{12}\left[\frac{18-87+68}{18}\right] \\ \Rightarrow c=\frac{1}{12}\left(-\frac{1}{18}\right) \\ \Rightarrow c=-\frac{1}{216} \\ \text { अतः विशिष्ट हल } a r^{p}=\frac{1}{a} r^{2}+\frac{2}{5} r-\frac{1}{216} \\  \text { अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: } \\ a_{r}=C_{1} (-2)^{r}+C_{2}(-3)^{r}+\frac{1}{4} r^{2}+\frac{2}{9} r-\frac{1}{216}
Example-6.ar6ar+1+9ar2=r22a_{r}-6 a_{r}+1+9 a_{r-2}=r \cdot 2^{2}
Solution-ar6ar+1+9ar2=r22 पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है  α26α+9=0α23α3α+9=0α(23)3(α3)=0(α3)(α3)=0(α3)2=0α=3,3 अतः पूरक फलन (C.F.) =(C1+C2r)3r विशिष्ट हल (P.S.) के लिए माना arP=(Ar+B)2r तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से (Ar+B)2r6[A(r1)+B]2r1+9[A(r2)+B]2r2=r2r4(Ar+B)2r212(ArA+B)2r2+9(Ar2A+B)=4r2r2(4A12A+9A)r2r2+(4B+12A12B18A+9B)2r2=4r2r2Ar2r2+(6A+B)2r2=4r2r2 समान घातों के गुणांकों की तुलना करने पर-A=4,6A+B=06(4)+B=0B=24  अतः विशिष्ट हल arp=(4r+24)2r अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: ar=(C1+C2r)3r+(4r+24)2r=(C1+C2r)3r+(r+6)2r+2a_{r}-6 a_{r}+1+9 a_{r-2}=r \cdot 2^{2} \\ \text { पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है }  \\ \alpha^{2}-6 \alpha+9=0 \\ \Rightarrow \alpha^{2}-3 \alpha-3 \alpha+9=0 \\ \Rightarrow \alpha(2-3)-3(\alpha-3)=0 \\ \Rightarrow(\alpha-3)(\alpha-3)=0 \\ \Rightarrow (\alpha-3)^{2}=0 \\ \Rightarrow \alpha=3,3 \\ \text { अतः पूरक फलन (C.F.) }=\left(C_{1}+C_{2} \cdot r\right) \cdot 3^{r} \\ \text { विशिष्ट हल (P.S.) के लिए माना } a_{r}^{P}=(A r+B) \cdot 2^{r} \\ \text { तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से } \\ (A r+B) \cdot 2^{r}-6[A(r-1)+B] \cdot 2^{r-1}+9[A(r-2)+B] \cdot 2^{r-2}=r \cdot 2^{r} \\ \Rightarrow 4(A r+B) \cdot 2^{r-2}-12(A r-A+B) \cdot 2^{r-2}+9(A r-2 A+B)=4r \cdot 2^{r-2} \\ \Rightarrow (4 A-12 A+9 A) \cdot r \cdot 2^{r-2}+(4B+12 A-12 B-18 A+9 B) \cdot 2^{r-2}=4r \cdot 2^{r-2} \\ \Rightarrow A \cdot r \cdot 2^{r-2}+(-6 A+B) \cdot 2^{r-2}=4r \cdot 2^{r-2} \\ \text { समान घातों के गुणांकों की तुलना करने पर-} \\ A =4, -6 A+B=0 \\ \Rightarrow-6(4)+B=0 \\ \Rightarrow B= 24  \\ \text { अतः विशिष्ट हल } a_{r}^{p}=(4r+24) \cdot 2^{r} \\ \text { अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: } \\ a_{r} =(C_{1}+C_{2}r) \cdot 3^{r}+(4r+24) \cdot 2^{r} \\ =(C_{1}+C_{2} r) \cdot 3^{r}+(r+6) \cdot 2^{r+2}
Example-7.ar6ar1+9ar2=r3ra_{r}-6 a_{r-1}+9 a_{r-2}=r \cdot 3^{r}
Solution-ar6ar1+9ar2=r3r पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है α26α+9=0α23α3α2+9=0α(α3)+3(α3)=0(α3)(α3)=0(α3)2=0α=3,3 अतः पूरक फलन (C.F.) =(C1+C2r)3rअब चूंकिf(r)=r3rतथा3,2कोटि का एक अभिलक्षिक मूल है। अतः माना विशिष्ट हल (P.S.)arp=r2(Ar+B)3r तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से  r2(Ar+B)3r6(r1)2[A(r1)+B]3r1+9(r2)2[A(r2)+B]3r2=r3r9(Ar3+Br2)3r218(r22r+1)[ArA+B]3r2+9(r24r+4)(Ar2A+B)3r2=9r3r2(9Ar3+9Br2)3r2(18Ar318Ar2+18Br236Ar2+36Ar36Br+18Ar18A+18B)3r2+(9Ar318Ar2+9Br236Ar2+72Ar36Br+36Ar72A+36B)3r2=9r3r2(9Ar3+9Br2)3r2(18Ar354Ar2+18Br2+54Ar+36Ar36Br18A+18B)3r2+(9Ar354Ar2+9Br2+108Ar36Br72A+36B)3r2=9r3r2(9A18A+9A)r3r2+(9B+54A18B54A+9B)r23r2+(54A+36B+108A36B)r3r2+(18A18B72A+36B)3r2=9r3r254Ar3r2+(54A+18B)3r2=9r3r254A=9A=954A=1654A+18B=054(16)+18B=0B=918B=12  अतः विशिष्ट हल arp=r2(16r+12)3r अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है: ar=(C1+C2r)3r+r2(16r+12)3ra_{r}-6 a_{r-1}+9 a_{r-2}=r \cdot 3^{r} \\ \text { पुनरावृत्ति सम्बन्ध के लिए अभिक्षणिक समीकरण है } \\ \alpha^{2}-6 \alpha+9=0 \\ \Rightarrow \alpha^{2}-3 \alpha-3 \alpha^{2}+9=0 \\ \Rightarrow \alpha(\alpha-3)+3(\alpha-3)=0 \\ \Rightarrow(\alpha-3)(\alpha-3)=0 \\ \Rightarrow (\alpha-3)^{2}=0 \\ \Rightarrow \alpha=3,3 \\ \text { अतः पूरक फलन (C.F.) }=\left(C_{1}+C_{2} r\right) \cdot 3^{r} \\ \text {अब चूंकि} f(r)=r \cdot 3^{r} \text {तथा} 3,2 \text {कोटि का एक अभिलक्षिक मूल है। अतः माना विशिष्ट हल (P.S.)} \\ a_{r}^{p}=r^{2}(Ar+B)-3^{r} \\ \text { तब दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध से  } \\ r^{2}(Ar+B) \cdot 3^{r}-6(r-1)^{2}[A(r-1)+B] 3^{r-1}+9(r-2)^{2}[A(r-2)+B] 3^{r-2}=r-3^{r} \\ \Rightarrow 9(A r^{3}+B r^{2}) 3^{r-2}-18 (r^{2}-2 r+1)[A r-A+B] 3^{r-2}+9\left(r^{2}-4 r+4\right)(A r-2 A+B) 3^{r-2}=9r 3^{r-2} \\ \Rightarrow (9 A r^{3}+9 B r^{2}) 3^{r-2}-(18 A r^{3}-18 A r^{2}+18 B r^{2}-36 A r^{2}+36 A r-36 B r+18 A r-18 A +18 B) 3^{r-2} + (9 A r^{3}-18 A r^{2}+9 B r^{2}-36 A r^{2}+72 A r-36 B r+36 A r-72 A+36 B) 3^{r-2}=9r 3^{r-2} \\ \Rightarrow (9 A r^{3}+9 B r^{2}) 3^{r-2}-(18 A r^{3}-54 A r^{2}+18 B r^{2}+54A r+36 A r-36 B r-18 A+18 B) 3^{r-2}+ (9 A r^{3}-54A r^{2}+9 B r^{2}+108Ar-36Br-72 A+36 B) 3^{r-2}=9r 3^{r-2} \\ \Rightarrow(9 A-18 A+9 A) r \cdot 3^{r-2}+(9 B+54 A-18 B-54 A+9 B) r^{2} \cdot 3^{r-2}+ (-54 A+36 B+108 A-36 B) r \cdot 3^{r-2}+(18 A-18 B-72 A+36 B) 3^{r-2} =9r \cdot 3^{r-2} \\ \Rightarrow 54 A r 3^{r-2}+(-54 A+18 B) 3^{r-2}= 9 r \cdot 3^{r-2} \\ \Rightarrow 54 A=9 \Rightarrow A =\frac{9}{54} \Rightarrow A=\frac{1}{6} \\ -54 A+18 B=0 \\ \Rightarrow-54\left(\frac{1}{6}\right)+18 B=0 \\ \Rightarrow B=\frac{9}{18} \Rightarrow B=\frac{1}{2} \\  \text { अतः विशिष्ट हल } a_{r}^{p}= r^{2} \left(\frac{1}{6} r+ \frac{1}{2}\right) \cdot 3^{r} \\ \text { अतएव दिए हुए पुनरावृत्ति सम्बन्ध का सम्पूर्ण हल है:} \\  a_{r} =\left(C_{1} + C_{2} r\right) \cdot 3^{r}+ r^{2}\left(\frac{1}{6} r+\frac{1}{2}\right) \cdot 3^{r}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का हल (Solution of Linear Recurrence Relation),रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का विशेष हल ज्ञात करना (Finding Particular Solution of Linear Recurrence Relation), को समझ सकते हैं।

3.रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का हल की समस्याएं (Solution of Linear Recurrence Relation),रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का विशेष हल ज्ञात करना की समस्याएं (Finding Particular Solution of Linear Recurrence Relation)-

निम्नलिखित पुनरावृत्ति सम्बन्धों के हल ज्ञात कीजिए (Find the solutions of the following recurrence):

(1)ar5ar1+6ar2=4r(2)ar4ar1+4ar2=(r+1)2r(3)ar5ar1+6ar2=1(1) a_{r}-5 a_{r-1}+6 a_{r-2}=4^{r} \\ (2) a_{r}-4 a_{r-1}+4 a_{r-2}=(r+1) \cdot 2^{r} \\ (3) a_{r}-5 a_{r-1}+6 a_{r-2}=1
उत्तर (Answers): (1)ar=C12r+C23r+84r(2)ar=(C1+C2r)2r+r2(16r+1)2r(3)ar=C13r+C22r+12(1) a_{r}=C_{1} \cdot 2^{r}+C_{2} \cdot 3^{r}+8 \cdot 4^{r} \\ (2) a_{r}=\left(C_{1}+C_{2}r\right) \cdot 2^{r}+r^{2}\left(\frac{1}{6} r+1\right) \cdot 2^{r} \\ (3) a_{r}=C_{1} \cdot 3^{r}+C_{2} \cdot 2^r +\frac{1}{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का हल (Solution of Linear Recurrence Relation),रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का विशेष हल ज्ञात करना (Finding Particular Solution of Linear Recurrence Relation) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.आप एक पुनरावृत्ति संबंध का विशेष हल कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the particular solution of a recurrence relation?)-

विशेष हल ज्ञात के लिए, हम एक उपयुक्त परीक्षण हल पाते हैं।माना f (n) = CxnCx_{n};माना x2x^{2} = Ax + B संबंधित सजातीय पुनरावृत्ति संबंध की विशेषता समीकरण हो सकता है और x1x_{1} और x2x_{2} इसके मूल होने दें।

5.आप रैखिक पुनरावृत्ति संबंधों को कैसे हल करते हैं? (How do you solve linear recurrence relations?)-

पुनरावृत्ति संबंध का हल, n के संदर्भ में xnx^{n} का मान देता है और किसी भी पिछले पदों के मूल्य की आवश्यकता नहीं होती है।अनुक्रम में प्रत्येक पद की गणना पिछले पद के साथ की जा सकती है।पहला पद, x1=1,x2=3X1=3x _{1}= 1 ,x_{2}= 3 X_{1} = 3 दिया गया है।
एक रेखीय पुनरावृत्ति संबंध एक समीकरण है जो एक अनुक्रम में एक पद या पुनरावृत्ति का उपयोग करके पिछले पदों के लिए एक बहुआयामी सरणी से संबंधित है।रैखिक पद का उपयोग इस तथ्य को संदर्भित करता है कि पिछले पदों को पुनरावृत्ति संबंध में 1 घात बहुपद के रूप में व्यवस्थित किया जाता है।
एक रेखीय पुनरावृत्ति संबंध एक समीकरण है जो अनुक्रम में k पिछले पदों के संदर्भ में nthn^th पद को एक क्रम में परिभाषित करता है।पुनरावृत्ति संबंध फॉर्म में है:
xn=c1xn1+c2xn2++ckxnkx_{n} = c_{1} x_{n-1} + c_{2} x_{n-2} + ⋯ + c_{k} x_{n-k}
जहां प्रत्येक cic_{i} एक स्थिर गुणांक है।
पुनरावृत्ति संबंध का हल n के संदर्भ में xnx_{n} का मान देता है, और किसी भी पिछले पदों के मूल्य की आवश्यकता नहीं होती है।
पुनरावृत्ति संबंध को हल करें: X1=3,xn=3xn1X_{1} = 3, x_{n} = 3x_{n}-1
अनुक्रम में प्रत्येक पद की गणना पिछले पद के साथ की जा सकती है।पहला पद x1=3x_{1} = 3, दिया गया है।
अगले पद की गणना संबंध का उपयोग करके की जा सकती है: xn=3xn1x_{n} = 3x_{n}-1
x2=3x1=9x_{2} = 3x_{1} = 9
इस प्रक्रिया को बाद की शर्तों के साथ दोहराया जाता है:
x3=3x2=27x4=3x3=81 x_{3} = 3x_{2} = 27 \\ x_{4}= 3x_{3} = 81 
इस बिंदु पर कोई एक पैटर्न देख सकता है।ये 3 की घातें हैं।
इस प्रकार, हल xn=3nx_{n} = 3^n सभी धनात्मक पूर्णांक n के लिए है।

6.पुनरावृत्ति संबंधों को हल करने के लिए तीन तरीके क्या हैं? (What are the three methods for solving recurrence relations?)-

पुनरावृत्ति को हल करने के लिए मुख्य रूप से तीन तरीके हैं।
(1.)प्रतिस्थापन विधि: हम हल के लिए एक अनुमान लगाते हैं और फिर अनुमान सही या गलत है यह साबित करने के लिए हम गणितीय आगमन का उपयोग करते हैं।
उदाहरण के लिए पुनरावर्तन T(n)=2T(n2)+nT(n) = 2T (\frac{n}{2}) + n हम T (n) = O (nLogn) के रूप में समाधान का अनुमान लगाते हैं।अब हम अपने अनुमान को साबित करने के लिए इंडक्शन का इस्तेमाल करते हैं।हमें यह साबित करने की जरूरत है कि T(n)cnLognT(n) \leq cnLogn।हम मान सकते हैं कि यह n से छोटे मूल्यों के लिए सही है। T(n)=2T(n2)+n2cn2Log(n2)+n=cnLogncnLog2+ncnLogncn+ncnLognT (n) = 2T(\frac{n}{2}) + n \leq 2c \frac{n}{2}Log (\frac{n}{2}) + n = cnLogn - cnLog2 + n \leq cnLogn - cn + n \leq cnLogn

(2.)पुनरावृत्ति ट्री विधि: इस विधि में, हम एक पुनरावृत्ति पेड़ को ड्रा (Draw) करते हैं और पेड़ के हर स्तर से लिए गए समय की गणना करते हैं।अंत में, हम सभी स्तरों पर किए गए कार्य का योग करते हैं।पुनरावृत्ति पेड़ को खींचने के लिए, हम दिए गए पुनरावृत्ति से शुरू करते हैं और तब तक ड्राइंग करते रहते हैं जब तक हम स्तरों के बीच एक पैटर्न नहीं ढूंढ लेते।पैटर्न आमतौर पर एक अंकगणितीय या ज्यामितीय श्रृंखला है।

(3.)मास्टर विधि: मास्टर विधि हल प्राप्त करने का एक सीधा तरीका है। मास्टर विधि केवल निम्न प्रकार के पुनरावृत्ति या पुनरावृत्ति के लिए काम करती है जिसे निम्न प्रकार में बदला जा सकता है। T(n)=aT(nb)+f(n)T (n) = aT (\frac{n}{b}) + f (n) जहां a = 1 और b> 1 है
निम्नलिखित तीन मामले हैं:

  1. यदि f(n)=Θ(nc)f (n) = Θ(n^{c}) जहां c<logbac <\log _{b}a तो T(n)=Θ(nlogba)T (n) = Θ (n^{\log _{b}a} )
  2. यदि f(n)=Θ(nc)f (n) = Θ(n^{c}) जहां c=logbac = \log _{b}a  तो T(n)=Θ(nclogn)T (n) = Θ (n^{c} logn)
  3. यदि f(n)=Θ(nc)f (n) = Θ (n^{c}) जहां c>logbac> \log _{b}a तब T (n) = Θ (f (n))

यह कैसे काम करता है?मास्टर विधि मुख्य रूप से पुनरावृत्ति वृक्ष विधि से ली गई है।यदि हम T(n)=aT(nb)+f(n)T (n) = aT (\frac{n}{b}) + f (n) का पुनरावर्तन वृक्ष बनाते हैं, तो हम देख सकते हैं कि रूट पर किया गया कार्य f (n) है और सभी पत्तियों पर किया गया कार्य Θ(nc)Θ (n^{c}) है जहाँ c लोगा है। और पुनरावृत्ति पेड़ की ऊंचाई logbn\log _{b}n है
पुनरावृत्ति ट्री विधि में, हम किए गए कुल कार्यों की गणना करते हैं।यदि पत्तियों पर किया गया कार्य बहुपद है, तो पत्तियां प्रमुख भाग हैं, और हमारा परिणाम पत्तियों पर किया गया कार्य बन जाता है (केस 1)।यदि पत्तियों और जड़ पर किया गया कार्य समान रूप से समान है, तो हमारा परिणाम किसी भी स्तर (केस 2) पर किए गए कार्य से कई गुना अधिक हो जाता है।यदि रूट पर किया गया कार्य असमान रूप से अधिक है,तो हमारा परिणाम रूट (केस 3) में किया गया कार्य बन जाता है।

उपर्युक्त उदाहरणों,सवालों को हल करके तथा प्रश्नों के उत्तर के द्वारा रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का हल (Solution of Linear Recurrence Relation),रैखिक पुनरावृत्ति सम्बन्ध का विशेष हल ज्ञात करना (Finding Particular Solution of Linear Recurrence Relation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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