Singular and General Solution

विचित्र और व्यापक हल का परिचय (Introduction to Singular and General Solution):

Singular and General Solution

• विचित्र और व्यापक हल (Singular and General Solution):किसी अवकल समीकरण का वह हल जो उसके व्यापक हल में स्वेच्छ अचर को विशिष्ट मान देने पर प्राप्त नहीं होता,उसको अवकल समीकरण का विचित्र हल (Singular Solution) कहते हैं।
  
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विचित्र और व्यापक हल (Singular and General Solution):

Singular and General Solution

• Differential Equation Of First Order but not of First Degree
  व्यापक स्थिति में विचित्र हल निकालने की विधि (Method of Finding Singular Solution in a general case)
  एक अवकल समीकरण जिसके विचित्र हल का अस्तित्व होता है उसको पूर्ण रूप से हल किया हुआ तब तक नहीं मानते जब तक उसका विचित्र हल भी ज्ञात नहीं कर लिया जाए।विचित्र हल निकालने की दो विधियाँ हैंः
  (i)अवकल समीकरण के व्यापक हल द्वारा (From the general solution of the differential equations)
  (ii)सीधे अवकल समीकरण द्वारा (Direct from the differential equation)
  (I)अवकल समीकरण के व्यापक हल द्वारा (From the general solution of the differential equations)
  माना \phi{\left(x,y,\frac{dy}{dx}\right)}
  एक दिया हुआ समीकरण है और माना कि
  f(x,y,z)=0…. (1)
  उसका व्यापक हल है।अब हम अवकल गणित से यह जानते हैं कि किसी वक्र समूह (family of curves) f(x,y,c)=0
  तथा \left(\frac{\delta}{\delta{c}}\right)f(x,y,c) …(2)
  में से c का विलोपन करने से प्राप्त बिन्दु पथ (locus) में निहित (contained) होता है।इसको हम c-विवेचक (c-discriminant) भी कहते हैं।माना यह
  \psi\left(x,y\right)=0
  है।चूँकि ये वक्र अन्वालोप के अलावा कोई और भी बिन्दुपथ (loci) हो सकते हैं,इसलिए यह आवश्यक है कि इस बात की पुष्टि कर लेनी चाहिए कि प्राप्त वक्र अवकल समीकरण का हल है या नहीं।यदि यह अवकल समीकरण की तुष्टि करता है तो इसको समीकरण का विचित्र हल (Singular Solution) कहेंगे।

Singular and General Solution

• उपर्युक्त आर्टिकल में विचित्र और व्यापक हल (Singular and General Solution) के बारे में बताया गया है।