Solution of Differential Equation 12th
1.अवकल समीकरण का हल 12वीं (Solution of Differential Equation 12th),अवकल समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल कक्षा 12 (General and Particular Solutions of a Differential Equation Class 12):
अवकल समीकरण का हल 12वीं (Solution of Differential Equation 12th) के इस आर्टिकल में अवकल समीकरणों का व्यापक हल एवं विशिष्ट हल ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.अवकल समीकरण का हल 12वीं के उदाहरण (Solution of Differential Equation 12th Illustrations):
1 से 10 तक प्रत्येक प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
Illustration:1. y=e^x+1 : y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0
Solution: y=e^x+1: y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकल करने पर:
\frac{d y}{d x}=e^x \cdots(1)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d^2 y}{d x^2}=e^x
(1) व (2) से
\Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0
अतः y=e^x+1 अवकल समीकरण y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0 का हल है।
Illustration:2. y=x^2+2 x+c: y^{\prime}-2 x-2=0
Solution: y=x^2+2 x+c: y^{\prime}-2 x-2=0
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकल करने पर:
\frac{d y}{d x}=2 x+2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-2 x-2=0 \\ \Rightarrow y^{\prime}-2 x-2=0
अतः y=x^2+2 x+c अवकल समीकरण y^{\prime}-2 x-2=0 का हल है।
Illustration:3. y=\cos x+c: y^{\prime}+\sin x=0
Solution: y=\cos x+c: y^{\prime}+\sin x=0
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकल करने पर:
\frac{d y}{d x}=-\sin x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\sin x=0 \\ \Rightarrow y^{\prime}+\sin x=0
अतः y=\cos x+c अवकल समीकरण y^{\prime}+\sin x=0 का हल है।
Illustration:4. y=\sqrt{1+x^2}: y^{\prime}=\frac{x y}{1+x^2}
Solution: y=\sqrt{1+x^2}: y^{\prime}=\frac{x y}{1+x^2}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकल करने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{2 \sqrt{1+x^2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \times \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x \sqrt{1+x^2}}{1+x^2} \\ \Rightarrow y^{\prime}=\frac{x y}{1+x^2} \quad\left[\because y=\sqrt{1+x^2}\right]
अतः y=\sqrt{1+x^2} अवकल समीकरण y^{\prime}=\frac{x y}{1+x^2} का हल है।
Illustration:5. y=A x: x y^{\prime}=y(x \neq 0)
Solution: y=A x : x y^{\prime}=y(x \neq 0)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकल करने पर:
\frac{d y}{d x}=A \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \quad\left[ y=A x \text{से} \right] \\ \Rightarrow x y^{\prime}=y
अतः y=A x अवकल समीकरण x y^{\prime}=y का हल है।
Illustration:6. y=x \sin x: x y^{\prime}=y^{\prime}+x \sqrt{x^2-y^2} (x \neq 0 और x>y x<-y )
Solution: y=x \sin x: x y^{\prime}=y^{\prime}+x \sqrt{x^2-y^2}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकल करने पर:
\frac{d y}{d x}=\sin x+x \cos x \cdots(1) \\ y=x \sin x \\ \Rightarrow \sin x=\frac{y}{x} \\ \cos x=\sqrt{1-\sin ^2 x}=\sqrt{1-\frac{y^2}{x^2}} \\ \Rightarrow \cos x=\frac{\sqrt{x^2-y^2}}{x} \\ \cos x तथा \sin x का मान (1) में रखने पर:
\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\frac{x \times \sqrt{x^2-y^2}}{x} \\ \Rightarrow x y^{\prime}=y+x \sqrt{x^2-y^2}
अतः y=x \sin x अवकल समीकरण x y^{\prime}=y+x \sqrt{x^2-y^2} का हल है।
Illustration:7. x y=\log y+c: y^{\prime}=\frac{y^2}{1-x y} (x y \neq 1)
Solution: x y=\log y+c: y^{\prime}=\frac{y^2}{1-x y}(x y \neq 1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकल करने पर:
y+x \frac{d y}{d x}=\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=-y \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(x-\frac{1}{y}\right)=-y \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{x y-1}{y}\right)=-y \\ \Rightarrow-\frac{d y}{d x}\left(\frac{1-x y}{y}\right)=-y \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y^2}{1-x y} \\ \Rightarrow y^{\prime}=\frac{y^2}{1-x y}
अतः x y=\log y+c अवकल समीकरण y^{\prime}=\frac{y^2}{1-x y} का हल है।
Illustration:8. y-\cos y=x: (y \sin y+\cos y+x) y^{\prime}=y
Solution: y-\cos y=x:(y \sin y+\cos y+x) y^{\prime}=y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकल करने पर:
\frac{d y}{d x}+\sin y \frac{d y}{d x}=1 \\ \Rightarrow(1+\sin y) \frac{d y}{d x}=1 \\ \Rightarrow y(1+\sin y) \frac{d y}{d x}=y \\ \Rightarrow(y+y \sin y) \frac{d y}{d x}=y \\ \Rightarrow(y \sin y+\cos y+x) \frac{d y}{d x}=y[\because y=\cos y+x] \\ \Rightarrow(y \sin y+\cos y+x) y^{\prime}=y
अतः y-\cos y=x अवकल समीकरण (y \sin y+\cos y+x) y^{\prime}=y का हल है।
Illustration:9. x+y=\tan ^{-1} y: y^2 y^{\prime}+y^2+1=0
Solution: x+y=\tan ^{-1} y: y^2 y^{\prime}+y^2+1=0
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकल करने पर:
1+\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+y^2} \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{1}{1+y^2} \frac{d y}{d x}-\frac{d y}{d x}=1 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{1}{1+y^2}-1\right)=1 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{1-1-y^2}{1+y^2}\right)=1 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}\left(\frac{-y^2}{1+y^2}\right)=1 \\ \Rightarrow -y^2 \frac{d y}{d x}=1+y^2 \\ \Rightarrow y^2 y^{\prime}+y^2+1=0
अतः x+y=\tan ^{-1} y अवकल समीकरण y^2 y^{\prime}+y^2+1=0 का हल है।
Illustration:10. y=\sqrt{a^2-x^2}, x \in(-a, a): x+y \frac{d y}{d x}=0 \quad(y \neq 0)
Solution: y=\sqrt{a^2-x^2}, x \in(-a, a): x+y \frac{d y}{d x}=0 \quad(y \neq 0)
(1) का x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकल करने पर:
\frac{d y}{d x} =\frac{1}{2 \sqrt{a^2-x^2}}(-2 x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \\ \sqrt{a^2-x^2}=y रखने पर
\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-x}{y} \\ \Rightarrow y \frac{d y}{d x}=-x \\ \Rightarrow x+y \frac{d y}{d x}=0
अतः y=\sqrt{a^2-x^2} अवकल समीकरण x+y \frac{d y}{d x}=0 का हल है।
Illustration:11.चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
(A)-0 (B) 2 (C)3 (D)4
Solution:चार कोटि वाले अवकल समीकरण में स्वेच्छ अचरों की संख्या 4 होती है।
अतः विकल्प (D) सही है।
Illustration:12.तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
(A)3 (B)2 (C) 1 (D) 0
Solution:किसी भी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचर उपस्थित नहीं होते हैं।
अतः विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण का हल 12वीं (Solution of Differential Equation 12th),अवकल समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल कक्षा 12 (General and Particular Solutions of a Differential Equation Class 12) को समझ सकते हैं।
3.अवकल समीकरण का हल 12वीं की समस्याएँ (Solution of Differential Equation 12th Problems):
(1.)सिद्ध कीजिए कि y=c_1 \cos x+c_2 \sin x अवकल समीकरण \frac{d^2 y}{d x^2} +y=0 का हल है।
(2.)सिद्ध कीजिए कि y=e^{-x} अवकल समीकरण \frac{d^2 y}{d x^2}-y=0 का हल है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण का हल 12वीं (Solution of Differential Equation 12th),अवकल समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल कक्षा 12 (General and Particular Solutions of a Differential Equation Class 12) को ठीक से समझ समझ सकते हैं।
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4.अवकल समीकरण का हल 12वीं (Frequently Asked Questions Related to Solution of Differential Equation 12th),अवकल समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल कक्षा 12 (General and Particular Solutions of a Differential Equation Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.अवकल समीकरण किसे कहते हैं? (What is Differential Equation?):
उत्तर:सामान्यतः एक ऐसा समीकरण,जिसमें स्वतन्त्र चर (चरों) के सापेक्ष आश्रित चर के अवकलज सम्मिलित हों,अवकल समीकरण कहलाता है।
जैसे: x \frac{d y}{d x}+y=0
प्रश्न:2.सामान्य अवकल समीकरण से क्या आशय है? (What Do You Mean by General Differential Equation?):
उत्तर:एक ऐसा अवकल समीकरण,जिसमें केवल एक स्वतन्त्र चर के सापेक्ष,आश्रित चर के अवकलज सम्मिलित हों,सामान्य अवकल समीकरण कहलाता है।उदाहरणतया
2 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3=0
एक सामान्य अवकल समीकरण है।
प्रश्न:3.व्यापक हल को परिभाषित कीजिए। (Define the General Solution of Differential Equation):
उत्तर:ऐसा हल,जिसमें स्वेच्छ अचर उपस्थित हो अवकल समीकरण का व्यापक हल कहलाता है।
जैसे: y=\phi(x)=a \sin (x+b)
फलन \phi में दो स्वेच्छ अचर (प्राचल) a,b सम्मिलित है तथा यह फलन दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल कहलाता है।
प्रश्न:4.अवकल समीकरण के विशिष्ट हल को परिभाषित कीजिए। (Define the Particular Solution of Differential Equation):
उत्तर:ऐसा हल,जो स्वेच्छ अचरों से मुक्त है अर्थात् व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देने पर प्राप्त हल,अवकल समीकरण का विशिष्ट हल कहलाता है।
जैसे: y=\phi_1(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)
फलन \phi_1 में कोई भी स्वेच्छ अचर सम्मिलित नहीं है लेकिन प्राचलों a तथा b के विशिष्ट मान उपस्थित है और इसलिए इसको अवकल समीकरण का विशिष्ट हल कहा जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अवकल समीकरण का हल 12वीं (Solution of Differential Equation 12th),अवकल समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल कक्षा 12 (General and Particular Solutions of a Differential Equation Class 12) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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में अवकल समीकरणों का व्यापक हल एवं विशिष्ट हल ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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Satyam
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